Theorem negm 9400

Description: The image under negation of an inhabited set of reals is inhabited. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
negm	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴})

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧

Proof of Theorem negm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3086	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ ℝ))
2		renegcl 8016	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → -𝑥 ∈ ℝ)
3		negeq 7948	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = -𝑥 → -𝑧 = --𝑥)
4	3	eleq1d 2206	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = -𝑥 → (-𝑧 ∈ 𝐴 ↔ --𝑥 ∈ 𝐴))
5	4	elrab3 2836	. . . . . . . 8 ⊢ (-𝑥 ∈ ℝ → (-𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴} ↔ --𝑥 ∈ 𝐴))
6	2, 5	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (-𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴} ↔ --𝑥 ∈ 𝐴))
7		recn 7746	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
8	7	negnegd 8057	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → --𝑥 = 𝑥)
9	8	eleq1d 2206	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (--𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
10	6, 9	bitrd 187	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (-𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴} ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
11	10	biimprd 157	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ 𝐴 → -𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}))
12	1, 11	syli 37	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥 ∈ 𝐴 → -𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}))
13		elex2 2697	. . . 4 ⊢ (-𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴} → ∃𝑦 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴})
14	12, 13	syl6 33	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥 ∈ 𝐴 → ∃𝑦 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}))
15	14	exlimdv 1791	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 → ∃𝑦 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}))
16	15	imp 123	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1331  ∃wex 1468   ∈ wcel 1480  {crab 2418   ⊆ wss 3066  ℝcr 7612  -cneg 7927

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-setind 4447  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-addcom 7713  ax-addass 7715  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-cnre 7724

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-sub 7928  df-neg 7929

This theorem is referenced by: (None)