ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  negm GIF version

Theorem negm 9419
Description: The image under negation of an inhabited set of reals is inhabited. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
negm ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 𝑥𝐴) → ∃𝑦 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴})
Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧

Proof of Theorem negm
StepHypRef Expression
1 ssel 3091 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥𝐴𝑥 ∈ ℝ))
2 renegcl 8035 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → -𝑥 ∈ ℝ)
3 negeq 7967 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = -𝑥 → -𝑧 = --𝑥)
43eleq1d 2208 . . . . . . . . 9 (𝑧 = -𝑥 → (-𝑧𝐴 ↔ --𝑥𝐴))
54elrab3 2841 . . . . . . . 8 (-𝑥 ∈ ℝ → (-𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} ↔ --𝑥𝐴))
62, 5syl 14 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → (-𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} ↔ --𝑥𝐴))
7 recn 7765 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
87negnegd 8076 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → --𝑥 = 𝑥)
98eleq1d 2208 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → (--𝑥𝐴𝑥𝐴))
106, 9bitrd 187 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → (-𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} ↔ 𝑥𝐴))
1110biimprd 157 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥𝐴 → -𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}))
121, 11syli 37 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥𝐴 → -𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}))
13 elex2 2702 . . . 4 (-𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} → ∃𝑦 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴})
1412, 13syl6 33 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥𝐴 → ∃𝑦 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}))
1514exlimdv 1791 . 2 (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑥 𝑥𝐴 → ∃𝑦 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}))
1615imp 123 1 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 𝑥𝐴) → ∃𝑦 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴})
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1331  wex 1468  wcel 1480  {crab 2420  wss 3071  cr 7631  -cneg 7946
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-setind 4452  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-addcom 7732  ax-addass 7734  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-cnre 7743
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-sub 7947  df-neg 7948
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator