ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  negm GIF version

Theorem negm 9199
Description: The image under negation of an inhabited set of reals is inhabited. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
negm ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 𝑥𝐴) → ∃𝑦 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴})
Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧

Proof of Theorem negm
StepHypRef Expression
1 ssel 3033 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥𝐴𝑥 ∈ ℝ))
2 renegcl 7840 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → -𝑥 ∈ ℝ)
3 negeq 7772 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = -𝑥 → -𝑧 = --𝑥)
43eleq1d 2163 . . . . . . . . 9 (𝑧 = -𝑥 → (-𝑧𝐴 ↔ --𝑥𝐴))
54elrab3 2786 . . . . . . . 8 (-𝑥 ∈ ℝ → (-𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} ↔ --𝑥𝐴))
62, 5syl 14 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → (-𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} ↔ --𝑥𝐴))
7 recn 7572 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
87negnegd 7881 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → --𝑥 = 𝑥)
98eleq1d 2163 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → (--𝑥𝐴𝑥𝐴))
106, 9bitrd 187 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → (-𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} ↔ 𝑥𝐴))
1110biimprd 157 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥𝐴 → -𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}))
121, 11syli 37 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥𝐴 → -𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}))
13 elex2 2649 . . . 4 (-𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} → ∃𝑦 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴})
1412, 13syl6 33 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥𝐴 → ∃𝑦 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}))
1514exlimdv 1754 . 2 (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑥 𝑥𝐴 → ∃𝑦 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}))
1615imp 123 1 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 𝑥𝐴) → ∃𝑦 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴})
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1296  wex 1433  wcel 1445  {crab 2374  wss 3013  cr 7446  -cneg 7751
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-setind 4381  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-addcom 7542  ax-addass 7544  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-cnre 7553
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-br 3868  df-opab 3922  df-id 4144  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-sub 7752  df-neg 7753
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator