ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn0addge2 GIF version

Theorem nn0addge2 9047
Description: A number is less than or equal to itself plus a nonnegative integer. (Contributed by NM, 10-Mar-2005.)
Assertion
Ref Expression
nn0addge2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ≤ (𝑁 + 𝐴))

Proof of Theorem nn0addge2
StepHypRef Expression
1 nn0re 9009 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
2 nn0ge0 9025 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
31, 2jca 304 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁))
4 addge02 8258 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑁𝐴 ≤ (𝑁 + 𝐴)))
54biimp3a 1324 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) → 𝐴 ≤ (𝑁 + 𝐴))
653expb 1183 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁)) → 𝐴 ≤ (𝑁 + 𝐴))
73, 6sylan2 284 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ≤ (𝑁 + 𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wcel 1481   class class class wbr 3936  (class class class)co 5781  cr 7642  0cc0 7643   + caddc 7646  cle 7824  0cn0 9000
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-addcom 7743  ax-addass 7745  ax-i2m1 7748  ax-0lt1 7749  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-ltadd 7759
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-br 3937  df-opab 3997  df-xp 4552  df-cnv 4554  df-iota 5095  df-fv 5138  df-ov 5784  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-inn 8744  df-n0 9001
This theorem is referenced by:  nn0addge2i  9049  nn0pzuz  9408  nn0opthlem2d  10498
  Copyright terms: Public domain W3C validator