Theorem nnle1eq1 8872

Description: A positive integer is less than or equal to one iff it is equal to one. (Contributed by NM, 3-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nnle1eq1	|- ( A e. NN -> ( A <_ 1 <-> A = 1 ) )

Proof of Theorem nnle1eq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1 8871	. . 3 |- ( A e. NN -> 1 <_ A )
2	1	biantrud 302	. 2 |- ( A e. NN -> ( A <_ 1 <-> ( A <_ 1 /\ 1 <_ A ) ) )
3		nnre 8855	. . 3 |- ( A e. NN -> A e. RR )
4		1re 7889	. . 3 |- 1 e. RR
5		letri3 7970	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( A = 1 <-> ( A <_ 1 /\ 1 <_ A ) ) )
6	3, 4, 5	sylancl 410	. 2 |- ( A e. NN -> ( A = 1 <-> ( A <_ 1 /\ 1 <_ A ) ) )
7	2, 6	bitr4d 190	1 |- ( A e. NN -> ( A <_ 1 <-> A = 1 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1342   e. wcel 2135   class class class wbr 3976   RRcr 7743   1c1 7745   <_ cle 7925   NNcn 8848

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508  ax-cnex 7835  ax-resscn 7836  ax-1re 7838  ax-addrcl 7841  ax-0lt1 7850  ax-0id 7852  ax-rnegex 7853  ax-pre-ltirr 7856  ax-pre-lttrn 7858  ax-pre-apti 7859  ax-pre-ltadd 7860

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-rab 2451  df-v 2723  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-int 3819  df-br 3977  df-opab 4038  df-xp 4604  df-cnv 4606  df-iota 5147  df-fv 5190  df-ov 5839  df-pnf 7926  df-mnf 7927  df-xr 7928  df-ltxr 7929  df-le 7930  df-inn 8849

This theorem is referenced by:  gcd1  11905  bezoutr1  11951  rpdvds  12010  isprm6  12056  qden1elz  12114  phimullem  12134