Theorem nnle1eq1 9095

Description: A positive integer is less than or equal to one iff it is equal to one. (Contributed by NM, 3-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nnle1eq1	|- ( A e. NN -> ( A <_ 1 <-> A = 1 ) )

Proof of Theorem nnle1eq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1 9094	. . 3 |- ( A e. NN -> 1 <_ A )
2	1	biantrud 304	. 2 |- ( A e. NN -> ( A <_ 1 <-> ( A <_ 1 /\ 1 <_ A ) ) )
3		nnre 9078	. . 3 |- ( A e. NN -> A e. RR )
4		1re 8106	. . 3 |- 1 e. RR
5		letri3 8188	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( A = 1 <-> ( A <_ 1 /\ 1 <_ A ) ) )
6	3, 4, 5	sylancl 413	. 2 |- ( A e. NN -> ( A = 1 <-> ( A <_ 1 /\ 1 <_ A ) ) )
7	2, 6	bitr4d 191	1 |- ( A e. NN -> ( A <_ 1 <-> A = 1 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2178   class class class wbr 4059   RRcr 7959   1c1 7961   <_ cle 8143   NNcn 9071

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1re 8054  ax-addrcl 8057  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2778  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-br 4060  df-opab 4122  df-xp 4699  df-cnv 4701  df-iota 5251  df-fv 5298  df-ov 5970  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-inn 9072

This theorem is referenced by:  gcd1  12423  bezoutr1  12469  rpdvds  12536  isprm6  12584  qden1elz  12642  phimullem  12662  pockthlem  12794  znidomb  14535  zabsle1  15591  2sqlem8a  15714  2sqlem8  15715