Theorem nnle1eq1 9328

Description: A positive integer is less than or equal to one iff it is equal to one. (Contributed by NM, 3-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nnle1eq1	|- ( A e. NN -> ( A <_ 1 <-> A = 1 ) )

Proof of Theorem nnle1eq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1 9327	. . 3 |- ( A e. NN -> 1 <_ A )
2	1	biantrud 304	. 2 |- ( A e. NN -> ( A <_ 1 <-> ( A <_ 1 /\ 1 <_ A ) ) )
3		nnre 9311	. . 3 |- ( A e. NN -> A e. RR )
4		1re 8325	. . 3 |- 1 e. RR
5		letri3 8406	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( A = 1 <-> ( A <_ 1 /\ 1 <_ A ) ) )
6	3, 4, 5	sylancl 417	. 2 |- ( A e. NN -> ( A = 1 <-> ( A <_ 1 /\ 1 <_ A ) ) )
7	2, 6	bitr4d 191	1 |- ( A e. NN -> ( A <_ 1 <-> A = 1 ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4130   RRcr 8178   1c1 8180   <_ cle 8361   NNcn 9304

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1re 8273  ax-addrcl 8276  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-xp 4780  df-cnv 4782  df-iota 5337  df-fv 5385  df-ov 6088  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-inn 9305

This theorem is used by:  gcd1  12764  bezoutr1  12810  rpdvds  12877  isprm6  12925  qden1elz  12983  phimullem  13003  pockthlem  13135  znidomb  14993  zabsle1  16118  2sqlem8a  16241  2sqlem8  16242