Theorem gcd1 11990

Description: The gcd of a number with 1 is 1. Theorem 1.4(d)1 in [ApostolNT] p. 16. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
gcd1	|- ( M e. ZZ -> ( M gcd 1 ) = 1 )

Proof of Theorem gcd1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 9281	. . . . 5 |- 1 e. ZZ
2		gcddvds 11966	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> ( ( M gcd 1 ) || M /\ ( M gcd 1 ) || 1 ) )
3	1, 2	mpan2 425	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( ( M gcd 1 ) || M /\ ( M gcd 1 ) || 1 ) )
4	3	simprd 114	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( M gcd 1 ) || 1 )
5		1ne0 8989	. . . . . . . 8 |- 1 =/= 0
6		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( M = 0 /\ 1 = 0 ) -> 1 = 0 )
7	6	necon3ai 2396	. . . . . . . 8 |- ( 1 =/= 0 -> -. ( M = 0 /\ 1 = 0 ) )
8	5, 7	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- -. ( M = 0 /\ 1 = 0 )
9		gcdn0cl 11965	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) /\ -. ( M = 0 /\ 1 = 0 ) ) -> ( M gcd 1 ) e. NN )
10	8, 9	mpan2 425	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> ( M gcd 1 ) e. NN )
11	1, 10	mpan2 425	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> ( M gcd 1 ) e. NN )
12	11	nnzd 9376	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( M gcd 1 ) e. ZZ )
13		1nn 8932	. . . 4 |- 1 e. NN
14		dvdsle 11852	. . . 4 |- ( ( ( M gcd 1 ) e. ZZ /\ 1 e. NN ) -> ( ( M gcd 1 ) || 1 -> ( M gcd 1 ) <_ 1 ) )
15	12, 13, 14	sylancl 413	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( ( M gcd 1 ) || 1 -> ( M gcd 1 ) <_ 1 ) )
16	4, 15	mpd 13	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( M gcd 1 ) <_ 1 )
17		nnle1eq1 8945	. . 3 |- ( ( M gcd 1 ) e. NN -> ( ( M gcd 1 ) <_ 1 <-> ( M gcd 1 ) = 1 ) )
18	11, 17	syl 14	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( ( M gcd 1 ) <_ 1 <-> ( M gcd 1 ) = 1 ) )
19	16, 18	mpbid 147	1 |- ( M e. ZZ -> ( M gcd 1 ) = 1 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   =/= wne 2347   class class class wbr 4005  (class class class)co 5877   0cc0 7813   1c1 7814   <_ cle 7995   NNcn 8921   ZZcz 9255   || cdvds 11796   gcd cgcd 11945

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-sup 6985  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-rp 9656  df-fz 10011  df-fzo 10145  df-fl 10272  df-mod 10325  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010  df-dvds 11797  df-gcd 11946

This theorem is referenced by:  1gcd  11995  lcm1  12083  dfphi2  12222  pockthlem  12356  lgs1  14484