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Theorem pockthlem 12874

Description: Lemma for pockthg 12875. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
pockthg.1
pockthg.2
pockthg.3
pockthg.4
pockthlem.5
pockthlem.6
pockthlem.7
pockthlem.8
pockthlem.9
pockthlem.10
pockthlem.11

**Assertion**
Ref	Expression
pockthlem

**Proof of Theorem pockthlem**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		pockthlem.7	. . . . . 6
2		prmnn 12627	. . . . . 6
3	1, 2	syl 14	. . . . 5
4		pockthlem.8	. . . . . 6
5	4	nnnn0d 9418	. . . . 5
6	3, 5	nnexpcld 10912	. . . 4
7	6	nnzd 9564	. . 3
8		pockthlem.5	. . . . . 6
9		prmnn 12627	. . . . . 6
10	8, 9	syl 14	. . . . 5
11		pockthlem.9	. . . . 5
12	10	nnzd 9564	. . . . . . . . . 10
13		gcddvds 12479	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
14	11, 12, 13	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 $/\$
15	14	simpld 112	. . . . . . . 8
16	11, 12	gcdcld 12484	. . . . . . . . . 10
17	16	nn0zd 9563	. . . . . . . . 9
18		pockthg.4	. . . . . . . . . . . . . 14
19		pockthg.1	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
20		pockthg.2	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
21	19, 20	nnmulcld 9155	. . . . . . . . . . . . . . . 16
22		nnuz 9754	. . . . . . . . . . . . . . . 16
23	21, 22	eleqtrdi 2322	. . . . . . . . . . . . . . 15
24		eluzp1p1 9744	. . . . . . . . . . . . . . 15
25	23, 24	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14
26	18, 25	eqeltrd 2306	. . . . . . . . . . . . 13
27		df-2 9165	. . . . . . . . . . . . . 14
28	27	fveq2i 5629	. . . . . . . . . . . . 13
29	26, 28	eleqtrrdi 2323	. . . . . . . . . . . 12
30		eluz2b2 9794	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
31	29, 30	sylib 122	. . . . . . . . . . 11 $/\$
32	31	simpld 112	. . . . . . . . . 10
33	32	nnzd 9564	. . . . . . . . 9
34	14	simprd 114	. . . . . . . . 9
35		pockthlem.6	. . . . . . . . 9
36	17, 12, 33, 34, 35	dvdstrd 12336	. . . . . . . 8
37	32	nnne0d 9151	. . . . . . . . . 10
38		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 $/\$
39	38	necon3ai 2449	. . . . . . . . . 10 $/\$
40	37, 39	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$
41		dvdslegcd 12480	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
42	17, 11, 33, 40, 41	syl31anc 1274	. . . . . . . 8 $/\$
43	15, 36, 42	mp2and 433	. . . . . . 7
44		pockthlem.10	. . . . . . . . . 10
45	44	oveq1d 6015	. . . . . . . . 9
46		1z 9468	. . . . . . . . . . . . . 14
47		eluzp1m1 9742	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
48	46, 26, 47	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . 13
49	48, 22	eleqtrrdi 2323	. . . . . . . . . . . 12
50	49	nnnn0d 9418	. . . . . . . . . . 11
51		zexpcl 10771	. . . . . . . . . . 11 $/\$
52	11, 50, 51	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10
53		modgcd 12507	. . . . . . . . . 10 $/\$
54	52, 32, 53	syl2anc 411	. . . . . . . . 9
55		gcdcom 12489	. . . . . . . . . . 11 $/\$
56	46, 33, 55	sylancr 414	. . . . . . . . . 10
57		gcd1 12503	. . . . . . . . . . 11
58	33, 57	syl 14	. . . . . . . . . 10
59	56, 58	eqtrd 2262	. . . . . . . . 9
60	45, 54, 59	3eqtr3d 2270	. . . . . . . 8
61		rpexp 12670	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
62	11, 33, 49, 61	syl3anc 1271	. . . . . . . 8
63	60, 62	mpbid 147	. . . . . . 7
64	43, 63	breqtrd 4108	. . . . . 6
65	10	nnne0d 9151	. . . . . . . . 9
66		simpr 110	. . . . . . . . . 10 $/\$
67	66	necon3ai 2449	. . . . . . . . 9 $/\$
68	65, 67	syl 14	. . . . . . . 8 $/\$
69		gcdn0cl 12478	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
70	11, 12, 68, 69	syl21anc 1270	. . . . . . 7
71		nnle1eq1 9130	. . . . . . 7
72	70, 71	syl 14	. . . . . 6
73	64, 72	mpbid 147	. . . . 5
74		odzcl 12761	. . . . 5 $/\$ $/\$
75	10, 11, 73, 74	syl3anc 1271	. . . 4
76	75	nnzd 9564	. . 3
77		prmuz2 12648	. . . . . . . 8
78	8, 77	syl 14	. . . . . . 7
79	78, 28	eleqtrdi 2322	. . . . . 6
80		eluzp1m1 9742	. . . . . 6 $/\$
81	46, 79, 80	sylancr 414	. . . . 5
82	81, 22	eleqtrrdi 2323	. . . 4
83	82	nnzd 9564	. . 3
84	19	nnzd 9564	. . . . . 6
85	49	nnzd 9564	. . . . . 6
86		pcdvds 12833	. . . . . . 7 $/\$
87	1, 19, 86	syl2anc 411	. . . . . 6
88	20	nnzd 9564	. . . . . . . 8
89		dvdsmul1 12319	. . . . . . . 8 $/\$
90	84, 88, 89	syl2anc 411	. . . . . . 7
91	18	oveq1d 6015	. . . . . . . 8
92	21	nncnd 9120	. . . . . . . . 9
93		ax-1cn 8088	. . . . . . . . 9
94		pncan 8348	. . . . . . . . 9 $/\$
95	92, 93, 94	sylancl 413	. . . . . . . 8
96	91, 95	eqtrd 2262	. . . . . . 7
97	90, 96	breqtrrd 4110	. . . . . 6
98	7, 84, 85, 87, 97	dvdstrd 12336	. . . . 5
99	6	nnne0d 9151	. . . . . 6
100		dvdsval2 12296	. . . . . 6 $/\$ $/\$
101	7, 99, 85, 100	syl3anc 1271	. . . . 5
102	98, 101	mpbid 147	. . . 4
103		peano2zm 9480	. . . . . . . 8
104	52, 103	syl 14	. . . . . . 7
105		nnq 9824	. . . . . . . . . . 11
106	32, 105	syl 14	. . . . . . . . . 10
107	31	simprd 114	. . . . . . . . . 10
108		q1mod 10573	. . . . . . . . . 10 $/\$
109	106, 107, 108	syl2anc 411	. . . . . . . . 9
110	44, 109	eqtr4d 2265	. . . . . . . 8
111		1zzd 9469	. . . . . . . . 9
112		moddvds 12305	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
113	32, 52, 111, 112	syl3anc 1271	. . . . . . . 8
114	110, 113	mpbid 147	. . . . . . 7
115	12, 33, 104, 35, 114	dvdstrd 12336	. . . . . 6
116		odzdvds 12763	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
117	10, 11, 73, 50, 116	syl31anc 1274	. . . . . 6
118	115, 117	mpbid 147	. . . . 5
119	49	nncnd 9120	. . . . . 6
120	6	nncnd 9120	. . . . . 6
121	6	nnap0d 9152	. . . . . 6 #
122	119, 120, 121	divcanap1d 8934	. . . . 5
123	118, 122	breqtrrd 4110	. . . 4
124		nprmdvds1 12657	. . . . . 6
125	8, 124	syl 14	. . . . 5
126	3	nnzd 9564	. . . . . . . . . . . . 13
127		iddvdsexp 12321	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
128	126, 4, 127	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13
129	126, 7, 85, 128, 98	dvdstrd 12336	. . . . . . . . . . . 12
130	3	nnne0d 9151	. . . . . . . . . . . . 13
131		dvdsval2 12296	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
132	126, 130, 85, 131	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . . 12
133	129, 132	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11
134	50	nn0ge0d 9421	. . . . . . . . . . . 12
135	49	nnred 9119	. . . . . . . . . . . . 13
136	3	nnred 9119	. . . . . . . . . . . . 13
137	3	nngt0d 9150	. . . . . . . . . . . . 13
138		ge0div 9014	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
139	135, 136, 137, 138	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . . 12
140	134, 139	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11
141		elnn0z 9455	. . . . . . . . . . 11 $/\$
142	133, 140, 141	sylanbrc 417	. . . . . . . . . 10
143		zexpcl 10771	. . . . . . . . . 10 $/\$
144	11, 142, 143	syl2anc 411	. . . . . . . . 9
145		peano2zm 9480	. . . . . . . . 9
146	144, 145	syl 14	. . . . . . . 8
147		dvdsgcd 12528	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
148	12, 146, 33, 147	syl3anc 1271	. . . . . . 7 $/\$
149	35, 148	mpan2d 428	. . . . . 6
150		odzdvds 12763	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
151	10, 11, 73, 142, 150	syl31anc 1274	. . . . . . 7
152	3	nncnd 9120	. . . . . . . . . . 11
153	3	nnap0d 9152	. . . . . . . . . . 11 #
154	4	nnzd 9564	. . . . . . . . . . 11
155	152, 153, 154	expm1apd 10900	. . . . . . . . . 10
156	155	oveq2d 6016	. . . . . . . . 9
157	135, 6	nndivred 9156	. . . . . . . . . . 11
158	157	recnd 8171	. . . . . . . . . 10
159	158, 120, 152, 153	divassapd 8969	. . . . . . . . 9
160	122	oveq1d 6015	. . . . . . . . 9
161	156, 159, 160	3eqtr2d 2268	. . . . . . . 8
162	161	breq2d 4094	. . . . . . 7
163	151, 162	bitr4d 191	. . . . . 6
164		pockthlem.11	. . . . . . 7
165	164	breq2d 4094	. . . . . 6
166	149, 163, 165	3imtr3d 202	. . . . 5
167	125, 166	mtod 667	. . . 4
168		prmpwdvds 12873	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
169	102, 76, 1, 4, 123, 167, 168	syl222anc 1287	. . 3
170		odzphi 12764	. . . . 5 $/\$ $/\$
171	10, 11, 73, 170	syl3anc 1271	. . . 4
172		phiprm 12740	. . . . 5
173	8, 172	syl 14	. . . 4
174	171, 173	breqtrd 4108	. . 3
175	7, 76, 83, 169, 174	dvdstrd 12336	. 2
176		pcdvdsb 12838	. . 3 $/\$ $/\$
177	1, 83, 5, 176	syl3anc 1271	. 2
178	175, 177	mpbird 167	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105

wceq 1395

wcel 2200

wne 2400 class class class wbr 4082

cfv 5317 (class class class)co 6000

cc 7993

cr 7994

cc0 7995

c1 7996

caddc 7998

cmul 8000

clt 8177

cle 8178

cmin 8313

cdiv 8815

cn 9106

c2 9157

cn0 9365

cz 9442

cuz 9718

cq 9810

cmo 10539

cexp 10755

cdvds 12293

cgcd 12469

cprime 12624

codz 12725

cphi 12726

cpc 12802

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 617 ax-in2 618 ax-io 714 ax-5 1493 ax-7 1494 ax-gen 1495 ax-ie1 1539 ax-ie2 1540 ax-8 1550 ax-10 1551 ax-11 1552 ax-i12 1553 ax-bndl 1555 ax-4 1556 ax-17 1572 ax-i9 1576 ax-ial 1580 ax-i5r 1581 ax-13 2202 ax-14 2203 ax-ext 2211 ax-coll 4198 ax-sep 4201 ax-nul 4209 ax-pow 4257 ax-pr 4292 ax-un 4523 ax-setind 4628 ax-iinf 4679 ax-cnex 8086 ax-resscn 8087 ax-1cn 8088 ax-1re 8089 ax-icn 8090 ax-addcl 8091 ax-addrcl 8092 ax-mulcl 8093 ax-mulrcl 8094 ax-addcom 8095 ax-mulcom 8096 ax-addass 8097 ax-mulass 8098 ax-distr 8099 ax-i2m1 8100 ax-0lt1 8101 ax-1rid 8102 ax-0id 8103 ax-rnegex 8104 ax-precex 8105 ax-cnre 8106 ax-pre-ltirr 8107 ax-pre-ltwlin 8108 ax-pre-lttrn 8109 ax-pre-apti 8110 ax-pre-ltadd 8111 ax-pre-mulgt0 8112 ax-pre-mulext 8113 ax-arch 8114 ax-caucvg 8115

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 836 df-dc 840 df-3or 1003 df-3an 1004 df-tru 1398 df-fal 1401 df-nf 1507 df-sb 1809 df-eu 2080 df-mo 2081 df-clab 2216 df-cleq 2222 df-clel 2225 df-nfc 2361 df-ne 2401 df-nel 2496 df-ral 2513 df-rex 2514 df-reu 2515 df-rmo 2516 df-rab 2517 df-v 2801 df-sbc 3029 df-csb 3125 df-dif 3199 df-un 3201 df-in 3203 df-ss 3210 df-nul 3492 df-if 3603 df-pw 3651 df-sn 3672 df-pr 3673 df-op 3675 df-uni 3888 df-int 3923 df-iun 3966 df-br 4083 df-opab 4145 df-mpt 4146 df-tr 4182 df-id 4383 df-po 4386 df-iso 4387 df-iord 4456 df-on 4458 df-ilim 4459 df-suc 4461 df-iom 4682 df-xp 4724 df-rel 4725 df-cnv 4726 df-co 4727 df-dm 4728 df-rn 4729 df-res 4730 df-ima 4731 df-iota 5277 df-fun 5319 df-fn 5320 df-f 5321 df-f1 5322 df-fo 5323 df-f1o 5324 df-fv 5325 df-isom 5326 df-riota 5953 df-ov 6003 df-oprab 6004 df-mpo 6005 df-1st 6284 df-2nd 6285 df-recs 6449 df-irdg 6514 df-frec 6535 df-1o 6560 df-2o 6561 df-oadd 6564 df-er 6678 df-en 6886 df-dom 6887 df-fin 6888 df-sup 7147 df-inf 7148 df-pnf 8179 df-mnf 8180 df-xr 8181 df-ltxr 8182 df-le 8183 df-sub 8315 df-neg 8316 df-reap 8718 df-ap 8725 df-div 8816 df-inn 9107 df-2 9165 df-3 9166 df-4 9167 df-n0 9366 df-z 9443 df-uz 9719 df-q 9811 df-rp 9846 df-fz 10201 df-fzo 10335 df-fl 10485 df-mod 10540 df-seqfrec 10665 df-exp 10756 df-ihash 10993 df-cj 11348 df-re 11349 df-im 11350 df-rsqrt 11504 df-abs 11505 df-clim 11785 df-proddc 12057 df-dvds 12294 df-gcd 12470 df-prm 12625 df-odz 12727 df-phi 12728 df-pc 12803

This theorem is referenced by: pockthg 12875

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