Theorem pockthlem 12794

Description: Lemma for pockthg 12795. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pockthg.1	|- ( ph -> A e. NN )
pockthg.2	|- ( ph -> B e. NN )
pockthg.3	|- ( ph -> B < A )
pockthg.4	|- ( ph -> N = ( ( A x. B ) + 1 ) )
pockthlem.5	|- ( ph -> P e. Prime )
pockthlem.6	|- ( ph -> P || N )
pockthlem.7	|- ( ph -> Q e. Prime )
pockthlem.8	|- ( ph -> ( Q pCnt A ) e. NN )
pockthlem.9	|- ( ph -> C e. ZZ )
pockthlem.10	|- ( ph -> ( ( C ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 )
pockthlem.11	|- ( ph -> ( ( ( C ^ ( ( N - 1 ) / Q ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 )

Assertion

Ref	Expression
pockthlem	|- ( ph -> ( Q pCnt A ) <_ ( Q pCnt ( P - 1 ) ) )

Proof of Theorem pockthlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pockthlem.7	. . . . . 6 |- ( ph -> Q e. Prime )
2		prmnn 12547	. . . . . 6 |- ( Q e. Prime -> Q e. NN )
3	1, 2	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> Q e. NN )
4		pockthlem.8	. . . . . 6 |- ( ph -> ( Q pCnt A ) e. NN )
5	4	nnnn0d 9383	. . . . 5 |- ( ph -> ( Q pCnt A ) e. NN0 )
6	3, 5	nnexpcld 10877	. . . 4 |- ( ph -> ( Q ^ ( Q pCnt A ) ) e. NN )
7	6	nnzd 9529	. . 3 |- ( ph -> ( Q ^ ( Q pCnt A ) ) e. ZZ )
8		pockthlem.5	. . . . . 6 |- ( ph -> P e. Prime )
9		prmnn 12547	. . . . . 6 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
10	8, 9	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> P e. NN )
11		pockthlem.9	. . . . 5 |- ( ph -> C e. ZZ )
12	10	nnzd 9529	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> P e. ZZ )
13		gcddvds 12399	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( ( C gcd P ) || C /\ ( C gcd P ) || P ) )
14	11, 12, 13	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( C gcd P ) || C /\ ( C gcd P ) || P ) )
15	14	simpld 112	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( C gcd P ) || C )
16	11, 12	gcdcld 12404	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( C gcd P ) e. NN0 )
17	16	nn0zd 9528	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( C gcd P ) e. ZZ )
18		pockthg.4	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> N = ( ( A x. B ) + 1 ) )
19		pockthg.1	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> A e. NN )
20		pockthg.2	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> B e. NN )
21	19, 20	nnmulcld 9120	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( A x. B ) e. NN )
22		nnuz 9719	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
23	21, 22	eleqtrdi 2300	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( A x. B ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
24		eluzp1p1 9709	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A x. B ) e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ( A x. B ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) )
25	23, 24	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( A x. B ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) )
26	18, 25	eqeltrd 2284	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) )
27		df-2 9130	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 = ( 1 + 1 )
28	27	fveq2i 5602	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ZZ>= ` 2 ) = ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) )
29	26, 28	eleqtrrdi 2301	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 2 ) )
30		eluz2b2 9759	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( N e. NN /\ 1 < N ) )
31	29, 30	sylib 122	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( N e. NN /\ 1 < N ) )
32	31	simpld 112	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. NN )
33	32	nnzd 9529	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. ZZ )
34	14	simprd 114	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( C gcd P ) || P )
35		pockthlem.6	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> P || N )
36	17, 12, 33, 34, 35	dvdstrd 12256	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( C gcd P ) || N )
37	32	nnne0d 9116	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N =/= 0 )
38		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C = 0 /\ N = 0 ) -> N = 0 )
39	38	necon3ai 2427	. . . . . . . . . 10 |- ( N =/= 0 -> -. ( C = 0 /\ N = 0 ) )
40	37, 39	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> -. ( C = 0 /\ N = 0 ) )
41		dvdslegcd 12400	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( C gcd P ) e. ZZ /\ C e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. ( C = 0 /\ N = 0 ) ) -> ( ( ( C gcd P ) || C /\ ( C gcd P ) || N ) -> ( C gcd P ) <_ ( C gcd N ) ) )
42	17, 11, 33, 40, 41	syl31anc 1253	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( C gcd P ) || C /\ ( C gcd P ) || N ) -> ( C gcd P ) <_ ( C gcd N ) ) )
43	15, 36, 42	mp2and 433	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( C gcd P ) <_ ( C gcd N ) )
44		pockthlem.10	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( C ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 )
45	44	oveq1d 5982	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( C ^ ( N - 1 ) ) mod N ) gcd N ) = ( 1 gcd N ) )
46		1z 9433	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. ZZ
47		eluzp1m1 9707	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 e. ZZ /\ N e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
48	46, 26, 47	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
49	48, 22	eleqtrrdi 2301	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( N - 1 ) e. NN )
50	49	nnnn0d 9383	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( N - 1 ) e. NN0 )
51		zexpcl 10736	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. ZZ /\ ( N - 1 ) e. NN0 ) -> ( C ^ ( N - 1 ) ) e. ZZ )
52	11, 50, 51	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( C ^ ( N - 1 ) ) e. ZZ )
53		modgcd 12427	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( C ^ ( N - 1 ) ) e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( ( C ^ ( N - 1 ) ) mod N ) gcd N ) = ( ( C ^ ( N - 1 ) ) gcd N ) )
54	52, 32, 53	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( C ^ ( N - 1 ) ) mod N ) gcd N ) = ( ( C ^ ( N - 1 ) ) gcd N ) )
55		gcdcom 12409	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 1 gcd N ) = ( N gcd 1 ) )
56	46, 33, 55	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 gcd N ) = ( N gcd 1 ) )
57		gcd1 12423	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ZZ -> ( N gcd 1 ) = 1 )
58	33, 57	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( N gcd 1 ) = 1 )
59	56, 58	eqtrd 2240	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 gcd N ) = 1 )
60	45, 54, 59	3eqtr3d 2248	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( C ^ ( N - 1 ) ) gcd N ) = 1 )
61		rpexp 12590	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( N - 1 ) e. NN ) -> ( ( ( C ^ ( N - 1 ) ) gcd N ) = 1 <-> ( C gcd N ) = 1 ) )
62	11, 33, 49, 61	syl3anc 1250	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( C ^ ( N - 1 ) ) gcd N ) = 1 <-> ( C gcd N ) = 1 ) )
63	60, 62	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( C gcd N ) = 1 )
64	43, 63	breqtrd 4085	. . . . . 6 |- ( ph -> ( C gcd P ) <_ 1 )
65	10	nnne0d 9116	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> P =/= 0 )
66		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C = 0 /\ P = 0 ) -> P = 0 )
67	66	necon3ai 2427	. . . . . . . . 9 |- ( P =/= 0 -> -. ( C = 0 /\ P = 0 ) )
68	65, 67	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> -. ( C = 0 /\ P = 0 ) )
69		gcdn0cl 12398	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. ZZ /\ P e. ZZ ) /\ -. ( C = 0 /\ P = 0 ) ) -> ( C gcd P ) e. NN )
70	11, 12, 68, 69	syl21anc 1249	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( C gcd P ) e. NN )
71		nnle1eq1 9095	. . . . . . 7 |- ( ( C gcd P ) e. NN -> ( ( C gcd P ) <_ 1 <-> ( C gcd P ) = 1 ) )
72	70, 71	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( C gcd P ) <_ 1 <-> ( C gcd P ) = 1 ) )
73	64, 72	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ph -> ( C gcd P ) = 1 )
74		odzcl 12681	. . . . 5 |- ( ( P e. NN /\ C e. ZZ /\ ( C gcd P ) = 1 ) -> ( ( odZ ` P ) ` C ) e. NN )
75	10, 11, 73, 74	syl3anc 1250	. . . 4 |- ( ph -> ( ( odZ ` P ) ` C ) e. NN )
76	75	nnzd 9529	. . 3 |- ( ph -> ( ( odZ ` P ) ` C ) e. ZZ )
77		prmuz2 12568	. . . . . . . 8 |- ( P e. Prime -> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
78	8, 77	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
79	78, 28	eleqtrdi 2300	. . . . . 6 |- ( ph -> P e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) )
80		eluzp1m1 9707	. . . . . 6 |- ( ( 1 e. ZZ /\ P e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> ( P - 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
81	46, 79, 80	sylancr 414	. . . . 5 |- ( ph -> ( P - 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
82	81, 22	eleqtrrdi 2301	. . . 4 |- ( ph -> ( P - 1 ) e. NN )
83	82	nnzd 9529	. . 3 |- ( ph -> ( P - 1 ) e. ZZ )
84	19	nnzd 9529	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. ZZ )
85	49	nnzd 9529	. . . . . 6 |- ( ph -> ( N - 1 ) e. ZZ )
86		pcdvds 12753	. . . . . . 7 |- ( ( Q e. Prime /\ A e. NN ) -> ( Q ^ ( Q pCnt A ) ) || A )
87	1, 19, 86	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ph -> ( Q ^ ( Q pCnt A ) ) || A )
88	20	nnzd 9529	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. ZZ )
89		dvdsmul1 12239	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> A || ( A x. B ) )
90	84, 88, 89	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ph -> A || ( A x. B ) )
91	18	oveq1d 5982	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( N - 1 ) = ( ( ( A x. B ) + 1 ) - 1 ) )
92	21	nncnd 9085	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A x. B ) e. CC )
93		ax-1cn 8053	. . . . . . . . 9 |- 1 e. CC
94		pncan 8313	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A x. B ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( A x. B ) + 1 ) - 1 ) = ( A x. B ) )
95	92, 93, 94	sylancl 413	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( A x. B ) + 1 ) - 1 ) = ( A x. B ) )
96	91, 95	eqtrd 2240	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( N - 1 ) = ( A x. B ) )
97	90, 96	breqtrrd 4087	. . . . . 6 |- ( ph -> A || ( N - 1 ) )
98	7, 84, 85, 87, 97	dvdstrd 12256	. . . . 5 |- ( ph -> ( Q ^ ( Q pCnt A ) ) || ( N - 1 ) )
99	6	nnne0d 9116	. . . . . 6 |- ( ph -> ( Q ^ ( Q pCnt A ) ) =/= 0 )
100		dvdsval2 12216	. . . . . 6 |- ( ( ( Q ^ ( Q pCnt A ) ) e. ZZ /\ ( Q ^ ( Q pCnt A ) ) =/= 0 /\ ( N - 1 ) e. ZZ ) -> ( ( Q ^ ( Q pCnt A ) ) || ( N - 1 ) <-> ( ( N - 1 ) / ( Q ^ ( Q pCnt A ) ) ) e. ZZ ) )
101	7, 99, 85, 100	syl3anc 1250	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( Q ^ ( Q pCnt A ) ) || ( N - 1 ) <-> ( ( N - 1 ) / ( Q ^ ( Q pCnt A ) ) ) e. ZZ ) )
102	98, 101	mpbid 147	. . . 4 |- ( ph -> ( ( N - 1 ) / ( Q ^ ( Q pCnt A ) ) ) e. ZZ )
103		peano2zm 9445	. . . . . . . 8 |- ( ( C ^ ( N - 1 ) ) e. ZZ -> ( ( C ^ ( N - 1 ) ) - 1 ) e. ZZ )
104	52, 103	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( C ^ ( N - 1 ) ) - 1 ) e. ZZ )
105		nnq 9789	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> N e. QQ )
106	32, 105	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. QQ )
107	31	simprd 114	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 1 < N )
108		q1mod 10538	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. QQ /\ 1 < N ) -> ( 1 mod N ) = 1 )
109	106, 107, 108	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 mod N ) = 1 )
110	44, 109	eqtr4d 2243	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( C ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = ( 1 mod N ) )
111		1zzd 9434	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
112		moddvds 12225	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ ( C ^ ( N - 1 ) ) e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> ( ( ( C ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = ( 1 mod N ) <-> N || ( ( C ^ ( N - 1 ) ) - 1 ) ) )
113	32, 52, 111, 112	syl3anc 1250	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( C ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = ( 1 mod N ) <-> N || ( ( C ^ ( N - 1 ) ) - 1 ) ) )
114	110, 113	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ph -> N || ( ( C ^ ( N - 1 ) ) - 1 ) )
115	12, 33, 104, 35, 114	dvdstrd 12256	. . . . . 6 |- ( ph -> P || ( ( C ^ ( N - 1 ) ) - 1 ) )
116		odzdvds 12683	. . . . . . 7 |- ( ( ( P e. NN /\ C e. ZZ /\ ( C gcd P ) = 1 ) /\ ( N - 1 ) e. NN0 ) -> ( P || ( ( C ^ ( N - 1 ) ) - 1 ) <-> ( ( odZ ` P ) ` C ) || ( N - 1 ) ) )
117	10, 11, 73, 50, 116	syl31anc 1253	. . . . . 6 |- ( ph -> ( P || ( ( C ^ ( N - 1 ) ) - 1 ) <-> ( ( odZ ` P ) ` C ) || ( N - 1 ) ) )
118	115, 117	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( odZ ` P ) ` C ) || ( N - 1 ) )
119	49	nncnd 9085	. . . . . 6 |- ( ph -> ( N - 1 ) e. CC )
120	6	nncnd 9085	. . . . . 6 |- ( ph -> ( Q ^ ( Q pCnt A ) ) e. CC )
121	6	nnap0d 9117	. . . . . 6 |- ( ph -> ( Q ^ ( Q pCnt A ) ) # 0 )
122	119, 120, 121	divcanap1d 8899	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( N - 1 ) / ( Q ^ ( Q pCnt A ) ) ) x. ( Q ^ ( Q pCnt A ) ) ) = ( N - 1 ) )
123	118, 122	breqtrrd 4087	. . . 4 |- ( ph -> ( ( odZ ` P ) ` C ) || ( ( ( N - 1 ) / ( Q ^ ( Q pCnt A ) ) ) x. ( Q ^ ( Q pCnt A ) ) ) )
124		nprmdvds1 12577	. . . . . 6 |- ( P e. Prime -> -. P || 1 )
125	8, 124	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> -. P || 1 )
126	3	nnzd 9529	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> Q e. ZZ )
127		iddvdsexp 12241	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Q e. ZZ /\ ( Q pCnt A ) e. NN ) -> Q || ( Q ^ ( Q pCnt A ) ) )
128	126, 4, 127	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> Q || ( Q ^ ( Q pCnt A ) ) )
129	126, 7, 85, 128, 98	dvdstrd 12256	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> Q || ( N - 1 ) )
130	3	nnne0d 9116	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> Q =/= 0 )
131		dvdsval2 12216	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Q e. ZZ /\ Q =/= 0 /\ ( N - 1 ) e. ZZ ) -> ( Q || ( N - 1 ) <-> ( ( N - 1 ) / Q ) e. ZZ ) )
132	126, 130, 85, 131	syl3anc 1250	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( Q || ( N - 1 ) <-> ( ( N - 1 ) / Q ) e. ZZ ) )
133	129, 132	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( N - 1 ) / Q ) e. ZZ )
134	50	nn0ge0d 9386	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 <_ ( N - 1 ) )
135	49	nnred 9084	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( N - 1 ) e. RR )
136	3	nnred 9084	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> Q e. RR )
137	3	nngt0d 9115	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 0 < Q )
138		ge0div 8979	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N - 1 ) e. RR /\ Q e. RR /\ 0 < Q ) -> ( 0 <_ ( N - 1 ) <-> 0 <_ ( ( N - 1 ) / Q ) ) )
139	135, 136, 137, 138	syl3anc 1250	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 0 <_ ( N - 1 ) <-> 0 <_ ( ( N - 1 ) / Q ) ) )
140	134, 139	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 <_ ( ( N - 1 ) / Q ) )
141		elnn0z 9420	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N - 1 ) / Q ) e. NN0 <-> ( ( ( N - 1 ) / Q ) e. ZZ /\ 0 <_ ( ( N - 1 ) / Q ) ) )
142	133, 140, 141	sylanbrc 417	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( N - 1 ) / Q ) e. NN0 )
143		zexpcl 10736	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. ZZ /\ ( ( N - 1 ) / Q ) e. NN0 ) -> ( C ^ ( ( N - 1 ) / Q ) ) e. ZZ )
144	11, 142, 143	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( C ^ ( ( N - 1 ) / Q ) ) e. ZZ )
145		peano2zm 9445	. . . . . . . . 9 |- ( ( C ^ ( ( N - 1 ) / Q ) ) e. ZZ -> ( ( C ^ ( ( N - 1 ) / Q ) ) - 1 ) e. ZZ )
146	144, 145	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( C ^ ( ( N - 1 ) / Q ) ) - 1 ) e. ZZ )
147		dvdsgcd 12448	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. ZZ /\ ( ( C ^ ( ( N - 1 ) / Q ) ) - 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( P || ( ( C ^ ( ( N - 1 ) / Q ) ) - 1 ) /\ P || N ) -> P || ( ( ( C ^ ( ( N - 1 ) / Q ) ) - 1 ) gcd N ) ) )
148	12, 146, 33, 147	syl3anc 1250	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( P || ( ( C ^ ( ( N - 1 ) / Q ) ) - 1 ) /\ P || N ) -> P || ( ( ( C ^ ( ( N - 1 ) / Q ) ) - 1 ) gcd N ) ) )
149	35, 148	mpan2d 428	. . . . . 6 |- ( ph -> ( P || ( ( C ^ ( ( N - 1 ) / Q ) ) - 1 ) -> P || ( ( ( C ^ ( ( N - 1 ) / Q ) ) - 1 ) gcd N ) ) )
150		odzdvds 12683	. . . . . . . 8 |- ( ( ( P e. NN /\ C e. ZZ /\ ( C gcd P ) = 1 ) /\ ( ( N - 1 ) / Q ) e. NN0 ) -> ( P || ( ( C ^ ( ( N - 1 ) / Q ) ) - 1 ) <-> ( ( odZ ` P ) ` C ) || ( ( N - 1 ) / Q ) ) )
151	10, 11, 73, 142, 150	syl31anc 1253	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( P || ( ( C ^ ( ( N - 1 ) / Q ) ) - 1 ) <-> ( ( odZ ` P ) ` C ) || ( ( N - 1 ) / Q ) ) )
152	3	nncnd 9085	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Q e. CC )
153	3	nnap0d 9117	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Q # 0 )
154	4	nnzd 9529	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( Q pCnt A ) e. ZZ )
155	152, 153, 154	expm1apd 10865	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Q ^ ( ( Q pCnt A ) - 1 ) ) = ( ( Q ^ ( Q pCnt A ) ) / Q ) )
156	155	oveq2d 5983	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( N - 1 ) / ( Q ^ ( Q pCnt A ) ) ) x. ( Q ^ ( ( Q pCnt A ) - 1 ) ) ) = ( ( ( N - 1 ) / ( Q ^ ( Q pCnt A ) ) ) x. ( ( Q ^ ( Q pCnt A ) ) / Q ) ) )
157	135, 6	nndivred 9121	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( N - 1 ) / ( Q ^ ( Q pCnt A ) ) ) e. RR )
158	157	recnd 8136	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( N - 1 ) / ( Q ^ ( Q pCnt A ) ) ) e. CC )
159	158, 120, 152, 153	divassapd 8934	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( ( N - 1 ) / ( Q ^ ( Q pCnt A ) ) ) x. ( Q ^ ( Q pCnt A ) ) ) / Q ) = ( ( ( N - 1 ) / ( Q ^ ( Q pCnt A ) ) ) x. ( ( Q ^ ( Q pCnt A ) ) / Q ) ) )
160	122	oveq1d 5982	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( ( N - 1 ) / ( Q ^ ( Q pCnt A ) ) ) x. ( Q ^ ( Q pCnt A ) ) ) / Q ) = ( ( N - 1 ) / Q ) )
161	156, 159, 160	3eqtr2d 2246	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( N - 1 ) / ( Q ^ ( Q pCnt A ) ) ) x. ( Q ^ ( ( Q pCnt A ) - 1 ) ) ) = ( ( N - 1 ) / Q ) )
162	161	breq2d 4071	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( odZ ` P ) ` C ) || ( ( ( N - 1 ) / ( Q ^ ( Q pCnt A ) ) ) x. ( Q ^ ( ( Q pCnt A ) - 1 ) ) ) <-> ( ( odZ ` P ) ` C ) || ( ( N - 1 ) / Q ) ) )
163	151, 162	bitr4d 191	. . . . . 6 |- ( ph -> ( P || ( ( C ^ ( ( N - 1 ) / Q ) ) - 1 ) <-> ( ( odZ ` P ) ` C ) || ( ( ( N - 1 ) / ( Q ^ ( Q pCnt A ) ) ) x. ( Q ^ ( ( Q pCnt A ) - 1 ) ) ) ) )
164		pockthlem.11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( C ^ ( ( N - 1 ) / Q ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 )
165	164	breq2d 4071	. . . . . 6 |- ( ph -> ( P || ( ( ( C ^ ( ( N - 1 ) / Q ) ) - 1 ) gcd N ) <-> P || 1 ) )
166	149, 163, 165	3imtr3d 202	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( odZ ` P ) ` C ) || ( ( ( N - 1 ) / ( Q ^ ( Q pCnt A ) ) ) x. ( Q ^ ( ( Q pCnt A ) - 1 ) ) ) -> P || 1 ) )
167	125, 166	mtod 665	. . . 4 |- ( ph -> -. ( ( odZ ` P ) ` C ) || ( ( ( N - 1 ) / ( Q ^ ( Q pCnt A ) ) ) x. ( Q ^ ( ( Q pCnt A ) - 1 ) ) ) )
168		prmpwdvds 12793	. . . 4 |- ( ( ( ( ( N - 1 ) / ( Q ^ ( Q pCnt A ) ) ) e. ZZ /\ ( ( odZ ` P ) ` C ) e. ZZ ) /\ ( Q e. Prime /\ ( Q pCnt A ) e. NN ) /\ ( ( ( odZ ` P ) ` C ) || ( ( ( N - 1 ) / ( Q ^ ( Q pCnt A ) ) ) x. ( Q ^ ( Q pCnt A ) ) ) /\ -. ( ( odZ ` P ) ` C ) || ( ( ( N - 1 ) / ( Q ^ ( Q pCnt A ) ) ) x. ( Q ^ ( ( Q pCnt A ) - 1 ) ) ) ) ) -> ( Q ^ ( Q pCnt A ) ) || ( ( odZ ` P ) ` C ) )
169	102, 76, 1, 4, 123, 167, 168	syl222anc 1266	. . 3 |- ( ph -> ( Q ^ ( Q pCnt A ) ) || ( ( odZ ` P ) ` C ) )
170		odzphi 12684	. . . . 5 |- ( ( P e. NN /\ C e. ZZ /\ ( C gcd P ) = 1 ) -> ( ( odZ ` P ) ` C ) || ( phi ` P ) )
171	10, 11, 73, 170	syl3anc 1250	. . . 4 |- ( ph -> ( ( odZ ` P ) ` C ) || ( phi ` P ) )
172		phiprm 12660	. . . . 5 |- ( P e. Prime -> ( phi ` P ) = ( P - 1 ) )
173	8, 172	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( phi ` P ) = ( P - 1 ) )
174	171, 173	breqtrd 4085	. . 3 |- ( ph -> ( ( odZ ` P ) ` C ) || ( P - 1 ) )
175	7, 76, 83, 169, 174	dvdstrd 12256	. 2 |- ( ph -> ( Q ^ ( Q pCnt A ) ) || ( P - 1 ) )
176		pcdvdsb 12758	. . 3 |- ( ( Q e. Prime /\ ( P - 1 ) e. ZZ /\ ( Q pCnt A ) e. NN0 ) -> ( ( Q pCnt A ) <_ ( Q pCnt ( P - 1 ) ) <-> ( Q ^ ( Q pCnt A ) ) || ( P - 1 ) ) )
177	1, 83, 5, 176	syl3anc 1250	. 2 |- ( ph -> ( ( Q pCnt A ) <_ ( Q pCnt ( P - 1 ) ) <-> ( Q ^ ( Q pCnt A ) ) || ( P - 1 ) ) )
178	175, 177	mpbird 167	1 |- ( ph -> ( Q pCnt A ) <_ ( Q pCnt ( P - 1 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2178   =/= wne 2378   class class class wbr 4059   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   CCcc 7958   RRcr 7959   0cc0 7960   1c1 7961   + caddc 7963   x. cmul 7965   < clt 8142   <_ cle 8143   - cmin 8278   / cdiv 8780   NNcn 9071   2c2 9122   NN0cn0 9330   ZZcz 9407   ZZ>=cuz 9683   QQcq 9775   mod cmo 10504   ^cexp 10720   || cdvds 12213   gcd cgcd 12389   Primecprime 12544   odZcodz 12645   phicphi 12646   pCnt cpc 12722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-mulrcl 8059  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-precex 8070  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076  ax-pre-mulgt0 8077  ax-pre-mulext 8078  ax-arch 8079  ax-caucvg 8080

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 833  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-iord 4431  df-on 4433  df-ilim 4434  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-isom 5299  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-irdg 6479  df-frec 6500  df-1o 6525  df-2o 6526  df-oadd 6529  df-er 6643  df-en 6851  df-dom 6852  df-fin 6853  df-sup 7112  df-inf 7113  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-reap 8683  df-ap 8690  df-div 8781  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-4 9132  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-q 9776  df-rp 9811  df-fz 10166  df-fzo 10300  df-fl 10450  df-mod 10505  df-seqfrec 10630  df-exp 10721  df-ihash 10958  df-cj 11268  df-re 11269  df-im 11270  df-rsqrt 11424  df-abs 11425  df-clim 11705  df-proddc 11977  df-dvds 12214  df-gcd 12390  df-prm 12545  df-odz 12647  df-phi 12648  df-pc 12723

This theorem is referenced by:  pockthg  12795