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Theorem pockthlem 13054

Description: Lemma for pockthg 13055. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
pockthg.1
pockthg.2
pockthg.3
pockthg.4
pockthlem.5
pockthlem.6
pockthlem.7
pockthlem.8
pockthlem.9
pockthlem.10
pockthlem.11

**Assertion**
Ref	Expression
pockthlem

**Proof of Theorem pockthlem**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		pockthlem.7	. . . . . 6
2		prmnn 12807	. . . . . 6
3	1, 2	syl 14	. . . . 5
4		pockthlem.8	. . . . . 6
5	4	nnnn0d 9553	. . . . 5
6	3, 5	nnexpcld 11057	. . . 4
7	6	nnzd 9699	. . 3
8		pockthlem.5	. . . . . 6
9		prmnn 12807	. . . . . 6
10	8, 9	syl 14	. . . . 5
11		pockthlem.9	. . . . 5
12	10	nnzd 9699	. . . . . . . . . 10
13		gcddvds 12659	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
14	11, 12, 13	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 $/\$
15	14	simpld 112	. . . . . . . 8
16	11, 12	gcdcld 12664	. . . . . . . . . 10
17	16	nn0zd 9698	. . . . . . . . 9
18		pockthg.4	. . . . . . . . . . . . . 14
19		pockthg.1	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
20		pockthg.2	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
21	19, 20	nnmulcld 9286	. . . . . . . . . . . . . . . 16
22		nnuz 9890	. . . . . . . . . . . . . . . 16
23	21, 22	eleqtrdi 2325	. . . . . . . . . . . . . . 15
24		eluzp1p1 9880	. . . . . . . . . . . . . . 15
25	23, 24	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14
26	18, 25	eqeltrd 2309	. . . . . . . . . . . . 13
27		df-2 9296	. . . . . . . . . . . . . 14
28	27	fveq2i 5673	. . . . . . . . . . . . 13
29	26, 28	eleqtrrdi 2326	. . . . . . . . . . . 12
30		eluz2b2 9935	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
31	29, 30	sylib 122	. . . . . . . . . . 11 $/\$
32	31	simpld 112	. . . . . . . . . 10
33	32	nnzd 9699	. . . . . . . . 9
34	14	simprd 114	. . . . . . . . 9
35		pockthlem.6	. . . . . . . . 9
36	17, 12, 33, 34, 35	dvdstrd 12516	. . . . . . . 8
37	32	nnne0d 9282	. . . . . . . . . 10
38		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 $/\$
39	38	necon3ai 2461	. . . . . . . . . 10 $/\$
40	37, 39	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$
41		dvdslegcd 12660	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
42	17, 11, 33, 40, 41	syl31anc 1277	. . . . . . . 8 $/\$
43	15, 36, 42	mp2and 433	. . . . . . 7
44		pockthlem.10	. . . . . . . . . 10
45	44	oveq1d 6065	. . . . . . . . 9
46		1z 9603	. . . . . . . . . . . . . 14
47		eluzp1m1 9878	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
48	46, 26, 47	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . 13
49	48, 22	eleqtrrdi 2326	. . . . . . . . . . . 12
50	49	nnnn0d 9553	. . . . . . . . . . 11
51		zexpcl 10916	. . . . . . . . . . 11 $/\$
52	11, 50, 51	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10
53		modgcd 12687	. . . . . . . . . 10 $/\$
54	52, 32, 53	syl2anc 411	. . . . . . . . 9
55		gcdcom 12669	. . . . . . . . . . 11 $/\$
56	46, 33, 55	sylancr 414	. . . . . . . . . 10
57		gcd1 12683	. . . . . . . . . . 11
58	33, 57	syl 14	. . . . . . . . . 10
59	56, 58	eqtrd 2265	. . . . . . . . 9
60	45, 54, 59	3eqtr3d 2273	. . . . . . . 8
61		rpexp 12850	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
62	11, 33, 49, 61	syl3anc 1274	. . . . . . . 8
63	60, 62	mpbid 147	. . . . . . 7
64	43, 63	breqtrd 4135	. . . . . 6
65	10	nnne0d 9282	. . . . . . . . 9
66		simpr 110	. . . . . . . . . 10 $/\$
67	66	necon3ai 2461	. . . . . . . . 9 $/\$
68	65, 67	syl 14	. . . . . . . 8 $/\$
69		gcdn0cl 12658	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
70	11, 12, 68, 69	syl21anc 1273	. . . . . . 7
71		nnle1eq1 9261	. . . . . . 7
72	70, 71	syl 14	. . . . . 6
73	64, 72	mpbid 147	. . . . 5
74		odzcl 12941	. . . . 5 $/\$ $/\$
75	10, 11, 73, 74	syl3anc 1274	. . . 4
76	75	nnzd 9699	. . 3
77		prmuz2 12828	. . . . . . . 8
78	8, 77	syl 14	. . . . . . 7
79	78, 28	eleqtrdi 2325	. . . . . 6
80		eluzp1m1 9878	. . . . . 6 $/\$
81	46, 79, 80	sylancr 414	. . . . 5
82	81, 22	eleqtrrdi 2326	. . . 4
83	82	nnzd 9699	. . 3
84	19	nnzd 9699	. . . . . 6
85	49	nnzd 9699	. . . . . 6
86		pcdvds 13013	. . . . . . 7 $/\$
87	1, 19, 86	syl2anc 411	. . . . . 6
88	20	nnzd 9699	. . . . . . . 8
89		dvdsmul1 12499	. . . . . . . 8 $/\$
90	84, 88, 89	syl2anc 411	. . . . . . 7
91	18	oveq1d 6065	. . . . . . . 8
92	21	nncnd 9251	. . . . . . . . 9
93		ax-1cn 8220	. . . . . . . . 9
94		pncan 8479	. . . . . . . . 9 $/\$
95	92, 93, 94	sylancl 413	. . . . . . . 8
96	91, 95	eqtrd 2265	. . . . . . 7
97	90, 96	breqtrrd 4137	. . . . . 6
98	7, 84, 85, 87, 97	dvdstrd 12516	. . . . 5
99	6	nnne0d 9282	. . . . . 6
100		dvdsval2 12476	. . . . . 6 $/\$ $/\$
101	7, 99, 85, 100	syl3anc 1274	. . . . 5
102	98, 101	mpbid 147	. . . 4
103		peano2zm 9615	. . . . . . . 8
104	52, 103	syl 14	. . . . . . 7
105		nnq 9965	. . . . . . . . . . 11
106	32, 105	syl 14	. . . . . . . . . 10
107	31	simprd 114	. . . . . . . . . 10
108		q1mod 10718	. . . . . . . . . 10 $/\$
109	106, 107, 108	syl2anc 411	. . . . . . . . 9
110	44, 109	eqtr4d 2268	. . . . . . . 8
111		1zzd 9604	. . . . . . . . 9
112		moddvds 12485	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
113	32, 52, 111, 112	syl3anc 1274	. . . . . . . 8
114	110, 113	mpbid 147	. . . . . . 7
115	12, 33, 104, 35, 114	dvdstrd 12516	. . . . . 6
116		odzdvds 12943	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
117	10, 11, 73, 50, 116	syl31anc 1277	. . . . . 6
118	115, 117	mpbid 147	. . . . 5
119	49	nncnd 9251	. . . . . 6
120	6	nncnd 9251	. . . . . 6
121	6	nnap0d 9283	. . . . . 6 #
122	119, 120, 121	divcanap1d 9065	. . . . 5
123	118, 122	breqtrrd 4137	. . . 4
124		nprmdvds1 12837	. . . . . 6
125	8, 124	syl 14	. . . . 5
126	3	nnzd 9699	. . . . . . . . . . . . 13
127		iddvdsexp 12501	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
128	126, 4, 127	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13
129	126, 7, 85, 128, 98	dvdstrd 12516	. . . . . . . . . . . 12
130	3	nnne0d 9282	. . . . . . . . . . . . 13
131		dvdsval2 12476	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
132	126, 130, 85, 131	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . 12
133	129, 132	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11
134	50	nn0ge0d 9556	. . . . . . . . . . . 12
135	49	nnred 9250	. . . . . . . . . . . . 13
136	3	nnred 9250	. . . . . . . . . . . . 13
137	3	nngt0d 9281	. . . . . . . . . . . . 13
138		ge0div 9145	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
139	135, 136, 137, 138	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . 12
140	134, 139	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11
141		elnn0z 9590	. . . . . . . . . . 11 $/\$
142	133, 140, 141	sylanbrc 417	. . . . . . . . . 10
143		zexpcl 10916	. . . . . . . . . 10 $/\$
144	11, 142, 143	syl2anc 411	. . . . . . . . 9
145		peano2zm 9615	. . . . . . . . 9
146	144, 145	syl 14	. . . . . . . 8
147		dvdsgcd 12708	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
148	12, 146, 33, 147	syl3anc 1274	. . . . . . 7 $/\$
149	35, 148	mpan2d 428	. . . . . 6
150		odzdvds 12943	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
151	10, 11, 73, 142, 150	syl31anc 1277	. . . . . . 7
152	3	nncnd 9251	. . . . . . . . . . 11
153	3	nnap0d 9283	. . . . . . . . . . 11 #
154	4	nnzd 9699	. . . . . . . . . . 11
155	152, 153, 154	expm1apd 11045	. . . . . . . . . 10
156	155	oveq2d 6066	. . . . . . . . 9
157	135, 6	nndivred 9287	. . . . . . . . . . 11
158	157	recnd 8302	. . . . . . . . . 10
159	158, 120, 152, 153	divassapd 9100	. . . . . . . . 9
160	122	oveq1d 6065	. . . . . . . . 9
161	156, 159, 160	3eqtr2d 2271	. . . . . . . 8
162	161	breq2d 4121	. . . . . . 7
163	151, 162	bitr4d 191	. . . . . 6
164		pockthlem.11	. . . . . . 7
165	164	breq2d 4121	. . . . . 6
166	149, 163, 165	3imtr3d 202	. . . . 5
167	125, 166	mtod 669	. . . 4
168		prmpwdvds 13053	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
169	102, 76, 1, 4, 123, 167, 168	syl222anc 1290	. . 3
170		odzphi 12944	. . . . 5 $/\$ $/\$
171	10, 11, 73, 170	syl3anc 1274	. . . 4
172		phiprm 12920	. . . . 5
173	8, 172	syl 14	. . . 4
174	171, 173	breqtrd 4135	. . 3
175	7, 76, 83, 169, 174	dvdstrd 12516	. 2
176		pcdvdsb 13018	. . 3 $/\$ $/\$
177	1, 83, 5, 176	syl3anc 1274	. 2
178	175, 177	mpbird 167	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105

wceq 1398

wcel 2203

wne 2412 class class class wbr 4109

cfv 5352 (class class class)co 6050

cc 8125

cr 8126

cc0 8127

c1 8128

caddc 8130

cmul 8132

clt 8308

cle 8309

cmin 8444

cdiv 8946

cn 9237

c2 9288

cn0 9496

cz 9577

cuz 9853

cq 9951

cmo 10684

cexp 10900

cdvds 12473

cgcd 12649

cprime 12804

codz 12905

cphi 12906

cpc 12982

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 717 ax-5 1496 ax-7 1497 ax-gen 1498 ax-ie1 1542 ax-ie2 1543 ax-8 1553 ax-10 1554 ax-11 1555 ax-i12 1556 ax-bndl 1558 ax-4 1559 ax-17 1575 ax-i9 1579 ax-ial 1583 ax-i5r 1584 ax-13 2205 ax-14 2206 ax-ext 2214 ax-coll 4225 ax-sep 4228 ax-nul 4236 ax-pow 4287 ax-pr 4322 ax-un 4554 ax-setind 4659 ax-iinf 4710 ax-cnex 8218 ax-resscn 8219 ax-1cn 8220 ax-1re 8221 ax-icn 8222 ax-addcl 8223 ax-addrcl 8224 ax-mulcl 8225 ax-mulrcl 8226 ax-addcom 8227 ax-mulcom 8228 ax-addass 8229 ax-mulass 8230 ax-distr 8231 ax-i2m1 8232 ax-0lt1 8233 ax-1rid 8234 ax-0id 8235 ax-rnegex 8236 ax-precex 8237 ax-cnre 8238 ax-pre-ltirr 8239 ax-pre-ltwlin 8240 ax-pre-lttrn 8241 ax-pre-apti 8242 ax-pre-ltadd 8243 ax-pre-mulgt0 8244 ax-pre-mulext 8245 ax-arch 8246 ax-caucvg 8247

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 839 df-dc 843 df-3or 1006 df-3an 1007 df-tru 1401 df-fal 1404 df-nf 1510 df-sb 1812 df-eu 2083 df-mo 2084 df-clab 2219 df-cleq 2225 df-clel 2228 df-nfc 2373 df-ne 2413 df-nel 2508 df-ral 2525 df-rex 2526 df-reu 2527 df-rmo 2528 df-rab 2529 df-v 2815 df-sbc 3043 df-csb 3139 df-dif 3213 df-un 3215 df-in 3217 df-ss 3224 df-nul 3509 df-if 3621 df-pw 3671 df-sn 3695 df-pr 3696 df-op 3698 df-uni 3915 df-int 3950 df-iun 3993 df-br 4110 df-opab 4172 df-mpt 4173 df-tr 4209 df-id 4414 df-po 4417 df-iso 4418 df-iord 4487 df-on 4489 df-ilim 4490 df-suc 4492 df-iom 4713 df-xp 4755 df-rel 4756 df-cnv 4757 df-co 4758 df-dm 4759 df-rn 4760 df-res 4761 df-ima 4762 df-iota 5312 df-fun 5354 df-fn 5355 df-f 5356 df-f1 5357 df-fo 5358 df-f1o 5359 df-fv 5360 df-isom 5361 df-riota 6003 df-ov 6053 df-oprab 6054 df-mpo 6055 df-1st 6334 df-2nd 6335 df-recs 6536 df-irdg 6601 df-frec 6622 df-1o 6647 df-2o 6648 df-oadd 6651 df-er 6767 df-en 6976 df-dom 6977 df-fin 6978 df-sup 7275 df-inf 7276 df-pnf 8310 df-mnf 8311 df-xr 8312 df-ltxr 8313 df-le 8314 df-sub 8446 df-neg 8447 df-reap 8849 df-ap 8856 df-div 8947 df-inn 9238 df-2 9296 df-3 9297 df-4 9298 df-n0 9497 df-z 9578 df-uz 9854 df-q 9952 df-rp 9987 df-fz 10343 df-fzo 10477 df-fl 10630 df-mod 10685 df-seqfrec 10810 df-exp 10901 df-ihash 11139 df-cj 11527 df-re 11528 df-im 11529 df-rsqrt 11683 df-abs 11684 df-clim 11964 df-proddc 12237 df-dvds 12474 df-gcd 12650 df-prm 12805 df-odz 12907 df-phi 12908 df-pc 12983

This theorem is referenced by: pockthg 13055

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