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Theorem pockthlem 12552

Description: Lemma for pockthg 12553. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
pockthg.1
pockthg.2
pockthg.3
pockthg.4
pockthlem.5
pockthlem.6
pockthlem.7
pockthlem.8
pockthlem.9
pockthlem.10
pockthlem.11

**Assertion**
Ref	Expression
pockthlem

**Proof of Theorem pockthlem**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		pockthlem.7	. . . . . 6
2		prmnn 12305	. . . . . 6
3	1, 2	syl 14	. . . . 5
4		pockthlem.8	. . . . . 6
5	4	nnnn0d 9321	. . . . 5
6	3, 5	nnexpcld 10806	. . . 4
7	6	nnzd 9466	. . 3
8		pockthlem.5	. . . . . 6
9		prmnn 12305	. . . . . 6
10	8, 9	syl 14	. . . . 5
11		pockthlem.9	. . . . 5
12	10	nnzd 9466	. . . . . . . . . 10
13		gcddvds 12157	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
14	11, 12, 13	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 $/\$
15	14	simpld 112	. . . . . . . 8
16	11, 12	gcdcld 12162	. . . . . . . . . 10
17	16	nn0zd 9465	. . . . . . . . 9
18		pockthg.4	. . . . . . . . . . . . . 14
19		pockthg.1	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
20		pockthg.2	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
21	19, 20	nnmulcld 9058	. . . . . . . . . . . . . . . 16
22		nnuz 9656	. . . . . . . . . . . . . . . 16
23	21, 22	eleqtrdi 2289	. . . . . . . . . . . . . . 15
24		eluzp1p1 9646	. . . . . . . . . . . . . . 15
25	23, 24	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14
26	18, 25	eqeltrd 2273	. . . . . . . . . . . . 13
27		df-2 9068	. . . . . . . . . . . . . 14
28	27	fveq2i 5564	. . . . . . . . . . . . 13
29	26, 28	eleqtrrdi 2290	. . . . . . . . . . . 12
30		eluz2b2 9696	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
31	29, 30	sylib 122	. . . . . . . . . . 11 $/\$
32	31	simpld 112	. . . . . . . . . 10
33	32	nnzd 9466	. . . . . . . . 9
34	14	simprd 114	. . . . . . . . 9
35		pockthlem.6	. . . . . . . . 9
36	17, 12, 33, 34, 35	dvdstrd 12014	. . . . . . . 8
37	32	nnne0d 9054	. . . . . . . . . 10
38		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 $/\$
39	38	necon3ai 2416	. . . . . . . . . 10 $/\$
40	37, 39	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$
41		dvdslegcd 12158	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
42	17, 11, 33, 40, 41	syl31anc 1252	. . . . . . . 8 $/\$
43	15, 36, 42	mp2and 433	. . . . . . 7
44		pockthlem.10	. . . . . . . . . 10
45	44	oveq1d 5940	. . . . . . . . 9
46		1z 9371	. . . . . . . . . . . . . 14
47		eluzp1m1 9644	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
48	46, 26, 47	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . 13
49	48, 22	eleqtrrdi 2290	. . . . . . . . . . . 12
50	49	nnnn0d 9321	. . . . . . . . . . 11
51		zexpcl 10665	. . . . . . . . . . 11 $/\$
52	11, 50, 51	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10
53		modgcd 12185	. . . . . . . . . 10 $/\$
54	52, 32, 53	syl2anc 411	. . . . . . . . 9
55		gcdcom 12167	. . . . . . . . . . 11 $/\$
56	46, 33, 55	sylancr 414	. . . . . . . . . 10
57		gcd1 12181	. . . . . . . . . . 11
58	33, 57	syl 14	. . . . . . . . . 10
59	56, 58	eqtrd 2229	. . . . . . . . 9
60	45, 54, 59	3eqtr3d 2237	. . . . . . . 8
61		rpexp 12348	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
62	11, 33, 49, 61	syl3anc 1249	. . . . . . . 8
63	60, 62	mpbid 147	. . . . . . 7
64	43, 63	breqtrd 4060	. . . . . 6
65	10	nnne0d 9054	. . . . . . . . 9
66		simpr 110	. . . . . . . . . 10 $/\$
67	66	necon3ai 2416	. . . . . . . . 9 $/\$
68	65, 67	syl 14	. . . . . . . 8 $/\$
69		gcdn0cl 12156	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
70	11, 12, 68, 69	syl21anc 1248	. . . . . . 7
71		nnle1eq1 9033	. . . . . . 7
72	70, 71	syl 14	. . . . . 6
73	64, 72	mpbid 147	. . . . 5
74		odzcl 12439	. . . . 5 $/\$ $/\$
75	10, 11, 73, 74	syl3anc 1249	. . . 4
76	75	nnzd 9466	. . 3
77		prmuz2 12326	. . . . . . . 8
78	8, 77	syl 14	. . . . . . 7
79	78, 28	eleqtrdi 2289	. . . . . 6
80		eluzp1m1 9644	. . . . . 6 $/\$
81	46, 79, 80	sylancr 414	. . . . 5
82	81, 22	eleqtrrdi 2290	. . . 4
83	82	nnzd 9466	. . 3
84	19	nnzd 9466	. . . . . 6
85	49	nnzd 9466	. . . . . 6
86		pcdvds 12511	. . . . . . 7 $/\$
87	1, 19, 86	syl2anc 411	. . . . . 6
88	20	nnzd 9466	. . . . . . . 8
89		dvdsmul1 11997	. . . . . . . 8 $/\$
90	84, 88, 89	syl2anc 411	. . . . . . 7
91	18	oveq1d 5940	. . . . . . . 8
92	21	nncnd 9023	. . . . . . . . 9
93		ax-1cn 7991	. . . . . . . . 9
94		pncan 8251	. . . . . . . . 9 $/\$
95	92, 93, 94	sylancl 413	. . . . . . . 8
96	91, 95	eqtrd 2229	. . . . . . 7
97	90, 96	breqtrrd 4062	. . . . . 6
98	7, 84, 85, 87, 97	dvdstrd 12014	. . . . 5
99	6	nnne0d 9054	. . . . . 6
100		dvdsval2 11974	. . . . . 6 $/\$ $/\$
101	7, 99, 85, 100	syl3anc 1249	. . . . 5
102	98, 101	mpbid 147	. . . 4
103		peano2zm 9383	. . . . . . . 8
104	52, 103	syl 14	. . . . . . 7
105		nnq 9726	. . . . . . . . . . 11
106	32, 105	syl 14	. . . . . . . . . 10
107	31	simprd 114	. . . . . . . . . 10
108		q1mod 10467	. . . . . . . . . 10 $/\$
109	106, 107, 108	syl2anc 411	. . . . . . . . 9
110	44, 109	eqtr4d 2232	. . . . . . . 8
111		1zzd 9372	. . . . . . . . 9
112		moddvds 11983	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
113	32, 52, 111, 112	syl3anc 1249	. . . . . . . 8
114	110, 113	mpbid 147	. . . . . . 7
115	12, 33, 104, 35, 114	dvdstrd 12014	. . . . . 6
116		odzdvds 12441	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
117	10, 11, 73, 50, 116	syl31anc 1252	. . . . . 6
118	115, 117	mpbid 147	. . . . 5
119	49	nncnd 9023	. . . . . 6
120	6	nncnd 9023	. . . . . 6
121	6	nnap0d 9055	. . . . . 6 #
122	119, 120, 121	divcanap1d 8837	. . . . 5
123	118, 122	breqtrrd 4062	. . . 4
124		nprmdvds1 12335	. . . . . 6
125	8, 124	syl 14	. . . . 5
126	3	nnzd 9466	. . . . . . . . . . . . 13
127		iddvdsexp 11999	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
128	126, 4, 127	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13
129	126, 7, 85, 128, 98	dvdstrd 12014	. . . . . . . . . . . 12
130	3	nnne0d 9054	. . . . . . . . . . . . 13
131		dvdsval2 11974	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
132	126, 130, 85, 131	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . 12
133	129, 132	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11
134	50	nn0ge0d 9324	. . . . . . . . . . . 12
135	49	nnred 9022	. . . . . . . . . . . . 13
136	3	nnred 9022	. . . . . . . . . . . . 13
137	3	nngt0d 9053	. . . . . . . . . . . . 13
138		ge0div 8917	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
139	135, 136, 137, 138	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . 12
140	134, 139	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11
141		elnn0z 9358	. . . . . . . . . . 11 $/\$
142	133, 140, 141	sylanbrc 417	. . . . . . . . . 10
143		zexpcl 10665	. . . . . . . . . 10 $/\$
144	11, 142, 143	syl2anc 411	. . . . . . . . 9
145		peano2zm 9383	. . . . . . . . 9
146	144, 145	syl 14	. . . . . . . 8
147		dvdsgcd 12206	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
148	12, 146, 33, 147	syl3anc 1249	. . . . . . 7 $/\$
149	35, 148	mpan2d 428	. . . . . 6
150		odzdvds 12441	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
151	10, 11, 73, 142, 150	syl31anc 1252	. . . . . . 7
152	3	nncnd 9023	. . . . . . . . . . 11
153	3	nnap0d 9055	. . . . . . . . . . 11 #
154	4	nnzd 9466	. . . . . . . . . . 11
155	152, 153, 154	expm1apd 10794	. . . . . . . . . 10
156	155	oveq2d 5941	. . . . . . . . 9
157	135, 6	nndivred 9059	. . . . . . . . . . 11
158	157	recnd 8074	. . . . . . . . . 10
159	158, 120, 152, 153	divassapd 8872	. . . . . . . . 9
160	122	oveq1d 5940	. . . . . . . . 9
161	156, 159, 160	3eqtr2d 2235	. . . . . . . 8
162	161	breq2d 4046	. . . . . . 7
163	151, 162	bitr4d 191	. . . . . 6
164		pockthlem.11	. . . . . . 7
165	164	breq2d 4046	. . . . . 6
166	149, 163, 165	3imtr3d 202	. . . . 5
167	125, 166	mtod 664	. . . 4
168		prmpwdvds 12551	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
169	102, 76, 1, 4, 123, 167, 168	syl222anc 1265	. . 3
170		odzphi 12442	. . . . 5 $/\$ $/\$
171	10, 11, 73, 170	syl3anc 1249	. . . 4
172		phiprm 12418	. . . . 5
173	8, 172	syl 14	. . . 4
174	171, 173	breqtrd 4060	. . 3
175	7, 76, 83, 169, 174	dvdstrd 12014	. 2
176		pcdvdsb 12516	. . 3 $/\$ $/\$
177	1, 83, 5, 176	syl3anc 1249	. 2
178	175, 177	mpbird 167	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105

wceq 1364

wcel 2167

wne 2367 class class class wbr 4034

cfv 5259 (class class class)co 5925

cc 7896

cr 7897

cc0 7898

c1 7899

caddc 7901

cmul 7903

clt 8080

cle 8081

cmin 8216

cdiv 8718

cn 9009

c2 9060

cn0 9268

cz 9345

cuz 9620

cq 9712

cmo 10433

cexp 10649

cdvds 11971

cgcd 12147

cprime 12302

codz 12403

cphi 12404

cpc 12480

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1461 ax-7 1462 ax-gen 1463 ax-ie1 1507 ax-ie2 1508 ax-8 1518 ax-10 1519 ax-11 1520 ax-i12 1521 ax-bndl 1523 ax-4 1524 ax-17 1540 ax-i9 1544 ax-ial 1548 ax-i5r 1549 ax-13 2169 ax-14 2170 ax-ext 2178 ax-coll 4149 ax-sep 4152 ax-nul 4160 ax-pow 4208 ax-pr 4243 ax-un 4469 ax-setind 4574 ax-iinf 4625 ax-cnex 7989 ax-resscn 7990 ax-1cn 7991 ax-1re 7992 ax-icn 7993 ax-addcl 7994 ax-addrcl 7995 ax-mulcl 7996 ax-mulrcl 7997 ax-addcom 7998 ax-mulcom 7999 ax-addass 8000 ax-mulass 8001 ax-distr 8002 ax-i2m1 8003 ax-0lt1 8004 ax-1rid 8005 ax-0id 8006 ax-rnegex 8007 ax-precex 8008 ax-cnre 8009 ax-pre-ltirr 8010 ax-pre-ltwlin 8011 ax-pre-lttrn 8012 ax-pre-apti 8013 ax-pre-ltadd 8014 ax-pre-mulgt0 8015 ax-pre-mulext 8016 ax-arch 8017 ax-caucvg 8018

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 832 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1475 df-sb 1777 df-eu 2048 df-mo 2049 df-clab 2183 df-cleq 2189 df-clel 2192 df-nfc 2328 df-ne 2368 df-nel 2463 df-ral 2480 df-rex 2481 df-reu 2482 df-rmo 2483 df-rab 2484 df-v 2765 df-sbc 2990 df-csb 3085 df-dif 3159 df-un 3161 df-in 3163 df-ss 3170 df-nul 3452 df-if 3563 df-pw 3608 df-sn 3629 df-pr 3630 df-op 3632 df-uni 3841 df-int 3876 df-iun 3919 df-br 4035 df-opab 4096 df-mpt 4097 df-tr 4133 df-id 4329 df-po 4332 df-iso 4333 df-iord 4402 df-on 4404 df-ilim 4405 df-suc 4407 df-iom 4628 df-xp 4670 df-rel 4671 df-cnv 4672 df-co 4673 df-dm 4674 df-rn 4675 df-res 4676 df-ima 4677 df-iota 5220 df-fun 5261 df-fn 5262 df-f 5263 df-f1 5264 df-fo 5265 df-f1o 5266 df-fv 5267 df-isom 5268 df-riota 5880 df-ov 5928 df-oprab 5929 df-mpo 5930 df-1st 6207 df-2nd 6208 df-recs 6372 df-irdg 6437 df-frec 6458 df-1o 6483 df-2o 6484 df-oadd 6487 df-er 6601 df-en 6809 df-dom 6810 df-fin 6811 df-sup 7059 df-inf 7060 df-pnf 8082 df-mnf 8083 df-xr 8084 df-ltxr 8085 df-le 8086 df-sub 8218 df-neg 8219 df-reap 8621 df-ap 8628 df-div 8719 df-inn 9010 df-2 9068 df-3 9069 df-4 9070 df-n0 9269 df-z 9346 df-uz 9621 df-q 9713 df-rp 9748 df-fz 10103 df-fzo 10237 df-fl 10379 df-mod 10434 df-seqfrec 10559 df-exp 10650 df-ihash 10887 df-cj 11026 df-re 11027 df-im 11028 df-rsqrt 11182 df-abs 11183 df-clim 11463 df-proddc 11735 df-dvds 11972 df-gcd 12148 df-prm 12303 df-odz 12405 df-phi 12406 df-pc 12481

This theorem is referenced by: pockthg 12553

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