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Theorem pockthlem 12679

Description: Lemma for pockthg 12680. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
pockthg.1
pockthg.2
pockthg.3
pockthg.4
pockthlem.5
pockthlem.6
pockthlem.7
pockthlem.8
pockthlem.9
pockthlem.10
pockthlem.11

**Assertion**
Ref	Expression
pockthlem

**Proof of Theorem pockthlem**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		pockthlem.7	. . . . . 6
2		prmnn 12432	. . . . . 6
3	1, 2	syl 14	. . . . 5
4		pockthlem.8	. . . . . 6
5	4	nnnn0d 9348	. . . . 5
6	3, 5	nnexpcld 10840	. . . 4
7	6	nnzd 9494	. . 3
8		pockthlem.5	. . . . . 6
9		prmnn 12432	. . . . . 6
10	8, 9	syl 14	. . . . 5
11		pockthlem.9	. . . . 5
12	10	nnzd 9494	. . . . . . . . . 10
13		gcddvds 12284	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
14	11, 12, 13	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 $/\$
15	14	simpld 112	. . . . . . . 8
16	11, 12	gcdcld 12289	. . . . . . . . . 10
17	16	nn0zd 9493	. . . . . . . . 9
18		pockthg.4	. . . . . . . . . . . . . 14
19		pockthg.1	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
20		pockthg.2	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
21	19, 20	nnmulcld 9085	. . . . . . . . . . . . . . . 16
22		nnuz 9684	. . . . . . . . . . . . . . . 16
23	21, 22	eleqtrdi 2298	. . . . . . . . . . . . . . 15
24		eluzp1p1 9674	. . . . . . . . . . . . . . 15
25	23, 24	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14
26	18, 25	eqeltrd 2282	. . . . . . . . . . . . 13
27		df-2 9095	. . . . . . . . . . . . . 14
28	27	fveq2i 5579	. . . . . . . . . . . . 13
29	26, 28	eleqtrrdi 2299	. . . . . . . . . . . 12
30		eluz2b2 9724	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
31	29, 30	sylib 122	. . . . . . . . . . 11 $/\$
32	31	simpld 112	. . . . . . . . . 10
33	32	nnzd 9494	. . . . . . . . 9
34	14	simprd 114	. . . . . . . . 9
35		pockthlem.6	. . . . . . . . 9
36	17, 12, 33, 34, 35	dvdstrd 12141	. . . . . . . 8
37	32	nnne0d 9081	. . . . . . . . . 10
38		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 $/\$
39	38	necon3ai 2425	. . . . . . . . . 10 $/\$
40	37, 39	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$
41		dvdslegcd 12285	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
42	17, 11, 33, 40, 41	syl31anc 1253	. . . . . . . 8 $/\$
43	15, 36, 42	mp2and 433	. . . . . . 7
44		pockthlem.10	. . . . . . . . . 10
45	44	oveq1d 5959	. . . . . . . . 9
46		1z 9398	. . . . . . . . . . . . . 14
47		eluzp1m1 9672	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
48	46, 26, 47	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . 13
49	48, 22	eleqtrrdi 2299	. . . . . . . . . . . 12
50	49	nnnn0d 9348	. . . . . . . . . . 11
51		zexpcl 10699	. . . . . . . . . . 11 $/\$
52	11, 50, 51	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10
53		modgcd 12312	. . . . . . . . . 10 $/\$
54	52, 32, 53	syl2anc 411	. . . . . . . . 9
55		gcdcom 12294	. . . . . . . . . . 11 $/\$
56	46, 33, 55	sylancr 414	. . . . . . . . . 10
57		gcd1 12308	. . . . . . . . . . 11
58	33, 57	syl 14	. . . . . . . . . 10
59	56, 58	eqtrd 2238	. . . . . . . . 9
60	45, 54, 59	3eqtr3d 2246	. . . . . . . 8
61		rpexp 12475	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
62	11, 33, 49, 61	syl3anc 1250	. . . . . . . 8
63	60, 62	mpbid 147	. . . . . . 7
64	43, 63	breqtrd 4070	. . . . . 6
65	10	nnne0d 9081	. . . . . . . . 9
66		simpr 110	. . . . . . . . . 10 $/\$
67	66	necon3ai 2425	. . . . . . . . 9 $/\$
68	65, 67	syl 14	. . . . . . . 8 $/\$
69		gcdn0cl 12283	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
70	11, 12, 68, 69	syl21anc 1249	. . . . . . 7
71		nnle1eq1 9060	. . . . . . 7
72	70, 71	syl 14	. . . . . 6
73	64, 72	mpbid 147	. . . . 5
74		odzcl 12566	. . . . 5 $/\$ $/\$
75	10, 11, 73, 74	syl3anc 1250	. . . 4
76	75	nnzd 9494	. . 3
77		prmuz2 12453	. . . . . . . 8
78	8, 77	syl 14	. . . . . . 7
79	78, 28	eleqtrdi 2298	. . . . . 6
80		eluzp1m1 9672	. . . . . 6 $/\$
81	46, 79, 80	sylancr 414	. . . . 5
82	81, 22	eleqtrrdi 2299	. . . 4
83	82	nnzd 9494	. . 3
84	19	nnzd 9494	. . . . . 6
85	49	nnzd 9494	. . . . . 6
86		pcdvds 12638	. . . . . . 7 $/\$
87	1, 19, 86	syl2anc 411	. . . . . 6
88	20	nnzd 9494	. . . . . . . 8
89		dvdsmul1 12124	. . . . . . . 8 $/\$
90	84, 88, 89	syl2anc 411	. . . . . . 7
91	18	oveq1d 5959	. . . . . . . 8
92	21	nncnd 9050	. . . . . . . . 9
93		ax-1cn 8018	. . . . . . . . 9
94		pncan 8278	. . . . . . . . 9 $/\$
95	92, 93, 94	sylancl 413	. . . . . . . 8
96	91, 95	eqtrd 2238	. . . . . . 7
97	90, 96	breqtrrd 4072	. . . . . 6
98	7, 84, 85, 87, 97	dvdstrd 12141	. . . . 5
99	6	nnne0d 9081	. . . . . 6
100		dvdsval2 12101	. . . . . 6 $/\$ $/\$
101	7, 99, 85, 100	syl3anc 1250	. . . . 5
102	98, 101	mpbid 147	. . . 4
103		peano2zm 9410	. . . . . . . 8
104	52, 103	syl 14	. . . . . . 7
105		nnq 9754	. . . . . . . . . . 11
106	32, 105	syl 14	. . . . . . . . . 10
107	31	simprd 114	. . . . . . . . . 10
108		q1mod 10501	. . . . . . . . . 10 $/\$
109	106, 107, 108	syl2anc 411	. . . . . . . . 9
110	44, 109	eqtr4d 2241	. . . . . . . 8
111		1zzd 9399	. . . . . . . . 9
112		moddvds 12110	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
113	32, 52, 111, 112	syl3anc 1250	. . . . . . . 8
114	110, 113	mpbid 147	. . . . . . 7
115	12, 33, 104, 35, 114	dvdstrd 12141	. . . . . 6
116		odzdvds 12568	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
117	10, 11, 73, 50, 116	syl31anc 1253	. . . . . 6
118	115, 117	mpbid 147	. . . . 5
119	49	nncnd 9050	. . . . . 6
120	6	nncnd 9050	. . . . . 6
121	6	nnap0d 9082	. . . . . 6 #
122	119, 120, 121	divcanap1d 8864	. . . . 5
123	118, 122	breqtrrd 4072	. . . 4
124		nprmdvds1 12462	. . . . . 6
125	8, 124	syl 14	. . . . 5
126	3	nnzd 9494	. . . . . . . . . . . . 13
127		iddvdsexp 12126	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
128	126, 4, 127	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13
129	126, 7, 85, 128, 98	dvdstrd 12141	. . . . . . . . . . . 12
130	3	nnne0d 9081	. . . . . . . . . . . . 13
131		dvdsval2 12101	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
132	126, 130, 85, 131	syl3anc 1250	. . . . . . . . . . . 12
133	129, 132	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11
134	50	nn0ge0d 9351	. . . . . . . . . . . 12
135	49	nnred 9049	. . . . . . . . . . . . 13
136	3	nnred 9049	. . . . . . . . . . . . 13
137	3	nngt0d 9080	. . . . . . . . . . . . 13
138		ge0div 8944	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
139	135, 136, 137, 138	syl3anc 1250	. . . . . . . . . . . 12
140	134, 139	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11
141		elnn0z 9385	. . . . . . . . . . 11 $/\$
142	133, 140, 141	sylanbrc 417	. . . . . . . . . 10
143		zexpcl 10699	. . . . . . . . . 10 $/\$
144	11, 142, 143	syl2anc 411	. . . . . . . . 9
145		peano2zm 9410	. . . . . . . . 9
146	144, 145	syl 14	. . . . . . . 8
147		dvdsgcd 12333	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
148	12, 146, 33, 147	syl3anc 1250	. . . . . . 7 $/\$
149	35, 148	mpan2d 428	. . . . . 6
150		odzdvds 12568	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
151	10, 11, 73, 142, 150	syl31anc 1253	. . . . . . 7
152	3	nncnd 9050	. . . . . . . . . . 11
153	3	nnap0d 9082	. . . . . . . . . . 11 #
154	4	nnzd 9494	. . . . . . . . . . 11
155	152, 153, 154	expm1apd 10828	. . . . . . . . . 10
156	155	oveq2d 5960	. . . . . . . . 9
157	135, 6	nndivred 9086	. . . . . . . . . . 11
158	157	recnd 8101	. . . . . . . . . 10
159	158, 120, 152, 153	divassapd 8899	. . . . . . . . 9
160	122	oveq1d 5959	. . . . . . . . 9
161	156, 159, 160	3eqtr2d 2244	. . . . . . . 8
162	161	breq2d 4056	. . . . . . 7
163	151, 162	bitr4d 191	. . . . . 6
164		pockthlem.11	. . . . . . 7
165	164	breq2d 4056	. . . . . 6
166	149, 163, 165	3imtr3d 202	. . . . 5
167	125, 166	mtod 665	. . . 4
168		prmpwdvds 12678	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
169	102, 76, 1, 4, 123, 167, 168	syl222anc 1266	. . 3
170		odzphi 12569	. . . . 5 $/\$ $/\$
171	10, 11, 73, 170	syl3anc 1250	. . . 4
172		phiprm 12545	. . . . 5
173	8, 172	syl 14	. . . 4
174	171, 173	breqtrd 4070	. . 3
175	7, 76, 83, 169, 174	dvdstrd 12141	. 2
176		pcdvdsb 12643	. . 3 $/\$ $/\$
177	1, 83, 5, 176	syl3anc 1250	. 2
178	175, 177	mpbird 167	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105

wceq 1373

wcel 2176

wne 2376 class class class wbr 4044

cfv 5271 (class class class)co 5944

cc 7923

cr 7924

cc0 7925

c1 7926

caddc 7928

cmul 7930

clt 8107

cle 8108

cmin 8243

cdiv 8745

cn 9036

c2 9087

cn0 9295

cz 9372

cuz 9648

cq 9740

cmo 10467

cexp 10683

cdvds 12098

cgcd 12274

cprime 12429

codz 12530

cphi 12531

cpc 12607

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 711 ax-5 1470 ax-7 1471 ax-gen 1472 ax-ie1 1516 ax-ie2 1517 ax-8 1527 ax-10 1528 ax-11 1529 ax-i12 1530 ax-bndl 1532 ax-4 1533 ax-17 1549 ax-i9 1553 ax-ial 1557 ax-i5r 1558 ax-13 2178 ax-14 2179 ax-ext 2187 ax-coll 4159 ax-sep 4162 ax-nul 4170 ax-pow 4218 ax-pr 4253 ax-un 4480 ax-setind 4585 ax-iinf 4636 ax-cnex 8016 ax-resscn 8017 ax-1cn 8018 ax-1re 8019 ax-icn 8020 ax-addcl 8021 ax-addrcl 8022 ax-mulcl 8023 ax-mulrcl 8024 ax-addcom 8025 ax-mulcom 8026 ax-addass 8027 ax-mulass 8028 ax-distr 8029 ax-i2m1 8030 ax-0lt1 8031 ax-1rid 8032 ax-0id 8033 ax-rnegex 8034 ax-precex 8035 ax-cnre 8036 ax-pre-ltirr 8037 ax-pre-ltwlin 8038 ax-pre-lttrn 8039 ax-pre-apti 8040 ax-pre-ltadd 8041 ax-pre-mulgt0 8042 ax-pre-mulext 8043 ax-arch 8044 ax-caucvg 8045

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 833 df-dc 837 df-3or 982 df-3an 983 df-tru 1376 df-fal 1379 df-nf 1484 df-sb 1786 df-eu 2057 df-mo 2058 df-clab 2192 df-cleq 2198 df-clel 2201 df-nfc 2337 df-ne 2377 df-nel 2472 df-ral 2489 df-rex 2490 df-reu 2491 df-rmo 2492 df-rab 2493 df-v 2774 df-sbc 2999 df-csb 3094 df-dif 3168 df-un 3170 df-in 3172 df-ss 3179 df-nul 3461 df-if 3572 df-pw 3618 df-sn 3639 df-pr 3640 df-op 3642 df-uni 3851 df-int 3886 df-iun 3929 df-br 4045 df-opab 4106 df-mpt 4107 df-tr 4143 df-id 4340 df-po 4343 df-iso 4344 df-iord 4413 df-on 4415 df-ilim 4416 df-suc 4418 df-iom 4639 df-xp 4681 df-rel 4682 df-cnv 4683 df-co 4684 df-dm 4685 df-rn 4686 df-res 4687 df-ima 4688 df-iota 5232 df-fun 5273 df-fn 5274 df-f 5275 df-f1 5276 df-fo 5277 df-f1o 5278 df-fv 5279 df-isom 5280 df-riota 5899 df-ov 5947 df-oprab 5948 df-mpo 5949 df-1st 6226 df-2nd 6227 df-recs 6391 df-irdg 6456 df-frec 6477 df-1o 6502 df-2o 6503 df-oadd 6506 df-er 6620 df-en 6828 df-dom 6829 df-fin 6830 df-sup 7086 df-inf 7087 df-pnf 8109 df-mnf 8110 df-xr 8111 df-ltxr 8112 df-le 8113 df-sub 8245 df-neg 8246 df-reap 8648 df-ap 8655 df-div 8746 df-inn 9037 df-2 9095 df-3 9096 df-4 9097 df-n0 9296 df-z 9373 df-uz 9649 df-q 9741 df-rp 9776 df-fz 10131 df-fzo 10265 df-fl 10413 df-mod 10468 df-seqfrec 10593 df-exp 10684 df-ihash 10921 df-cj 11153 df-re 11154 df-im 11155 df-rsqrt 11309 df-abs 11310 df-clim 11590 df-proddc 11862 df-dvds 12099 df-gcd 12275 df-prm 12430 df-odz 12532 df-phi 12533 df-pc 12608

This theorem is referenced by: pockthg 12680

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