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Theorem pockthlem 13079

Description: Lemma for pockthg 13080. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
pockthg.1
pockthg.2
pockthg.3
pockthg.4
pockthlem.5
pockthlem.6
pockthlem.7
pockthlem.8
pockthlem.9
pockthlem.10
pockthlem.11

**Assertion**
Ref	Expression
pockthlem

**Proof of Theorem pockthlem**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		pockthlem.7	. . . . . 6
2		prmnn 12832	. . . . . 6
3	1, 2	syl 14	. . . . 5
4		pockthlem.8	. . . . . 6
5	4	nnnn0d 9570	. . . . 5
6	3, 5	nnexpcld 11082	. . . 4
7	6	nnzd 9717	. . 3
8		pockthlem.5	. . . . . 6
9		prmnn 12832	. . . . . 6
10	8, 9	syl 14	. . . . 5
11		pockthlem.9	. . . . 5
12	10	nnzd 9717	. . . . . . . . . 10
13		gcddvds 12684	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
14	11, 12, 13	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 $/\$
15	14	simpld 112	. . . . . . . 8
16	11, 12	gcdcld 12689	. . . . . . . . . 10
17	16	nn0zd 9716	. . . . . . . . 9
18		pockthg.4	. . . . . . . . . . . . . 14
19		pockthg.1	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
20		pockthg.2	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
21	19, 20	nnmulcld 9303	. . . . . . . . . . . . . . . 16
22		nnuz 9908	. . . . . . . . . . . . . . . 16
23	21, 22	eleqtrdi 2327	. . . . . . . . . . . . . . 15
24		eluzp1p1 9898	. . . . . . . . . . . . . . 15
25	23, 24	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14
26	18, 25	eqeltrd 2311	. . . . . . . . . . . . 13
27		df-2 9313	. . . . . . . . . . . . . 14
28	27	fveq2i 5678	. . . . . . . . . . . . 13
29	26, 28	eleqtrrdi 2328	. . . . . . . . . . . 12
30		eluz2b2 9953	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
31	29, 30	sylib 122	. . . . . . . . . . 11 $/\$
32	31	simpld 112	. . . . . . . . . 10
33	32	nnzd 9717	. . . . . . . . 9
34	14	simprd 114	. . . . . . . . 9
35		pockthlem.6	. . . . . . . . 9
36	17, 12, 33, 34, 35	dvdstrd 12541	. . . . . . . 8
37	32	nnne0d 9299	. . . . . . . . . 10
38		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 $/\$
39	38	necon3ai 2463	. . . . . . . . . 10 $/\$
40	37, 39	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$
41		dvdslegcd 12685	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
42	17, 11, 33, 40, 41	syl31anc 1277	. . . . . . . 8 $/\$
43	15, 36, 42	mp2and 433	. . . . . . 7
44		pockthlem.10	. . . . . . . . . 10
45	44	oveq1d 6073	. . . . . . . . 9
46		1z 9620	. . . . . . . . . . . . . 14
47		eluzp1m1 9896	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
48	46, 26, 47	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . 13
49	48, 22	eleqtrrdi 2328	. . . . . . . . . . . 12
50	49	nnnn0d 9570	. . . . . . . . . . 11
51		zexpcl 10940	. . . . . . . . . . 11 $/\$
52	11, 50, 51	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10
53		modgcd 12712	. . . . . . . . . 10 $/\$
54	52, 32, 53	syl2anc 411	. . . . . . . . 9
55		gcdcom 12694	. . . . . . . . . . 11 $/\$
56	46, 33, 55	sylancr 414	. . . . . . . . . 10
57		gcd1 12708	. . . . . . . . . . 11
58	33, 57	syl 14	. . . . . . . . . 10
59	56, 58	eqtrd 2267	. . . . . . . . 9
60	45, 54, 59	3eqtr3d 2275	. . . . . . . 8
61		rpexp 12875	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
62	11, 33, 49, 61	syl3anc 1274	. . . . . . . 8
63	60, 62	mpbid 147	. . . . . . 7
64	43, 63	breqtrd 4140	. . . . . 6
65	10	nnne0d 9299	. . . . . . . . 9
66		simpr 110	. . . . . . . . . 10 $/\$
67	66	necon3ai 2463	. . . . . . . . 9 $/\$
68	65, 67	syl 14	. . . . . . . 8 $/\$
69		gcdn0cl 12683	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
70	11, 12, 68, 69	syl21anc 1273	. . . . . . 7
71		nnle1eq1 9278	. . . . . . 7
72	70, 71	syl 14	. . . . . 6
73	64, 72	mpbid 147	. . . . 5
74		odzcl 12966	. . . . 5 $/\$ $/\$
75	10, 11, 73, 74	syl3anc 1274	. . . 4
76	75	nnzd 9717	. . 3
77		prmuz2 12853	. . . . . . . 8
78	8, 77	syl 14	. . . . . . 7
79	78, 28	eleqtrdi 2327	. . . . . 6
80		eluzp1m1 9896	. . . . . 6 $/\$
81	46, 79, 80	sylancr 414	. . . . 5
82	81, 22	eleqtrrdi 2328	. . . 4
83	82	nnzd 9717	. . 3
84	19	nnzd 9717	. . . . . 6
85	49	nnzd 9717	. . . . . 6
86		pcdvds 13038	. . . . . . 7 $/\$
87	1, 19, 86	syl2anc 411	. . . . . 6
88	20	nnzd 9717	. . . . . . . 8
89		dvdsmul1 12524	. . . . . . . 8 $/\$
90	84, 88, 89	syl2anc 411	. . . . . . 7
91	18	oveq1d 6073	. . . . . . . 8
92	21	nncnd 9268	. . . . . . . . 9
93		ax-1cn 8236	. . . . . . . . 9
94		pncan 8495	. . . . . . . . 9 $/\$
95	92, 93, 94	sylancl 413	. . . . . . . 8
96	91, 95	eqtrd 2267	. . . . . . 7
97	90, 96	breqtrrd 4142	. . . . . 6
98	7, 84, 85, 87, 97	dvdstrd 12541	. . . . 5
99	6	nnne0d 9299	. . . . . 6
100		dvdsval2 12501	. . . . . 6 $/\$ $/\$
101	7, 99, 85, 100	syl3anc 1274	. . . . 5
102	98, 101	mpbid 147	. . . 4
103		peano2zm 9632	. . . . . . . 8
104	52, 103	syl 14	. . . . . . 7
105		nnq 9983	. . . . . . . . . . 11
106	32, 105	syl 14	. . . . . . . . . 10
107	31	simprd 114	. . . . . . . . . 10
108		q1mod 10742	. . . . . . . . . 10 $/\$
109	106, 107, 108	syl2anc 411	. . . . . . . . 9
110	44, 109	eqtr4d 2270	. . . . . . . 8
111		1zzd 9621	. . . . . . . . 9
112		moddvds 12510	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
113	32, 52, 111, 112	syl3anc 1274	. . . . . . . 8
114	110, 113	mpbid 147	. . . . . . 7
115	12, 33, 104, 35, 114	dvdstrd 12541	. . . . . 6
116		odzdvds 12968	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
117	10, 11, 73, 50, 116	syl31anc 1277	. . . . . 6
118	115, 117	mpbid 147	. . . . 5
119	49	nncnd 9268	. . . . . 6
120	6	nncnd 9268	. . . . . 6
121	6	nnap0d 9300	. . . . . 6 #
122	119, 120, 121	divcanap1d 9082	. . . . 5
123	118, 122	breqtrrd 4142	. . . 4
124		nprmdvds1 12862	. . . . . 6
125	8, 124	syl 14	. . . . 5
126	3	nnzd 9717	. . . . . . . . . . . . 13
127		iddvdsexp 12526	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
128	126, 4, 127	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13
129	126, 7, 85, 128, 98	dvdstrd 12541	. . . . . . . . . . . 12
130	3	nnne0d 9299	. . . . . . . . . . . . 13
131		dvdsval2 12501	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
132	126, 130, 85, 131	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . 12
133	129, 132	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11
134	50	nn0ge0d 9573	. . . . . . . . . . . 12
135	49	nnred 9267	. . . . . . . . . . . . 13
136	3	nnred 9267	. . . . . . . . . . . . 13
137	3	nngt0d 9298	. . . . . . . . . . . . 13
138		ge0div 9162	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
139	135, 136, 137, 138	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . 12
140	134, 139	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11
141		elnn0z 9607	. . . . . . . . . . 11 $/\$
142	133, 140, 141	sylanbrc 417	. . . . . . . . . 10
143		zexpcl 10940	. . . . . . . . . 10 $/\$
144	11, 142, 143	syl2anc 411	. . . . . . . . 9
145		peano2zm 9632	. . . . . . . . 9
146	144, 145	syl 14	. . . . . . . 8
147		dvdsgcd 12733	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
148	12, 146, 33, 147	syl3anc 1274	. . . . . . 7 $/\$
149	35, 148	mpan2d 428	. . . . . 6
150		odzdvds 12968	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
151	10, 11, 73, 142, 150	syl31anc 1277	. . . . . . 7
152	3	nncnd 9268	. . . . . . . . . . 11
153	3	nnap0d 9300	. . . . . . . . . . 11 #
154	4	nnzd 9717	. . . . . . . . . . 11
155	152, 153, 154	expm1apd 11070	. . . . . . . . . 10
156	155	oveq2d 6074	. . . . . . . . 9
157	135, 6	nndivred 9304	. . . . . . . . . . 11
158	157	recnd 8318	. . . . . . . . . 10
159	158, 120, 152, 153	divassapd 9117	. . . . . . . . 9
160	122	oveq1d 6073	. . . . . . . . 9
161	156, 159, 160	3eqtr2d 2273	. . . . . . . 8
162	161	breq2d 4126	. . . . . . 7
163	151, 162	bitr4d 191	. . . . . 6
164		pockthlem.11	. . . . . . 7
165	164	breq2d 4126	. . . . . 6
166	149, 163, 165	3imtr3d 202	. . . . 5
167	125, 166	mtod 669	. . . 4
168		prmpwdvds 13078	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
169	102, 76, 1, 4, 123, 167, 168	syl222anc 1290	. . 3
170		odzphi 12969	. . . . 5 $/\$ $/\$
171	10, 11, 73, 170	syl3anc 1274	. . . 4
172		phiprm 12945	. . . . 5
173	8, 172	syl 14	. . . 4
174	171, 173	breqtrd 4140	. . 3
175	7, 76, 83, 169, 174	dvdstrd 12541	. 2
176		pcdvdsb 13043	. . 3 $/\$ $/\$
177	1, 83, 5, 176	syl3anc 1274	. 2
178	175, 177	mpbird 167	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105

wceq 1398

wcel 2205

wne 2414 class class class wbr 4114

cfv 5357 (class class class)co 6058

cc 8141

cr 8142

cc0 8143

c1 8144

caddc 8146

cmul 8148

clt 8324

cle 8325

cmin 8460

cdiv 8963

cn 9254

c2 9305

cn0 9513

cz 9594

cuz 9871

cq 9969

cmo 10708

cexp 10924

cdvds 12498

cgcd 12674

cprime 12829

codz 12930

cphi 12931

cpc 13007

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 717 ax-5 1496 ax-7 1497 ax-gen 1498 ax-ie1 1542 ax-ie2 1543 ax-8 1553 ax-10 1554 ax-11 1555 ax-i12 1556 ax-bndl 1558 ax-4 1559 ax-17 1575 ax-i9 1579 ax-ial 1583 ax-i5r 1584 ax-13 2207 ax-14 2208 ax-ext 2216 ax-coll 4230 ax-sep 4233 ax-nul 4241 ax-pow 4292 ax-pr 4327 ax-un 4559 ax-setind 4664 ax-iinf 4715 ax-cnex 8234 ax-resscn 8235 ax-1cn 8236 ax-1re 8237 ax-icn 8238 ax-addcl 8239 ax-addrcl 8240 ax-mulcl 8241 ax-mulrcl 8242 ax-addcom 8243 ax-mulcom 8244 ax-addass 8245 ax-mulass 8246 ax-distr 8247 ax-i2m1 8248 ax-0lt1 8249 ax-1rid 8250 ax-0id 8251 ax-rnegex 8252 ax-precex 8253 ax-cnre 8254 ax-pre-ltirr 8255 ax-pre-ltwlin 8256 ax-pre-lttrn 8257 ax-pre-apti 8258 ax-pre-ltadd 8259 ax-pre-mulgt0 8260 ax-pre-mulext 8261 ax-arch 8262 ax-caucvg 8263

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 839 df-dc 843 df-3or 1006 df-3an 1007 df-tru 1401 df-fal 1404 df-nf 1510 df-sb 1812 df-eu 2085 df-mo 2086 df-clab 2221 df-cleq 2227 df-clel 2230 df-nfc 2375 df-ne 2415 df-nel 2510 df-ral 2527 df-rex 2528 df-reu 2529 df-rmo 2530 df-rab 2531 df-v 2817 df-sbc 3046 df-csb 3142 df-dif 3216 df-un 3218 df-in 3220 df-ss 3227 df-nul 3513 df-if 3625 df-pw 3676 df-sn 3700 df-pr 3701 df-op 3703 df-uni 3920 df-int 3955 df-iun 3998 df-br 4115 df-opab 4177 df-mpt 4178 df-tr 4214 df-id 4419 df-po 4422 df-iso 4423 df-iord 4492 df-on 4494 df-ilim 4495 df-suc 4497 df-iom 4718 df-xp 4760 df-rel 4761 df-cnv 4762 df-co 4763 df-dm 4764 df-rn 4765 df-res 4766 df-ima 4767 df-iota 5317 df-fun 5359 df-fn 5360 df-f 5361 df-f1 5362 df-fo 5363 df-f1o 5364 df-fv 5365 df-isom 5366 df-riota 6011 df-ov 6061 df-oprab 6062 df-mpo 6063 df-1st 6347 df-2nd 6348 df-recs 6549 df-irdg 6614 df-frec 6635 df-1o 6660 df-2o 6661 df-oadd 6664 df-er 6780 df-en 6989 df-dom 6990 df-fin 6991 df-sup 7288 df-inf 7289 df-pnf 8326 df-mnf 8327 df-xr 8328 df-ltxr 8329 df-le 8330 df-sub 8462 df-neg 8463 df-reap 8866 df-ap 8873 df-div 8964 df-inn 9255 df-2 9313 df-3 9314 df-4 9315 df-n0 9514 df-z 9595 df-uz 9872 df-q 9970 df-rp 10005 df-fz 10362 df-fzo 10499 df-fl 10654 df-mod 10709 df-seqfrec 10834 df-exp 10925 df-ihash 11164 df-cj 11552 df-re 11553 df-im 11554 df-rsqrt 11708 df-abs 11709 df-clim 11989 df-proddc 12262 df-dvds 12499 df-gcd 12675 df-prm 12830 df-odz 12932 df-phi 12933 df-pc 13008

This theorem is referenced by: pockthg 13080

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