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Theorem pockthlem 12919

Description: Lemma for pockthg 12920. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
pockthg.1
pockthg.2
pockthg.3
pockthg.4
pockthlem.5
pockthlem.6
pockthlem.7
pockthlem.8
pockthlem.9
pockthlem.10
pockthlem.11

**Assertion**
Ref	Expression
pockthlem

**Proof of Theorem pockthlem**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		pockthlem.7	. . . . . 6
2		prmnn 12672	. . . . . 6
3	1, 2	syl 14	. . . . 5
4		pockthlem.8	. . . . . 6
5	4	nnnn0d 9445	. . . . 5
6	3, 5	nnexpcld 10947	. . . 4
7	6	nnzd 9591	. . 3
8		pockthlem.5	. . . . . 6
9		prmnn 12672	. . . . . 6
10	8, 9	syl 14	. . . . 5
11		pockthlem.9	. . . . 5
12	10	nnzd 9591	. . . . . . . . . 10
13		gcddvds 12524	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
14	11, 12, 13	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 $/\$
15	14	simpld 112	. . . . . . . 8
16	11, 12	gcdcld 12529	. . . . . . . . . 10
17	16	nn0zd 9590	. . . . . . . . 9
18		pockthg.4	. . . . . . . . . . . . . 14
19		pockthg.1	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
20		pockthg.2	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
21	19, 20	nnmulcld 9182	. . . . . . . . . . . . . . . 16
22		nnuz 9782	. . . . . . . . . . . . . . . 16
23	21, 22	eleqtrdi 2322	. . . . . . . . . . . . . . 15
24		eluzp1p1 9772	. . . . . . . . . . . . . . 15
25	23, 24	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14
26	18, 25	eqeltrd 2306	. . . . . . . . . . . . 13
27		df-2 9192	. . . . . . . . . . . . . 14
28	27	fveq2i 5638	. . . . . . . . . . . . 13
29	26, 28	eleqtrrdi 2323	. . . . . . . . . . . 12
30		eluz2b2 9827	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
31	29, 30	sylib 122	. . . . . . . . . . 11 $/\$
32	31	simpld 112	. . . . . . . . . 10
33	32	nnzd 9591	. . . . . . . . 9
34	14	simprd 114	. . . . . . . . 9
35		pockthlem.6	. . . . . . . . 9
36	17, 12, 33, 34, 35	dvdstrd 12381	. . . . . . . 8
37	32	nnne0d 9178	. . . . . . . . . 10
38		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 $/\$
39	38	necon3ai 2449	. . . . . . . . . 10 $/\$
40	37, 39	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$
41		dvdslegcd 12525	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
42	17, 11, 33, 40, 41	syl31anc 1274	. . . . . . . 8 $/\$
43	15, 36, 42	mp2and 433	. . . . . . 7
44		pockthlem.10	. . . . . . . . . 10
45	44	oveq1d 6028	. . . . . . . . 9
46		1z 9495	. . . . . . . . . . . . . 14
47		eluzp1m1 9770	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
48	46, 26, 47	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . 13
49	48, 22	eleqtrrdi 2323	. . . . . . . . . . . 12
50	49	nnnn0d 9445	. . . . . . . . . . 11
51		zexpcl 10806	. . . . . . . . . . 11 $/\$
52	11, 50, 51	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10
53		modgcd 12552	. . . . . . . . . 10 $/\$
54	52, 32, 53	syl2anc 411	. . . . . . . . 9
55		gcdcom 12534	. . . . . . . . . . 11 $/\$
56	46, 33, 55	sylancr 414	. . . . . . . . . 10
57		gcd1 12548	. . . . . . . . . . 11
58	33, 57	syl 14	. . . . . . . . . 10
59	56, 58	eqtrd 2262	. . . . . . . . 9
60	45, 54, 59	3eqtr3d 2270	. . . . . . . 8
61		rpexp 12715	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
62	11, 33, 49, 61	syl3anc 1271	. . . . . . . 8
63	60, 62	mpbid 147	. . . . . . 7
64	43, 63	breqtrd 4112	. . . . . 6
65	10	nnne0d 9178	. . . . . . . . 9
66		simpr 110	. . . . . . . . . 10 $/\$
67	66	necon3ai 2449	. . . . . . . . 9 $/\$
68	65, 67	syl 14	. . . . . . . 8 $/\$
69		gcdn0cl 12523	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
70	11, 12, 68, 69	syl21anc 1270	. . . . . . 7
71		nnle1eq1 9157	. . . . . . 7
72	70, 71	syl 14	. . . . . 6
73	64, 72	mpbid 147	. . . . 5
74		odzcl 12806	. . . . 5 $/\$ $/\$
75	10, 11, 73, 74	syl3anc 1271	. . . 4
76	75	nnzd 9591	. . 3
77		prmuz2 12693	. . . . . . . 8
78	8, 77	syl 14	. . . . . . 7
79	78, 28	eleqtrdi 2322	. . . . . 6
80		eluzp1m1 9770	. . . . . 6 $/\$
81	46, 79, 80	sylancr 414	. . . . 5
82	81, 22	eleqtrrdi 2323	. . . 4
83	82	nnzd 9591	. . 3
84	19	nnzd 9591	. . . . . 6
85	49	nnzd 9591	. . . . . 6
86		pcdvds 12878	. . . . . . 7 $/\$
87	1, 19, 86	syl2anc 411	. . . . . 6
88	20	nnzd 9591	. . . . . . . 8
89		dvdsmul1 12364	. . . . . . . 8 $/\$
90	84, 88, 89	syl2anc 411	. . . . . . 7
91	18	oveq1d 6028	. . . . . . . 8
92	21	nncnd 9147	. . . . . . . . 9
93		ax-1cn 8115	. . . . . . . . 9
94		pncan 8375	. . . . . . . . 9 $/\$
95	92, 93, 94	sylancl 413	. . . . . . . 8
96	91, 95	eqtrd 2262	. . . . . . 7
97	90, 96	breqtrrd 4114	. . . . . 6
98	7, 84, 85, 87, 97	dvdstrd 12381	. . . . 5
99	6	nnne0d 9178	. . . . . 6
100		dvdsval2 12341	. . . . . 6 $/\$ $/\$
101	7, 99, 85, 100	syl3anc 1271	. . . . 5
102	98, 101	mpbid 147	. . . 4
103		peano2zm 9507	. . . . . . . 8
104	52, 103	syl 14	. . . . . . 7
105		nnq 9857	. . . . . . . . . . 11
106	32, 105	syl 14	. . . . . . . . . 10
107	31	simprd 114	. . . . . . . . . 10
108		q1mod 10608	. . . . . . . . . 10 $/\$
109	106, 107, 108	syl2anc 411	. . . . . . . . 9
110	44, 109	eqtr4d 2265	. . . . . . . 8
111		1zzd 9496	. . . . . . . . 9
112		moddvds 12350	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
113	32, 52, 111, 112	syl3anc 1271	. . . . . . . 8
114	110, 113	mpbid 147	. . . . . . 7
115	12, 33, 104, 35, 114	dvdstrd 12381	. . . . . 6
116		odzdvds 12808	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
117	10, 11, 73, 50, 116	syl31anc 1274	. . . . . 6
118	115, 117	mpbid 147	. . . . 5
119	49	nncnd 9147	. . . . . 6
120	6	nncnd 9147	. . . . . 6
121	6	nnap0d 9179	. . . . . 6 #
122	119, 120, 121	divcanap1d 8961	. . . . 5
123	118, 122	breqtrrd 4114	. . . 4
124		nprmdvds1 12702	. . . . . 6
125	8, 124	syl 14	. . . . 5
126	3	nnzd 9591	. . . . . . . . . . . . 13
127		iddvdsexp 12366	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
128	126, 4, 127	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13
129	126, 7, 85, 128, 98	dvdstrd 12381	. . . . . . . . . . . 12
130	3	nnne0d 9178	. . . . . . . . . . . . 13
131		dvdsval2 12341	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
132	126, 130, 85, 131	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . . 12
133	129, 132	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11
134	50	nn0ge0d 9448	. . . . . . . . . . . 12
135	49	nnred 9146	. . . . . . . . . . . . 13
136	3	nnred 9146	. . . . . . . . . . . . 13
137	3	nngt0d 9177	. . . . . . . . . . . . 13
138		ge0div 9041	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
139	135, 136, 137, 138	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . . 12
140	134, 139	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11
141		elnn0z 9482	. . . . . . . . . . 11 $/\$
142	133, 140, 141	sylanbrc 417	. . . . . . . . . 10
143		zexpcl 10806	. . . . . . . . . 10 $/\$
144	11, 142, 143	syl2anc 411	. . . . . . . . 9
145		peano2zm 9507	. . . . . . . . 9
146	144, 145	syl 14	. . . . . . . 8
147		dvdsgcd 12573	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
148	12, 146, 33, 147	syl3anc 1271	. . . . . . 7 $/\$
149	35, 148	mpan2d 428	. . . . . 6
150		odzdvds 12808	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
151	10, 11, 73, 142, 150	syl31anc 1274	. . . . . . 7
152	3	nncnd 9147	. . . . . . . . . . 11
153	3	nnap0d 9179	. . . . . . . . . . 11 #
154	4	nnzd 9591	. . . . . . . . . . 11
155	152, 153, 154	expm1apd 10935	. . . . . . . . . 10
156	155	oveq2d 6029	. . . . . . . . 9
157	135, 6	nndivred 9183	. . . . . . . . . . 11
158	157	recnd 8198	. . . . . . . . . 10
159	158, 120, 152, 153	divassapd 8996	. . . . . . . . 9
160	122	oveq1d 6028	. . . . . . . . 9
161	156, 159, 160	3eqtr2d 2268	. . . . . . . 8
162	161	breq2d 4098	. . . . . . 7
163	151, 162	bitr4d 191	. . . . . 6
164		pockthlem.11	. . . . . . 7
165	164	breq2d 4098	. . . . . 6
166	149, 163, 165	3imtr3d 202	. . . . 5
167	125, 166	mtod 667	. . . 4
168		prmpwdvds 12918	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
169	102, 76, 1, 4, 123, 167, 168	syl222anc 1287	. . 3
170		odzphi 12809	. . . . 5 $/\$ $/\$
171	10, 11, 73, 170	syl3anc 1271	. . . 4
172		phiprm 12785	. . . . 5
173	8, 172	syl 14	. . . 4
174	171, 173	breqtrd 4112	. . 3
175	7, 76, 83, 169, 174	dvdstrd 12381	. 2
176		pcdvdsb 12883	. . 3 $/\$ $/\$
177	1, 83, 5, 176	syl3anc 1271	. 2
178	175, 177	mpbird 167	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105

wceq 1395

wcel 2200

wne 2400 class class class wbr 4086

cfv 5324 (class class class)co 6013

cc 8020

cr 8021

cc0 8022

c1 8023

caddc 8025

cmul 8027

clt 8204

cle 8205

cmin 8340

cdiv 8842

cn 9133

c2 9184

cn0 9392

cz 9469

cuz 9745

cq 9843

cmo 10574

cexp 10790

cdvds 12338

cgcd 12514

cprime 12669

codz 12770

cphi 12771

cpc 12847

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 617 ax-in2 618 ax-io 714 ax-5 1493 ax-7 1494 ax-gen 1495 ax-ie1 1539 ax-ie2 1540 ax-8 1550 ax-10 1551 ax-11 1552 ax-i12 1553 ax-bndl 1555 ax-4 1556 ax-17 1572 ax-i9 1576 ax-ial 1580 ax-i5r 1581 ax-13 2202 ax-14 2203 ax-ext 2211 ax-coll 4202 ax-sep 4205 ax-nul 4213 ax-pow 4262 ax-pr 4297 ax-un 4528 ax-setind 4633 ax-iinf 4684 ax-cnex 8113 ax-resscn 8114 ax-1cn 8115 ax-1re 8116 ax-icn 8117 ax-addcl 8118 ax-addrcl 8119 ax-mulcl 8120 ax-mulrcl 8121 ax-addcom 8122 ax-mulcom 8123 ax-addass 8124 ax-mulass 8125 ax-distr 8126 ax-i2m1 8127 ax-0lt1 8128 ax-1rid 8129 ax-0id 8130 ax-rnegex 8131 ax-precex 8132 ax-cnre 8133 ax-pre-ltirr 8134 ax-pre-ltwlin 8135 ax-pre-lttrn 8136 ax-pre-apti 8137 ax-pre-ltadd 8138 ax-pre-mulgt0 8139 ax-pre-mulext 8140 ax-arch 8141 ax-caucvg 8142

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 836 df-dc 840 df-3or 1003 df-3an 1004 df-tru 1398 df-fal 1401 df-nf 1507 df-sb 1809 df-eu 2080 df-mo 2081 df-clab 2216 df-cleq 2222 df-clel 2225 df-nfc 2361 df-ne 2401 df-nel 2496 df-ral 2513 df-rex 2514 df-reu 2515 df-rmo 2516 df-rab 2517 df-v 2802 df-sbc 3030 df-csb 3126 df-dif 3200 df-un 3202 df-in 3204 df-ss 3211 df-nul 3493 df-if 3604 df-pw 3652 df-sn 3673 df-pr 3674 df-op 3676 df-uni 3892 df-int 3927 df-iun 3970 df-br 4087 df-opab 4149 df-mpt 4150 df-tr 4186 df-id 4388 df-po 4391 df-iso 4392 df-iord 4461 df-on 4463 df-ilim 4464 df-suc 4466 df-iom 4687 df-xp 4729 df-rel 4730 df-cnv 4731 df-co 4732 df-dm 4733 df-rn 4734 df-res 4735 df-ima 4736 df-iota 5284 df-fun 5326 df-fn 5327 df-f 5328 df-f1 5329 df-fo 5330 df-f1o 5331 df-fv 5332 df-isom 5333 df-riota 5966 df-ov 6016 df-oprab 6017 df-mpo 6018 df-1st 6298 df-2nd 6299 df-recs 6466 df-irdg 6531 df-frec 6552 df-1o 6577 df-2o 6578 df-oadd 6581 df-er 6697 df-en 6905 df-dom 6906 df-fin 6907 df-sup 7174 df-inf 7175 df-pnf 8206 df-mnf 8207 df-xr 8208 df-ltxr 8209 df-le 8210 df-sub 8342 df-neg 8343 df-reap 8745 df-ap 8752 df-div 8843 df-inn 9134 df-2 9192 df-3 9193 df-4 9194 df-n0 9393 df-z 9470 df-uz 9746 df-q 9844 df-rp 9879 df-fz 10234 df-fzo 10368 df-fl 10520 df-mod 10575 df-seqfrec 10700 df-exp 10791 df-ihash 11028 df-cj 11393 df-re 11394 df-im 11395 df-rsqrt 11549 df-abs 11550 df-clim 11830 df-proddc 12102 df-dvds 12339 df-gcd 12515 df-prm 12670 df-odz 12772 df-phi 12773 df-pc 12848

This theorem is referenced by: pockthg 12920

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