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Theorem pockthlem 12947

Description: Lemma for pockthg 12948. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
pockthg.1
pockthg.2
pockthg.3
pockthg.4
pockthlem.5
pockthlem.6
pockthlem.7
pockthlem.8
pockthlem.9
pockthlem.10
pockthlem.11

**Assertion**
Ref	Expression
pockthlem

**Proof of Theorem pockthlem**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		pockthlem.7	. . . . . 6
2		prmnn 12700	. . . . . 6
3	1, 2	syl 14	. . . . 5
4		pockthlem.8	. . . . . 6
5	4	nnnn0d 9455	. . . . 5
6	3, 5	nnexpcld 10958	. . . 4
7	6	nnzd 9601	. . 3
8		pockthlem.5	. . . . . 6
9		prmnn 12700	. . . . . 6
10	8, 9	syl 14	. . . . 5
11		pockthlem.9	. . . . 5
12	10	nnzd 9601	. . . . . . . . . 10
13		gcddvds 12552	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
14	11, 12, 13	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 $/\$
15	14	simpld 112	. . . . . . . 8
16	11, 12	gcdcld 12557	. . . . . . . . . 10
17	16	nn0zd 9600	. . . . . . . . 9
18		pockthg.4	. . . . . . . . . . . . . 14
19		pockthg.1	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
20		pockthg.2	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
21	19, 20	nnmulcld 9192	. . . . . . . . . . . . . . . 16
22		nnuz 9792	. . . . . . . . . . . . . . . 16
23	21, 22	eleqtrdi 2324	. . . . . . . . . . . . . . 15
24		eluzp1p1 9782	. . . . . . . . . . . . . . 15
25	23, 24	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14
26	18, 25	eqeltrd 2308	. . . . . . . . . . . . 13
27		df-2 9202	. . . . . . . . . . . . . 14
28	27	fveq2i 5642	. . . . . . . . . . . . 13
29	26, 28	eleqtrrdi 2325	. . . . . . . . . . . 12
30		eluz2b2 9837	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
31	29, 30	sylib 122	. . . . . . . . . . 11 $/\$
32	31	simpld 112	. . . . . . . . . 10
33	32	nnzd 9601	. . . . . . . . 9
34	14	simprd 114	. . . . . . . . 9
35		pockthlem.6	. . . . . . . . 9
36	17, 12, 33, 34, 35	dvdstrd 12409	. . . . . . . 8
37	32	nnne0d 9188	. . . . . . . . . 10
38		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 $/\$
39	38	necon3ai 2451	. . . . . . . . . 10 $/\$
40	37, 39	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$
41		dvdslegcd 12553	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
42	17, 11, 33, 40, 41	syl31anc 1276	. . . . . . . 8 $/\$
43	15, 36, 42	mp2and 433	. . . . . . 7
44		pockthlem.10	. . . . . . . . . 10
45	44	oveq1d 6033	. . . . . . . . 9
46		1z 9505	. . . . . . . . . . . . . 14
47		eluzp1m1 9780	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
48	46, 26, 47	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . 13
49	48, 22	eleqtrrdi 2325	. . . . . . . . . . . 12
50	49	nnnn0d 9455	. . . . . . . . . . 11
51		zexpcl 10817	. . . . . . . . . . 11 $/\$
52	11, 50, 51	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10
53		modgcd 12580	. . . . . . . . . 10 $/\$
54	52, 32, 53	syl2anc 411	. . . . . . . . 9
55		gcdcom 12562	. . . . . . . . . . 11 $/\$
56	46, 33, 55	sylancr 414	. . . . . . . . . 10
57		gcd1 12576	. . . . . . . . . . 11
58	33, 57	syl 14	. . . . . . . . . 10
59	56, 58	eqtrd 2264	. . . . . . . . 9
60	45, 54, 59	3eqtr3d 2272	. . . . . . . 8
61		rpexp 12743	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
62	11, 33, 49, 61	syl3anc 1273	. . . . . . . 8
63	60, 62	mpbid 147	. . . . . . 7
64	43, 63	breqtrd 4114	. . . . . 6
65	10	nnne0d 9188	. . . . . . . . 9
66		simpr 110	. . . . . . . . . 10 $/\$
67	66	necon3ai 2451	. . . . . . . . 9 $/\$
68	65, 67	syl 14	. . . . . . . 8 $/\$
69		gcdn0cl 12551	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
70	11, 12, 68, 69	syl21anc 1272	. . . . . . 7
71		nnle1eq1 9167	. . . . . . 7
72	70, 71	syl 14	. . . . . 6
73	64, 72	mpbid 147	. . . . 5
74		odzcl 12834	. . . . 5 $/\$ $/\$
75	10, 11, 73, 74	syl3anc 1273	. . . 4
76	75	nnzd 9601	. . 3
77		prmuz2 12721	. . . . . . . 8
78	8, 77	syl 14	. . . . . . 7
79	78, 28	eleqtrdi 2324	. . . . . 6
80		eluzp1m1 9780	. . . . . 6 $/\$
81	46, 79, 80	sylancr 414	. . . . 5
82	81, 22	eleqtrrdi 2325	. . . 4
83	82	nnzd 9601	. . 3
84	19	nnzd 9601	. . . . . 6
85	49	nnzd 9601	. . . . . 6
86		pcdvds 12906	. . . . . . 7 $/\$
87	1, 19, 86	syl2anc 411	. . . . . 6
88	20	nnzd 9601	. . . . . . . 8
89		dvdsmul1 12392	. . . . . . . 8 $/\$
90	84, 88, 89	syl2anc 411	. . . . . . 7
91	18	oveq1d 6033	. . . . . . . 8
92	21	nncnd 9157	. . . . . . . . 9
93		ax-1cn 8125	. . . . . . . . 9
94		pncan 8385	. . . . . . . . 9 $/\$
95	92, 93, 94	sylancl 413	. . . . . . . 8
96	91, 95	eqtrd 2264	. . . . . . 7
97	90, 96	breqtrrd 4116	. . . . . 6
98	7, 84, 85, 87, 97	dvdstrd 12409	. . . . 5
99	6	nnne0d 9188	. . . . . 6
100		dvdsval2 12369	. . . . . 6 $/\$ $/\$
101	7, 99, 85, 100	syl3anc 1273	. . . . 5
102	98, 101	mpbid 147	. . . 4
103		peano2zm 9517	. . . . . . . 8
104	52, 103	syl 14	. . . . . . 7
105		nnq 9867	. . . . . . . . . . 11
106	32, 105	syl 14	. . . . . . . . . 10
107	31	simprd 114	. . . . . . . . . 10
108		q1mod 10619	. . . . . . . . . 10 $/\$
109	106, 107, 108	syl2anc 411	. . . . . . . . 9
110	44, 109	eqtr4d 2267	. . . . . . . 8
111		1zzd 9506	. . . . . . . . 9
112		moddvds 12378	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
113	32, 52, 111, 112	syl3anc 1273	. . . . . . . 8
114	110, 113	mpbid 147	. . . . . . 7
115	12, 33, 104, 35, 114	dvdstrd 12409	. . . . . 6
116		odzdvds 12836	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
117	10, 11, 73, 50, 116	syl31anc 1276	. . . . . 6
118	115, 117	mpbid 147	. . . . 5
119	49	nncnd 9157	. . . . . 6
120	6	nncnd 9157	. . . . . 6
121	6	nnap0d 9189	. . . . . 6 #
122	119, 120, 121	divcanap1d 8971	. . . . 5
123	118, 122	breqtrrd 4116	. . . 4
124		nprmdvds1 12730	. . . . . 6
125	8, 124	syl 14	. . . . 5
126	3	nnzd 9601	. . . . . . . . . . . . 13
127		iddvdsexp 12394	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
128	126, 4, 127	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13
129	126, 7, 85, 128, 98	dvdstrd 12409	. . . . . . . . . . . 12
130	3	nnne0d 9188	. . . . . . . . . . . . 13
131		dvdsval2 12369	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
132	126, 130, 85, 131	syl3anc 1273	. . . . . . . . . . . 12
133	129, 132	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11
134	50	nn0ge0d 9458	. . . . . . . . . . . 12
135	49	nnred 9156	. . . . . . . . . . . . 13
136	3	nnred 9156	. . . . . . . . . . . . 13
137	3	nngt0d 9187	. . . . . . . . . . . . 13
138		ge0div 9051	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
139	135, 136, 137, 138	syl3anc 1273	. . . . . . . . . . . 12
140	134, 139	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11
141		elnn0z 9492	. . . . . . . . . . 11 $/\$
142	133, 140, 141	sylanbrc 417	. . . . . . . . . 10
143		zexpcl 10817	. . . . . . . . . 10 $/\$
144	11, 142, 143	syl2anc 411	. . . . . . . . 9
145		peano2zm 9517	. . . . . . . . 9
146	144, 145	syl 14	. . . . . . . 8
147		dvdsgcd 12601	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
148	12, 146, 33, 147	syl3anc 1273	. . . . . . 7 $/\$
149	35, 148	mpan2d 428	. . . . . 6
150		odzdvds 12836	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
151	10, 11, 73, 142, 150	syl31anc 1276	. . . . . . 7
152	3	nncnd 9157	. . . . . . . . . . 11
153	3	nnap0d 9189	. . . . . . . . . . 11 #
154	4	nnzd 9601	. . . . . . . . . . 11
155	152, 153, 154	expm1apd 10946	. . . . . . . . . 10
156	155	oveq2d 6034	. . . . . . . . 9
157	135, 6	nndivred 9193	. . . . . . . . . . 11
158	157	recnd 8208	. . . . . . . . . 10
159	158, 120, 152, 153	divassapd 9006	. . . . . . . . 9
160	122	oveq1d 6033	. . . . . . . . 9
161	156, 159, 160	3eqtr2d 2270	. . . . . . . 8
162	161	breq2d 4100	. . . . . . 7
163	151, 162	bitr4d 191	. . . . . 6
164		pockthlem.11	. . . . . . 7
165	164	breq2d 4100	. . . . . 6
166	149, 163, 165	3imtr3d 202	. . . . 5
167	125, 166	mtod 669	. . . 4
168		prmpwdvds 12946	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
169	102, 76, 1, 4, 123, 167, 168	syl222anc 1289	. . 3
170		odzphi 12837	. . . . 5 $/\$ $/\$
171	10, 11, 73, 170	syl3anc 1273	. . . 4
172		phiprm 12813	. . . . 5
173	8, 172	syl 14	. . . 4
174	171, 173	breqtrd 4114	. . 3
175	7, 76, 83, 169, 174	dvdstrd 12409	. 2
176		pcdvdsb 12911	. . 3 $/\$ $/\$
177	1, 83, 5, 176	syl3anc 1273	. 2
178	175, 177	mpbird 167	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105

wceq 1397

wcel 2202

wne 2402 class class class wbr 4088

cfv 5326 (class class class)co 6018

cc 8030

cr 8031

cc0 8032

c1 8033

caddc 8035

cmul 8037

clt 8214

cle 8215

cmin 8350

cdiv 8852

cn 9143

c2 9194

cn0 9402

cz 9479

cuz 9755

cq 9853

cmo 10585

cexp 10801

cdvds 12366

cgcd 12542

cprime 12697

codz 12798

cphi 12799

cpc 12875

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 716 ax-5 1495 ax-7 1496 ax-gen 1497 ax-ie1 1541 ax-ie2 1542 ax-8 1552 ax-10 1553 ax-11 1554 ax-i12 1555 ax-bndl 1557 ax-4 1558 ax-17 1574 ax-i9 1578 ax-ial 1582 ax-i5r 1583 ax-13 2204 ax-14 2205 ax-ext 2213 ax-coll 4204 ax-sep 4207 ax-nul 4215 ax-pow 4264 ax-pr 4299 ax-un 4530 ax-setind 4635 ax-iinf 4686 ax-cnex 8123 ax-resscn 8124 ax-1cn 8125 ax-1re 8126 ax-icn 8127 ax-addcl 8128 ax-addrcl 8129 ax-mulcl 8130 ax-mulrcl 8131 ax-addcom 8132 ax-mulcom 8133 ax-addass 8134 ax-mulass 8135 ax-distr 8136 ax-i2m1 8137 ax-0lt1 8138 ax-1rid 8139 ax-0id 8140 ax-rnegex 8141 ax-precex 8142 ax-cnre 8143 ax-pre-ltirr 8144 ax-pre-ltwlin 8145 ax-pre-lttrn 8146 ax-pre-apti 8147 ax-pre-ltadd 8148 ax-pre-mulgt0 8149 ax-pre-mulext 8150 ax-arch 8151 ax-caucvg 8152

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 838 df-dc 842 df-3or 1005 df-3an 1006 df-tru 1400 df-fal 1403 df-nf 1509 df-sb 1811 df-eu 2082 df-mo 2083 df-clab 2218 df-cleq 2224 df-clel 2227 df-nfc 2363 df-ne 2403 df-nel 2498 df-ral 2515 df-rex 2516 df-reu 2517 df-rmo 2518 df-rab 2519 df-v 2804 df-sbc 3032 df-csb 3128 df-dif 3202 df-un 3204 df-in 3206 df-ss 3213 df-nul 3495 df-if 3606 df-pw 3654 df-sn 3675 df-pr 3676 df-op 3678 df-uni 3894 df-int 3929 df-iun 3972 df-br 4089 df-opab 4151 df-mpt 4152 df-tr 4188 df-id 4390 df-po 4393 df-iso 4394 df-iord 4463 df-on 4465 df-ilim 4466 df-suc 4468 df-iom 4689 df-xp 4731 df-rel 4732 df-cnv 4733 df-co 4734 df-dm 4735 df-rn 4736 df-res 4737 df-ima 4738 df-iota 5286 df-fun 5328 df-fn 5329 df-f 5330 df-f1 5331 df-fo 5332 df-f1o 5333 df-fv 5334 df-isom 5335 df-riota 5971 df-ov 6021 df-oprab 6022 df-mpo 6023 df-1st 6303 df-2nd 6304 df-recs 6471 df-irdg 6536 df-frec 6557 df-1o 6582 df-2o 6583 df-oadd 6586 df-er 6702 df-en 6910 df-dom 6911 df-fin 6912 df-sup 7183 df-inf 7184 df-pnf 8216 df-mnf 8217 df-xr 8218 df-ltxr 8219 df-le 8220 df-sub 8352 df-neg 8353 df-reap 8755 df-ap 8762 df-div 8853 df-inn 9144 df-2 9202 df-3 9203 df-4 9204 df-n0 9403 df-z 9480 df-uz 9756 df-q 9854 df-rp 9889 df-fz 10244 df-fzo 10378 df-fl 10531 df-mod 10586 df-seqfrec 10711 df-exp 10802 df-ihash 11039 df-cj 11420 df-re 11421 df-im 11422 df-rsqrt 11576 df-abs 11577 df-clim 11857 df-proddc 12130 df-dvds 12367 df-gcd 12543 df-prm 12698 df-odz 12800 df-phi 12801 df-pc 12876

This theorem is referenced by: pockthg 12948

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