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Theorem pockthlem 12525

Description: Lemma for pockthg 12526. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
pockthg.1
pockthg.2
pockthg.3
pockthg.4
pockthlem.5
pockthlem.6
pockthlem.7
pockthlem.8
pockthlem.9
pockthlem.10
pockthlem.11

**Assertion**
Ref	Expression
pockthlem

**Proof of Theorem pockthlem**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		pockthlem.7	. . . . . 6
2		prmnn 12278	. . . . . 6
3	1, 2	syl 14	. . . . 5
4		pockthlem.8	. . . . . 6
5	4	nnnn0d 9302	. . . . 5
6	3, 5	nnexpcld 10787	. . . 4
7	6	nnzd 9447	. . 3
8		pockthlem.5	. . . . . 6
9		prmnn 12278	. . . . . 6
10	8, 9	syl 14	. . . . 5
11		pockthlem.9	. . . . 5
12	10	nnzd 9447	. . . . . . . . . 10
13		gcddvds 12130	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
14	11, 12, 13	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 $/\$
15	14	simpld 112	. . . . . . . 8
16	11, 12	gcdcld 12135	. . . . . . . . . 10
17	16	nn0zd 9446	. . . . . . . . 9
18		pockthg.4	. . . . . . . . . . . . . 14
19		pockthg.1	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
20		pockthg.2	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
21	19, 20	nnmulcld 9039	. . . . . . . . . . . . . . . 16
22		nnuz 9637	. . . . . . . . . . . . . . . 16
23	21, 22	eleqtrdi 2289	. . . . . . . . . . . . . . 15
24		eluzp1p1 9627	. . . . . . . . . . . . . . 15
25	23, 24	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14
26	18, 25	eqeltrd 2273	. . . . . . . . . . . . 13
27		df-2 9049	. . . . . . . . . . . . . 14
28	27	fveq2i 5561	. . . . . . . . . . . . 13
29	26, 28	eleqtrrdi 2290	. . . . . . . . . . . 12
30		eluz2b2 9677	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
31	29, 30	sylib 122	. . . . . . . . . . 11 $/\$
32	31	simpld 112	. . . . . . . . . 10
33	32	nnzd 9447	. . . . . . . . 9
34	14	simprd 114	. . . . . . . . 9
35		pockthlem.6	. . . . . . . . 9
36	17, 12, 33, 34, 35	dvdstrd 11995	. . . . . . . 8
37	32	nnne0d 9035	. . . . . . . . . 10
38		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 $/\$
39	38	necon3ai 2416	. . . . . . . . . 10 $/\$
40	37, 39	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$
41		dvdslegcd 12131	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
42	17, 11, 33, 40, 41	syl31anc 1252	. . . . . . . 8 $/\$
43	15, 36, 42	mp2and 433	. . . . . . 7
44		pockthlem.10	. . . . . . . . . 10
45	44	oveq1d 5937	. . . . . . . . 9
46		1z 9352	. . . . . . . . . . . . . 14
47		eluzp1m1 9625	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
48	46, 26, 47	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . 13
49	48, 22	eleqtrrdi 2290	. . . . . . . . . . . 12
50	49	nnnn0d 9302	. . . . . . . . . . 11
51		zexpcl 10646	. . . . . . . . . . 11 $/\$
52	11, 50, 51	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10
53		modgcd 12158	. . . . . . . . . 10 $/\$
54	52, 32, 53	syl2anc 411	. . . . . . . . 9
55		gcdcom 12140	. . . . . . . . . . 11 $/\$
56	46, 33, 55	sylancr 414	. . . . . . . . . 10
57		gcd1 12154	. . . . . . . . . . 11
58	33, 57	syl 14	. . . . . . . . . 10
59	56, 58	eqtrd 2229	. . . . . . . . 9
60	45, 54, 59	3eqtr3d 2237	. . . . . . . 8
61		rpexp 12321	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
62	11, 33, 49, 61	syl3anc 1249	. . . . . . . 8
63	60, 62	mpbid 147	. . . . . . 7
64	43, 63	breqtrd 4059	. . . . . 6
65	10	nnne0d 9035	. . . . . . . . 9
66		simpr 110	. . . . . . . . . 10 $/\$
67	66	necon3ai 2416	. . . . . . . . 9 $/\$
68	65, 67	syl 14	. . . . . . . 8 $/\$
69		gcdn0cl 12129	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
70	11, 12, 68, 69	syl21anc 1248	. . . . . . 7
71		nnle1eq1 9014	. . . . . . 7
72	70, 71	syl 14	. . . . . 6
73	64, 72	mpbid 147	. . . . 5
74		odzcl 12412	. . . . 5 $/\$ $/\$
75	10, 11, 73, 74	syl3anc 1249	. . . 4
76	75	nnzd 9447	. . 3
77		prmuz2 12299	. . . . . . . 8
78	8, 77	syl 14	. . . . . . 7
79	78, 28	eleqtrdi 2289	. . . . . 6
80		eluzp1m1 9625	. . . . . 6 $/\$
81	46, 79, 80	sylancr 414	. . . . 5
82	81, 22	eleqtrrdi 2290	. . . 4
83	82	nnzd 9447	. . 3
84	19	nnzd 9447	. . . . . 6
85	49	nnzd 9447	. . . . . 6
86		pcdvds 12484	. . . . . . 7 $/\$
87	1, 19, 86	syl2anc 411	. . . . . 6
88	20	nnzd 9447	. . . . . . . 8
89		dvdsmul1 11978	. . . . . . . 8 $/\$
90	84, 88, 89	syl2anc 411	. . . . . . 7
91	18	oveq1d 5937	. . . . . . . 8
92	21	nncnd 9004	. . . . . . . . 9
93		ax-1cn 7972	. . . . . . . . 9
94		pncan 8232	. . . . . . . . 9 $/\$
95	92, 93, 94	sylancl 413	. . . . . . . 8
96	91, 95	eqtrd 2229	. . . . . . 7
97	90, 96	breqtrrd 4061	. . . . . 6
98	7, 84, 85, 87, 97	dvdstrd 11995	. . . . 5
99	6	nnne0d 9035	. . . . . 6
100		dvdsval2 11955	. . . . . 6 $/\$ $/\$
101	7, 99, 85, 100	syl3anc 1249	. . . . 5
102	98, 101	mpbid 147	. . . 4
103		peano2zm 9364	. . . . . . . 8
104	52, 103	syl 14	. . . . . . 7
105		nnq 9707	. . . . . . . . . . 11
106	32, 105	syl 14	. . . . . . . . . 10
107	31	simprd 114	. . . . . . . . . 10
108		q1mod 10448	. . . . . . . . . 10 $/\$
109	106, 107, 108	syl2anc 411	. . . . . . . . 9
110	44, 109	eqtr4d 2232	. . . . . . . 8
111		1zzd 9353	. . . . . . . . 9
112		moddvds 11964	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
113	32, 52, 111, 112	syl3anc 1249	. . . . . . . 8
114	110, 113	mpbid 147	. . . . . . 7
115	12, 33, 104, 35, 114	dvdstrd 11995	. . . . . 6
116		odzdvds 12414	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
117	10, 11, 73, 50, 116	syl31anc 1252	. . . . . 6
118	115, 117	mpbid 147	. . . . 5
119	49	nncnd 9004	. . . . . 6
120	6	nncnd 9004	. . . . . 6
121	6	nnap0d 9036	. . . . . 6 #
122	119, 120, 121	divcanap1d 8818	. . . . 5
123	118, 122	breqtrrd 4061	. . . 4
124		nprmdvds1 12308	. . . . . 6
125	8, 124	syl 14	. . . . 5
126	3	nnzd 9447	. . . . . . . . . . . . 13
127		iddvdsexp 11980	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
128	126, 4, 127	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13
129	126, 7, 85, 128, 98	dvdstrd 11995	. . . . . . . . . . . 12
130	3	nnne0d 9035	. . . . . . . . . . . . 13
131		dvdsval2 11955	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
132	126, 130, 85, 131	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . 12
133	129, 132	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11
134	50	nn0ge0d 9305	. . . . . . . . . . . 12
135	49	nnred 9003	. . . . . . . . . . . . 13
136	3	nnred 9003	. . . . . . . . . . . . 13
137	3	nngt0d 9034	. . . . . . . . . . . . 13
138		ge0div 8898	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
139	135, 136, 137, 138	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . 12
140	134, 139	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11
141		elnn0z 9339	. . . . . . . . . . 11 $/\$
142	133, 140, 141	sylanbrc 417	. . . . . . . . . 10
143		zexpcl 10646	. . . . . . . . . 10 $/\$
144	11, 142, 143	syl2anc 411	. . . . . . . . 9
145		peano2zm 9364	. . . . . . . . 9
146	144, 145	syl 14	. . . . . . . 8
147		dvdsgcd 12179	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
148	12, 146, 33, 147	syl3anc 1249	. . . . . . 7 $/\$
149	35, 148	mpan2d 428	. . . . . 6
150		odzdvds 12414	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
151	10, 11, 73, 142, 150	syl31anc 1252	. . . . . . 7
152	3	nncnd 9004	. . . . . . . . . . 11
153	3	nnap0d 9036	. . . . . . . . . . 11 #
154	4	nnzd 9447	. . . . . . . . . . 11
155	152, 153, 154	expm1apd 10775	. . . . . . . . . 10
156	155	oveq2d 5938	. . . . . . . . 9
157	135, 6	nndivred 9040	. . . . . . . . . . 11
158	157	recnd 8055	. . . . . . . . . 10
159	158, 120, 152, 153	divassapd 8853	. . . . . . . . 9
160	122	oveq1d 5937	. . . . . . . . 9
161	156, 159, 160	3eqtr2d 2235	. . . . . . . 8
162	161	breq2d 4045	. . . . . . 7
163	151, 162	bitr4d 191	. . . . . 6
164		pockthlem.11	. . . . . . 7
165	164	breq2d 4045	. . . . . 6
166	149, 163, 165	3imtr3d 202	. . . . 5
167	125, 166	mtod 664	. . . 4
168		prmpwdvds 12524	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
169	102, 76, 1, 4, 123, 167, 168	syl222anc 1265	. . 3
170		odzphi 12415	. . . . 5 $/\$ $/\$
171	10, 11, 73, 170	syl3anc 1249	. . . 4
172		phiprm 12391	. . . . 5
173	8, 172	syl 14	. . . 4
174	171, 173	breqtrd 4059	. . 3
175	7, 76, 83, 169, 174	dvdstrd 11995	. 2
176		pcdvdsb 12489	. . 3 $/\$ $/\$
177	1, 83, 5, 176	syl3anc 1249	. 2
178	175, 177	mpbird 167	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105

wceq 1364

wcel 2167

wne 2367 class class class wbr 4033

cfv 5258 (class class class)co 5922

cc 7877

cr 7878

cc0 7879

c1 7880

caddc 7882

cmul 7884

clt 8061

cle 8062

cmin 8197

cdiv 8699

cn 8990

c2 9041

cn0 9249

cz 9326

cuz 9601

cq 9693

cmo 10414

cexp 10630

cdvds 11952

cgcd 12120

cprime 12275

codz 12376

cphi 12377

cpc 12453

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1461 ax-7 1462 ax-gen 1463 ax-ie1 1507 ax-ie2 1508 ax-8 1518 ax-10 1519 ax-11 1520 ax-i12 1521 ax-bndl 1523 ax-4 1524 ax-17 1540 ax-i9 1544 ax-ial 1548 ax-i5r 1549 ax-13 2169 ax-14 2170 ax-ext 2178 ax-coll 4148 ax-sep 4151 ax-nul 4159 ax-pow 4207 ax-pr 4242 ax-un 4468 ax-setind 4573 ax-iinf 4624 ax-cnex 7970 ax-resscn 7971 ax-1cn 7972 ax-1re 7973 ax-icn 7974 ax-addcl 7975 ax-addrcl 7976 ax-mulcl 7977 ax-mulrcl 7978 ax-addcom 7979 ax-mulcom 7980 ax-addass 7981 ax-mulass 7982 ax-distr 7983 ax-i2m1 7984 ax-0lt1 7985 ax-1rid 7986 ax-0id 7987 ax-rnegex 7988 ax-precex 7989 ax-cnre 7990 ax-pre-ltirr 7991 ax-pre-ltwlin 7992 ax-pre-lttrn 7993 ax-pre-apti 7994 ax-pre-ltadd 7995 ax-pre-mulgt0 7996 ax-pre-mulext 7997 ax-arch 7998 ax-caucvg 7999

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 832 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1475 df-sb 1777 df-eu 2048 df-mo 2049 df-clab 2183 df-cleq 2189 df-clel 2192 df-nfc 2328 df-ne 2368 df-nel 2463 df-ral 2480 df-rex 2481 df-reu 2482 df-rmo 2483 df-rab 2484 df-v 2765 df-sbc 2990 df-csb 3085 df-dif 3159 df-un 3161 df-in 3163 df-ss 3170 df-nul 3451 df-if 3562 df-pw 3607 df-sn 3628 df-pr 3629 df-op 3631 df-uni 3840 df-int 3875 df-iun 3918 df-br 4034 df-opab 4095 df-mpt 4096 df-tr 4132 df-id 4328 df-po 4331 df-iso 4332 df-iord 4401 df-on 4403 df-ilim 4404 df-suc 4406 df-iom 4627 df-xp 4669 df-rel 4670 df-cnv 4671 df-co 4672 df-dm 4673 df-rn 4674 df-res 4675 df-ima 4676 df-iota 5219 df-fun 5260 df-fn 5261 df-f 5262 df-f1 5263 df-fo 5264 df-f1o 5265 df-fv 5266 df-isom 5267 df-riota 5877 df-ov 5925 df-oprab 5926 df-mpo 5927 df-1st 6198 df-2nd 6199 df-recs 6363 df-irdg 6428 df-frec 6449 df-1o 6474 df-2o 6475 df-oadd 6478 df-er 6592 df-en 6800 df-dom 6801 df-fin 6802 df-sup 7050 df-inf 7051 df-pnf 8063 df-mnf 8064 df-xr 8065 df-ltxr 8066 df-le 8067 df-sub 8199 df-neg 8200 df-reap 8602 df-ap 8609 df-div 8700 df-inn 8991 df-2 9049 df-3 9050 df-4 9051 df-n0 9250 df-z 9327 df-uz 9602 df-q 9694 df-rp 9729 df-fz 10084 df-fzo 10218 df-fl 10360 df-mod 10415 df-seqfrec 10540 df-exp 10631 df-ihash 10868 df-cj 11007 df-re 11008 df-im 11009 df-rsqrt 11163 df-abs 11164 df-clim 11444 df-proddc 11716 df-dvds 11953 df-gcd 12121 df-prm 12276 df-odz 12378 df-phi 12379 df-pc 12454

This theorem is referenced by: pockthg 12526

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