Theorem pockthlem 12295

Description: Lemma for pockthg 12296. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pockthg.1	|- ( ph -> A e. NN )
pockthg.2	|- ( ph -> B e. NN )
pockthg.3	|- ( ph -> B < A )
pockthg.4	|- ( ph -> N = ( ( A x. B ) + 1 ) )
pockthlem.5	|- ( ph -> P e. Prime )
pockthlem.6	|- ( ph -> P || N )
pockthlem.7	|- ( ph -> Q e. Prime )
pockthlem.8	|- ( ph -> ( Q pCnt A ) e. NN )
pockthlem.9	|- ( ph -> C e. ZZ )
pockthlem.10	|- ( ph -> ( ( C ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 )
pockthlem.11	|- ( ph -> ( ( ( C ^ ( ( N - 1 ) / Q ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 )

Assertion

Ref	Expression
pockthlem	|- ( ph -> ( Q pCnt A ) <_ ( Q pCnt ( P - 1 ) ) )

Proof of Theorem pockthlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pockthlem.7	. . . . . 6 |- ( ph -> Q e. Prime )
2		prmnn 12051	. . . . . 6 |- ( Q e. Prime -> Q e. NN )
3	1, 2	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> Q e. NN )
4		pockthlem.8	. . . . . 6 |- ( ph -> ( Q pCnt A ) e. NN )
5	4	nnnn0d 9175	. . . . 5 |- ( ph -> ( Q pCnt A ) e. NN0 )
6	3, 5	nnexpcld 10618	. . . 4 |- ( ph -> ( Q ^ ( Q pCnt A ) ) e. NN )
7	6	nnzd 9320	. . 3 |- ( ph -> ( Q ^ ( Q pCnt A ) ) e. ZZ )
8		pockthlem.5	. . . . . 6 |- ( ph -> P e. Prime )
9		prmnn 12051	. . . . . 6 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
10	8, 9	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> P e. NN )
11		pockthlem.9	. . . . 5 |- ( ph -> C e. ZZ )
12	10	nnzd 9320	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> P e. ZZ )
13		gcddvds 11905	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( ( C gcd P ) || C /\ ( C gcd P ) || P ) )
14	11, 12, 13	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( C gcd P ) || C /\ ( C gcd P ) || P ) )
15	14	simpld 111	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( C gcd P ) || C )
16	11, 12	gcdcld 11910	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( C gcd P ) e. NN0 )
17	16	nn0zd 9319	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( C gcd P ) e. ZZ )
18		pockthg.4	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> N = ( ( A x. B ) + 1 ) )
19		pockthg.1	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> A e. NN )
20		pockthg.2	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> B e. NN )
21	19, 20	nnmulcld 8914	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( A x. B ) e. NN )
22		nnuz 9509	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
23	21, 22	eleqtrdi 2263	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( A x. B ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
24		eluzp1p1 9499	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A x. B ) e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ( A x. B ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) )
25	23, 24	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( A x. B ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) )
26	18, 25	eqeltrd 2247	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) )
27		df-2 8924	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 = ( 1 + 1 )
28	27	fveq2i 5497	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ZZ>= ` 2 ) = ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) )
29	26, 28	eleqtrrdi 2264	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 2 ) )
30		eluz2b2 9549	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( N e. NN /\ 1 < N ) )
31	29, 30	sylib 121	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( N e. NN /\ 1 < N ) )
32	31	simpld 111	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. NN )
33	32	nnzd 9320	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. ZZ )
34	14	simprd 113	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( C gcd P ) || P )
35		pockthlem.6	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> P || N )
36	17, 12, 33, 34, 35	dvdstrd 11779	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( C gcd P ) || N )
37	32	nnne0d 8910	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N =/= 0 )
38		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C = 0 /\ N = 0 ) -> N = 0 )
39	38	necon3ai 2389	. . . . . . . . . 10 |- ( N =/= 0 -> -. ( C = 0 /\ N = 0 ) )
40	37, 39	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> -. ( C = 0 /\ N = 0 ) )
41		dvdslegcd 11906	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( C gcd P ) e. ZZ /\ C e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. ( C = 0 /\ N = 0 ) ) -> ( ( ( C gcd P ) || C /\ ( C gcd P ) || N ) -> ( C gcd P ) <_ ( C gcd N ) ) )
42	17, 11, 33, 40, 41	syl31anc 1236	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( C gcd P ) || C /\ ( C gcd P ) || N ) -> ( C gcd P ) <_ ( C gcd N ) ) )
43	15, 36, 42	mp2and 431	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( C gcd P ) <_ ( C gcd N ) )
44		pockthlem.10	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( C ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 )
45	44	oveq1d 5865	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( C ^ ( N - 1 ) ) mod N ) gcd N ) = ( 1 gcd N ) )
46		1z 9225	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. ZZ
47		eluzp1m1 9497	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 e. ZZ /\ N e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
48	46, 26, 47	sylancr 412	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
49	48, 22	eleqtrrdi 2264	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( N - 1 ) e. NN )
50	49	nnnn0d 9175	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( N - 1 ) e. NN0 )
51		zexpcl 10478	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. ZZ /\ ( N - 1 ) e. NN0 ) -> ( C ^ ( N - 1 ) ) e. ZZ )
52	11, 50, 51	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( C ^ ( N - 1 ) ) e. ZZ )
53		modgcd 11933	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( C ^ ( N - 1 ) ) e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( ( C ^ ( N - 1 ) ) mod N ) gcd N ) = ( ( C ^ ( N - 1 ) ) gcd N ) )
54	52, 32, 53	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( C ^ ( N - 1 ) ) mod N ) gcd N ) = ( ( C ^ ( N - 1 ) ) gcd N ) )
55		gcdcom 11915	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 1 gcd N ) = ( N gcd 1 ) )
56	46, 33, 55	sylancr 412	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 gcd N ) = ( N gcd 1 ) )
57		gcd1 11929	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ZZ -> ( N gcd 1 ) = 1 )
58	33, 57	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( N gcd 1 ) = 1 )
59	56, 58	eqtrd 2203	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 gcd N ) = 1 )
60	45, 54, 59	3eqtr3d 2211	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( C ^ ( N - 1 ) ) gcd N ) = 1 )
61		rpexp 12094	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( N - 1 ) e. NN ) -> ( ( ( C ^ ( N - 1 ) ) gcd N ) = 1 <-> ( C gcd N ) = 1 ) )
62	11, 33, 49, 61	syl3anc 1233	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( C ^ ( N - 1 ) ) gcd N ) = 1 <-> ( C gcd N ) = 1 ) )
63	60, 62	mpbid 146	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( C gcd N ) = 1 )
64	43, 63	breqtrd 4013	. . . . . 6 |- ( ph -> ( C gcd P ) <_ 1 )
65	10	nnne0d 8910	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> P =/= 0 )
66		simpr 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C = 0 /\ P = 0 ) -> P = 0 )
67	66	necon3ai 2389	. . . . . . . . 9 |- ( P =/= 0 -> -. ( C = 0 /\ P = 0 ) )
68	65, 67	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> -. ( C = 0 /\ P = 0 ) )
69		gcdn0cl 11904	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. ZZ /\ P e. ZZ ) /\ -. ( C = 0 /\ P = 0 ) ) -> ( C gcd P ) e. NN )
70	11, 12, 68, 69	syl21anc 1232	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( C gcd P ) e. NN )
71		nnle1eq1 8889	. . . . . . 7 |- ( ( C gcd P ) e. NN -> ( ( C gcd P ) <_ 1 <-> ( C gcd P ) = 1 ) )
72	70, 71	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( C gcd P ) <_ 1 <-> ( C gcd P ) = 1 ) )
73	64, 72	mpbid 146	. . . . 5 |- ( ph -> ( C gcd P ) = 1 )
74		odzcl 12184	. . . . 5 |- ( ( P e. NN /\ C e. ZZ /\ ( C gcd P ) = 1 ) -> ( ( odZ ` P ) ` C ) e. NN )
75	10, 11, 73, 74	syl3anc 1233	. . . 4 |- ( ph -> ( ( odZ ` P ) ` C ) e. NN )
76	75	nnzd 9320	. . 3 |- ( ph -> ( ( odZ ` P ) ` C ) e. ZZ )
77		prmuz2 12072	. . . . . . . 8 |- ( P e. Prime -> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
78	8, 77	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
79	78, 28	eleqtrdi 2263	. . . . . 6 |- ( ph -> P e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) )
80		eluzp1m1 9497	. . . . . 6 |- ( ( 1 e. ZZ /\ P e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> ( P - 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
81	46, 79, 80	sylancr 412	. . . . 5 |- ( ph -> ( P - 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
82	81, 22	eleqtrrdi 2264	. . . 4 |- ( ph -> ( P - 1 ) e. NN )
83	82	nnzd 9320	. . 3 |- ( ph -> ( P - 1 ) e. ZZ )
84	19	nnzd 9320	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. ZZ )
85	49	nnzd 9320	. . . . . 6 |- ( ph -> ( N - 1 ) e. ZZ )
86		pcdvds 12255	. . . . . . 7 |- ( ( Q e. Prime /\ A e. NN ) -> ( Q ^ ( Q pCnt A ) ) || A )
87	1, 19, 86	syl2anc 409	. . . . . 6 |- ( ph -> ( Q ^ ( Q pCnt A ) ) || A )
88	20	nnzd 9320	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. ZZ )
89		dvdsmul1 11762	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> A || ( A x. B ) )
90	84, 88, 89	syl2anc 409	. . . . . . 7 |- ( ph -> A || ( A x. B ) )
91	18	oveq1d 5865	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( N - 1 ) = ( ( ( A x. B ) + 1 ) - 1 ) )
92	21	nncnd 8879	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A x. B ) e. CC )
93		ax-1cn 7854	. . . . . . . . 9 |- 1 e. CC
94		pncan 8112	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A x. B ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( A x. B ) + 1 ) - 1 ) = ( A x. B ) )
95	92, 93, 94	sylancl 411	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( A x. B ) + 1 ) - 1 ) = ( A x. B ) )
96	91, 95	eqtrd 2203	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( N - 1 ) = ( A x. B ) )
97	90, 96	breqtrrd 4015	. . . . . 6 |- ( ph -> A || ( N - 1 ) )
98	7, 84, 85, 87, 97	dvdstrd 11779	. . . . 5 |- ( ph -> ( Q ^ ( Q pCnt A ) ) || ( N - 1 ) )
99	6	nnne0d 8910	. . . . . 6 |- ( ph -> ( Q ^ ( Q pCnt A ) ) =/= 0 )
100		dvdsval2 11739	. . . . . 6 |- ( ( ( Q ^ ( Q pCnt A ) ) e. ZZ /\ ( Q ^ ( Q pCnt A ) ) =/= 0 /\ ( N - 1 ) e. ZZ ) -> ( ( Q ^ ( Q pCnt A ) ) || ( N - 1 ) <-> ( ( N - 1 ) / ( Q ^ ( Q pCnt A ) ) ) e. ZZ ) )
101	7, 99, 85, 100	syl3anc 1233	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( Q ^ ( Q pCnt A ) ) || ( N - 1 ) <-> ( ( N - 1 ) / ( Q ^ ( Q pCnt A ) ) ) e. ZZ ) )
102	98, 101	mpbid 146	. . . 4 |- ( ph -> ( ( N - 1 ) / ( Q ^ ( Q pCnt A ) ) ) e. ZZ )
103		peano2zm 9237	. . . . . . . 8 |- ( ( C ^ ( N - 1 ) ) e. ZZ -> ( ( C ^ ( N - 1 ) ) - 1 ) e. ZZ )
104	52, 103	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( C ^ ( N - 1 ) ) - 1 ) e. ZZ )
105		nnq 9579	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> N e. QQ )
106	32, 105	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. QQ )
107	31	simprd 113	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 1 < N )
108		q1mod 10299	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. QQ /\ 1 < N ) -> ( 1 mod N ) = 1 )
109	106, 107, 108	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 mod N ) = 1 )
110	44, 109	eqtr4d 2206	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( C ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = ( 1 mod N ) )
111		1zzd 9226	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
112		moddvds 11748	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ ( C ^ ( N - 1 ) ) e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> ( ( ( C ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = ( 1 mod N ) <-> N || ( ( C ^ ( N - 1 ) ) - 1 ) ) )
113	32, 52, 111, 112	syl3anc 1233	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( C ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = ( 1 mod N ) <-> N || ( ( C ^ ( N - 1 ) ) - 1 ) ) )
114	110, 113	mpbid 146	. . . . . . 7 |- ( ph -> N || ( ( C ^ ( N - 1 ) ) - 1 ) )
115	12, 33, 104, 35, 114	dvdstrd 11779	. . . . . 6 |- ( ph -> P || ( ( C ^ ( N - 1 ) ) - 1 ) )
116		odzdvds 12186	. . . . . . 7 |- ( ( ( P e. NN /\ C e. ZZ /\ ( C gcd P ) = 1 ) /\ ( N - 1 ) e. NN0 ) -> ( P || ( ( C ^ ( N - 1 ) ) - 1 ) <-> ( ( odZ ` P ) ` C ) || ( N - 1 ) ) )
117	10, 11, 73, 50, 116	syl31anc 1236	. . . . . 6 |- ( ph -> ( P || ( ( C ^ ( N - 1 ) ) - 1 ) <-> ( ( odZ ` P ) ` C ) || ( N - 1 ) ) )
118	115, 117	mpbid 146	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( odZ ` P ) ` C ) || ( N - 1 ) )
119	49	nncnd 8879	. . . . . 6 |- ( ph -> ( N - 1 ) e. CC )
120	6	nncnd 8879	. . . . . 6 |- ( ph -> ( Q ^ ( Q pCnt A ) ) e. CC )
121	6	nnap0d 8911	. . . . . 6 |- ( ph -> ( Q ^ ( Q pCnt A ) ) # 0 )
122	119, 120, 121	divcanap1d 8695	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( N - 1 ) / ( Q ^ ( Q pCnt A ) ) ) x. ( Q ^ ( Q pCnt A ) ) ) = ( N - 1 ) )
123	118, 122	breqtrrd 4015	. . . 4 |- ( ph -> ( ( odZ ` P ) ` C ) || ( ( ( N - 1 ) / ( Q ^ ( Q pCnt A ) ) ) x. ( Q ^ ( Q pCnt A ) ) ) )
124		nprmdvds1 12081	. . . . . 6 |- ( P e. Prime -> -. P || 1 )
125	8, 124	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> -. P || 1 )
126	3	nnzd 9320	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> Q e. ZZ )
127		iddvdsexp 11764	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Q e. ZZ /\ ( Q pCnt A ) e. NN ) -> Q || ( Q ^ ( Q pCnt A ) ) )
128	126, 4, 127	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> Q || ( Q ^ ( Q pCnt A ) ) )
129	126, 7, 85, 128, 98	dvdstrd 11779	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> Q || ( N - 1 ) )
130	3	nnne0d 8910	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> Q =/= 0 )
131		dvdsval2 11739	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Q e. ZZ /\ Q =/= 0 /\ ( N - 1 ) e. ZZ ) -> ( Q || ( N - 1 ) <-> ( ( N - 1 ) / Q ) e. ZZ ) )
132	126, 130, 85, 131	syl3anc 1233	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( Q || ( N - 1 ) <-> ( ( N - 1 ) / Q ) e. ZZ ) )
133	129, 132	mpbid 146	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( N - 1 ) / Q ) e. ZZ )
134	50	nn0ge0d 9178	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 <_ ( N - 1 ) )
135	49	nnred 8878	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( N - 1 ) e. RR )
136	3	nnred 8878	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> Q e. RR )
137	3	nngt0d 8909	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 0 < Q )
138		ge0div 8774	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N - 1 ) e. RR /\ Q e. RR /\ 0 < Q ) -> ( 0 <_ ( N - 1 ) <-> 0 <_ ( ( N - 1 ) / Q ) ) )
139	135, 136, 137, 138	syl3anc 1233	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 0 <_ ( N - 1 ) <-> 0 <_ ( ( N - 1 ) / Q ) ) )
140	134, 139	mpbid 146	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 <_ ( ( N - 1 ) / Q ) )
141		elnn0z 9212	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N - 1 ) / Q ) e. NN0 <-> ( ( ( N - 1 ) / Q ) e. ZZ /\ 0 <_ ( ( N - 1 ) / Q ) ) )
142	133, 140, 141	sylanbrc 415	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( N - 1 ) / Q ) e. NN0 )
143		zexpcl 10478	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. ZZ /\ ( ( N - 1 ) / Q ) e. NN0 ) -> ( C ^ ( ( N - 1 ) / Q ) ) e. ZZ )
144	11, 142, 143	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( C ^ ( ( N - 1 ) / Q ) ) e. ZZ )
145		peano2zm 9237	. . . . . . . . 9 |- ( ( C ^ ( ( N - 1 ) / Q ) ) e. ZZ -> ( ( C ^ ( ( N - 1 ) / Q ) ) - 1 ) e. ZZ )
146	144, 145	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( C ^ ( ( N - 1 ) / Q ) ) - 1 ) e. ZZ )
147		dvdsgcd 11954	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. ZZ /\ ( ( C ^ ( ( N - 1 ) / Q ) ) - 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( P || ( ( C ^ ( ( N - 1 ) / Q ) ) - 1 ) /\ P || N ) -> P || ( ( ( C ^ ( ( N - 1 ) / Q ) ) - 1 ) gcd N ) ) )
148	12, 146, 33, 147	syl3anc 1233	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( P || ( ( C ^ ( ( N - 1 ) / Q ) ) - 1 ) /\ P || N ) -> P || ( ( ( C ^ ( ( N - 1 ) / Q ) ) - 1 ) gcd N ) ) )
149	35, 148	mpan2d 426	. . . . . 6 |- ( ph -> ( P || ( ( C ^ ( ( N - 1 ) / Q ) ) - 1 ) -> P || ( ( ( C ^ ( ( N - 1 ) / Q ) ) - 1 ) gcd N ) ) )
150		odzdvds 12186	. . . . . . . 8 |- ( ( ( P e. NN /\ C e. ZZ /\ ( C gcd P ) = 1 ) /\ ( ( N - 1 ) / Q ) e. NN0 ) -> ( P || ( ( C ^ ( ( N - 1 ) / Q ) ) - 1 ) <-> ( ( odZ ` P ) ` C ) || ( ( N - 1 ) / Q ) ) )
151	10, 11, 73, 142, 150	syl31anc 1236	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( P || ( ( C ^ ( ( N - 1 ) / Q ) ) - 1 ) <-> ( ( odZ ` P ) ` C ) || ( ( N - 1 ) / Q ) ) )
152	3	nncnd 8879	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Q e. CC )
153	3	nnap0d 8911	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Q # 0 )
154	4	nnzd 9320	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( Q pCnt A ) e. ZZ )
155	152, 153, 154	expm1apd 10606	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Q ^ ( ( Q pCnt A ) - 1 ) ) = ( ( Q ^ ( Q pCnt A ) ) / Q ) )
156	155	oveq2d 5866	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( N - 1 ) / ( Q ^ ( Q pCnt A ) ) ) x. ( Q ^ ( ( Q pCnt A ) - 1 ) ) ) = ( ( ( N - 1 ) / ( Q ^ ( Q pCnt A ) ) ) x. ( ( Q ^ ( Q pCnt A ) ) / Q ) ) )
157	135, 6	nndivred 8915	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( N - 1 ) / ( Q ^ ( Q pCnt A ) ) ) e. RR )
158	157	recnd 7935	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( N - 1 ) / ( Q ^ ( Q pCnt A ) ) ) e. CC )
159	158, 120, 152, 153	divassapd 8730	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( ( N - 1 ) / ( Q ^ ( Q pCnt A ) ) ) x. ( Q ^ ( Q pCnt A ) ) ) / Q ) = ( ( ( N - 1 ) / ( Q ^ ( Q pCnt A ) ) ) x. ( ( Q ^ ( Q pCnt A ) ) / Q ) ) )
160	122	oveq1d 5865	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( ( N - 1 ) / ( Q ^ ( Q pCnt A ) ) ) x. ( Q ^ ( Q pCnt A ) ) ) / Q ) = ( ( N - 1 ) / Q ) )
161	156, 159, 160	3eqtr2d 2209	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( N - 1 ) / ( Q ^ ( Q pCnt A ) ) ) x. ( Q ^ ( ( Q pCnt A ) - 1 ) ) ) = ( ( N - 1 ) / Q ) )
162	161	breq2d 3999	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( odZ ` P ) ` C ) || ( ( ( N - 1 ) / ( Q ^ ( Q pCnt A ) ) ) x. ( Q ^ ( ( Q pCnt A ) - 1 ) ) ) <-> ( ( odZ ` P ) ` C ) || ( ( N - 1 ) / Q ) ) )
163	151, 162	bitr4d 190	. . . . . 6 |- ( ph -> ( P || ( ( C ^ ( ( N - 1 ) / Q ) ) - 1 ) <-> ( ( odZ ` P ) ` C ) || ( ( ( N - 1 ) / ( Q ^ ( Q pCnt A ) ) ) x. ( Q ^ ( ( Q pCnt A ) - 1 ) ) ) ) )
164		pockthlem.11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( C ^ ( ( N - 1 ) / Q ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 )
165	164	breq2d 3999	. . . . . 6 |- ( ph -> ( P || ( ( ( C ^ ( ( N - 1 ) / Q ) ) - 1 ) gcd N ) <-> P || 1 ) )
166	149, 163, 165	3imtr3d 201	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( odZ ` P ) ` C ) || ( ( ( N - 1 ) / ( Q ^ ( Q pCnt A ) ) ) x. ( Q ^ ( ( Q pCnt A ) - 1 ) ) ) -> P || 1 ) )
167	125, 166	mtod 658	. . . 4 |- ( ph -> -. ( ( odZ ` P ) ` C ) || ( ( ( N - 1 ) / ( Q ^ ( Q pCnt A ) ) ) x. ( Q ^ ( ( Q pCnt A ) - 1 ) ) ) )
168		prmpwdvds 12294	. . . 4 |- ( ( ( ( ( N - 1 ) / ( Q ^ ( Q pCnt A ) ) ) e. ZZ /\ ( ( odZ ` P ) ` C ) e. ZZ ) /\ ( Q e. Prime /\ ( Q pCnt A ) e. NN ) /\ ( ( ( odZ ` P ) ` C ) || ( ( ( N - 1 ) / ( Q ^ ( Q pCnt A ) ) ) x. ( Q ^ ( Q pCnt A ) ) ) /\ -. ( ( odZ ` P ) ` C ) || ( ( ( N - 1 ) / ( Q ^ ( Q pCnt A ) ) ) x. ( Q ^ ( ( Q pCnt A ) - 1 ) ) ) ) ) -> ( Q ^ ( Q pCnt A ) ) || ( ( odZ ` P ) ` C ) )
169	102, 76, 1, 4, 123, 167, 168	syl222anc 1249	. . 3 |- ( ph -> ( Q ^ ( Q pCnt A ) ) || ( ( odZ ` P ) ` C ) )
170		odzphi 12187	. . . . 5 |- ( ( P e. NN /\ C e. ZZ /\ ( C gcd P ) = 1 ) -> ( ( odZ ` P ) ` C ) || ( phi ` P ) )
171	10, 11, 73, 170	syl3anc 1233	. . . 4 |- ( ph -> ( ( odZ ` P ) ` C ) || ( phi ` P ) )
172		phiprm 12164	. . . . 5 |- ( P e. Prime -> ( phi ` P ) = ( P - 1 ) )
173	8, 172	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( phi ` P ) = ( P - 1 ) )
174	171, 173	breqtrd 4013	. . 3 |- ( ph -> ( ( odZ ` P ) ` C ) || ( P - 1 ) )
175	7, 76, 83, 169, 174	dvdstrd 11779	. 2 |- ( ph -> ( Q ^ ( Q pCnt A ) ) || ( P - 1 ) )
176		pcdvdsb 12260	. . 3 |- ( ( Q e. Prime /\ ( P - 1 ) e. ZZ /\ ( Q pCnt A ) e. NN0 ) -> ( ( Q pCnt A ) <_ ( Q pCnt ( P - 1 ) ) <-> ( Q ^ ( Q pCnt A ) ) || ( P - 1 ) ) )
177	1, 83, 5, 176	syl3anc 1233	. 2 |- ( ph -> ( ( Q pCnt A ) <_ ( Q pCnt ( P - 1 ) ) <-> ( Q ^ ( Q pCnt A ) ) || ( P - 1 ) ) )
178	175, 177	mpbird 166	1 |- ( ph -> ( Q pCnt A ) <_ ( Q pCnt ( P - 1 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   e. wcel 2141   =/= wne 2340   class class class wbr 3987   ` cfv 5196  (class class class)co 5850   CCcc 7759   RRcr 7760   0cc0 7761   1c1 7762   + caddc 7764   x. cmul 7766   < clt 7941   <_ cle 7942   - cmin 8077   / cdiv 8576   NNcn 8865   2c2 8916   NN0cn0 9122   ZZcz 9199   ZZ>=cuz 9474   QQcq 9565   mod cmo 10265   ^cexp 10462   || cdvds 11736   gcd cgcd 11884   Primecprime 12048   odZcodz 12149   phicphi 12150   pCnt cpc 12225

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-mulrcl 7860  ax-addcom 7861  ax-mulcom 7862  ax-addass 7863  ax-mulass 7864  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-1rid 7868  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-precex 7871  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-apti 7876  ax-pre-ltadd 7877  ax-pre-mulgt0 7878  ax-pre-mulext 7879  ax-arch 7880  ax-caucvg 7881

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 826  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-isom 5205  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-1st 6116  df-2nd 6117  df-recs 6281  df-irdg 6346  df-frec 6367  df-1o 6392  df-2o 6393  df-oadd 6396  df-er 6509  df-en 6715  df-dom 6716  df-fin 6717  df-sup 6957  df-inf 6958  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-reap 8481  df-ap 8488  df-div 8577  df-inn 8866  df-2 8924  df-3 8925  df-4 8926  df-n0 9123  df-z 9200  df-uz 9475  df-q 9566  df-rp 9598  df-fz 9953  df-fzo 10086  df-fl 10213  df-mod 10266  df-seqfrec 10389  df-exp 10463  df-ihash 10697  df-cj 10793  df-re 10794  df-im 10795  df-rsqrt 10949  df-abs 10950  df-clim 11229  df-proddc 11501  df-dvds 11737  df-gcd 11885  df-prm 12049  df-odz 12151  df-phi 12152  df-pc 12226

This theorem is referenced by:  pockthg  12296