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Theorem pockthlem 12354

Description: Lemma for pockthg 12355. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
pockthg.1
pockthg.2
pockthg.3
pockthg.4
pockthlem.5
pockthlem.6
pockthlem.7
pockthlem.8
pockthlem.9
pockthlem.10
pockthlem.11

**Assertion**
Ref	Expression
pockthlem

**Proof of Theorem pockthlem**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		pockthlem.7	. . . . . 6
2		prmnn 12110	. . . . . 6
3	1, 2	syl 14	. . . . 5
4		pockthlem.8	. . . . . 6
5	4	nnnn0d 9229	. . . . 5
6	3, 5	nnexpcld 10676	. . . 4
7	6	nnzd 9374	. . 3
8		pockthlem.5	. . . . . 6
9		prmnn 12110	. . . . . 6
10	8, 9	syl 14	. . . . 5
11		pockthlem.9	. . . . 5
12	10	nnzd 9374	. . . . . . . . . 10
13		gcddvds 11964	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
14	11, 12, 13	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 $/\$
15	14	simpld 112	. . . . . . . 8
16	11, 12	gcdcld 11969	. . . . . . . . . 10
17	16	nn0zd 9373	. . . . . . . . 9
18		pockthg.4	. . . . . . . . . . . . . 14
19		pockthg.1	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
20		pockthg.2	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
21	19, 20	nnmulcld 8968	. . . . . . . . . . . . . . . 16
22		nnuz 9563	. . . . . . . . . . . . . . . 16
23	21, 22	eleqtrdi 2270	. . . . . . . . . . . . . . 15
24		eluzp1p1 9553	. . . . . . . . . . . . . . 15
25	23, 24	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14
26	18, 25	eqeltrd 2254	. . . . . . . . . . . . 13
27		df-2 8978	. . . . . . . . . . . . . 14
28	27	fveq2i 5519	. . . . . . . . . . . . 13
29	26, 28	eleqtrrdi 2271	. . . . . . . . . . . 12
30		eluz2b2 9603	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
31	29, 30	sylib 122	. . . . . . . . . . 11 $/\$
32	31	simpld 112	. . . . . . . . . 10
33	32	nnzd 9374	. . . . . . . . 9
34	14	simprd 114	. . . . . . . . 9
35		pockthlem.6	. . . . . . . . 9
36	17, 12, 33, 34, 35	dvdstrd 11837	. . . . . . . 8
37	32	nnne0d 8964	. . . . . . . . . 10
38		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 $/\$
39	38	necon3ai 2396	. . . . . . . . . 10 $/\$
40	37, 39	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$
41		dvdslegcd 11965	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
42	17, 11, 33, 40, 41	syl31anc 1241	. . . . . . . 8 $/\$
43	15, 36, 42	mp2and 433	. . . . . . 7
44		pockthlem.10	. . . . . . . . . 10
45	44	oveq1d 5890	. . . . . . . . 9
46		1z 9279	. . . . . . . . . . . . . 14
47		eluzp1m1 9551	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
48	46, 26, 47	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . 13
49	48, 22	eleqtrrdi 2271	. . . . . . . . . . . 12
50	49	nnnn0d 9229	. . . . . . . . . . 11
51		zexpcl 10535	. . . . . . . . . . 11 $/\$
52	11, 50, 51	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10
53		modgcd 11992	. . . . . . . . . 10 $/\$
54	52, 32, 53	syl2anc 411	. . . . . . . . 9
55		gcdcom 11974	. . . . . . . . . . 11 $/\$
56	46, 33, 55	sylancr 414	. . . . . . . . . 10
57		gcd1 11988	. . . . . . . . . . 11
58	33, 57	syl 14	. . . . . . . . . 10
59	56, 58	eqtrd 2210	. . . . . . . . 9
60	45, 54, 59	3eqtr3d 2218	. . . . . . . 8
61		rpexp 12153	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
62	11, 33, 49, 61	syl3anc 1238	. . . . . . . 8
63	60, 62	mpbid 147	. . . . . . 7
64	43, 63	breqtrd 4030	. . . . . 6
65	10	nnne0d 8964	. . . . . . . . 9
66		simpr 110	. . . . . . . . . 10 $/\$
67	66	necon3ai 2396	. . . . . . . . 9 $/\$
68	65, 67	syl 14	. . . . . . . 8 $/\$
69		gcdn0cl 11963	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
70	11, 12, 68, 69	syl21anc 1237	. . . . . . 7
71		nnle1eq1 8943	. . . . . . 7
72	70, 71	syl 14	. . . . . 6
73	64, 72	mpbid 147	. . . . 5
74		odzcl 12243	. . . . 5 $/\$ $/\$
75	10, 11, 73, 74	syl3anc 1238	. . . 4
76	75	nnzd 9374	. . 3
77		prmuz2 12131	. . . . . . . 8
78	8, 77	syl 14	. . . . . . 7
79	78, 28	eleqtrdi 2270	. . . . . 6
80		eluzp1m1 9551	. . . . . 6 $/\$
81	46, 79, 80	sylancr 414	. . . . 5
82	81, 22	eleqtrrdi 2271	. . . 4
83	82	nnzd 9374	. . 3
84	19	nnzd 9374	. . . . . 6
85	49	nnzd 9374	. . . . . 6
86		pcdvds 12314	. . . . . . 7 $/\$
87	1, 19, 86	syl2anc 411	. . . . . 6
88	20	nnzd 9374	. . . . . . . 8
89		dvdsmul1 11820	. . . . . . . 8 $/\$
90	84, 88, 89	syl2anc 411	. . . . . . 7
91	18	oveq1d 5890	. . . . . . . 8
92	21	nncnd 8933	. . . . . . . . 9
93		ax-1cn 7904	. . . . . . . . 9
94		pncan 8163	. . . . . . . . 9 $/\$
95	92, 93, 94	sylancl 413	. . . . . . . 8
96	91, 95	eqtrd 2210	. . . . . . 7
97	90, 96	breqtrrd 4032	. . . . . 6
98	7, 84, 85, 87, 97	dvdstrd 11837	. . . . 5
99	6	nnne0d 8964	. . . . . 6
100		dvdsval2 11797	. . . . . 6 $/\$ $/\$
101	7, 99, 85, 100	syl3anc 1238	. . . . 5
102	98, 101	mpbid 147	. . . 4
103		peano2zm 9291	. . . . . . . 8
104	52, 103	syl 14	. . . . . . 7
105		nnq 9633	. . . . . . . . . . 11
106	32, 105	syl 14	. . . . . . . . . 10
107	31	simprd 114	. . . . . . . . . 10
108		q1mod 10356	. . . . . . . . . 10 $/\$
109	106, 107, 108	syl2anc 411	. . . . . . . . 9
110	44, 109	eqtr4d 2213	. . . . . . . 8
111		1zzd 9280	. . . . . . . . 9
112		moddvds 11806	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
113	32, 52, 111, 112	syl3anc 1238	. . . . . . . 8
114	110, 113	mpbid 147	. . . . . . 7
115	12, 33, 104, 35, 114	dvdstrd 11837	. . . . . 6
116		odzdvds 12245	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
117	10, 11, 73, 50, 116	syl31anc 1241	. . . . . 6
118	115, 117	mpbid 147	. . . . 5
119	49	nncnd 8933	. . . . . 6
120	6	nncnd 8933	. . . . . 6
121	6	nnap0d 8965	. . . . . 6 #
122	119, 120, 121	divcanap1d 8748	. . . . 5
123	118, 122	breqtrrd 4032	. . . 4
124		nprmdvds1 12140	. . . . . 6
125	8, 124	syl 14	. . . . 5
126	3	nnzd 9374	. . . . . . . . . . . . 13
127		iddvdsexp 11822	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
128	126, 4, 127	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13
129	126, 7, 85, 128, 98	dvdstrd 11837	. . . . . . . . . . . 12
130	3	nnne0d 8964	. . . . . . . . . . . . 13
131		dvdsval2 11797	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
132	126, 130, 85, 131	syl3anc 1238	. . . . . . . . . . . 12
133	129, 132	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11
134	50	nn0ge0d 9232	. . . . . . . . . . . 12
135	49	nnred 8932	. . . . . . . . . . . . 13
136	3	nnred 8932	. . . . . . . . . . . . 13
137	3	nngt0d 8963	. . . . . . . . . . . . 13
138		ge0div 8828	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
139	135, 136, 137, 138	syl3anc 1238	. . . . . . . . . . . 12
140	134, 139	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11
141		elnn0z 9266	. . . . . . . . . . 11 $/\$
142	133, 140, 141	sylanbrc 417	. . . . . . . . . 10
143		zexpcl 10535	. . . . . . . . . 10 $/\$
144	11, 142, 143	syl2anc 411	. . . . . . . . 9
145		peano2zm 9291	. . . . . . . . 9
146	144, 145	syl 14	. . . . . . . 8
147		dvdsgcd 12013	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
148	12, 146, 33, 147	syl3anc 1238	. . . . . . 7 $/\$
149	35, 148	mpan2d 428	. . . . . 6
150		odzdvds 12245	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
151	10, 11, 73, 142, 150	syl31anc 1241	. . . . . . 7
152	3	nncnd 8933	. . . . . . . . . . 11
153	3	nnap0d 8965	. . . . . . . . . . 11 #
154	4	nnzd 9374	. . . . . . . . . . 11
155	152, 153, 154	expm1apd 10664	. . . . . . . . . 10
156	155	oveq2d 5891	. . . . . . . . 9
157	135, 6	nndivred 8969	. . . . . . . . . . 11
158	157	recnd 7986	. . . . . . . . . 10
159	158, 120, 152, 153	divassapd 8783	. . . . . . . . 9
160	122	oveq1d 5890	. . . . . . . . 9
161	156, 159, 160	3eqtr2d 2216	. . . . . . . 8
162	161	breq2d 4016	. . . . . . 7
163	151, 162	bitr4d 191	. . . . . 6
164		pockthlem.11	. . . . . . 7
165	164	breq2d 4016	. . . . . 6
166	149, 163, 165	3imtr3d 202	. . . . 5
167	125, 166	mtod 663	. . . 4
168		prmpwdvds 12353	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
169	102, 76, 1, 4, 123, 167, 168	syl222anc 1254	. . 3
170		odzphi 12246	. . . . 5 $/\$ $/\$
171	10, 11, 73, 170	syl3anc 1238	. . . 4
172		phiprm 12223	. . . . 5
173	8, 172	syl 14	. . . 4
174	171, 173	breqtrd 4030	. . 3
175	7, 76, 83, 169, 174	dvdstrd 11837	. 2
176		pcdvdsb 12319	. . 3 $/\$ $/\$
177	1, 83, 5, 176	syl3anc 1238	. 2
178	175, 177	mpbird 167	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105

wceq 1353

wcel 2148

wne 2347 class class class wbr 4004

cfv 5217 (class class class)co 5875

cc 7809

cr 7810

cc0 7811

c1 7812

caddc 7814

cmul 7816

clt 7992

cle 7993

cmin 8128

cdiv 8629

cn 8919

c2 8970

cn0 9176

cz 9253

cuz 9528

cq 9619

cmo 10322

cexp 10519

cdvds 11794

cgcd 11943

cprime 12107

codz 12208

cphi 12209

cpc 12284

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4119 ax-sep 4122 ax-nul 4130 ax-pow 4175 ax-pr 4210 ax-un 4434 ax-setind 4537 ax-iinf 4588 ax-cnex 7902 ax-resscn 7903 ax-1cn 7904 ax-1re 7905 ax-icn 7906 ax-addcl 7907 ax-addrcl 7908 ax-mulcl 7909 ax-mulrcl 7910 ax-addcom 7911 ax-mulcom 7912 ax-addass 7913 ax-mulass 7914 ax-distr 7915 ax-i2m1 7916 ax-0lt1 7917 ax-1rid 7918 ax-0id 7919 ax-rnegex 7920 ax-precex 7921 ax-cnre 7922 ax-pre-ltirr 7923 ax-pre-ltwlin 7924 ax-pre-lttrn 7925 ax-pre-apti 7926 ax-pre-ltadd 7927 ax-pre-mulgt0 7928 ax-pre-mulext 7929 ax-arch 7930 ax-caucvg 7931

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 831 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2740 df-sbc 2964 df-csb 3059 df-dif 3132 df-un 3134 df-in 3136 df-ss 3143 df-nul 3424 df-if 3536 df-pw 3578 df-sn 3599 df-pr 3600 df-op 3602 df-uni 3811 df-int 3846 df-iun 3889 df-br 4005 df-opab 4066 df-mpt 4067 df-tr 4103 df-id 4294 df-po 4297 df-iso 4298 df-iord 4367 df-on 4369 df-ilim 4370 df-suc 4372 df-iom 4591 df-xp 4633 df-rel 4634 df-cnv 4635 df-co 4636 df-dm 4637 df-rn 4638 df-res 4639 df-ima 4640 df-iota 5179 df-fun 5219 df-fn 5220 df-f 5221 df-f1 5222 df-fo 5223 df-f1o 5224 df-fv 5225 df-isom 5226 df-riota 5831 df-ov 5878 df-oprab 5879 df-mpo 5880 df-1st 6141 df-2nd 6142 df-recs 6306 df-irdg 6371 df-frec 6392 df-1o 6417 df-2o 6418 df-oadd 6421 df-er 6535 df-en 6741 df-dom 6742 df-fin 6743 df-sup 6983 df-inf 6984 df-pnf 7994 df-mnf 7995 df-xr 7996 df-ltxr 7997 df-le 7998 df-sub 8130 df-neg 8131 df-reap 8532 df-ap 8539 df-div 8630 df-inn 8920 df-2 8978 df-3 8979 df-4 8980 df-n0 9177 df-z 9254 df-uz 9529 df-q 9620 df-rp 9654 df-fz 10009 df-fzo 10143 df-fl 10270 df-mod 10323 df-seqfrec 10446 df-exp 10520 df-ihash 10756 df-cj 10851 df-re 10852 df-im 10853 df-rsqrt 11007 df-abs 11008 df-clim 11287 df-proddc 11559 df-dvds 11795 df-gcd 11944 df-prm 12108 df-odz 12210 df-phi 12211 df-pc 12285

This theorem is referenced by: pockthg 12355

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