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Theorem pockthlem 12992

Description: Lemma for pockthg 12993. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
pockthg.1
pockthg.2
pockthg.3
pockthg.4
pockthlem.5
pockthlem.6
pockthlem.7
pockthlem.8
pockthlem.9
pockthlem.10
pockthlem.11

**Assertion**
Ref	Expression
pockthlem

**Proof of Theorem pockthlem**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		pockthlem.7	. . . . . 6
2		prmnn 12745	. . . . . 6
3	1, 2	syl 14	. . . . 5
4		pockthlem.8	. . . . . 6
5	4	nnnn0d 9499	. . . . 5
6	3, 5	nnexpcld 11003	. . . 4
7	6	nnzd 9645	. . 3
8		pockthlem.5	. . . . . 6
9		prmnn 12745	. . . . . 6
10	8, 9	syl 14	. . . . 5
11		pockthlem.9	. . . . 5
12	10	nnzd 9645	. . . . . . . . . 10
13		gcddvds 12597	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
14	11, 12, 13	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 $/\$
15	14	simpld 112	. . . . . . . 8
16	11, 12	gcdcld 12602	. . . . . . . . . 10
17	16	nn0zd 9644	. . . . . . . . 9
18		pockthg.4	. . . . . . . . . . . . . 14
19		pockthg.1	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
20		pockthg.2	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
21	19, 20	nnmulcld 9234	. . . . . . . . . . . . . . . 16
22		nnuz 9836	. . . . . . . . . . . . . . . 16
23	21, 22	eleqtrdi 2324	. . . . . . . . . . . . . . 15
24		eluzp1p1 9826	. . . . . . . . . . . . . . 15
25	23, 24	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14
26	18, 25	eqeltrd 2308	. . . . . . . . . . . . 13
27		df-2 9244	. . . . . . . . . . . . . 14
28	27	fveq2i 5651	. . . . . . . . . . . . 13
29	26, 28	eleqtrrdi 2325	. . . . . . . . . . . 12
30		eluz2b2 9881	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
31	29, 30	sylib 122	. . . . . . . . . . 11 $/\$
32	31	simpld 112	. . . . . . . . . 10
33	32	nnzd 9645	. . . . . . . . 9
34	14	simprd 114	. . . . . . . . 9
35		pockthlem.6	. . . . . . . . 9
36	17, 12, 33, 34, 35	dvdstrd 12454	. . . . . . . 8
37	32	nnne0d 9230	. . . . . . . . . 10
38		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 $/\$
39	38	necon3ai 2452	. . . . . . . . . 10 $/\$
40	37, 39	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$
41		dvdslegcd 12598	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
42	17, 11, 33, 40, 41	syl31anc 1277	. . . . . . . 8 $/\$
43	15, 36, 42	mp2and 433	. . . . . . 7
44		pockthlem.10	. . . . . . . . . 10
45	44	oveq1d 6043	. . . . . . . . 9
46		1z 9549	. . . . . . . . . . . . . 14
47		eluzp1m1 9824	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
48	46, 26, 47	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . 13
49	48, 22	eleqtrrdi 2325	. . . . . . . . . . . 12
50	49	nnnn0d 9499	. . . . . . . . . . 11
51		zexpcl 10862	. . . . . . . . . . 11 $/\$
52	11, 50, 51	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10
53		modgcd 12625	. . . . . . . . . 10 $/\$
54	52, 32, 53	syl2anc 411	. . . . . . . . 9
55		gcdcom 12607	. . . . . . . . . . 11 $/\$
56	46, 33, 55	sylancr 414	. . . . . . . . . 10
57		gcd1 12621	. . . . . . . . . . 11
58	33, 57	syl 14	. . . . . . . . . 10
59	56, 58	eqtrd 2264	. . . . . . . . 9
60	45, 54, 59	3eqtr3d 2272	. . . . . . . 8
61		rpexp 12788	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
62	11, 33, 49, 61	syl3anc 1274	. . . . . . . 8
63	60, 62	mpbid 147	. . . . . . 7
64	43, 63	breqtrd 4119	. . . . . 6
65	10	nnne0d 9230	. . . . . . . . 9
66		simpr 110	. . . . . . . . . 10 $/\$
67	66	necon3ai 2452	. . . . . . . . 9 $/\$
68	65, 67	syl 14	. . . . . . . 8 $/\$
69		gcdn0cl 12596	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
70	11, 12, 68, 69	syl21anc 1273	. . . . . . 7
71		nnle1eq1 9209	. . . . . . 7
72	70, 71	syl 14	. . . . . 6
73	64, 72	mpbid 147	. . . . 5
74		odzcl 12879	. . . . 5 $/\$ $/\$
75	10, 11, 73, 74	syl3anc 1274	. . . 4
76	75	nnzd 9645	. . 3
77		prmuz2 12766	. . . . . . . 8
78	8, 77	syl 14	. . . . . . 7
79	78, 28	eleqtrdi 2324	. . . . . 6
80		eluzp1m1 9824	. . . . . 6 $/\$
81	46, 79, 80	sylancr 414	. . . . 5
82	81, 22	eleqtrrdi 2325	. . . 4
83	82	nnzd 9645	. . 3
84	19	nnzd 9645	. . . . . 6
85	49	nnzd 9645	. . . . . 6
86		pcdvds 12951	. . . . . . 7 $/\$
87	1, 19, 86	syl2anc 411	. . . . . 6
88	20	nnzd 9645	. . . . . . . 8
89		dvdsmul1 12437	. . . . . . . 8 $/\$
90	84, 88, 89	syl2anc 411	. . . . . . 7
91	18	oveq1d 6043	. . . . . . . 8
92	21	nncnd 9199	. . . . . . . . 9
93		ax-1cn 8168	. . . . . . . . 9
94		pncan 8427	. . . . . . . . 9 $/\$
95	92, 93, 94	sylancl 413	. . . . . . . 8
96	91, 95	eqtrd 2264	. . . . . . 7
97	90, 96	breqtrrd 4121	. . . . . 6
98	7, 84, 85, 87, 97	dvdstrd 12454	. . . . 5
99	6	nnne0d 9230	. . . . . 6
100		dvdsval2 12414	. . . . . 6 $/\$ $/\$
101	7, 99, 85, 100	syl3anc 1274	. . . . 5
102	98, 101	mpbid 147	. . . 4
103		peano2zm 9561	. . . . . . . 8
104	52, 103	syl 14	. . . . . . 7
105		nnq 9911	. . . . . . . . . . 11
106	32, 105	syl 14	. . . . . . . . . 10
107	31	simprd 114	. . . . . . . . . 10
108		q1mod 10664	. . . . . . . . . 10 $/\$
109	106, 107, 108	syl2anc 411	. . . . . . . . 9
110	44, 109	eqtr4d 2267	. . . . . . . 8
111		1zzd 9550	. . . . . . . . 9
112		moddvds 12423	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
113	32, 52, 111, 112	syl3anc 1274	. . . . . . . 8
114	110, 113	mpbid 147	. . . . . . 7
115	12, 33, 104, 35, 114	dvdstrd 12454	. . . . . 6
116		odzdvds 12881	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
117	10, 11, 73, 50, 116	syl31anc 1277	. . . . . 6
118	115, 117	mpbid 147	. . . . 5
119	49	nncnd 9199	. . . . . 6
120	6	nncnd 9199	. . . . . 6
121	6	nnap0d 9231	. . . . . 6 #
122	119, 120, 121	divcanap1d 9013	. . . . 5
123	118, 122	breqtrrd 4121	. . . 4
124		nprmdvds1 12775	. . . . . 6
125	8, 124	syl 14	. . . . 5
126	3	nnzd 9645	. . . . . . . . . . . . 13
127		iddvdsexp 12439	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
128	126, 4, 127	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13
129	126, 7, 85, 128, 98	dvdstrd 12454	. . . . . . . . . . . 12
130	3	nnne0d 9230	. . . . . . . . . . . . 13
131		dvdsval2 12414	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
132	126, 130, 85, 131	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . 12
133	129, 132	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11
134	50	nn0ge0d 9502	. . . . . . . . . . . 12
135	49	nnred 9198	. . . . . . . . . . . . 13
136	3	nnred 9198	. . . . . . . . . . . . 13
137	3	nngt0d 9229	. . . . . . . . . . . . 13
138		ge0div 9093	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
139	135, 136, 137, 138	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . 12
140	134, 139	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11
141		elnn0z 9536	. . . . . . . . . . 11 $/\$
142	133, 140, 141	sylanbrc 417	. . . . . . . . . 10
143		zexpcl 10862	. . . . . . . . . 10 $/\$
144	11, 142, 143	syl2anc 411	. . . . . . . . 9
145		peano2zm 9561	. . . . . . . . 9
146	144, 145	syl 14	. . . . . . . 8
147		dvdsgcd 12646	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
148	12, 146, 33, 147	syl3anc 1274	. . . . . . 7 $/\$
149	35, 148	mpan2d 428	. . . . . 6
150		odzdvds 12881	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
151	10, 11, 73, 142, 150	syl31anc 1277	. . . . . . 7
152	3	nncnd 9199	. . . . . . . . . . 11
153	3	nnap0d 9231	. . . . . . . . . . 11 #
154	4	nnzd 9645	. . . . . . . . . . 11
155	152, 153, 154	expm1apd 10991	. . . . . . . . . 10
156	155	oveq2d 6044	. . . . . . . . 9
157	135, 6	nndivred 9235	. . . . . . . . . . 11
158	157	recnd 8250	. . . . . . . . . 10
159	158, 120, 152, 153	divassapd 9048	. . . . . . . . 9
160	122	oveq1d 6043	. . . . . . . . 9
161	156, 159, 160	3eqtr2d 2270	. . . . . . . 8
162	161	breq2d 4105	. . . . . . 7
163	151, 162	bitr4d 191	. . . . . 6
164		pockthlem.11	. . . . . . 7
165	164	breq2d 4105	. . . . . 6
166	149, 163, 165	3imtr3d 202	. . . . 5
167	125, 166	mtod 669	. . . 4
168		prmpwdvds 12991	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
169	102, 76, 1, 4, 123, 167, 168	syl222anc 1290	. . 3
170		odzphi 12882	. . . . 5 $/\$ $/\$
171	10, 11, 73, 170	syl3anc 1274	. . . 4
172		phiprm 12858	. . . . 5
173	8, 172	syl 14	. . . 4
174	171, 173	breqtrd 4119	. . 3
175	7, 76, 83, 169, 174	dvdstrd 12454	. 2
176		pcdvdsb 12956	. . 3 $/\$ $/\$
177	1, 83, 5, 176	syl3anc 1274	. 2
178	175, 177	mpbird 167	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105

wceq 1398

wcel 2202

wne 2403 class class class wbr 4093

cfv 5333 (class class class)co 6028

cc 8073

cr 8074

cc0 8075

c1 8076

caddc 8078

cmul 8080

clt 8256

cle 8257

cmin 8392

cdiv 8894

cn 9185

c2 9236

cn0 9444

cz 9523

cuz 9799

cq 9897

cmo 10630

cexp 10846

cdvds 12411

cgcd 12587

cprime 12742

codz 12843

cphi 12844

cpc 12920

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 717 ax-5 1496 ax-7 1497 ax-gen 1498 ax-ie1 1542 ax-ie2 1543 ax-8 1553 ax-10 1554 ax-11 1555 ax-i12 1556 ax-bndl 1558 ax-4 1559 ax-17 1575 ax-i9 1579 ax-ial 1583 ax-i5r 1584 ax-13 2204 ax-14 2205 ax-ext 2213 ax-coll 4209 ax-sep 4212 ax-nul 4220 ax-pow 4270 ax-pr 4305 ax-un 4536 ax-setind 4641 ax-iinf 4692 ax-cnex 8166 ax-resscn 8167 ax-1cn 8168 ax-1re 8169 ax-icn 8170 ax-addcl 8171 ax-addrcl 8172 ax-mulcl 8173 ax-mulrcl 8174 ax-addcom 8175 ax-mulcom 8176 ax-addass 8177 ax-mulass 8178 ax-distr 8179 ax-i2m1 8180 ax-0lt1 8181 ax-1rid 8182 ax-0id 8183 ax-rnegex 8184 ax-precex 8185 ax-cnre 8186 ax-pre-ltirr 8187 ax-pre-ltwlin 8188 ax-pre-lttrn 8189 ax-pre-apti 8190 ax-pre-ltadd 8191 ax-pre-mulgt0 8192 ax-pre-mulext 8193 ax-arch 8194 ax-caucvg 8195

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 839 df-dc 843 df-3or 1006 df-3an 1007 df-tru 1401 df-fal 1404 df-nf 1510 df-sb 1811 df-eu 2082 df-mo 2083 df-clab 2218 df-cleq 2224 df-clel 2227 df-nfc 2364 df-ne 2404 df-nel 2499 df-ral 2516 df-rex 2517 df-reu 2518 df-rmo 2519 df-rab 2520 df-v 2805 df-sbc 3033 df-csb 3129 df-dif 3203 df-un 3205 df-in 3207 df-ss 3214 df-nul 3497 df-if 3608 df-pw 3658 df-sn 3679 df-pr 3680 df-op 3682 df-uni 3899 df-int 3934 df-iun 3977 df-br 4094 df-opab 4156 df-mpt 4157 df-tr 4193 df-id 4396 df-po 4399 df-iso 4400 df-iord 4469 df-on 4471 df-ilim 4472 df-suc 4474 df-iom 4695 df-xp 4737 df-rel 4738 df-cnv 4739 df-co 4740 df-dm 4741 df-rn 4742 df-res 4743 df-ima 4744 df-iota 5293 df-fun 5335 df-fn 5336 df-f 5337 df-f1 5338 df-fo 5339 df-f1o 5340 df-fv 5341 df-isom 5342 df-riota 5981 df-ov 6031 df-oprab 6032 df-mpo 6033 df-1st 6312 df-2nd 6313 df-recs 6514 df-irdg 6579 df-frec 6600 df-1o 6625 df-2o 6626 df-oadd 6629 df-er 6745 df-en 6953 df-dom 6954 df-fin 6955 df-sup 7226 df-inf 7227 df-pnf 8258 df-mnf 8259 df-xr 8260 df-ltxr 8261 df-le 8262 df-sub 8394 df-neg 8395 df-reap 8797 df-ap 8804 df-div 8895 df-inn 9186 df-2 9244 df-3 9245 df-4 9246 df-n0 9445 df-z 9524 df-uz 9800 df-q 9898 df-rp 9933 df-fz 10289 df-fzo 10423 df-fl 10576 df-mod 10631 df-seqfrec 10756 df-exp 10847 df-ihash 11084 df-cj 11465 df-re 11466 df-im 11467 df-rsqrt 11621 df-abs 11622 df-clim 11902 df-proddc 12175 df-dvds 12412 df-gcd 12588 df-prm 12743 df-odz 12845 df-phi 12846 df-pc 12921

This theorem is referenced by: pockthg 12993

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