Theorem nnle1eq1 9209

Description: A positive integer is less than or equal to one iff it is equal to one. (Contributed by NM, 3-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nnle1eq1	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 ≤ 1 ↔ 𝐴 = 1))

Proof of Theorem nnle1eq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1 9208	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
2	1	biantrud 304	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 ≤ 1 ↔ (𝐴 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝐴)))
3		nnre 9192	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
4		1re 8221	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
5		letri3 8302	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 = 1 ↔ (𝐴 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝐴)))
6	3, 4, 5	sylancl 413	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 = 1 ↔ (𝐴 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝐴)))
7	2, 6	bitr4d 191	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 ≤ 1 ↔ 𝐴 = 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4093  ℝcr 8074  1c1 8076   ≤ cle 8257  ℕcn 9185

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1re 8169  ax-addrcl 8172  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-xp 4737  df-cnv 4739  df-iota 5293  df-fv 5341  df-ov 6031  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-inn 9186

This theorem is referenced by:  gcd1  12621  bezoutr1  12667  rpdvds  12734  isprm6  12782  qden1elz  12840  phimullem  12860  pockthlem  12992  znidomb  14737  zabsle1  15801  2sqlem8a  15924  2sqlem8  15925