ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnle1eq1 GIF version

Theorem nnle1eq1 8340
Description: A positive integer is less than or equal to one iff it is equal to one. (Contributed by NM, 3-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
nnle1eq1 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 ≤ 1 ↔ 𝐴 = 1))

Proof of Theorem nnle1eq1
StepHypRef Expression
1 nnge1 8339 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
21biantrud 298 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 ≤ 1 ↔ (𝐴 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝐴)))
3 nnre 8323 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
4 1re 7390 . . 3 1 ∈ ℝ
5 letri3 7469 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 = 1 ↔ (𝐴 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝐴)))
63, 4, 5sylancl 404 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 = 1 ↔ (𝐴 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝐴)))
72, 6bitr4d 189 1 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 ≤ 1 ↔ 𝐴 = 1))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103   = wceq 1285  wcel 1434   class class class wbr 3811  cr 7252  1c1 7254  cle 7426  cn 8316
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-setind 4316  ax-cnex 7339  ax-resscn 7340  ax-1re 7342  ax-addrcl 7345  ax-0lt1 7354  ax-0id 7356  ax-rnegex 7357  ax-pre-ltirr 7360  ax-pre-lttrn 7362  ax-pre-apti 7363  ax-pre-ltadd 7364
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-rab 2362  df-v 2614  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-br 3812  df-opab 3866  df-xp 4407  df-cnv 4409  df-iota 4934  df-fv 4977  df-ov 5594  df-pnf 7427  df-mnf 7428  df-xr 7429  df-ltxr 7430  df-le 7431  df-inn 8317
This theorem is referenced by:  gcd1  10758  bezoutr1  10802  rpdvds  10861  isprm6  10906  qden1elz  10963  phimullem  10981
  Copyright terms: Public domain W3C validator