ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnle1eq1 GIF version

Theorem nnle1eq1 8751
Description: A positive integer is less than or equal to one iff it is equal to one. (Contributed by NM, 3-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
nnle1eq1 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 ≤ 1 ↔ 𝐴 = 1))

Proof of Theorem nnle1eq1
StepHypRef Expression
1 nnge1 8750 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
21biantrud 302 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 ≤ 1 ↔ (𝐴 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝐴)))
3 nnre 8734 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
4 1re 7772 . . 3 1 ∈ ℝ
5 letri3 7852 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 = 1 ↔ (𝐴 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝐴)))
63, 4, 5sylancl 409 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 = 1 ↔ (𝐴 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝐴)))
72, 6bitr4d 190 1 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 ≤ 1 ↔ 𝐴 = 1))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1331  wcel 1480   class class class wbr 3929  cr 7626  1c1 7628  cle 7808  cn 8727
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1re 7721  ax-addrcl 7724  ax-0lt1 7733  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-xp 4545  df-cnv 4547  df-iota 5088  df-fv 5131  df-ov 5777  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-inn 8728
This theorem is referenced by:  gcd1  11681  bezoutr1  11727  rpdvds  11786  isprm6  11831  qden1elz  11889  phimullem  11907
  Copyright terms: Public domain W3C validator