Theorem qden1elz 10963

Description: A rational is an integer iff it has denominator 1. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
qden1elz	|- ( A e. QQ -> ( (denom ` A ) = 1 <-> A e. ZZ ) )

Proof of Theorem qden1elz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qeqnumdivden 10952	. . . . 5 |- ( A e. QQ -> A = ( (numer ` A ) / (denom ` A ) ) )
2	1	adantr 270	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ (denom ` A ) = 1 ) -> A = ( (numer ` A ) / (denom ` A ) ) )
3		oveq2 5599	. . . . 5 |- ( (denom ` A ) = 1 -> ( (numer ` A ) / (denom ` A ) ) = ( (numer ` A ) / 1 ) )
4	3	adantl 271	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ (denom ` A ) = 1 ) -> ( (numer ` A ) / (denom ` A ) ) = ( (numer ` A ) / 1 ) )
5		qnumcl 10946	. . . . . . 7 |- ( A e. QQ -> (numer ` A ) e. ZZ )
6	5	adantr 270	. . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ (denom ` A ) = 1 ) -> (numer ` A ) e. ZZ )
7	6	zcnd 8765	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ (denom ` A ) = 1 ) -> (numer ` A ) e. CC )
8	7	div1d 8145	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ (denom ` A ) = 1 ) -> ( (numer ` A ) / 1 ) = (numer ` A ) )
9	2, 4, 8	3eqtrd 2119	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ (denom ` A ) = 1 ) -> A = (numer ` A ) )
10	9, 6	eqeltrd 2159	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ (denom ` A ) = 1 ) -> A e. ZZ )
11		simpr 108	. . . . . . 7 |- ( ( A e. QQ /\ A e. ZZ ) -> A e. ZZ )
12	11	zcnd 8765	. . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ A e. ZZ ) -> A e. CC )
13	12	div1d 8145	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ A e. ZZ ) -> ( A / 1 ) = A )
14	13	fveq2d 5257	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ A e. ZZ ) -> (denom ` ( A / 1 ) ) = (denom ` A ) )
15		1nn 8327	. . . . 5 |- 1 e. NN
16		divdenle 10955	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ 1 e. NN ) -> (denom ` ( A / 1 ) ) <_ 1 )
17	11, 15, 16	sylancl 404	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ A e. ZZ ) -> (denom ` ( A / 1 ) ) <_ 1 )
18	14, 17	eqbrtrrd 3833	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ A e. ZZ ) -> (denom ` A ) <_ 1 )
19		qdencl 10947	. . . . 5 |- ( A e. QQ -> (denom ` A ) e. NN )
20	19	adantr 270	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ A e. ZZ ) -> (denom ` A ) e. NN )
21		nnle1eq1 8340	. . . 4 |- ( (denom ` A ) e. NN -> ( (denom ` A ) <_ 1 <-> (denom ` A ) = 1 ) )
22	20, 21	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ A e. ZZ ) -> ( (denom ` A ) <_ 1 <-> (denom ` A ) = 1 ) )
23	18, 22	mpbid 145	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ A e. ZZ ) -> (denom ` A ) = 1 )
24	10, 23	impbida 561	1 |- ( A e. QQ -> ( (denom ` A ) = 1 <-> A e. ZZ ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   = wceq 1285   e. wcel 1434   class class class wbr 3811   ` cfv 4969  (class class class)co 5591   1c1 7254   <_ cle 7426   / cdiv 8037   NNcn 8316   ZZcz 8646   QQcq 8999  numercnumer 10939  denomcdenom 10940

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3919  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-setind 4316  ax-iinf 4366  ax-cnex 7339  ax-resscn 7340  ax-1cn 7341  ax-1re 7342  ax-icn 7343  ax-addcl 7344  ax-addrcl 7345  ax-mulcl 7346  ax-mulrcl 7347  ax-addcom 7348  ax-mulcom 7349  ax-addass 7350  ax-mulass 7351  ax-distr 7352  ax-i2m1 7353  ax-0lt1 7354  ax-1rid 7355  ax-0id 7356  ax-rnegex 7357  ax-precex 7358  ax-cnre 7359  ax-pre-ltirr 7360  ax-pre-ltwlin 7361  ax-pre-lttrn 7362  ax-pre-apti 7363  ax-pre-ltadd 7364  ax-pre-mulgt0 7365  ax-pre-mulext 7366  ax-arch 7367  ax-caucvg 7368

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-if 3374  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-tr 3902  df-id 4084  df-po 4087  df-iso 4088  df-iord 4157  df-on 4159  df-ilim 4160  df-suc 4162  df-iom 4369  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-rn 4412  df-res 4413  df-ima 4414  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fn 4972  df-f 4973  df-f1 4974  df-fo 4975  df-f1o 4976  df-fv 4977  df-riota 5547  df-ov 5594  df-oprab 5595  df-mpt2 5596  df-1st 5846  df-2nd 5847  df-recs 6002  df-frec 6088  df-sup 6586  df-pnf 7427  df-mnf 7428  df-xr 7429  df-ltxr 7430  df-le 7431  df-sub 7558  df-neg 7559  df-reap 7952  df-ap 7959  df-div 8038  df-inn 8317  df-2 8375  df-3 8376  df-4 8377  df-n0 8566  df-z 8647  df-uz 8915  df-q 9000  df-rp 9030  df-fz 9320  df-fzo 9444  df-fl 9566  df-mod 9619  df-iseq 9741  df-iexp 9792  df-cj 10103  df-re 10104  df-im 10105  df-rsqrt 10258  df-abs 10259  df-dvds 10577  df-gcd 10719  df-numer 10941  df-denom 10942

This theorem is referenced by:  nn0sqrtelqelz  10964