Theorem qden1elz 12232

Description: A rational is an integer iff it has denominator 1. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
qden1elz	|- ( A e. QQ -> ( (denom ` A ) = 1 <-> A e. ZZ ) )

Proof of Theorem qden1elz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qeqnumdivden 12221	. . . . 5 |- ( A e. QQ -> A = ( (numer ` A ) / (denom ` A ) ) )
2	1	adantr 276	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ (denom ` A ) = 1 ) -> A = ( (numer ` A ) / (denom ` A ) ) )
3		oveq2 5900	. . . . 5 |- ( (denom ` A ) = 1 -> ( (numer ` A ) / (denom ` A ) ) = ( (numer ` A ) / 1 ) )
4	3	adantl 277	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ (denom ` A ) = 1 ) -> ( (numer ` A ) / (denom ` A ) ) = ( (numer ` A ) / 1 ) )
5		qnumcl 12215	. . . . . . 7 |- ( A e. QQ -> (numer ` A ) e. ZZ )
6	5	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ (denom ` A ) = 1 ) -> (numer ` A ) e. ZZ )
7	6	zcnd 9401	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ (denom ` A ) = 1 ) -> (numer ` A ) e. CC )
8	7	div1d 8762	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ (denom ` A ) = 1 ) -> ( (numer ` A ) / 1 ) = (numer ` A ) )
9	2, 4, 8	3eqtrd 2226	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ (denom ` A ) = 1 ) -> A = (numer ` A ) )
10	9, 6	eqeltrd 2266	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ (denom ` A ) = 1 ) -> A e. ZZ )
11		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( A e. QQ /\ A e. ZZ ) -> A e. ZZ )
12	11	zcnd 9401	. . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ A e. ZZ ) -> A e. CC )
13	12	div1d 8762	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ A e. ZZ ) -> ( A / 1 ) = A )
14	13	fveq2d 5535	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ A e. ZZ ) -> (denom ` ( A / 1 ) ) = (denom ` A ) )
15		1nn 8955	. . . . 5 |- 1 e. NN
16		divdenle 12224	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ 1 e. NN ) -> (denom ` ( A / 1 ) ) <_ 1 )
17	11, 15, 16	sylancl 413	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ A e. ZZ ) -> (denom ` ( A / 1 ) ) <_ 1 )
18	14, 17	eqbrtrrd 4042	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ A e. ZZ ) -> (denom ` A ) <_ 1 )
19		qdencl 12216	. . . . 5 |- ( A e. QQ -> (denom ` A ) e. NN )
20	19	adantr 276	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ A e. ZZ ) -> (denom ` A ) e. NN )
21		nnle1eq1 8968	. . . 4 |- ( (denom ` A ) e. NN -> ( (denom ` A ) <_ 1 <-> (denom ` A ) = 1 ) )
22	20, 21	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ A e. ZZ ) -> ( (denom ` A ) <_ 1 <-> (denom ` A ) = 1 ) )
23	18, 22	mpbid 147	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ A e. ZZ ) -> (denom ` A ) = 1 )
24	10, 23	impbida 596	1 |- ( A e. QQ -> ( (denom ` A ) = 1 <-> A e. ZZ ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2160   class class class wbr 4018   ` cfv 5232  (class class class)co 5892   1c1 7837   <_ cle 8018   / cdiv 8654   NNcn 8944   ZZcz 9278   QQcq 9644  numercnumer 12208  denomcdenom 12209

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7927  ax-resscn 7928  ax-1cn 7929  ax-1re 7930  ax-icn 7931  ax-addcl 7932  ax-addrcl 7933  ax-mulcl 7934  ax-mulrcl 7935  ax-addcom 7936  ax-mulcom 7937  ax-addass 7938  ax-mulass 7939  ax-distr 7940  ax-i2m1 7941  ax-0lt1 7942  ax-1rid 7943  ax-0id 7944  ax-rnegex 7945  ax-precex 7946  ax-cnre 7947  ax-pre-ltirr 7948  ax-pre-ltwlin 7949  ax-pre-lttrn 7950  ax-pre-apti 7951  ax-pre-ltadd 7952  ax-pre-mulgt0 7953  ax-pre-mulext 7954  ax-arch 7955  ax-caucvg 7956

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5234  df-fn 5235  df-f 5236  df-f1 5237  df-fo 5238  df-f1o 5239  df-fv 5240  df-riota 5848  df-ov 5895  df-oprab 5896  df-mpo 5897  df-1st 6160  df-2nd 6161  df-recs 6325  df-frec 6411  df-sup 7008  df-pnf 8019  df-mnf 8020  df-xr 8021  df-ltxr 8022  df-le 8023  df-sub 8155  df-neg 8156  df-reap 8557  df-ap 8564  df-div 8655  df-inn 8945  df-2 9003  df-3 9004  df-4 9005  df-n0 9202  df-z 9279  df-uz 9554  df-q 9645  df-rp 9679  df-fz 10034  df-fzo 10168  df-fl 10296  df-mod 10349  df-seqfrec 10472  df-exp 10546  df-cj 10878  df-re 10879  df-im 10880  df-rsqrt 11034  df-abs 11035  df-dvds 11822  df-gcd 11971  df-numer 12210  df-denom 12211

This theorem is referenced by:  nn0sqrtelqelz  12233