Theorem nnmword 6494

Description: Weak ordering property of ordinal multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnmword	⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐶) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐶 ·o 𝐴) ⊆ (𝐶 ·o 𝐵)))

Proof of Theorem nnmword

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iba 298	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ 𝐶 → (𝐵 ∈ 𝐴 ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ∅ ∈ 𝐶)))
2		nnmord 6493	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → ((𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ∅ ∈ 𝐶) ↔ (𝐶 ·o 𝐵) ∈ (𝐶 ·o 𝐴)))
3	2	3com12 1202	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → ((𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ∅ ∈ 𝐶) ↔ (𝐶 ·o 𝐵) ∈ (𝐶 ·o 𝐴)))
4	1, 3	sylan9bbr 460	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐶) → (𝐵 ∈ 𝐴 ↔ (𝐶 ·o 𝐵) ∈ (𝐶 ·o 𝐴)))
5	4	notbid 662	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐶) → (¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ↔ ¬ (𝐶 ·o 𝐵) ∈ (𝐶 ·o 𝐴)))
6		simpl1 995	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ ω)
7		simpl2 996	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐶) → 𝐵 ∈ ω)
8		nntri1 6472	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
9	6, 7, 8	syl2anc 409	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐶) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
10		simpl3 997	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐶) → 𝐶 ∈ ω)
11		nnmcl 6457	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐶 ·o 𝐴) ∈ ω)
12	10, 6, 11	syl2anc 409	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐶) → (𝐶 ·o 𝐴) ∈ ω)
13		nnmcl 6457	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐶 ·o 𝐵) ∈ ω)
14	10, 7, 13	syl2anc 409	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐶) → (𝐶 ·o 𝐵) ∈ ω)
15		nntri1 6472	. . 3 ⊢ (((𝐶 ·o 𝐴) ∈ ω ∧ (𝐶 ·o 𝐵) ∈ ω) → ((𝐶 ·o 𝐴) ⊆ (𝐶 ·o 𝐵) ↔ ¬ (𝐶 ·o 𝐵) ∈ (𝐶 ·o 𝐴)))
16	12, 14, 15	syl2anc 409	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐶) → ((𝐶 ·o 𝐴) ⊆ (𝐶 ·o 𝐵) ↔ ¬ (𝐶 ·o 𝐵) ∈ (𝐶 ·o 𝐴)))
17	5, 9, 16	3bitr4d 219	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐶) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐶 ·o 𝐴) ⊆ (𝐶 ·o 𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 973   ∈ wcel 2141   ⊆ wss 3121  ∅c0 3414  ωcom 4572  (class class class)co 5850   ·_o comu 6390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-iord 4349  df-on 4351  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-1st 6116  df-2nd 6117  df-recs 6281  df-irdg 6346  df-oadd 6396  df-omul 6397

This theorem is referenced by:  nnmcan  6495  archnqq  7366