Theorem nnmword 6594

Description: Weak ordering property of ordinal multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnmword	⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐶) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐶 ·o 𝐴) ⊆ (𝐶 ·o 𝐵)))

Proof of Theorem nnmword

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iba 300	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ 𝐶 → (𝐵 ∈ 𝐴 ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ∅ ∈ 𝐶)))
2		nnmord 6593	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → ((𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ∅ ∈ 𝐶) ↔ (𝐶 ·o 𝐵) ∈ (𝐶 ·o 𝐴)))
3	2	3com12 1209	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → ((𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ∅ ∈ 𝐶) ↔ (𝐶 ·o 𝐵) ∈ (𝐶 ·o 𝐴)))
4	1, 3	sylan9bbr 463	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐶) → (𝐵 ∈ 𝐴 ↔ (𝐶 ·o 𝐵) ∈ (𝐶 ·o 𝐴)))
5	4	notbid 668	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐶) → (¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ↔ ¬ (𝐶 ·o 𝐵) ∈ (𝐶 ·o 𝐴)))
6		simpl1 1002	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ ω)
7		simpl2 1003	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐶) → 𝐵 ∈ ω)
8		nntri1 6572	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
9	6, 7, 8	syl2anc 411	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐶) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
10		simpl3 1004	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐶) → 𝐶 ∈ ω)
11		nnmcl 6557	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐶 ·o 𝐴) ∈ ω)
12	10, 6, 11	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐶) → (𝐶 ·o 𝐴) ∈ ω)
13		nnmcl 6557	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐶 ·o 𝐵) ∈ ω)
14	10, 7, 13	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐶) → (𝐶 ·o 𝐵) ∈ ω)
15		nntri1 6572	. . 3 ⊢ (((𝐶 ·o 𝐴) ∈ ω ∧ (𝐶 ·o 𝐵) ∈ ω) → ((𝐶 ·o 𝐴) ⊆ (𝐶 ·o 𝐵) ↔ ¬ (𝐶 ·o 𝐵) ∈ (𝐶 ·o 𝐴)))
16	12, 14, 15	syl2anc 411	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐶) → ((𝐶 ·o 𝐴) ⊆ (𝐶 ·o 𝐵) ↔ ¬ (𝐶 ·o 𝐵) ∈ (𝐶 ·o 𝐴)))
17	5, 9, 16	3bitr4d 220	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐶) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐶 ·o 𝐴) ⊆ (𝐶 ·o 𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   ∈ wcel 2175   ⊆ wss 3165  ∅c0 3459  ωcom 4636  (class class class)co 5934   ·_o comu 6490

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-setind 4583  ax-iinf 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-id 4338  df-iord 4411  df-on 4413  df-suc 4416  df-iom 4637  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-rn 4684  df-res 4685  df-ima 4686  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fn 5271  df-f 5272  df-f1 5273  df-fo 5274  df-f1o 5275  df-fv 5276  df-ov 5937  df-oprab 5938  df-mpo 5939  df-1st 6216  df-2nd 6217  df-recs 6381  df-irdg 6446  df-oadd 6496  df-omul 6497

This theorem is referenced by:  nnmcan  6595  archnqq  7512