Theorem nnmword 6317

Description: Weak ordering property of ordinal multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnmword	⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐶) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐶 ·o 𝐴) ⊆ (𝐶 ·o 𝐵)))

Proof of Theorem nnmword

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iba 295	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ 𝐶 → (𝐵 ∈ 𝐴 ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ∅ ∈ 𝐶)))
2		nnmord 6316	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → ((𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ∅ ∈ 𝐶) ↔ (𝐶 ·o 𝐵) ∈ (𝐶 ·o 𝐴)))
3	2	3com12 1150	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → ((𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ∅ ∈ 𝐶) ↔ (𝐶 ·o 𝐵) ∈ (𝐶 ·o 𝐴)))
4	1, 3	sylan9bbr 452	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐶) → (𝐵 ∈ 𝐴 ↔ (𝐶 ·o 𝐵) ∈ (𝐶 ·o 𝐴)))
5	4	notbid 630	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐶) → (¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ↔ ¬ (𝐶 ·o 𝐵) ∈ (𝐶 ·o 𝐴)))
6		simpl1 949	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ ω)
7		simpl2 950	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐶) → 𝐵 ∈ ω)
8		nntri1 6297	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
9	6, 7, 8	syl2anc 404	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐶) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
10		simpl3 951	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐶) → 𝐶 ∈ ω)
11		nnmcl 6282	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐶 ·o 𝐴) ∈ ω)
12	10, 6, 11	syl2anc 404	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐶) → (𝐶 ·o 𝐴) ∈ ω)
13		nnmcl 6282	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐶 ·o 𝐵) ∈ ω)
14	10, 7, 13	syl2anc 404	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐶) → (𝐶 ·o 𝐵) ∈ ω)
15		nntri1 6297	. . 3 ⊢ (((𝐶 ·o 𝐴) ∈ ω ∧ (𝐶 ·o 𝐵) ∈ ω) → ((𝐶 ·o 𝐴) ⊆ (𝐶 ·o 𝐵) ↔ ¬ (𝐶 ·o 𝐵) ∈ (𝐶 ·o 𝐴)))
16	12, 14, 15	syl2anc 404	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐶) → ((𝐶 ·o 𝐴) ⊆ (𝐶 ·o 𝐵) ↔ ¬ (𝐶 ·o 𝐵) ∈ (𝐶 ·o 𝐴)))
17	5, 9, 16	3bitr4d 219	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐶) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐶 ·o 𝐴) ⊆ (𝐶 ·o 𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 927   ∈ wcel 1445   ⊆ wss 3013  ∅c0 3302  ωcom 4433  (class class class)co 5690   ·_o comu 6217

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-coll 3975  ax-sep 3978  ax-nul 3986  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-iinf 4431

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-tr 3959  df-id 4144  df-iord 4217  df-on 4219  df-suc 4222  df-iom 4434  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-1st 5949  df-2nd 5950  df-recs 6108  df-irdg 6173  df-oadd 6223  df-omul 6224

This theorem is referenced by:  nnmcan  6318  archnqq  7073