ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nsmallnqq Unicode version

Theorem nsmallnqq 7184
Description: There is no smallest positive fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
nsmallnqq  |-  ( A  e.  Q.  ->  E. x  e.  Q.  x  <Q  A )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem nsmallnqq
StepHypRef Expression
1 halfnqq 7182 . 2  |-  ( A  e.  Q.  ->  E. x  e.  Q.  ( x  +Q  x )  =  A )
2 ltaddnq 7179 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  x  e.  Q. )  ->  x  <Q  ( x  +Q  x ) )
32anidms 392 . . . 4  |-  ( x  e.  Q.  ->  x  <Q  ( x  +Q  x
) )
4 breq2 3901 . . . 4  |-  ( ( x  +Q  x )  =  A  ->  (
x  <Q  ( x  +Q  x )  <->  x  <Q  A ) )
53, 4syl5ibcom 154 . . 3  |-  ( x  e.  Q.  ->  (
( x  +Q  x
)  =  A  ->  x  <Q  A ) )
65reximia 2502 . 2  |-  ( E. x  e.  Q.  (
x  +Q  x )  =  A  ->  E. x  e.  Q.  x  <Q  A )
71, 6syl 14 1  |-  ( A  e.  Q.  ->  E. x  e.  Q.  x  <Q  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1314    e. wcel 1463   E.wrex 2392   class class class wbr 3897  (class class class)co 5740   Q.cnq 7052    +Q cplq 7054    <Q cltq 7057
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-eprel 4179  df-id 4183  df-iord 4256  df-on 4258  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-irdg 6233  df-1o 6279  df-oadd 6283  df-omul 6284  df-er 6395  df-ec 6397  df-qs 6401  df-ni 7076  df-pli 7077  df-mi 7078  df-lti 7079  df-plpq 7116  df-mpq 7117  df-enq 7119  df-nqqs 7120  df-plqqs 7121  df-mqqs 7122  df-1nqqs 7123  df-rq 7124  df-ltnqqs 7125
This theorem is referenced by:  nsmallnq  7185  nqprm  7314  appdiv0nq  7336  recexprlemm  7396
  Copyright terms: Public domain W3C validator