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Theorem halfnqq 7119
Description: One-half of any positive fraction is a fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
halfnqq  |-  ( A  e.  Q.  ->  E. x  e.  Q.  ( x  +Q  x )  =  A )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem halfnqq
StepHypRef Expression
1 1nq 7075 . . . . . . . . 9  |-  1Q  e.  Q.
2 addclnq 7084 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1Q  e.  Q.  /\  1Q  e.  Q. )  -> 
( 1Q  +Q  1Q )  e.  Q. )
31, 1, 2mp2an 420 . . . . . . . 8  |-  ( 1Q 
+Q  1Q )  e. 
Q.
4 recclnq 7101 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1Q  +Q  1Q )  e.  Q.  ->  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) )  e.  Q. )
53, 4ax-mp 7 . . . . . . . 8  |-  ( *Q
`  ( 1Q  +Q  1Q ) )  e.  Q.
6 distrnqg 7096 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1Q  +Q  1Q )  e.  Q.  /\  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) )  e.  Q.  /\  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) )  e.  Q. )  -> 
( ( 1Q  +Q  1Q )  .Q  (
( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) )  =  ( ( ( 1Q  +Q  1Q )  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  +Q  ( ( 1Q  +Q  1Q )  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) ) )
73, 5, 5, 6mp3an 1283 . . . . . . 7  |-  ( ( 1Q  +Q  1Q )  .Q  ( ( *Q
`  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) )  =  ( ( ( 1Q  +Q  1Q )  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  +Q  ( ( 1Q  +Q  1Q )  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) )
8 recidnq 7102 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1Q  +Q  1Q )  e.  Q.  ->  (
( 1Q  +Q  1Q )  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  =  1Q )
93, 8ax-mp 7 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1Q  +Q  1Q )  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  =  1Q
109, 9oveq12i 5718 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1Q  +Q  1Q )  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  +Q  ( ( 1Q  +Q  1Q )  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) )  =  ( 1Q  +Q  1Q )
117, 10eqtri 2120 . . . . . 6  |-  ( ( 1Q  +Q  1Q )  .Q  ( ( *Q
`  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) )  =  ( 1Q  +Q  1Q )
1211oveq1i 5716 . . . . 5  |-  ( ( ( 1Q  +Q  1Q )  .Q  ( ( *Q
`  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) )  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  =  ( ( 1Q  +Q  1Q )  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )
139oveq2i 5717 . . . . . 6  |-  ( ( ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  .Q  ( ( 1Q  +Q  1Q )  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) )  =  ( ( ( *Q `  ( 1Q 
+Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  .Q  1Q )
14 addclnq 7084 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) )  e.  Q.  /\  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) )  e.  Q. )  ->  ( ( *Q
`  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  e. 
Q. )
155, 5, 14mp2an 420 . . . . . . . 8  |-  ( ( *Q `  ( 1Q 
+Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  e. 
Q.
16 mulassnqg 7093 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  e. 
Q.  /\  ( 1Q  +Q  1Q )  e.  Q.  /\  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) )  e.  Q. )  -> 
( ( ( ( *Q `  ( 1Q 
+Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  .Q  ( 1Q  +Q  1Q ) )  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  =  ( ( ( *Q
`  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  .Q  ( ( 1Q  +Q  1Q )  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) ) )
1715, 3, 5, 16mp3an 1283 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  .Q  ( 1Q  +Q  1Q ) )  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  =  ( ( ( *Q
`  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  .Q  ( ( 1Q  +Q  1Q )  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) )
18 mulcomnqg 7092 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  e. 
Q.  /\  ( 1Q  +Q  1Q )  e.  Q. )  ->  ( ( ( *Q `  ( 1Q 
+Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  .Q  ( 1Q  +Q  1Q ) )  =  ( ( 1Q  +Q  1Q )  .Q  ( ( *Q
`  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) ) )
1915, 3, 18mp2an 420 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  .Q  ( 1Q  +Q  1Q ) )  =  ( ( 1Q  +Q  1Q )  .Q  ( ( *Q
`  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) )
2019oveq1i 5716 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  .Q  ( 1Q  +Q  1Q ) )  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  =  ( ( ( 1Q 
+Q  1Q )  .Q  ( ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) )  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )
2117, 20eqtr3i 2122 . . . . . 6  |-  ( ( ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  .Q  ( ( 1Q  +Q  1Q )  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) )  =  ( ( ( 1Q  +Q  1Q )  .Q  ( ( *Q
`  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) )  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )
224, 4, 14syl2anc 406 . . . . . . 7  |-  ( ( 1Q  +Q  1Q )  e.  Q.  ->  (
( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  e. 
Q. )
23 mulidnq 7098 . . . . . . 7  |-  ( ( ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  e. 
Q.  ->  ( ( ( *Q `  ( 1Q 
+Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  .Q  1Q )  =  ( ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) )
243, 22, 23mp2b 8 . . . . . 6  |-  ( ( ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  .Q  1Q )  =  ( ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )
2513, 21, 243eqtr3i 2128 . . . . 5  |-  ( ( ( 1Q  +Q  1Q )  .Q  ( ( *Q
`  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) )  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  =  ( ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )
2612, 25, 93eqtr3i 2128 . . . 4  |-  ( ( *Q `  ( 1Q 
+Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  =  1Q
2726oveq2i 5717 . . 3  |-  ( A  .Q  ( ( *Q
`  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) )  =  ( A  .Q  1Q )
28 distrnqg 7096 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  ( *Q `  ( 1Q 
+Q  1Q ) )  e.  Q.  /\  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) )  e.  Q. )  ->  ( A  .Q  ( ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) )  =  ( ( A  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  +Q  ( A  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) ) )
295, 5, 28mp3an23 1275 . . 3  |-  ( A  e.  Q.  ->  ( A  .Q  ( ( *Q
`  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) )  =  ( ( A  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  +Q  ( A  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) ) )
30 mulidnq 7098 . . 3  |-  ( A  e.  Q.  ->  ( A  .Q  1Q )  =  A )
3127, 29, 303eqtr3a 2156 . 2  |-  ( A  e.  Q.  ->  (
( A  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  +Q  ( A  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) )  =  A )
32 mulclnq 7085 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  ( *Q `  ( 1Q 
+Q  1Q ) )  e.  Q. )  -> 
( A  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  e. 
Q. )
335, 32mpan2 419 . . 3  |-  ( A  e.  Q.  ->  ( A  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  e. 
Q. )
34 id 19 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( A  .Q  ( *Q `  ( 1Q 
+Q  1Q ) ) )  ->  x  =  ( A  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) )
3534, 34oveq12d 5724 . . . . 5  |-  ( x  =  ( A  .Q  ( *Q `  ( 1Q 
+Q  1Q ) ) )  ->  ( x  +Q  x )  =  ( ( A  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  +Q  ( A  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) ) )
3635eqeq1d 2108 . . . 4  |-  ( x  =  ( A  .Q  ( *Q `  ( 1Q 
+Q  1Q ) ) )  ->  ( (
x  +Q  x )  =  A  <->  ( ( A  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  +Q  ( A  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) )  =  A ) )
3736adantl 273 . . 3  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  x  =  ( A  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) )  ->  (
( x  +Q  x
)  =  A  <->  ( ( A  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  +Q  ( A  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) )  =  A ) )
3833, 37rspcedv 2748 . 2  |-  ( A  e.  Q.  ->  (
( ( A  .Q  ( *Q `  ( 1Q 
+Q  1Q ) ) )  +Q  ( A  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) )  =  A  ->  E. x  e.  Q.  ( x  +Q  x )  =  A ) )
3931, 38mpd 13 1  |-  ( A  e.  Q.  ->  E. x  e.  Q.  ( x  +Q  x )  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 104    = wceq 1299    e. wcel 1448   E.wrex 2376   ` cfv 5059  (class class class)co 5706   Q.cnq 6989   1Qc1q 6990    +Q cplq 6991    .Q cmq 6992   *Qcrq 6993
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-coll 3983  ax-sep 3986  ax-nul 3994  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-iinf 4440
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 787  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-tr 3967  df-id 4153  df-iord 4226  df-on 4228  df-suc 4231  df-iom 4443  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-recs 6132  df-irdg 6197  df-1o 6243  df-oadd 6247  df-omul 6248  df-er 6359  df-ec 6361  df-qs 6365  df-ni 7013  df-pli 7014  df-mi 7015  df-plpq 7053  df-mpq 7054  df-enq 7056  df-nqqs 7057  df-plqqs 7058  df-mqqs 7059  df-1nqqs 7060  df-rq 7061
This theorem is referenced by:  halfnq  7120  nsmallnqq  7121  subhalfnqq  7123  addlocpr  7245  addcanprleml  7323  addcanprlemu  7324  cauappcvgprlemm  7354  cauappcvgprlem1  7368  caucvgprlemm  7377
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