Theorem halfnqq 7777

Description: One-half of any positive fraction is a fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
halfnqq	|- ( A e. Q. -> E. x e. Q. ( x +Q x ) = A )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem halfnqq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nq 7733	. . . . . . . . 9 |- 1Q e. Q.
2		addclnq 7742	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1Q e. Q. /\ 1Q e. Q. ) -> ( 1Q +Q 1Q ) e. Q. )
3	1, 1, 2	mp2an 430	. . . . . . . 8 |- ( 1Q +Q 1Q ) e. Q.
4		recclnq 7759	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1Q +Q 1Q ) e. Q. -> ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) e. Q. )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) e. Q.
6		distrnqg 7754	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 1Q +Q 1Q ) e. Q. /\ ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) e. Q. /\ ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) e. Q. ) -> ( ( 1Q +Q 1Q ) .Q ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) ) = ( ( ( 1Q +Q 1Q ) .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) +Q ( ( 1Q +Q 1Q ) .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) ) )
7	3, 5, 5, 6	mp3an 1378	. . . . . . 7 |- ( ( 1Q +Q 1Q ) .Q ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) ) = ( ( ( 1Q +Q 1Q ) .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) +Q ( ( 1Q +Q 1Q ) .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) )
8		recidnq 7760	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1Q +Q 1Q ) e. Q. -> ( ( 1Q +Q 1Q ) .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) = 1Q )
9	3, 8	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( ( 1Q +Q 1Q ) .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) = 1Q
10	9, 9	oveq12i 6097	. . . . . . 7 |- ( ( ( 1Q +Q 1Q ) .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) +Q ( ( 1Q +Q 1Q ) .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) ) = ( 1Q +Q 1Q )
11	7, 10	eqtri 2259	. . . . . 6 |- ( ( 1Q +Q 1Q ) .Q ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) ) = ( 1Q +Q 1Q )
12	11	oveq1i 6095	. . . . 5 |- ( ( ( 1Q +Q 1Q ) .Q ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) ) .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) = ( ( 1Q +Q 1Q ) .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) )
13	9	oveq2i 6096	. . . . . 6 |- ( ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) .Q ( ( 1Q +Q 1Q ) .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) ) = ( ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) .Q 1Q )
14		addclnq 7742	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) e. Q. /\ ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) e. Q. ) -> ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) e. Q. )
15	5, 5, 14	mp2an 430	. . . . . . . 8 |- ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) e. Q.
16		mulassnqg 7751	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) e. Q. /\ ( 1Q +Q 1Q ) e. Q. /\ ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) e. Q. ) -> ( ( ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) .Q ( 1Q +Q 1Q ) ) .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) = ( ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) .Q ( ( 1Q +Q 1Q ) .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) ) )
17	15, 3, 5, 16	mp3an 1378	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) .Q ( 1Q +Q 1Q ) ) .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) = ( ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) .Q ( ( 1Q +Q 1Q ) .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) )
18		mulcomnqg 7750	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) e. Q. /\ ( 1Q +Q 1Q ) e. Q. ) -> ( ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) .Q ( 1Q +Q 1Q ) ) = ( ( 1Q +Q 1Q ) .Q ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) ) )
19	15, 3, 18	mp2an 430	. . . . . . . 8 |- ( ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) .Q ( 1Q +Q 1Q ) ) = ( ( 1Q +Q 1Q ) .Q ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) )
20	19	oveq1i 6095	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) .Q ( 1Q +Q 1Q ) ) .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) = ( ( ( 1Q +Q 1Q ) .Q ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) ) .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) )
21	17, 20	eqtr3i 2261	. . . . . 6 |- ( ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) .Q ( ( 1Q +Q 1Q ) .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) ) = ( ( ( 1Q +Q 1Q ) .Q ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) ) .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) )
22	4, 4, 14	syl2anc 415	. . . . . . 7 |- ( ( 1Q +Q 1Q ) e. Q. -> ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) e. Q. )
23		mulidnq 7756	. . . . . . 7 |- ( ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) e. Q. -> ( ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) .Q 1Q ) = ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) )
24	3, 22, 23	mp2b 8	. . . . . 6 |- ( ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) .Q 1Q ) = ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) )
25	13, 21, 24	3eqtr3i 2267	. . . . 5 |- ( ( ( 1Q +Q 1Q ) .Q ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) ) .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) = ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) )
26	12, 25, 9	3eqtr3i 2267	. . . 4 |- ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) = 1Q
27	26	oveq2i 6096	. . 3 |- ( A .Q ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) ) = ( A .Q 1Q )
28		distrnqg 7754	. . . 4 |- ( ( A e. Q. /\ ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) e. Q. /\ ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) e. Q. ) -> ( A .Q ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) ) = ( ( A .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) +Q ( A .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) ) )
29	5, 5, 28	mp3an23 1370	. . 3 |- ( A e. Q. -> ( A .Q ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) ) = ( ( A .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) +Q ( A .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) ) )
30		mulidnq 7756	. . 3 |- ( A e. Q. -> ( A .Q 1Q ) = A )
31	27, 29, 30	3eqtr3a 2295	. 2 |- ( A e. Q. -> ( ( A .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) +Q ( A .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) ) = A )
32		mulclnq 7743	. . . 4 |- ( ( A e. Q. /\ ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) e. Q. ) -> ( A .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) e. Q. )
33	5, 32	mpan2 429	. . 3 |- ( A e. Q. -> ( A .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) e. Q. )
34		id 19	. . . . . 6 |- ( x = ( A .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) -> x = ( A .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) )
35	34, 34	oveq12d 6103	. . . . 5 |- ( x = ( A .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) -> ( x +Q x ) = ( ( A .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) +Q ( A .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) ) )
36	35	eqeq1d 2247	. . . 4 |- ( x = ( A .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) -> ( ( x +Q x ) = A <-> ( ( A .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) +Q ( A .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) ) = A ) )
37	36	adantl 277	. . 3 |- ( ( A e. Q. /\ x = ( A .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) ) -> ( ( x +Q x ) = A <-> ( ( A .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) +Q ( A .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) ) = A ) )
38	33, 37	rspcedv 2933	. 2 |- ( A e. Q. -> ( ( ( A .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) +Q ( A .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) ) = A -> E. x e. Q. ( x +Q x ) = A ) )
39	31, 38	mpd 13	1 |- ( A e. Q. -> E. x e. Q. ( x +Q x ) = A )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   E.wrex 2529   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   Q.cnq 7647   1Qc1q 7648   +Q cplq 7649   .Q cmq 7650   *Qcrq 7651

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-omul 6692  df-er 6807  df-ec 6809  df-qs 6813  df-ni 7671  df-pli 7672  df-mi 7673  df-plpq 7711  df-mpq 7712  df-enq 7714  df-nqqs 7715  df-plqqs 7716  df-mqqs 7717  df-1nqqs 7718  df-rq 7719

This theorem is used by:  halfnq  7778  nsmallnqq  7779  subhalfnqq  7781  addlocpr  7903  addcanprleml  7981  addcanprlemu  7982  cauappcvgprlemm  8012  cauappcvgprlem1  8026  caucvgprlemm  8035