Theorem halfnqq 7351

Description: One-half of any positive fraction is a fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
halfnqq	|- ( A e. Q. -> E. x e. Q. ( x +Q x ) = A )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem halfnqq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nq 7307	. . . . . . . . 9 |- 1Q e. Q.
2		addclnq 7316	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1Q e. Q. /\ 1Q e. Q. ) -> ( 1Q +Q 1Q ) e. Q. )
3	1, 1, 2	mp2an 423	. . . . . . . 8 |- ( 1Q +Q 1Q ) e. Q.
4		recclnq 7333	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1Q +Q 1Q ) e. Q. -> ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) e. Q. )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) e. Q.
6		distrnqg 7328	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 1Q +Q 1Q ) e. Q. /\ ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) e. Q. /\ ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) e. Q. ) -> ( ( 1Q +Q 1Q ) .Q ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) ) = ( ( ( 1Q +Q 1Q ) .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) +Q ( ( 1Q +Q 1Q ) .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) ) )
7	3, 5, 5, 6	mp3an 1327	. . . . . . 7 |- ( ( 1Q +Q 1Q ) .Q ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) ) = ( ( ( 1Q +Q 1Q ) .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) +Q ( ( 1Q +Q 1Q ) .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) )
8		recidnq 7334	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1Q +Q 1Q ) e. Q. -> ( ( 1Q +Q 1Q ) .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) = 1Q )
9	3, 8	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( ( 1Q +Q 1Q ) .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) = 1Q
10	9, 9	oveq12i 5854	. . . . . . 7 |- ( ( ( 1Q +Q 1Q ) .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) +Q ( ( 1Q +Q 1Q ) .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) ) = ( 1Q +Q 1Q )
11	7, 10	eqtri 2186	. . . . . 6 |- ( ( 1Q +Q 1Q ) .Q ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) ) = ( 1Q +Q 1Q )
12	11	oveq1i 5852	. . . . 5 |- ( ( ( 1Q +Q 1Q ) .Q ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) ) .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) = ( ( 1Q +Q 1Q ) .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) )
13	9	oveq2i 5853	. . . . . 6 |- ( ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) .Q ( ( 1Q +Q 1Q ) .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) ) = ( ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) .Q 1Q )
14		addclnq 7316	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) e. Q. /\ ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) e. Q. ) -> ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) e. Q. )
15	5, 5, 14	mp2an 423	. . . . . . . 8 |- ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) e. Q.
16		mulassnqg 7325	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) e. Q. /\ ( 1Q +Q 1Q ) e. Q. /\ ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) e. Q. ) -> ( ( ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) .Q ( 1Q +Q 1Q ) ) .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) = ( ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) .Q ( ( 1Q +Q 1Q ) .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) ) )
17	15, 3, 5, 16	mp3an 1327	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) .Q ( 1Q +Q 1Q ) ) .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) = ( ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) .Q ( ( 1Q +Q 1Q ) .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) )
18		mulcomnqg 7324	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) e. Q. /\ ( 1Q +Q 1Q ) e. Q. ) -> ( ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) .Q ( 1Q +Q 1Q ) ) = ( ( 1Q +Q 1Q ) .Q ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) ) )
19	15, 3, 18	mp2an 423	. . . . . . . 8 |- ( ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) .Q ( 1Q +Q 1Q ) ) = ( ( 1Q +Q 1Q ) .Q ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) )
20	19	oveq1i 5852	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) .Q ( 1Q +Q 1Q ) ) .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) = ( ( ( 1Q +Q 1Q ) .Q ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) ) .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) )
21	17, 20	eqtr3i 2188	. . . . . 6 |- ( ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) .Q ( ( 1Q +Q 1Q ) .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) ) = ( ( ( 1Q +Q 1Q ) .Q ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) ) .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) )
22	4, 4, 14	syl2anc 409	. . . . . . 7 |- ( ( 1Q +Q 1Q ) e. Q. -> ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) e. Q. )
23		mulidnq 7330	. . . . . . 7 |- ( ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) e. Q. -> ( ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) .Q 1Q ) = ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) )
24	3, 22, 23	mp2b 8	. . . . . 6 |- ( ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) .Q 1Q ) = ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) )
25	13, 21, 24	3eqtr3i 2194	. . . . 5 |- ( ( ( 1Q +Q 1Q ) .Q ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) ) .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) = ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) )
26	12, 25, 9	3eqtr3i 2194	. . . 4 |- ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) = 1Q
27	26	oveq2i 5853	. . 3 |- ( A .Q ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) ) = ( A .Q 1Q )
28		distrnqg 7328	. . . 4 |- ( ( A e. Q. /\ ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) e. Q. /\ ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) e. Q. ) -> ( A .Q ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) ) = ( ( A .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) +Q ( A .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) ) )
29	5, 5, 28	mp3an23 1319	. . 3 |- ( A e. Q. -> ( A .Q ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) ) = ( ( A .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) +Q ( A .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) ) )
30		mulidnq 7330	. . 3 |- ( A e. Q. -> ( A .Q 1Q ) = A )
31	27, 29, 30	3eqtr3a 2223	. 2 |- ( A e. Q. -> ( ( A .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) +Q ( A .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) ) = A )
32		mulclnq 7317	. . . 4 |- ( ( A e. Q. /\ ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) e. Q. ) -> ( A .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) e. Q. )
33	5, 32	mpan2 422	. . 3 |- ( A e. Q. -> ( A .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) e. Q. )
34		id 19	. . . . . 6 |- ( x = ( A .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) -> x = ( A .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) )
35	34, 34	oveq12d 5860	. . . . 5 |- ( x = ( A .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) -> ( x +Q x ) = ( ( A .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) +Q ( A .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) ) )
36	35	eqeq1d 2174	. . . 4 |- ( x = ( A .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) -> ( ( x +Q x ) = A <-> ( ( A .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) +Q ( A .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) ) = A ) )
37	36	adantl 275	. . 3 |- ( ( A e. Q. /\ x = ( A .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) ) -> ( ( x +Q x ) = A <-> ( ( A .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) +Q ( A .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) ) = A ) )
38	33, 37	rspcedv 2834	. 2 |- ( A e. Q. -> ( ( ( A .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) +Q ( A .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) ) = A -> E. x e. Q. ( x +Q x ) = A ) )
39	31, 38	mpd 13	1 |- ( A e. Q. -> E. x e. Q. ( x +Q x ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   = wceq 1343   e. wcel 2136   E.wrex 2445   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   Q.cnq 7221   1Qc1q 7222   +Q cplq 7223   .Q cmq 7224   *Qcrq 7225

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-1o 6384  df-oadd 6388  df-omul 6389  df-er 6501  df-ec 6503  df-qs 6507  df-ni 7245  df-pli 7246  df-mi 7247  df-plpq 7285  df-mpq 7286  df-enq 7288  df-nqqs 7289  df-plqqs 7290  df-mqqs 7291  df-1nqqs 7292  df-rq 7293

This theorem is referenced by:  halfnq  7352  nsmallnqq  7353  subhalfnqq  7355  addlocpr  7477  addcanprleml  7555  addcanprlemu  7556  cauappcvgprlemm  7586  cauappcvgprlem1  7600  caucvgprlemm  7609