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Theorem halfnqq 7438
Description: One-half of any positive fraction is a fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
halfnqq  |-  ( A  e.  Q.  ->  E. x  e.  Q.  ( x  +Q  x )  =  A )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem halfnqq
StepHypRef Expression
1 1nq 7394 . . . . . . . . 9  |-  1Q  e.  Q.
2 addclnq 7403 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1Q  e.  Q.  /\  1Q  e.  Q. )  -> 
( 1Q  +Q  1Q )  e.  Q. )
31, 1, 2mp2an 426 . . . . . . . 8  |-  ( 1Q 
+Q  1Q )  e. 
Q.
4 recclnq 7420 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1Q  +Q  1Q )  e.  Q.  ->  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) )  e.  Q. )
53, 4ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( *Q
`  ( 1Q  +Q  1Q ) )  e.  Q.
6 distrnqg 7415 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1Q  +Q  1Q )  e.  Q.  /\  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) )  e.  Q.  /\  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) )  e.  Q. )  -> 
( ( 1Q  +Q  1Q )  .Q  (
( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) )  =  ( ( ( 1Q  +Q  1Q )  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  +Q  ( ( 1Q  +Q  1Q )  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) ) )
73, 5, 5, 6mp3an 1348 . . . . . . 7  |-  ( ( 1Q  +Q  1Q )  .Q  ( ( *Q
`  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) )  =  ( ( ( 1Q  +Q  1Q )  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  +Q  ( ( 1Q  +Q  1Q )  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) )
8 recidnq 7421 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1Q  +Q  1Q )  e.  Q.  ->  (
( 1Q  +Q  1Q )  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  =  1Q )
93, 8ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1Q  +Q  1Q )  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  =  1Q
109, 9oveq12i 5907 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1Q  +Q  1Q )  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  +Q  ( ( 1Q  +Q  1Q )  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) )  =  ( 1Q  +Q  1Q )
117, 10eqtri 2210 . . . . . 6  |-  ( ( 1Q  +Q  1Q )  .Q  ( ( *Q
`  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) )  =  ( 1Q  +Q  1Q )
1211oveq1i 5905 . . . . 5  |-  ( ( ( 1Q  +Q  1Q )  .Q  ( ( *Q
`  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) )  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  =  ( ( 1Q  +Q  1Q )  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )
139oveq2i 5906 . . . . . 6  |-  ( ( ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  .Q  ( ( 1Q  +Q  1Q )  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) )  =  ( ( ( *Q `  ( 1Q 
+Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  .Q  1Q )
14 addclnq 7403 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) )  e.  Q.  /\  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) )  e.  Q. )  ->  ( ( *Q
`  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  e. 
Q. )
155, 5, 14mp2an 426 . . . . . . . 8  |-  ( ( *Q `  ( 1Q 
+Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  e. 
Q.
16 mulassnqg 7412 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  e. 
Q.  /\  ( 1Q  +Q  1Q )  e.  Q.  /\  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) )  e.  Q. )  -> 
( ( ( ( *Q `  ( 1Q 
+Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  .Q  ( 1Q  +Q  1Q ) )  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  =  ( ( ( *Q
`  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  .Q  ( ( 1Q  +Q  1Q )  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) ) )
1715, 3, 5, 16mp3an 1348 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  .Q  ( 1Q  +Q  1Q ) )  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  =  ( ( ( *Q
`  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  .Q  ( ( 1Q  +Q  1Q )  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) )
18 mulcomnqg 7411 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  e. 
Q.  /\  ( 1Q  +Q  1Q )  e.  Q. )  ->  ( ( ( *Q `  ( 1Q 
+Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  .Q  ( 1Q  +Q  1Q ) )  =  ( ( 1Q  +Q  1Q )  .Q  ( ( *Q
`  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) ) )
1915, 3, 18mp2an 426 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  .Q  ( 1Q  +Q  1Q ) )  =  ( ( 1Q  +Q  1Q )  .Q  ( ( *Q
`  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) )
2019oveq1i 5905 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  .Q  ( 1Q  +Q  1Q ) )  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  =  ( ( ( 1Q 
+Q  1Q )  .Q  ( ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) )  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )
2117, 20eqtr3i 2212 . . . . . 6  |-  ( ( ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  .Q  ( ( 1Q  +Q  1Q )  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) )  =  ( ( ( 1Q  +Q  1Q )  .Q  ( ( *Q
`  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) )  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )
224, 4, 14syl2anc 411 . . . . . . 7  |-  ( ( 1Q  +Q  1Q )  e.  Q.  ->  (
( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  e. 
Q. )
23 mulidnq 7417 . . . . . . 7  |-  ( ( ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  e. 
Q.  ->  ( ( ( *Q `  ( 1Q 
+Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  .Q  1Q )  =  ( ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) )
243, 22, 23mp2b 8 . . . . . 6  |-  ( ( ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  .Q  1Q )  =  ( ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )
2513, 21, 243eqtr3i 2218 . . . . 5  |-  ( ( ( 1Q  +Q  1Q )  .Q  ( ( *Q
`  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) )  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  =  ( ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )
2612, 25, 93eqtr3i 2218 . . . 4  |-  ( ( *Q `  ( 1Q 
+Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  =  1Q
2726oveq2i 5906 . . 3  |-  ( A  .Q  ( ( *Q
`  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) )  =  ( A  .Q  1Q )
28 distrnqg 7415 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  ( *Q `  ( 1Q 
+Q  1Q ) )  e.  Q.  /\  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) )  e.  Q. )  ->  ( A  .Q  ( ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) )  =  ( ( A  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  +Q  ( A  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) ) )
295, 5, 28mp3an23 1340 . . 3  |-  ( A  e.  Q.  ->  ( A  .Q  ( ( *Q
`  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) )  =  ( ( A  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  +Q  ( A  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) ) )
30 mulidnq 7417 . . 3  |-  ( A  e.  Q.  ->  ( A  .Q  1Q )  =  A )
3127, 29, 303eqtr3a 2246 . 2  |-  ( A  e.  Q.  ->  (
( A  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  +Q  ( A  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) )  =  A )
32 mulclnq 7404 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  ( *Q `  ( 1Q 
+Q  1Q ) )  e.  Q. )  -> 
( A  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  e. 
Q. )
335, 32mpan2 425 . . 3  |-  ( A  e.  Q.  ->  ( A  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  e. 
Q. )
34 id 19 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( A  .Q  ( *Q `  ( 1Q 
+Q  1Q ) ) )  ->  x  =  ( A  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) )
3534, 34oveq12d 5913 . . . . 5  |-  ( x  =  ( A  .Q  ( *Q `  ( 1Q 
+Q  1Q ) ) )  ->  ( x  +Q  x )  =  ( ( A  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  +Q  ( A  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) ) )
3635eqeq1d 2198 . . . 4  |-  ( x  =  ( A  .Q  ( *Q `  ( 1Q 
+Q  1Q ) ) )  ->  ( (
x  +Q  x )  =  A  <->  ( ( A  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  +Q  ( A  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) )  =  A ) )
3736adantl 277 . . 3  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  x  =  ( A  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) )  ->  (
( x  +Q  x
)  =  A  <->  ( ( A  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  +Q  ( A  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) )  =  A ) )
3833, 37rspcedv 2860 . 2  |-  ( A  e.  Q.  ->  (
( ( A  .Q  ( *Q `  ( 1Q 
+Q  1Q ) ) )  +Q  ( A  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) )  =  A  ->  E. x  e.  Q.  ( x  +Q  x )  =  A ) )
3931, 38mpd 13 1  |-  ( A  e.  Q.  ->  E. x  e.  Q.  ( x  +Q  x )  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 105    = wceq 1364    e. wcel 2160   E.wrex 2469   ` cfv 5235  (class class class)co 5895   Q.cnq 7308   1Qc1q 7309    +Q cplq 7310    .Q cmq 7311   *Qcrq 7312
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-iord 4384  df-on 4386  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-ov 5898  df-oprab 5899  df-mpo 5900  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-recs 6329  df-irdg 6394  df-1o 6440  df-oadd 6444  df-omul 6445  df-er 6558  df-ec 6560  df-qs 6564  df-ni 7332  df-pli 7333  df-mi 7334  df-plpq 7372  df-mpq 7373  df-enq 7375  df-nqqs 7376  df-plqqs 7377  df-mqqs 7378  df-1nqqs 7379  df-rq 7380
This theorem is referenced by:  halfnq  7439  nsmallnqq  7440  subhalfnqq  7442  addlocpr  7564  addcanprleml  7642  addcanprlemu  7643  cauappcvgprlemm  7673  cauappcvgprlem1  7687  caucvgprlemm  7696
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