Theorem halfnqq 7211

Description: One-half of any positive fraction is a fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
halfnqq	|- ( A e. Q. -> E. x e. Q. ( x +Q x ) = A )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem halfnqq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nq 7167	. . . . . . . . 9 |- 1Q e. Q.
2		addclnq 7176	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1Q e. Q. /\ 1Q e. Q. ) -> ( 1Q +Q 1Q ) e. Q. )
3	1, 1, 2	mp2an 422	. . . . . . . 8 |- ( 1Q +Q 1Q ) e. Q.
4		recclnq 7193	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1Q +Q 1Q ) e. Q. -> ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) e. Q. )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) e. Q.
6		distrnqg 7188	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 1Q +Q 1Q ) e. Q. /\ ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) e. Q. /\ ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) e. Q. ) -> ( ( 1Q +Q 1Q ) .Q ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) ) = ( ( ( 1Q +Q 1Q ) .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) +Q ( ( 1Q +Q 1Q ) .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) ) )
7	3, 5, 5, 6	mp3an 1315	. . . . . . 7 |- ( ( 1Q +Q 1Q ) .Q ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) ) = ( ( ( 1Q +Q 1Q ) .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) +Q ( ( 1Q +Q 1Q ) .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) )
8		recidnq 7194	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1Q +Q 1Q ) e. Q. -> ( ( 1Q +Q 1Q ) .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) = 1Q )
9	3, 8	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( ( 1Q +Q 1Q ) .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) = 1Q
10	9, 9	oveq12i 5779	. . . . . . 7 |- ( ( ( 1Q +Q 1Q ) .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) +Q ( ( 1Q +Q 1Q ) .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) ) = ( 1Q +Q 1Q )
11	7, 10	eqtri 2158	. . . . . 6 |- ( ( 1Q +Q 1Q ) .Q ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) ) = ( 1Q +Q 1Q )
12	11	oveq1i 5777	. . . . 5 |- ( ( ( 1Q +Q 1Q ) .Q ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) ) .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) = ( ( 1Q +Q 1Q ) .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) )
13	9	oveq2i 5778	. . . . . 6 |- ( ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) .Q ( ( 1Q +Q 1Q ) .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) ) = ( ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) .Q 1Q )
14		addclnq 7176	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) e. Q. /\ ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) e. Q. ) -> ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) e. Q. )
15	5, 5, 14	mp2an 422	. . . . . . . 8 |- ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) e. Q.
16		mulassnqg 7185	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) e. Q. /\ ( 1Q +Q 1Q ) e. Q. /\ ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) e. Q. ) -> ( ( ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) .Q ( 1Q +Q 1Q ) ) .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) = ( ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) .Q ( ( 1Q +Q 1Q ) .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) ) )
17	15, 3, 5, 16	mp3an 1315	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) .Q ( 1Q +Q 1Q ) ) .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) = ( ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) .Q ( ( 1Q +Q 1Q ) .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) )
18		mulcomnqg 7184	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) e. Q. /\ ( 1Q +Q 1Q ) e. Q. ) -> ( ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) .Q ( 1Q +Q 1Q ) ) = ( ( 1Q +Q 1Q ) .Q ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) ) )
19	15, 3, 18	mp2an 422	. . . . . . . 8 |- ( ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) .Q ( 1Q +Q 1Q ) ) = ( ( 1Q +Q 1Q ) .Q ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) )
20	19	oveq1i 5777	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) .Q ( 1Q +Q 1Q ) ) .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) = ( ( ( 1Q +Q 1Q ) .Q ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) ) .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) )
21	17, 20	eqtr3i 2160	. . . . . 6 |- ( ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) .Q ( ( 1Q +Q 1Q ) .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) ) = ( ( ( 1Q +Q 1Q ) .Q ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) ) .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) )
22	4, 4, 14	syl2anc 408	. . . . . . 7 |- ( ( 1Q +Q 1Q ) e. Q. -> ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) e. Q. )
23		mulidnq 7190	. . . . . . 7 |- ( ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) e. Q. -> ( ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) .Q 1Q ) = ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) )
24	3, 22, 23	mp2b 8	. . . . . 6 |- ( ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) .Q 1Q ) = ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) )
25	13, 21, 24	3eqtr3i 2166	. . . . 5 |- ( ( ( 1Q +Q 1Q ) .Q ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) ) .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) = ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) )
26	12, 25, 9	3eqtr3i 2166	. . . 4 |- ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) = 1Q
27	26	oveq2i 5778	. . 3 |- ( A .Q ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) ) = ( A .Q 1Q )
28		distrnqg 7188	. . . 4 |- ( ( A e. Q. /\ ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) e. Q. /\ ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) e. Q. ) -> ( A .Q ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) ) = ( ( A .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) +Q ( A .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) ) )
29	5, 5, 28	mp3an23 1307	. . 3 |- ( A e. Q. -> ( A .Q ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) ) = ( ( A .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) +Q ( A .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) ) )
30		mulidnq 7190	. . 3 |- ( A e. Q. -> ( A .Q 1Q ) = A )
31	27, 29, 30	3eqtr3a 2194	. 2 |- ( A e. Q. -> ( ( A .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) +Q ( A .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) ) = A )
32		mulclnq 7177	. . . 4 |- ( ( A e. Q. /\ ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) e. Q. ) -> ( A .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) e. Q. )
33	5, 32	mpan2 421	. . 3 |- ( A e. Q. -> ( A .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) e. Q. )
34		id 19	. . . . . 6 |- ( x = ( A .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) -> x = ( A .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) )
35	34, 34	oveq12d 5785	. . . . 5 |- ( x = ( A .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) -> ( x +Q x ) = ( ( A .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) +Q ( A .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) ) )
36	35	eqeq1d 2146	. . . 4 |- ( x = ( A .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) -> ( ( x +Q x ) = A <-> ( ( A .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) +Q ( A .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) ) = A ) )
37	36	adantl 275	. . 3 |- ( ( A e. Q. /\ x = ( A .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) ) -> ( ( x +Q x ) = A <-> ( ( A .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) +Q ( A .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) ) = A ) )
38	33, 37	rspcedv 2788	. 2 |- ( A e. Q. -> ( ( ( A .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) +Q ( A .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) ) = A -> E. x e. Q. ( x +Q x ) = A ) )
39	31, 38	mpd 13	1 |- ( A e. Q. -> E. x e. Q. ( x +Q x ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   = wceq 1331   e. wcel 1480   E.wrex 2415   ` cfv 5118  (class class class)co 5767   Q.cnq 7081   1Qc1q 7082   +Q cplq 7083   .Q cmq 7084   *Qcrq 7085

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-iord 4283  df-on 4285  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-irdg 6260  df-1o 6306  df-oadd 6310  df-omul 6311  df-er 6422  df-ec 6424  df-qs 6428  df-ni 7105  df-pli 7106  df-mi 7107  df-plpq 7145  df-mpq 7146  df-enq 7148  df-nqqs 7149  df-plqqs 7150  df-mqqs 7151  df-1nqqs 7152  df-rq 7153

This theorem is referenced by:  halfnq  7212  nsmallnqq  7213  subhalfnqq  7215  addlocpr  7337  addcanprleml  7415  addcanprlemu  7416  cauappcvgprlemm  7446  cauappcvgprlem1  7460  caucvgprlemm  7469