Theorem halfnqq 7372

Description: One-half of any positive fraction is a fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
halfnqq	|- ( A e. Q. -> E. x e. Q. ( x +Q x ) = A )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem halfnqq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nq 7328	. . . . . . . . 9 |- 1Q e. Q.
2		addclnq 7337	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1Q e. Q. /\ 1Q e. Q. ) -> ( 1Q +Q 1Q ) e. Q. )
3	1, 1, 2	mp2an 424	. . . . . . . 8 |- ( 1Q +Q 1Q ) e. Q.
4		recclnq 7354	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1Q +Q 1Q ) e. Q. -> ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) e. Q. )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) e. Q.
6		distrnqg 7349	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 1Q +Q 1Q ) e. Q. /\ ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) e. Q. /\ ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) e. Q. ) -> ( ( 1Q +Q 1Q ) .Q ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) ) = ( ( ( 1Q +Q 1Q ) .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) +Q ( ( 1Q +Q 1Q ) .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) ) )
7	3, 5, 5, 6	mp3an 1332	. . . . . . 7 |- ( ( 1Q +Q 1Q ) .Q ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) ) = ( ( ( 1Q +Q 1Q ) .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) +Q ( ( 1Q +Q 1Q ) .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) )
8		recidnq 7355	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1Q +Q 1Q ) e. Q. -> ( ( 1Q +Q 1Q ) .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) = 1Q )
9	3, 8	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( ( 1Q +Q 1Q ) .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) = 1Q
10	9, 9	oveq12i 5865	. . . . . . 7 |- ( ( ( 1Q +Q 1Q ) .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) +Q ( ( 1Q +Q 1Q ) .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) ) = ( 1Q +Q 1Q )
11	7, 10	eqtri 2191	. . . . . 6 |- ( ( 1Q +Q 1Q ) .Q ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) ) = ( 1Q +Q 1Q )
12	11	oveq1i 5863	. . . . 5 |- ( ( ( 1Q +Q 1Q ) .Q ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) ) .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) = ( ( 1Q +Q 1Q ) .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) )
13	9	oveq2i 5864	. . . . . 6 |- ( ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) .Q ( ( 1Q +Q 1Q ) .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) ) = ( ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) .Q 1Q )
14		addclnq 7337	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) e. Q. /\ ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) e. Q. ) -> ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) e. Q. )
15	5, 5, 14	mp2an 424	. . . . . . . 8 |- ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) e. Q.
16		mulassnqg 7346	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) e. Q. /\ ( 1Q +Q 1Q ) e. Q. /\ ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) e. Q. ) -> ( ( ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) .Q ( 1Q +Q 1Q ) ) .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) = ( ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) .Q ( ( 1Q +Q 1Q ) .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) ) )
17	15, 3, 5, 16	mp3an 1332	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) .Q ( 1Q +Q 1Q ) ) .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) = ( ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) .Q ( ( 1Q +Q 1Q ) .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) )
18		mulcomnqg 7345	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) e. Q. /\ ( 1Q +Q 1Q ) e. Q. ) -> ( ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) .Q ( 1Q +Q 1Q ) ) = ( ( 1Q +Q 1Q ) .Q ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) ) )
19	15, 3, 18	mp2an 424	. . . . . . . 8 |- ( ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) .Q ( 1Q +Q 1Q ) ) = ( ( 1Q +Q 1Q ) .Q ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) )
20	19	oveq1i 5863	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) .Q ( 1Q +Q 1Q ) ) .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) = ( ( ( 1Q +Q 1Q ) .Q ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) ) .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) )
21	17, 20	eqtr3i 2193	. . . . . 6 |- ( ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) .Q ( ( 1Q +Q 1Q ) .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) ) = ( ( ( 1Q +Q 1Q ) .Q ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) ) .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) )
22	4, 4, 14	syl2anc 409	. . . . . . 7 |- ( ( 1Q +Q 1Q ) e. Q. -> ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) e. Q. )
23		mulidnq 7351	. . . . . . 7 |- ( ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) e. Q. -> ( ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) .Q 1Q ) = ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) )
24	3, 22, 23	mp2b 8	. . . . . 6 |- ( ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) .Q 1Q ) = ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) )
25	13, 21, 24	3eqtr3i 2199	. . . . 5 |- ( ( ( 1Q +Q 1Q ) .Q ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) ) .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) = ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) )
26	12, 25, 9	3eqtr3i 2199	. . . 4 |- ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) = 1Q
27	26	oveq2i 5864	. . 3 |- ( A .Q ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) ) = ( A .Q 1Q )
28		distrnqg 7349	. . . 4 |- ( ( A e. Q. /\ ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) e. Q. /\ ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) e. Q. ) -> ( A .Q ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) ) = ( ( A .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) +Q ( A .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) ) )
29	5, 5, 28	mp3an23 1324	. . 3 |- ( A e. Q. -> ( A .Q ( ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) +Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) ) = ( ( A .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) +Q ( A .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) ) )
30		mulidnq 7351	. . 3 |- ( A e. Q. -> ( A .Q 1Q ) = A )
31	27, 29, 30	3eqtr3a 2227	. 2 |- ( A e. Q. -> ( ( A .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) +Q ( A .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) ) = A )
32		mulclnq 7338	. . . 4 |- ( ( A e. Q. /\ ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) e. Q. ) -> ( A .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) e. Q. )
33	5, 32	mpan2 423	. . 3 |- ( A e. Q. -> ( A .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) e. Q. )
34		id 19	. . . . . 6 |- ( x = ( A .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) -> x = ( A .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) )
35	34, 34	oveq12d 5871	. . . . 5 |- ( x = ( A .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) -> ( x +Q x ) = ( ( A .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) +Q ( A .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) ) )
36	35	eqeq1d 2179	. . . 4 |- ( x = ( A .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) -> ( ( x +Q x ) = A <-> ( ( A .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) +Q ( A .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) ) = A ) )
37	36	adantl 275	. . 3 |- ( ( A e. Q. /\ x = ( A .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) ) -> ( ( x +Q x ) = A <-> ( ( A .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) +Q ( A .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) ) = A ) )
38	33, 37	rspcedv 2838	. 2 |- ( A e. Q. -> ( ( ( A .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) +Q ( A .Q ( *Q ` ( 1Q +Q 1Q ) ) ) ) = A -> E. x e. Q. ( x +Q x ) = A ) )
39	31, 38	mpd 13	1 |- ( A e. Q. -> E. x e. Q. ( x +Q x ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   = wceq 1348   e. wcel 2141   E.wrex 2449   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   Q.cnq 7242   1Qc1q 7243   +Q cplq 7244   .Q cmq 7245   *Qcrq 7246

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-1o 6395  df-oadd 6399  df-omul 6400  df-er 6513  df-ec 6515  df-qs 6519  df-ni 7266  df-pli 7267  df-mi 7268  df-plpq 7306  df-mpq 7307  df-enq 7309  df-nqqs 7310  df-plqqs 7311  df-mqqs 7312  df-1nqqs 7313  df-rq 7314

This theorem is referenced by:  halfnq  7373  nsmallnqq  7374  subhalfnqq  7376  addlocpr  7498  addcanprleml  7576  addcanprlemu  7577  cauappcvgprlemm  7607  cauappcvgprlem1  7621  caucvgprlemm  7630