Theorem nsmallnqq 7729

Description: There is no smallest positive fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nsmallnqq	⊢ (𝐴 ∈ Q → ∃𝑥 ∈ Q 𝑥 <Q 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem nsmallnqq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		halfnqq 7727	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 +Q 𝑥) = 𝐴)
2		ltaddnq 7724	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ Q) → 𝑥 <Q (𝑥 +Q 𝑥))
3	2	anidms 397	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ Q → 𝑥 <Q (𝑥 +Q 𝑥))
4		breq2 4115	. . . 4 ⊢ ((𝑥 +Q 𝑥) = 𝐴 → (𝑥 <Q (𝑥 +Q 𝑥) ↔ 𝑥 <Q 𝐴))
5	3, 4	syl5ibcom 155	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ Q → ((𝑥 +Q 𝑥) = 𝐴 → 𝑥 <Q 𝐴))
6	5	reximia 2639	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ Q (𝑥 +Q 𝑥) = 𝐴 → ∃𝑥 ∈ Q 𝑥 <Q 𝐴)
7	1, 6	syl 14	1 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ∃𝑥 ∈ Q 𝑥 <Q 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ∃wrex 2523   class class class wbr 4111  (class class class)co 6052  Qcnq 7597   +_Q cplq 7599   <_Q cltq 7602

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-eprel 4412  df-id 4416  df-iord 4489  df-on 4491  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-irdg 6603  df-1o 6649  df-oadd 6653  df-omul 6654  df-er 6769  df-ec 6771  df-qs 6775  df-ni 7621  df-pli 7622  df-mi 7623  df-lti 7624  df-plpq 7661  df-mpq 7662  df-enq 7664  df-nqqs 7665  df-plqqs 7666  df-mqqs 7667  df-1nqqs 7668  df-rq 7669  df-ltnqqs 7670

This theorem is referenced by:  nsmallnq  7730  nqprm  7859  appdiv0nq  7881  recexprlemm  7941