Theorem nsmallnqq 7772

Description: There is no smallest positive fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nsmallnqq	⊢ (𝐴 ∈ Q → ∃𝑥 ∈ Q 𝑥 <Q 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem nsmallnqq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		halfnqq 7770	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 +Q 𝑥) = 𝐴)
2		ltaddnq 7767	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ Q) → 𝑥 <Q (𝑥 +Q 𝑥))
3	2	anidms 401	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ Q → 𝑥 <Q (𝑥 +Q 𝑥))
4		breq2 4132	. . . 4 ⊢ ((𝑥 +Q 𝑥) = 𝐴 → (𝑥 <Q (𝑥 +Q 𝑥) ↔ 𝑥 <Q 𝐴))
5	3, 4	syl5ibcom 155	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ Q → ((𝑥 +Q 𝑥) = 𝐴 → 𝑥 <Q 𝐴))
6	5	reximia 2645	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ Q (𝑥 +Q 𝑥) = 𝐴 → ∃𝑥 ∈ Q 𝑥 <Q 𝐴)
7	1, 6	syl 14	1 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ∃𝑥 ∈ Q 𝑥 <Q 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∃wrex 2529   class class class wbr 4128  (class class class)co 6078  Qcnq 7640   +_Q cplq 7642   <_Q cltq 7645

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-eprel 4432  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-ov 6081  df-oprab 6082  df-mpo 6083  df-1st 6367  df-2nd 6368  df-recs 6569  df-irdg 6634  df-1o 6680  df-oadd 6684  df-omul 6685  df-er 6800  df-ec 6802  df-qs 6806  df-ni 7664  df-pli 7665  df-mi 7666  df-lti 7667  df-plpq 7704  df-mpq 7705  df-enq 7707  df-nqqs 7708  df-plqqs 7709  df-mqqs 7710  df-1nqqs 7711  df-rq 7712  df-ltnqqs 7713

This theorem is referenced by:  nsmallnq  7773  nqprm  7902  appdiv0nq  7924  recexprlemm  7984