Theorem nsmallnqq 7399

Description: There is no smallest positive fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nsmallnqq	⊢ (𝐴 ∈ Q → ∃𝑥 ∈ Q 𝑥 <Q 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem nsmallnqq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		halfnqq 7397	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 +Q 𝑥) = 𝐴)
2		ltaddnq 7394	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ Q) → 𝑥 <Q (𝑥 +Q 𝑥))
3	2	anidms 397	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ Q → 𝑥 <Q (𝑥 +Q 𝑥))
4		breq2 4004	. . . 4 ⊢ ((𝑥 +Q 𝑥) = 𝐴 → (𝑥 <Q (𝑥 +Q 𝑥) ↔ 𝑥 <Q 𝐴))
5	3, 4	syl5ibcom 155	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ Q → ((𝑥 +Q 𝑥) = 𝐴 → 𝑥 <Q 𝐴))
6	5	reximia 2572	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ Q (𝑥 +Q 𝑥) = 𝐴 → ∃𝑥 ∈ Q 𝑥 <Q 𝐴)
7	1, 6	syl 14	1 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ∃𝑥 ∈ Q 𝑥 <Q 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∃wrex 2456   class class class wbr 4000  (class class class)co 5869  Qcnq 7267   +_Q cplq 7269   <_Q cltq 7272

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-eprel 4286  df-id 4290  df-iord 4363  df-on 4365  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-irdg 6365  df-1o 6411  df-oadd 6415  df-omul 6416  df-er 6529  df-ec 6531  df-qs 6535  df-ni 7291  df-pli 7292  df-mi 7293  df-lti 7294  df-plpq 7331  df-mpq 7332  df-enq 7334  df-nqqs 7335  df-plqqs 7336  df-mqqs 7337  df-1nqqs 7338  df-rq 7339  df-ltnqqs 7340

This theorem is referenced by:  nsmallnq  7400  nqprm  7529  appdiv0nq  7551  recexprlemm  7611