Theorem nsmallnqq 7599

Description: There is no smallest positive fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nsmallnqq	⊢ (𝐴 ∈ Q → ∃𝑥 ∈ Q 𝑥 <Q 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem nsmallnqq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		halfnqq 7597	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 +Q 𝑥) = 𝐴)
2		ltaddnq 7594	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ Q) → 𝑥 <Q (𝑥 +Q 𝑥))
3	2	anidms 397	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ Q → 𝑥 <Q (𝑥 +Q 𝑥))
4		breq2 4087	. . . 4 ⊢ ((𝑥 +Q 𝑥) = 𝐴 → (𝑥 <Q (𝑥 +Q 𝑥) ↔ 𝑥 <Q 𝐴))
5	3, 4	syl5ibcom 155	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ Q → ((𝑥 +Q 𝑥) = 𝐴 → 𝑥 <Q 𝐴))
6	5	reximia 2625	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ Q (𝑥 +Q 𝑥) = 𝐴 → ∃𝑥 ∈ Q 𝑥 <Q 𝐴)
7	1, 6	syl 14	1 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ∃𝑥 ∈ Q 𝑥 <Q 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∃wrex 2509   class class class wbr 4083  (class class class)co 6001  Qcnq 7467   +_Q cplq 7469   <_Q cltq 7472

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-eprel 4380  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-recs 6451  df-irdg 6516  df-1o 6562  df-oadd 6566  df-omul 6567  df-er 6680  df-ec 6682  df-qs 6686  df-ni 7491  df-pli 7492  df-mi 7493  df-lti 7494  df-plpq 7531  df-mpq 7532  df-enq 7534  df-nqqs 7535  df-plqqs 7536  df-mqqs 7537  df-1nqqs 7538  df-rq 7539  df-ltnqqs 7540

This theorem is referenced by:  nsmallnq  7600  nqprm  7729  appdiv0nq  7751  recexprlemm  7811