Theorem nsmallnqq 7560

Description: There is no smallest positive fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nsmallnqq	⊢ (𝐴 ∈ Q → ∃𝑥 ∈ Q 𝑥 <Q 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem nsmallnqq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		halfnqq 7558	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 +Q 𝑥) = 𝐴)
2		ltaddnq 7555	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ Q) → 𝑥 <Q (𝑥 +Q 𝑥))
3	2	anidms 397	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ Q → 𝑥 <Q (𝑥 +Q 𝑥))
4		breq2 4063	. . . 4 ⊢ ((𝑥 +Q 𝑥) = 𝐴 → (𝑥 <Q (𝑥 +Q 𝑥) ↔ 𝑥 <Q 𝐴))
5	3, 4	syl5ibcom 155	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ Q → ((𝑥 +Q 𝑥) = 𝐴 → 𝑥 <Q 𝐴))
6	5	reximia 2603	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ Q (𝑥 +Q 𝑥) = 𝐴 → ∃𝑥 ∈ Q 𝑥 <Q 𝐴)
7	1, 6	syl 14	1 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ∃𝑥 ∈ Q 𝑥 <Q 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1373   ∈ wcel 2178  ∃wrex 2487   class class class wbr 4059  (class class class)co 5967  Qcnq 7428   +_Q cplq 7430   <_Q cltq 7433

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-eprel 4354  df-id 4358  df-iord 4431  df-on 4433  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-irdg 6479  df-1o 6525  df-oadd 6529  df-omul 6530  df-er 6643  df-ec 6645  df-qs 6649  df-ni 7452  df-pli 7453  df-mi 7454  df-lti 7455  df-plpq 7492  df-mpq 7493  df-enq 7495  df-nqqs 7496  df-plqqs 7497  df-mqqs 7498  df-1nqqs 7499  df-rq 7500  df-ltnqqs 7501

This theorem is referenced by:  nsmallnq  7561  nqprm  7690  appdiv0nq  7712  recexprlemm  7772