ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  numaddc GIF version

Theorem numaddc 8893
Description: Add two decimal integers 𝑀 and 𝑁 (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
numma.1 𝑇 ∈ ℕ0
numma.2 𝐴 ∈ ℕ0
numma.3 𝐵 ∈ ℕ0
numma.4 𝐶 ∈ ℕ0
numma.5 𝐷 ∈ ℕ0
numma.6 𝑀 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
numma.7 𝑁 = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
numaddc.8 𝐹 ∈ ℕ0
numaddc.9 ((𝐴 + 𝐶) + 1) = 𝐸
numaddc.10 (𝐵 + 𝐷) = ((𝑇 · 1) + 𝐹)
Assertion
Ref Expression
numaddc (𝑀 + 𝑁) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)

Proof of Theorem numaddc
StepHypRef Expression
1 numma.6 . . . . . 6 𝑀 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
2 numma.1 . . . . . . 7 𝑇 ∈ ℕ0
3 numma.2 . . . . . . 7 𝐴 ∈ ℕ0
4 numma.3 . . . . . . 7 𝐵 ∈ ℕ0
52, 3, 4numcl 8858 . . . . . 6 ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ0
61, 5eqeltri 2160 . . . . 5 𝑀 ∈ ℕ0
76nn0cni 8655 . . . 4 𝑀 ∈ ℂ
87mulid1i 7469 . . 3 (𝑀 · 1) = 𝑀
98oveq1i 5644 . 2 ((𝑀 · 1) + 𝑁) = (𝑀 + 𝑁)
10 numma.4 . . 3 𝐶 ∈ ℕ0
11 numma.5 . . 3 𝐷 ∈ ℕ0
12 numma.7 . . 3 𝑁 = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
13 1nn0 8659 . . 3 1 ∈ ℕ0
14 numaddc.8 . . 3 𝐹 ∈ ℕ0
153nn0cni 8655 . . . . . 6 𝐴 ∈ ℂ
1615mulid1i 7469 . . . . 5 (𝐴 · 1) = 𝐴
1716oveq1i 5644 . . . 4 ((𝐴 · 1) + (𝐶 + 1)) = (𝐴 + (𝐶 + 1))
1810nn0cni 8655 . . . . 5 𝐶 ∈ ℂ
19 ax-1cn 7417 . . . . 5 1 ∈ ℂ
2015, 18, 19addassi 7475 . . . 4 ((𝐴 + 𝐶) + 1) = (𝐴 + (𝐶 + 1))
21 numaddc.9 . . . 4 ((𝐴 + 𝐶) + 1) = 𝐸
2217, 20, 213eqtr2i 2114 . . 3 ((𝐴 · 1) + (𝐶 + 1)) = 𝐸
234nn0cni 8655 . . . . . 6 𝐵 ∈ ℂ
2423mulid1i 7469 . . . . 5 (𝐵 · 1) = 𝐵
2524oveq1i 5644 . . . 4 ((𝐵 · 1) + 𝐷) = (𝐵 + 𝐷)
26 numaddc.10 . . . 4 (𝐵 + 𝐷) = ((𝑇 · 1) + 𝐹)
2725, 26eqtri 2108 . . 3 ((𝐵 · 1) + 𝐷) = ((𝑇 · 1) + 𝐹)
282, 3, 4, 10, 11, 1, 12, 13, 14, 13, 22, 27nummac 8890 . 2 ((𝑀 · 1) + 𝑁) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)
299, 28eqtr3i 2110 1 (𝑀 + 𝑁) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 1289  wcel 1438  (class class class)co 5634  1c1 7330   + caddc 7332   · cmul 7334  0cn0 8643
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-cnre 7435
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-br 3838  df-opab 3892  df-id 4111  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-sub 7634  df-inn 8395  df-n0 8644
This theorem is referenced by:  decaddc  8900
  Copyright terms: Public domain W3C validator