Theorem pw1dom2 7400

Description: The power set of 1_o dominates 2_o. Also see pwpw0ss 3882 which is similar. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Sep-2022.)

Assertion

Ref	Expression
pw1dom2	⊢ 2o ≼ 𝒫 1o

Proof of Theorem pw1dom2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nep0 4248	. . . 4 ⊢ ∅ ≠ {∅}
2		0ex 4210	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
3		p0ex 4271	. . . . 5 ⊢ {∅} ∈ V
4		pr2ne 7353	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ {∅} ∈ V) → ({∅, {∅}} ≈ 2o ↔ ∅ ≠ {∅}))
5	2, 3, 4	mp2an 426	. . . 4 ⊢ ({∅, {∅}} ≈ 2o ↔ ∅ ≠ {∅})
6	1, 5	mpbir 146	. . 3 ⊢ {∅, {∅}} ≈ 2o
7	6	ensymi 6924	. 2 ⊢ 2o ≈ {∅, {∅}}
8	3	pwex 4266	. . . 4 ⊢ 𝒫 {∅} ∈ V
9		pwpw0ss 3882	. . . 4 ⊢ {∅, {∅}} ⊆ 𝒫 {∅}
10		ssdomg 6920	. . . 4 ⊢ (𝒫 {∅} ∈ V → ({∅, {∅}} ⊆ 𝒫 {∅} → {∅, {∅}} ≼ 𝒫 {∅}))
11	8, 9, 10	mp2 16	. . 3 ⊢ {∅, {∅}} ≼ 𝒫 {∅}
12		df1o2 6565	. . . 4 ⊢ 1o = {∅}
13	12	pweqi 3653	. . 3 ⊢ 𝒫 1o = 𝒫 {∅}
14	11, 13	breqtrri 4109	. 2 ⊢ {∅, {∅}} ≼ 𝒫 1o
15		endomtr 6932	. 2 ⊢ ((2o ≈ {∅, {∅}} ∧ {∅, {∅}} ≼ 𝒫 1o) → 2o ≼ 𝒫 1o)
16	7, 14, 15	mp2an 426	1 ⊢ 2o ≼ 𝒫 1o

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400  Vcvv 2799   ⊆ wss 3197  ∅c0 3491  𝒫 cpw 3649  {csn 3666  {cpr 3667   class class class wbr 4082  1_oc1o 6545  2_oc2o 6546   ≈ cen 6875   ≼ cdom 6876

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-iinf 4677

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-tr 4182  df-id 4381  df-iord 4454  df-on 4456  df-suc 4459  df-iom 4680  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-f1 5319  df-fo 5320  df-f1o 5321  df-fv 5322  df-1o 6552  df-2o 6553  df-er 6670  df-en 6878  df-dom 6879

This theorem is referenced by:  pwf1oexmid  16296