Theorem pw1dom2 7550

Description: The power set of 1_o dominates 2_o. Also see pwpw0ss 3914 which is similar. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Sep-2022.)

Assertion

Ref	Expression
pw1dom2	⊢ 2o ≼ 𝒫 1o

Proof of Theorem pw1dom2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nep0 4283	. . . 4 ⊢ ∅ ≠ {∅}
2		0ex 4242	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
3		p0ex 4306	. . . . 5 ⊢ {∅} ∈ V
4		pr2ne 7502	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ {∅} ∈ V) → ({∅, {∅}} ≈ 2o ↔ ∅ ≠ {∅}))
5	2, 3, 4	mp2an 426	. . . 4 ⊢ ({∅, {∅}} ≈ 2o ↔ ∅ ≠ {∅})
6	1, 5	mpbir 146	. . 3 ⊢ {∅, {∅}} ≈ 2o
7	6	ensymi 7035	. 2 ⊢ 2o ≈ {∅, {∅}}
8	3	pwex 4301	. . . 4 ⊢ 𝒫 {∅} ∈ V
9		pwpw0ss 3914	. . . 4 ⊢ {∅, {∅}} ⊆ 𝒫 {∅}
10		ssdomg 7031	. . . 4 ⊢ (𝒫 {∅} ∈ V → ({∅, {∅}} ⊆ 𝒫 {∅} → {∅, {∅}} ≼ 𝒫 {∅}))
11	8, 9, 10	mp2 16	. . 3 ⊢ {∅, {∅}} ≼ 𝒫 {∅}
12		df1o2 6674	. . . 4 ⊢ 1o = {∅}
13	12	pweqi 3678	. . 3 ⊢ 𝒫 1o = 𝒫 {∅}
14	11, 13	breqtrri 4141	. 2 ⊢ {∅, {∅}} ≼ 𝒫 1o
15		endomtr 7043	. 2 ⊢ ((2o ≈ {∅, {∅}} ∧ {∅, {∅}} ≼ 𝒫 1o) → 2o ≼ 𝒫 1o)
16	7, 14, 15	mp2an 426	1 ⊢ 2o ≼ 𝒫 1o

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∈ wcel 2205   ≠ wne 2414  Vcvv 2815   ⊆ wss 3214  ∅c0 3512  𝒫 cpw 3674  {csn 3694  {cpr 3695   class class class wbr 4114  1_oc1o 6653  2_oc2o 6654   ≈ cen 6986   ≼ cdom 6987

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-1o 6660  df-2o 6661  df-er 6780  df-en 6989  df-dom 6990

This theorem is referenced by:  pwf1oexmid  16885