Theorem pw1dom2 7183

Description: The power set of 1_o dominates 2_o. Also see pwpw0ss 3784 which is similar. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Sep-2022.)

Assertion

Ref	Expression
pw1dom2	⊢ 2o ≼ 𝒫 1o

Proof of Theorem pw1dom2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nep0 4144	. . . 4 ⊢ ∅ ≠ {∅}
2		0ex 4109	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
3		p0ex 4167	. . . . 5 ⊢ {∅} ∈ V
4		pr2ne 7148	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ {∅} ∈ V) → ({∅, {∅}} ≈ 2o ↔ ∅ ≠ {∅}))
5	2, 3, 4	mp2an 423	. . . 4 ⊢ ({∅, {∅}} ≈ 2o ↔ ∅ ≠ {∅})
6	1, 5	mpbir 145	. . 3 ⊢ {∅, {∅}} ≈ 2o
7	6	ensymi 6748	. 2 ⊢ 2o ≈ {∅, {∅}}
8	3	pwex 4162	. . . 4 ⊢ 𝒫 {∅} ∈ V
9		pwpw0ss 3784	. . . 4 ⊢ {∅, {∅}} ⊆ 𝒫 {∅}
10		ssdomg 6744	. . . 4 ⊢ (𝒫 {∅} ∈ V → ({∅, {∅}} ⊆ 𝒫 {∅} → {∅, {∅}} ≼ 𝒫 {∅}))
11	8, 9, 10	mp2 16	. . 3 ⊢ {∅, {∅}} ≼ 𝒫 {∅}
12		df1o2 6397	. . . 4 ⊢ 1o = {∅}
13	12	pweqi 3563	. . 3 ⊢ 𝒫 1o = 𝒫 {∅}
14	11, 13	breqtrri 4009	. 2 ⊢ {∅, {∅}} ≼ 𝒫 1o
15		endomtr 6756	. 2 ⊢ ((2o ≈ {∅, {∅}} ∧ {∅, {∅}} ≼ 𝒫 1o) → 2o ≼ 𝒫 1o)
16	7, 14, 15	mp2an 423	1 ⊢ 2o ≼ 𝒫 1o

Syntax hints:   ↔ wb 104   ∈ wcel 2136   ≠ wne 2336  Vcvv 2726   ⊆ wss 3116  ∅c0 3409  𝒫 cpw 3559  {csn 3576  {cpr 3577   class class class wbr 3982  1_oc1o 6377  2_oc2o 6378   ≈ cen 6704   ≼ cdom 6705

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-1o 6384  df-2o 6385  df-er 6501  df-en 6707  df-dom 6708

This theorem is referenced by:  pwf1oexmid  13879