Theorem pw1dom2 7373

Description: The power set of 1_o dominates 2_o. Also see pwpw0ss 3859 which is similar. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Sep-2022.)

Assertion

Ref	Expression
pw1dom2	⊢ 2o ≼ 𝒫 1o

Proof of Theorem pw1dom2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nep0 4225	. . . 4 ⊢ ∅ ≠ {∅}
2		0ex 4187	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
3		p0ex 4248	. . . . 5 ⊢ {∅} ∈ V
4		pr2ne 7326	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ {∅} ∈ V) → ({∅, {∅}} ≈ 2o ↔ ∅ ≠ {∅}))
5	2, 3, 4	mp2an 426	. . . 4 ⊢ ({∅, {∅}} ≈ 2o ↔ ∅ ≠ {∅})
6	1, 5	mpbir 146	. . 3 ⊢ {∅, {∅}} ≈ 2o
7	6	ensymi 6897	. 2 ⊢ 2o ≈ {∅, {∅}}
8	3	pwex 4243	. . . 4 ⊢ 𝒫 {∅} ∈ V
9		pwpw0ss 3859	. . . 4 ⊢ {∅, {∅}} ⊆ 𝒫 {∅}
10		ssdomg 6893	. . . 4 ⊢ (𝒫 {∅} ∈ V → ({∅, {∅}} ⊆ 𝒫 {∅} → {∅, {∅}} ≼ 𝒫 {∅}))
11	8, 9, 10	mp2 16	. . 3 ⊢ {∅, {∅}} ≼ 𝒫 {∅}
12		df1o2 6538	. . . 4 ⊢ 1o = {∅}
13	12	pweqi 3630	. . 3 ⊢ 𝒫 1o = 𝒫 {∅}
14	11, 13	breqtrri 4086	. 2 ⊢ {∅, {∅}} ≼ 𝒫 1o
15		endomtr 6905	. 2 ⊢ ((2o ≈ {∅, {∅}} ∧ {∅, {∅}} ≼ 𝒫 1o) → 2o ≼ 𝒫 1o)
16	7, 14, 15	mp2an 426	1 ⊢ 2o ≼ 𝒫 1o

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∈ wcel 2178   ≠ wne 2378  Vcvv 2776   ⊆ wss 3174  ∅c0 3468  𝒫 cpw 3626  {csn 3643  {cpr 3644   class class class wbr 4059  1_oc1o 6518  2_oc2o 6519   ≈ cen 6848   ≼ cdom 6849

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-br 4060  df-opab 4122  df-tr 4159  df-id 4358  df-iord 4431  df-on 4433  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-1o 6525  df-2o 6526  df-er 6643  df-en 6851  df-dom 6852

This theorem is referenced by:  pwf1oexmid  16138