Users' Mathboxes Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pw1dom2 GIF version

Theorem pw1dom2 13243
Description: The power set of 1o dominates 2o. Also see pwpw0ss 3731 which is similar. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Sep-2022.)
Assertion
Ref Expression
pw1dom2 2o ≼ 𝒫 1o

Proof of Theorem pw1dom2
StepHypRef Expression
1 0nep0 4089 . . . 4 ∅ ≠ {∅}
2 0ex 4055 . . . . 5 ∅ ∈ V
3 p0ex 4112 . . . . 5 {∅} ∈ V
4 pr2ne 7048 . . . . 5 ((∅ ∈ V ∧ {∅} ∈ V) → ({∅, {∅}} ≈ 2o ↔ ∅ ≠ {∅}))
52, 3, 4mp2an 422 . . . 4 ({∅, {∅}} ≈ 2o ↔ ∅ ≠ {∅})
61, 5mpbir 145 . . 3 {∅, {∅}} ≈ 2o
76ensymi 6676 . 2 2o ≈ {∅, {∅}}
83pwex 4107 . . . 4 𝒫 {∅} ∈ V
9 pwpw0ss 3731 . . . 4 {∅, {∅}} ⊆ 𝒫 {∅}
10 ssdomg 6672 . . . 4 (𝒫 {∅} ∈ V → ({∅, {∅}} ⊆ 𝒫 {∅} → {∅, {∅}} ≼ 𝒫 {∅}))
118, 9, 10mp2 16 . . 3 {∅, {∅}} ≼ 𝒫 {∅}
12 df1o2 6326 . . . 4 1o = {∅}
1312pweqi 3514 . . 3 𝒫 1o = 𝒫 {∅}
1411, 13breqtrri 3955 . 2 {∅, {∅}} ≼ 𝒫 1o
15 endomtr 6684 . 2 ((2o ≈ {∅, {∅}} ∧ {∅, {∅}} ≼ 𝒫 1o) → 2o ≼ 𝒫 1o)
167, 14, 15mp2an 422 1 2o ≼ 𝒫 1o
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wb 104  wcel 1480  wne 2308  Vcvv 2686  wss 3071  c0 3363  𝒫 cpw 3510  {csn 3527  {cpr 3528   class class class wbr 3929  1oc1o 6306  2oc2o 6307  cen 6632  cdom 6633
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-1o 6313  df-2o 6314  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636
This theorem is referenced by:  pwf1oexmid  13247
  Copyright terms: Public domain W3C validator