Theorem pw1dom2 7244

Description: The power set of 1_o dominates 2_o. Also see pwpw0ss 3819 which is similar. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Sep-2022.)

Assertion

Ref	Expression
pw1dom2	⊢ 2o ≼ 𝒫 1o

Proof of Theorem pw1dom2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nep0 4180	. . . 4 ⊢ ∅ ≠ {∅}
2		0ex 4145	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
3		p0ex 4203	. . . . 5 ⊢ {∅} ∈ V
4		pr2ne 7209	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ {∅} ∈ V) → ({∅, {∅}} ≈ 2o ↔ ∅ ≠ {∅}))
5	2, 3, 4	mp2an 426	. . . 4 ⊢ ({∅, {∅}} ≈ 2o ↔ ∅ ≠ {∅})
6	1, 5	mpbir 146	. . 3 ⊢ {∅, {∅}} ≈ 2o
7	6	ensymi 6800	. 2 ⊢ 2o ≈ {∅, {∅}}
8	3	pwex 4198	. . . 4 ⊢ 𝒫 {∅} ∈ V
9		pwpw0ss 3819	. . . 4 ⊢ {∅, {∅}} ⊆ 𝒫 {∅}
10		ssdomg 6796	. . . 4 ⊢ (𝒫 {∅} ∈ V → ({∅, {∅}} ⊆ 𝒫 {∅} → {∅, {∅}} ≼ 𝒫 {∅}))
11	8, 9, 10	mp2 16	. . 3 ⊢ {∅, {∅}} ≼ 𝒫 {∅}
12		df1o2 6448	. . . 4 ⊢ 1o = {∅}
13	12	pweqi 3594	. . 3 ⊢ 𝒫 1o = 𝒫 {∅}
14	11, 13	breqtrri 4045	. 2 ⊢ {∅, {∅}} ≼ 𝒫 1o
15		endomtr 6808	. 2 ⊢ ((2o ≈ {∅, {∅}} ∧ {∅, {∅}} ≼ 𝒫 1o) → 2o ≼ 𝒫 1o)
16	7, 14, 15	mp2an 426	1 ⊢ 2o ≼ 𝒫 1o

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∈ wcel 2160   ≠ wne 2360  Vcvv 2752   ⊆ wss 3144  ∅c0 3437  𝒫 cpw 3590  {csn 3607  {cpr 3608   class class class wbr 4018  1_oc1o 6428  2_oc2o 6429   ≈ cen 6756   ≼ cdom 6757

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-tr 4117  df-id 4308  df-iord 4381  df-on 4383  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-1o 6435  df-2o 6436  df-er 6553  df-en 6759  df-dom 6760

This theorem is referenced by:  pwf1oexmid  15147