Theorem rhmex 14252

Description: Set existence for ring homomorphism. (Contributed by Jim Kingdon, 16-May-2025.)

Assertion

Ref	Expression
rhmex	|- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( R RingHom S ) e. _V )

Proof of Theorem rhmex

Dummy variables r s f v w x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		basfn 13221	. . . . . 6 |- Base Fn _V
2		vex 2806	. . . . . 6 |- r e. _V
3		funfvex 5665	. . . . . . 7 |- ( ( Fun Base /\ r e. dom Base ) -> ( Base ` r ) e. _V )
4	3	funfni 5439	. . . . . 6 |- ( ( Base Fn _V /\ r e. _V ) -> ( Base ` r ) e. _V )
5	1, 2, 4	mp2an 426	. . . . 5 |- ( Base ` r ) e. _V
6		vex 2806	. . . . . . 7 |- s e. _V
7		funfvex 5665	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun Base /\ s e. dom Base ) -> ( Base ` s ) e. _V )
8	7	funfni 5439	. . . . . . 7 |- ( ( Base Fn _V /\ s e. _V ) -> ( Base ` s ) e. _V )
9	1, 6, 8	mp2an 426	. . . . . 6 |- ( Base ` s ) e. _V
10		fnmap 6867	. . . . . . . 8 |- ^m Fn ( _V X. _V )
11		vex 2806	. . . . . . . 8 |- w e. _V
12		vex 2806	. . . . . . . 8 |- v e. _V
13		fnovex 6061	. . . . . . . 8 |- ( ( ^m Fn ( _V X. _V ) /\ w e. _V /\ v e. _V ) -> ( w ^m v ) e. _V )
14	10, 11, 12, 13	mp3an 1374	. . . . . . 7 |- ( w ^m v ) e. _V
15	14	rabex 4239	. . . . . 6 |- { f e. ( w ^m v ) | ( ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) /\ A. x e. v A. y e. v ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) } e. _V
16	9, 15	csbexa 4223	. . . . 5 |- [_ ( Base ` s ) / w ]_ { f e. ( w ^m v ) | ( ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) /\ A. x e. v A. y e. v ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) } e. _V
17	5, 16	csbexa 4223	. . . 4 |- [_ ( Base ` r ) / v ]_ [_ ( Base ` s ) / w ]_ { f e. ( w ^m v ) | ( ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) /\ A. x e. v A. y e. v ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) } e. _V
18	17	a1i 9	. . 3 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> [_ ( Base ` r ) / v ]_ [_ ( Base ` s ) / w ]_ { f e. ( w ^m v ) | ( ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) /\ A. x e. v A. y e. v ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) } e. _V )
19	18	alrimivv 1923	. 2 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> A. r A. s [_ ( Base ` r ) / v ]_ [_ ( Base ` s ) / w ]_ { f e. ( w ^m v ) | ( ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) /\ A. x e. v A. y e. v ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) } e. _V )
20		simpl 109	. 2 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> R e. V )
21		simpr 110	. 2 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> S e. W )
22		df-rhm 14247	. . 3 |- RingHom = ( r e. Ring , s e. Ring |-> [_ ( Base ` r ) / v ]_ [_ ( Base ` s ) / w ]_ { f e. ( w ^m v ) | ( ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) /\ A. x e. v A. y e. v ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) } )
23	22	mpofvex 6379	. 2 |- ( ( A. r A. s [_ ( Base ` r ) / v ]_ [_ ( Base ` s ) / w ]_ { f e. ( w ^m v ) | ( ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) /\ A. x e. v A. y e. v ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) } e. _V /\ R e. V /\ S e. W ) -> ( R RingHom S ) e. _V )
24	19, 20, 21, 23	syl3anc 1274	1 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( R RingHom S ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   A.wal 1396   = wceq 1398   e. wcel 2202   A.wral 2511   {crab 2515   _Vcvv 2803   [_csb 3128   X. cxp 4729   Fn wfn 5328   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   ^m cmap 6860   Basecbs 13162   +g cplusg 13240   .rcmulr 13241   1rcur 14053   Ringcrg 14090   RingHom crh 14245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1re 8186  ax-addrcl 8189

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fo 5339  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-map 6862  df-inn 9203  df-ndx 13165  df-slot 13166  df-base 13168  df-rhm 14247

This theorem is referenced by:  isrim0  14256  zrhval  14713  zrhvalg  14714  zrhex  14717