Theorem rhmex 14402

Description: Set existence for ring homomorphism. (Contributed by Jim Kingdon, 16-May-2025.)

Assertion

Ref	Expression
rhmex	|- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( R RingHom S ) e. _V )

Proof of Theorem rhmex

Dummy variables r s f v w x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		basfn 13355	. . . . . 6 |- Base Fn _V
2		vex 2818	. . . . . 6 |- r e. _V
3		funfvex 5692	. . . . . . 7 |- ( ( Fun Base /\ r e. dom Base ) -> ( Base ` r ) e. _V )
4	3	funfni 5463	. . . . . 6 |- ( ( Base Fn _V /\ r e. _V ) -> ( Base ` r ) e. _V )
5	1, 2, 4	mp2an 426	. . . . 5 |- ( Base ` r ) e. _V
6		vex 2818	. . . . . . 7 |- s e. _V
7		funfvex 5692	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun Base /\ s e. dom Base ) -> ( Base ` s ) e. _V )
8	7	funfni 5463	. . . . . . 7 |- ( ( Base Fn _V /\ s e. _V ) -> ( Base ` s ) e. _V )
9	1, 6, 8	mp2an 426	. . . . . 6 |- ( Base ` s ) e. _V
10		fnmap 6902	. . . . . . . 8 |- ^m Fn ( _V X. _V )
11		vex 2818	. . . . . . . 8 |- w e. _V
12		vex 2818	. . . . . . . 8 |- v e. _V
13		fnovex 6091	. . . . . . . 8 |- ( ( ^m Fn ( _V X. _V ) /\ w e. _V /\ v e. _V ) -> ( w ^m v ) e. _V )
14	10, 11, 12, 13	mp3an 1374	. . . . . . 7 |- ( w ^m v ) e. _V
15	14	rabex 4261	. . . . . 6 |- { f e. ( w ^m v ) | ( ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) /\ A. x e. v A. y e. v ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) } e. _V
16	9, 15	csbexa 4244	. . . . 5 |- [_ ( Base ` s ) / w ]_ { f e. ( w ^m v ) | ( ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) /\ A. x e. v A. y e. v ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) } e. _V
17	5, 16	csbexa 4244	. . . 4 |- [_ ( Base ` r ) / v ]_ [_ ( Base ` s ) / w ]_ { f e. ( w ^m v ) | ( ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) /\ A. x e. v A. y e. v ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) } e. _V
18	17	a1i 9	. . 3 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> [_ ( Base ` r ) / v ]_ [_ ( Base ` s ) / w ]_ { f e. ( w ^m v ) | ( ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) /\ A. x e. v A. y e. v ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) } e. _V )
19	18	alrimivv 1924	. 2 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> A. r A. s [_ ( Base ` r ) / v ]_ [_ ( Base ` s ) / w ]_ { f e. ( w ^m v ) | ( ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) /\ A. x e. v A. y e. v ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) } e. _V )
20		simpl 109	. 2 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> R e. V )
21		simpr 110	. 2 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> S e. W )
22		df-rhm 14397	. . 3 |- RingHom = ( r e. Ring , s e. Ring |-> [_ ( Base ` r ) / v ]_ [_ ( Base ` s ) / w ]_ { f e. ( w ^m v ) | ( ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) /\ A. x e. v A. y e. v ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) } )
23	22	mpofvex 6414	. 2 |- ( ( A. r A. s [_ ( Base ` r ) / v ]_ [_ ( Base ` s ) / w ]_ { f e. ( w ^m v ) | ( ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) /\ A. x e. v A. y e. v ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) } e. _V /\ R e. V /\ S e. W ) -> ( R RingHom S ) e. _V )
24	19, 20, 21, 23	syl3anc 1274	1 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( R RingHom S ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   A.wal 1396   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   {crab 2526   _Vcvv 2815   [_csb 3141   X. cxp 4752   Fn wfn 5352   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   ^m cmap 6895   Basecbs 13296   +g cplusg 13374   .rcmulr 13375   1rcur 14202   Ringcrg 14239   RingHom crh 14395

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1re 8237  ax-addrcl 8240

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-fo 5363  df-fv 5365  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-map 6897  df-inn 9255  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-rhm 14397

This theorem is referenced by:  isrim0  14406  zrhval  14891  zrhvalg  14892  zrhex  14895