Theorem rhmex 14121

Description: Set existence for ring homomorphism. (Contributed by Jim Kingdon, 16-May-2025.)

Assertion

Ref	Expression
rhmex	|- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( R RingHom S ) e. _V )

Proof of Theorem rhmex

Dummy variables r s f v w x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		basfn 13091	. . . . . 6 |- Base Fn _V
2		vex 2802	. . . . . 6 |- r e. _V
3		funfvex 5644	. . . . . . 7 |- ( ( Fun Base /\ r e. dom Base ) -> ( Base ` r ) e. _V )
4	3	funfni 5423	. . . . . 6 |- ( ( Base Fn _V /\ r e. _V ) -> ( Base ` r ) e. _V )
5	1, 2, 4	mp2an 426	. . . . 5 |- ( Base ` r ) e. _V
6		vex 2802	. . . . . . 7 |- s e. _V
7		funfvex 5644	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun Base /\ s e. dom Base ) -> ( Base ` s ) e. _V )
8	7	funfni 5423	. . . . . . 7 |- ( ( Base Fn _V /\ s e. _V ) -> ( Base ` s ) e. _V )
9	1, 6, 8	mp2an 426	. . . . . 6 |- ( Base ` s ) e. _V
10		fnmap 6802	. . . . . . . 8 |- ^m Fn ( _V X. _V )
11		vex 2802	. . . . . . . 8 |- w e. _V
12		vex 2802	. . . . . . . 8 |- v e. _V
13		fnovex 6034	. . . . . . . 8 |- ( ( ^m Fn ( _V X. _V ) /\ w e. _V /\ v e. _V ) -> ( w ^m v ) e. _V )
14	10, 11, 12, 13	mp3an 1371	. . . . . . 7 |- ( w ^m v ) e. _V
15	14	rabex 4228	. . . . . 6 |- { f e. ( w ^m v ) | ( ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) /\ A. x e. v A. y e. v ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) } e. _V
16	9, 15	csbexa 4213	. . . . 5 |- [_ ( Base ` s ) / w ]_ { f e. ( w ^m v ) | ( ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) /\ A. x e. v A. y e. v ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) } e. _V
17	5, 16	csbexa 4213	. . . 4 |- [_ ( Base ` r ) / v ]_ [_ ( Base ` s ) / w ]_ { f e. ( w ^m v ) | ( ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) /\ A. x e. v A. y e. v ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) } e. _V
18	17	a1i 9	. . 3 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> [_ ( Base ` r ) / v ]_ [_ ( Base ` s ) / w ]_ { f e. ( w ^m v ) | ( ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) /\ A. x e. v A. y e. v ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) } e. _V )
19	18	alrimivv 1921	. 2 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> A. r A. s [_ ( Base ` r ) / v ]_ [_ ( Base ` s ) / w ]_ { f e. ( w ^m v ) | ( ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) /\ A. x e. v A. y e. v ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) } e. _V )
20		simpl 109	. 2 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> R e. V )
21		simpr 110	. 2 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> S e. W )
22		df-rhm 14116	. . 3 |- RingHom = ( r e. Ring , s e. Ring |-> [_ ( Base ` r ) / v ]_ [_ ( Base ` s ) / w ]_ { f e. ( w ^m v ) | ( ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) /\ A. x e. v A. y e. v ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) } )
23	22	mpofvex 6351	. 2 |- ( ( A. r A. s [_ ( Base ` r ) / v ]_ [_ ( Base ` s ) / w ]_ { f e. ( w ^m v ) | ( ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) /\ A. x e. v A. y e. v ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) } e. _V /\ R e. V /\ S e. W ) -> ( R RingHom S ) e. _V )
24	19, 20, 21, 23	syl3anc 1271	1 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( R RingHom S ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   A.wal 1393   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   {crab 2512   _Vcvv 2799   [_csb 3124   X. cxp 4717   Fn wfn 5313   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   ^m cmap 6795   Basecbs 13032   +g cplusg 13110   .rcmulr 13111   1rcur 13922   Ringcrg 13959   RingHom crh 14114

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1re 8093  ax-addrcl 8096

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fo 5324  df-fv 5326  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-map 6797  df-inn 9111  df-ndx 13035  df-slot 13036  df-base 13038  df-rhm 14116

This theorem is referenced by:  isrim0  14125  zrhval  14581  zrhvalg  14582  zrhex  14585