Theorem rhmex 13656

Description: Set existence for ring homomorphism. (Contributed by Jim Kingdon, 16-May-2025.)

Assertion

Ref	Expression
rhmex	|- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( R RingHom S ) e. _V )

Proof of Theorem rhmex

Dummy variables r s f v w x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		basfn 12679	. . . . . 6 |- Base Fn _V
2		vex 2763	. . . . . 6 |- r e. _V
3		funfvex 5572	. . . . . . 7 |- ( ( Fun Base /\ r e. dom Base ) -> ( Base ` r ) e. _V )
4	3	funfni 5355	. . . . . 6 |- ( ( Base Fn _V /\ r e. _V ) -> ( Base ` r ) e. _V )
5	1, 2, 4	mp2an 426	. . . . 5 |- ( Base ` r ) e. _V
6		vex 2763	. . . . . . 7 |- s e. _V
7		funfvex 5572	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun Base /\ s e. dom Base ) -> ( Base ` s ) e. _V )
8	7	funfni 5355	. . . . . . 7 |- ( ( Base Fn _V /\ s e. _V ) -> ( Base ` s ) e. _V )
9	1, 6, 8	mp2an 426	. . . . . 6 |- ( Base ` s ) e. _V
10		fnmap 6711	. . . . . . . 8 |- ^m Fn ( _V X. _V )
11		vex 2763	. . . . . . . 8 |- w e. _V
12		vex 2763	. . . . . . . 8 |- v e. _V
13		fnovex 5952	. . . . . . . 8 |- ( ( ^m Fn ( _V X. _V ) /\ w e. _V /\ v e. _V ) -> ( w ^m v ) e. _V )
14	10, 11, 12, 13	mp3an 1348	. . . . . . 7 |- ( w ^m v ) e. _V
15	14	rabex 4174	. . . . . 6 |- { f e. ( w ^m v ) | ( ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) /\ A. x e. v A. y e. v ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) } e. _V
16	9, 15	csbexa 4159	. . . . 5 |- [_ ( Base ` s ) / w ]_ { f e. ( w ^m v ) | ( ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) /\ A. x e. v A. y e. v ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) } e. _V
17	5, 16	csbexa 4159	. . . 4 |- [_ ( Base ` r ) / v ]_ [_ ( Base ` s ) / w ]_ { f e. ( w ^m v ) | ( ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) /\ A. x e. v A. y e. v ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) } e. _V
18	17	a1i 9	. . 3 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> [_ ( Base ` r ) / v ]_ [_ ( Base ` s ) / w ]_ { f e. ( w ^m v ) | ( ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) /\ A. x e. v A. y e. v ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) } e. _V )
19	18	alrimivv 1886	. 2 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> A. r A. s [_ ( Base ` r ) / v ]_ [_ ( Base ` s ) / w ]_ { f e. ( w ^m v ) | ( ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) /\ A. x e. v A. y e. v ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) } e. _V )
20		simpl 109	. 2 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> R e. V )
21		simpr 110	. 2 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> S e. W )
22		df-rhm 13651	. . 3 |- RingHom = ( r e. Ring , s e. Ring |-> [_ ( Base ` r ) / v ]_ [_ ( Base ` s ) / w ]_ { f e. ( w ^m v ) | ( ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) /\ A. x e. v A. y e. v ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) } )
23	22	mpofvex 6260	. 2 |- ( ( A. r A. s [_ ( Base ` r ) / v ]_ [_ ( Base ` s ) / w ]_ { f e. ( w ^m v ) | ( ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) /\ A. x e. v A. y e. v ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) } e. _V /\ R e. V /\ S e. W ) -> ( R RingHom S ) e. _V )
24	19, 20, 21, 23	syl3anc 1249	1 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( R RingHom S ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   A.wal 1362   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   {crab 2476   _Vcvv 2760   [_csb 3081   X. cxp 4658   Fn wfn 5250   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   ^m cmap 6704   Basecbs 12621   +g cplusg 12698   .rcmulr 12699   1rcur 13458   Ringcrg 13495   RingHom crh 13649

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1re 7968  ax-addrcl 7971

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fo 5261  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-map 6706  df-inn 8985  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-base 12627  df-rhm 13651

This theorem is referenced by:  isrim0  13660  zrhval  14116  zrhvalg  14117  zrhex  14120