Theorem rhmex 13713

Description: Set existence for ring homomorphism. (Contributed by Jim Kingdon, 16-May-2025.)

Assertion

Ref	Expression
rhmex	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊) → (𝑅 RingHom 𝑆) ∈ V)

Proof of Theorem rhmex

Dummy variables 𝑟 𝑠 𝑓 𝑣 𝑤 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		basfn 12736	. . . . . 6 ⊢ Base Fn V
2		vex 2766	. . . . . 6 ⊢ 𝑟 ∈ V
3		funfvex 5575	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑟 ∈ dom Base) → (Base‘𝑟) ∈ V)
4	3	funfni 5358	. . . . . 6 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑟 ∈ V) → (Base‘𝑟) ∈ V)
5	1, 2, 4	mp2an 426	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑟) ∈ V
6		vex 2766	. . . . . . 7 ⊢ 𝑠 ∈ V
7		funfvex 5575	. . . . . . . 8 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑠 ∈ dom Base) → (Base‘𝑠) ∈ V)
8	7	funfni 5358	. . . . . . 7 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑠 ∈ V) → (Base‘𝑠) ∈ V)
9	1, 6, 8	mp2an 426	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑠) ∈ V
10		fnmap 6714	. . . . . . . 8 ⊢ ↑𝑚 Fn (V × V)
11		vex 2766	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑤 ∈ V
12		vex 2766	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑣 ∈ V
13		fnovex 5955	. . . . . . . 8 ⊢ (( ↑𝑚 Fn (V × V) ∧ 𝑤 ∈ V ∧ 𝑣 ∈ V) → (𝑤 ↑𝑚 𝑣) ∈ V)
14	10, 11, 12, 13	mp3an 1348	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ↑𝑚 𝑣) ∈ V
15	14	rabex 4177	. . . . . 6 ⊢ {𝑓 ∈ (𝑤 ↑𝑚 𝑣) ∣ ((𝑓‘(1r‘𝑟)) = (1r‘𝑠) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑣 ∀𝑦 ∈ 𝑣 ((𝑓‘(𝑥(+g‘𝑟)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥)(+g‘𝑠)(𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(.r‘𝑟)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥)(.r‘𝑠)(𝑓‘𝑦))))} ∈ V
16	9, 15	csbexa 4162	. . . . 5 ⊢ ⦋(Base‘𝑠) / 𝑤⦌{𝑓 ∈ (𝑤 ↑𝑚 𝑣) ∣ ((𝑓‘(1r‘𝑟)) = (1r‘𝑠) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑣 ∀𝑦 ∈ 𝑣 ((𝑓‘(𝑥(+g‘𝑟)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥)(+g‘𝑠)(𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(.r‘𝑟)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥)(.r‘𝑠)(𝑓‘𝑦))))} ∈ V
17	5, 16	csbexa 4162	. . . 4 ⊢ ⦋(Base‘𝑟) / 𝑣⦌⦋(Base‘𝑠) / 𝑤⦌{𝑓 ∈ (𝑤 ↑𝑚 𝑣) ∣ ((𝑓‘(1r‘𝑟)) = (1r‘𝑠) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑣 ∀𝑦 ∈ 𝑣 ((𝑓‘(𝑥(+g‘𝑟)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥)(+g‘𝑠)(𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(.r‘𝑟)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥)(.r‘𝑠)(𝑓‘𝑦))))} ∈ V
18	17	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊) → ⦋(Base‘𝑟) / 𝑣⦌⦋(Base‘𝑠) / 𝑤⦌{𝑓 ∈ (𝑤 ↑𝑚 𝑣) ∣ ((𝑓‘(1r‘𝑟)) = (1r‘𝑠) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑣 ∀𝑦 ∈ 𝑣 ((𝑓‘(𝑥(+g‘𝑟)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥)(+g‘𝑠)(𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(.r‘𝑟)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥)(.r‘𝑠)(𝑓‘𝑦))))} ∈ V)
19	18	alrimivv 1889	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊) → ∀𝑟∀𝑠⦋(Base‘𝑟) / 𝑣⦌⦋(Base‘𝑠) / 𝑤⦌{𝑓 ∈ (𝑤 ↑𝑚 𝑣) ∣ ((𝑓‘(1r‘𝑟)) = (1r‘𝑠) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑣 ∀𝑦 ∈ 𝑣 ((𝑓‘(𝑥(+g‘𝑟)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥)(+g‘𝑠)(𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(.r‘𝑟)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥)(.r‘𝑠)(𝑓‘𝑦))))} ∈ V)
20		simpl 109	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊) → 𝑅 ∈ 𝑉)
21		simpr 110	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊) → 𝑆 ∈ 𝑊)
22		df-rhm 13708	. . 3 ⊢ RingHom = (𝑟 ∈ Ring, 𝑠 ∈ Ring ↦ ⦋(Base‘𝑟) / 𝑣⦌⦋(Base‘𝑠) / 𝑤⦌{𝑓 ∈ (𝑤 ↑𝑚 𝑣) ∣ ((𝑓‘(1r‘𝑟)) = (1r‘𝑠) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑣 ∀𝑦 ∈ 𝑣 ((𝑓‘(𝑥(+g‘𝑟)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥)(+g‘𝑠)(𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(.r‘𝑟)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥)(.r‘𝑠)(𝑓‘𝑦))))})
23	22	mpofvex 6263	. 2 ⊢ ((∀𝑟∀𝑠⦋(Base‘𝑟) / 𝑣⦌⦋(Base‘𝑠) / 𝑤⦌{𝑓 ∈ (𝑤 ↑𝑚 𝑣) ∣ ((𝑓‘(1r‘𝑟)) = (1r‘𝑠) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑣 ∀𝑦 ∈ 𝑣 ((𝑓‘(𝑥(+g‘𝑟)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥)(+g‘𝑠)(𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(.r‘𝑟)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥)(.r‘𝑠)(𝑓‘𝑦))))} ∈ V ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊) → (𝑅 RingHom 𝑆) ∈ V)
24	19, 20, 21, 23	syl3anc 1249	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊) → (𝑅 RingHom 𝑆) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  ∀wal 1362   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475  {crab 2479  Vcvv 2763  ⦋csb 3084   × cxp 4661   Fn wfn 5253  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922   ↑_𝑚 cmap 6707  Basecbs 12678  +_gcplusg 12755  ._rcmulr 12756  1_rcur 13515  Ringcrg 13552   RingHom crh 13706

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1re 7973  ax-addrcl 7976

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fo 5264  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-map 6709  df-inn 8991  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-rhm 13708

This theorem is referenced by:  isrim0  13717  zrhval  14173  zrhvalg  14174  zrhex  14177