Theorem rhmex 13952

Description: Set existence for ring homomorphism. (Contributed by Jim Kingdon, 16-May-2025.)

Assertion

Ref	Expression
rhmex	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊) → (𝑅 RingHom 𝑆) ∈ V)

Proof of Theorem rhmex

Dummy variables 𝑟 𝑠 𝑓 𝑣 𝑤 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		basfn 12923	. . . . . 6 ⊢ Base Fn V
2		vex 2775	. . . . . 6 ⊢ 𝑟 ∈ V
3		funfvex 5595	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑟 ∈ dom Base) → (Base‘𝑟) ∈ V)
4	3	funfni 5377	. . . . . 6 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑟 ∈ V) → (Base‘𝑟) ∈ V)
5	1, 2, 4	mp2an 426	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑟) ∈ V
6		vex 2775	. . . . . . 7 ⊢ 𝑠 ∈ V
7		funfvex 5595	. . . . . . . 8 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑠 ∈ dom Base) → (Base‘𝑠) ∈ V)
8	7	funfni 5377	. . . . . . 7 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑠 ∈ V) → (Base‘𝑠) ∈ V)
9	1, 6, 8	mp2an 426	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑠) ∈ V
10		fnmap 6744	. . . . . . . 8 ⊢ ↑𝑚 Fn (V × V)
11		vex 2775	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑤 ∈ V
12		vex 2775	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑣 ∈ V
13		fnovex 5979	. . . . . . . 8 ⊢ (( ↑𝑚 Fn (V × V) ∧ 𝑤 ∈ V ∧ 𝑣 ∈ V) → (𝑤 ↑𝑚 𝑣) ∈ V)
14	10, 11, 12, 13	mp3an 1350	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ↑𝑚 𝑣) ∈ V
15	14	rabex 4189	. . . . . 6 ⊢ {𝑓 ∈ (𝑤 ↑𝑚 𝑣) ∣ ((𝑓‘(1r‘𝑟)) = (1r‘𝑠) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑣 ∀𝑦 ∈ 𝑣 ((𝑓‘(𝑥(+g‘𝑟)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥)(+g‘𝑠)(𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(.r‘𝑟)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥)(.r‘𝑠)(𝑓‘𝑦))))} ∈ V
16	9, 15	csbexa 4174	. . . . 5 ⊢ ⦋(Base‘𝑠) / 𝑤⦌{𝑓 ∈ (𝑤 ↑𝑚 𝑣) ∣ ((𝑓‘(1r‘𝑟)) = (1r‘𝑠) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑣 ∀𝑦 ∈ 𝑣 ((𝑓‘(𝑥(+g‘𝑟)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥)(+g‘𝑠)(𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(.r‘𝑟)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥)(.r‘𝑠)(𝑓‘𝑦))))} ∈ V
17	5, 16	csbexa 4174	. . . 4 ⊢ ⦋(Base‘𝑟) / 𝑣⦌⦋(Base‘𝑠) / 𝑤⦌{𝑓 ∈ (𝑤 ↑𝑚 𝑣) ∣ ((𝑓‘(1r‘𝑟)) = (1r‘𝑠) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑣 ∀𝑦 ∈ 𝑣 ((𝑓‘(𝑥(+g‘𝑟)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥)(+g‘𝑠)(𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(.r‘𝑟)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥)(.r‘𝑠)(𝑓‘𝑦))))} ∈ V
18	17	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊) → ⦋(Base‘𝑟) / 𝑣⦌⦋(Base‘𝑠) / 𝑤⦌{𝑓 ∈ (𝑤 ↑𝑚 𝑣) ∣ ((𝑓‘(1r‘𝑟)) = (1r‘𝑠) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑣 ∀𝑦 ∈ 𝑣 ((𝑓‘(𝑥(+g‘𝑟)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥)(+g‘𝑠)(𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(.r‘𝑟)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥)(.r‘𝑠)(𝑓‘𝑦))))} ∈ V)
19	18	alrimivv 1898	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊) → ∀𝑟∀𝑠⦋(Base‘𝑟) / 𝑣⦌⦋(Base‘𝑠) / 𝑤⦌{𝑓 ∈ (𝑤 ↑𝑚 𝑣) ∣ ((𝑓‘(1r‘𝑟)) = (1r‘𝑠) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑣 ∀𝑦 ∈ 𝑣 ((𝑓‘(𝑥(+g‘𝑟)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥)(+g‘𝑠)(𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(.r‘𝑟)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥)(.r‘𝑠)(𝑓‘𝑦))))} ∈ V)
20		simpl 109	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊) → 𝑅 ∈ 𝑉)
21		simpr 110	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊) → 𝑆 ∈ 𝑊)
22		df-rhm 13947	. . 3 ⊢ RingHom = (𝑟 ∈ Ring, 𝑠 ∈ Ring ↦ ⦋(Base‘𝑟) / 𝑣⦌⦋(Base‘𝑠) / 𝑤⦌{𝑓 ∈ (𝑤 ↑𝑚 𝑣) ∣ ((𝑓‘(1r‘𝑟)) = (1r‘𝑠) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑣 ∀𝑦 ∈ 𝑣 ((𝑓‘(𝑥(+g‘𝑟)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥)(+g‘𝑠)(𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(.r‘𝑟)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥)(.r‘𝑠)(𝑓‘𝑦))))})
23	22	mpofvex 6293	. 2 ⊢ ((∀𝑟∀𝑠⦋(Base‘𝑟) / 𝑣⦌⦋(Base‘𝑠) / 𝑤⦌{𝑓 ∈ (𝑤 ↑𝑚 𝑣) ∣ ((𝑓‘(1r‘𝑟)) = (1r‘𝑠) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑣 ∀𝑦 ∈ 𝑣 ((𝑓‘(𝑥(+g‘𝑟)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥)(+g‘𝑠)(𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(.r‘𝑟)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥)(.r‘𝑠)(𝑓‘𝑦))))} ∈ V ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊) → (𝑅 RingHom 𝑆) ∈ V)
24	19, 20, 21, 23	syl3anc 1250	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊) → (𝑅 RingHom 𝑆) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  ∀wal 1371   = wceq 1373   ∈ wcel 2176  ∀wral 2484  {crab 2488  Vcvv 2772  ⦋csb 3093   × cxp 4674   Fn wfn 5267  ‘cfv 5272  (class class class)co 5946   ↑_𝑚 cmap 6737  Basecbs 12865  +_gcplusg 12942  ._rcmulr 12943  1_rcur 13754  Ringcrg 13791   RingHom crh 13945

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1re 8021  ax-addrcl 8024

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-fo 5278  df-fv 5280  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-1st 6228  df-2nd 6229  df-map 6739  df-inn 9039  df-ndx 12868  df-slot 12869  df-base 12871  df-rhm 13947

This theorem is referenced by:  isrim0  13956  zrhval  14412  zrhvalg  14413  zrhex  14416