Theorem rhmex 13653

Description: Set existence for ring homomorphism. (Contributed by Jim Kingdon, 16-May-2025.)

Assertion

Ref	Expression
rhmex	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊) → (𝑅 RingHom 𝑆) ∈ V)

Proof of Theorem rhmex

Dummy variables 𝑟 𝑠 𝑓 𝑣 𝑤 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		basfn 12676	. . . . . 6 ⊢ Base Fn V
2		vex 2763	. . . . . 6 ⊢ 𝑟 ∈ V
3		funfvex 5571	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑟 ∈ dom Base) → (Base‘𝑟) ∈ V)
4	3	funfni 5354	. . . . . 6 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑟 ∈ V) → (Base‘𝑟) ∈ V)
5	1, 2, 4	mp2an 426	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑟) ∈ V
6		vex 2763	. . . . . . 7 ⊢ 𝑠 ∈ V
7		funfvex 5571	. . . . . . . 8 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑠 ∈ dom Base) → (Base‘𝑠) ∈ V)
8	7	funfni 5354	. . . . . . 7 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑠 ∈ V) → (Base‘𝑠) ∈ V)
9	1, 6, 8	mp2an 426	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑠) ∈ V
10		fnmap 6709	. . . . . . . 8 ⊢ ↑𝑚 Fn (V × V)
11		vex 2763	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑤 ∈ V
12		vex 2763	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑣 ∈ V
13		fnovex 5951	. . . . . . . 8 ⊢ (( ↑𝑚 Fn (V × V) ∧ 𝑤 ∈ V ∧ 𝑣 ∈ V) → (𝑤 ↑𝑚 𝑣) ∈ V)
14	10, 11, 12, 13	mp3an 1348	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ↑𝑚 𝑣) ∈ V
15	14	rabex 4173	. . . . . 6 ⊢ {𝑓 ∈ (𝑤 ↑𝑚 𝑣) ∣ ((𝑓‘(1r‘𝑟)) = (1r‘𝑠) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑣 ∀𝑦 ∈ 𝑣 ((𝑓‘(𝑥(+g‘𝑟)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥)(+g‘𝑠)(𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(.r‘𝑟)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥)(.r‘𝑠)(𝑓‘𝑦))))} ∈ V
16	9, 15	csbexa 4158	. . . . 5 ⊢ ⦋(Base‘𝑠) / 𝑤⦌{𝑓 ∈ (𝑤 ↑𝑚 𝑣) ∣ ((𝑓‘(1r‘𝑟)) = (1r‘𝑠) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑣 ∀𝑦 ∈ 𝑣 ((𝑓‘(𝑥(+g‘𝑟)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥)(+g‘𝑠)(𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(.r‘𝑟)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥)(.r‘𝑠)(𝑓‘𝑦))))} ∈ V
17	5, 16	csbexa 4158	. . . 4 ⊢ ⦋(Base‘𝑟) / 𝑣⦌⦋(Base‘𝑠) / 𝑤⦌{𝑓 ∈ (𝑤 ↑𝑚 𝑣) ∣ ((𝑓‘(1r‘𝑟)) = (1r‘𝑠) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑣 ∀𝑦 ∈ 𝑣 ((𝑓‘(𝑥(+g‘𝑟)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥)(+g‘𝑠)(𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(.r‘𝑟)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥)(.r‘𝑠)(𝑓‘𝑦))))} ∈ V
18	17	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊) → ⦋(Base‘𝑟) / 𝑣⦌⦋(Base‘𝑠) / 𝑤⦌{𝑓 ∈ (𝑤 ↑𝑚 𝑣) ∣ ((𝑓‘(1r‘𝑟)) = (1r‘𝑠) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑣 ∀𝑦 ∈ 𝑣 ((𝑓‘(𝑥(+g‘𝑟)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥)(+g‘𝑠)(𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(.r‘𝑟)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥)(.r‘𝑠)(𝑓‘𝑦))))} ∈ V)
19	18	alrimivv 1886	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊) → ∀𝑟∀𝑠⦋(Base‘𝑟) / 𝑣⦌⦋(Base‘𝑠) / 𝑤⦌{𝑓 ∈ (𝑤 ↑𝑚 𝑣) ∣ ((𝑓‘(1r‘𝑟)) = (1r‘𝑠) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑣 ∀𝑦 ∈ 𝑣 ((𝑓‘(𝑥(+g‘𝑟)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥)(+g‘𝑠)(𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(.r‘𝑟)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥)(.r‘𝑠)(𝑓‘𝑦))))} ∈ V)
20		simpl 109	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊) → 𝑅 ∈ 𝑉)
21		simpr 110	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊) → 𝑆 ∈ 𝑊)
22		df-rhm 13648	. . 3 ⊢ RingHom = (𝑟 ∈ Ring, 𝑠 ∈ Ring ↦ ⦋(Base‘𝑟) / 𝑣⦌⦋(Base‘𝑠) / 𝑤⦌{𝑓 ∈ (𝑤 ↑𝑚 𝑣) ∣ ((𝑓‘(1r‘𝑟)) = (1r‘𝑠) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑣 ∀𝑦 ∈ 𝑣 ((𝑓‘(𝑥(+g‘𝑟)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥)(+g‘𝑠)(𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(.r‘𝑟)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥)(.r‘𝑠)(𝑓‘𝑦))))})
23	22	mpofvex 6256	. 2 ⊢ ((∀𝑟∀𝑠⦋(Base‘𝑟) / 𝑣⦌⦋(Base‘𝑠) / 𝑤⦌{𝑓 ∈ (𝑤 ↑𝑚 𝑣) ∣ ((𝑓‘(1r‘𝑟)) = (1r‘𝑠) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑣 ∀𝑦 ∈ 𝑣 ((𝑓‘(𝑥(+g‘𝑟)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥)(+g‘𝑠)(𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(.r‘𝑟)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥)(.r‘𝑠)(𝑓‘𝑦))))} ∈ V ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊) → (𝑅 RingHom 𝑆) ∈ V)
24	19, 20, 21, 23	syl3anc 1249	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊) → (𝑅 RingHom 𝑆) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  ∀wal 1362   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ∀wral 2472  {crab 2476  Vcvv 2760  ⦋csb 3080   × cxp 4657   Fn wfn 5249  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918   ↑_𝑚 cmap 6702  Basecbs 12618  +_gcplusg 12695  ._rcmulr 12696  1_rcur 13455  Ringcrg 13492   RingHom crh 13646

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1re 7966  ax-addrcl 7969

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-fo 5260  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-map 6704  df-inn 8983  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-rhm 13648

This theorem is referenced by:  isrim0  13657  zrhval  14105  zrhvalg  14106  zrhex  14109