Theorem zrhval 14546

Description: Define the unique homomorphism from the integers to a ring or field. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jun-2015.) (Revised by AV, 12-Jun-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
zrhval.l	|- L = ( ZRHom ` R )

Assertion

Ref	Expression
zrhval	|- L = U. (ℤring RingHom R )

Proof of Theorem zrhval

Dummy variables r x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zrhval.l	. . . . . 6 |- L = ( ZRHom ` R )
2		df-zrh 14543	. . . . . . . . 9 |- ZRHom = ( r e. _V |-> U. (ℤring RingHom r ) )
3	2	mptrcl 5690	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( ZRHom ` R ) -> R e. _V )
4	3, 1	eleq2s 2304	. . . . . . 7 |- ( x e. L -> R e. _V )
5		zringring 14522	. . . . . . . . . 10 |- ℤring e. Ring
6		rhmex 14086	. . . . . . . . . 10 |- ( (ℤring e. Ring /\ R e. _V ) -> (ℤring RingHom R ) e. _V )
7	5, 6	mpan 424	. . . . . . . . 9 |- ( R e. _V -> (ℤring RingHom R ) e. _V )
8	7	uniexd 4508	. . . . . . . 8 |- ( R e. _V -> U. (ℤring RingHom R ) e. _V )
9		oveq2 5982	. . . . . . . . . 10 |- ( r = R -> (ℤring RingHom r ) = (ℤring RingHom R ) )
10	9	unieqd 3878	. . . . . . . . 9 |- ( r = R -> U. (ℤring RingHom r ) = U. (ℤring RingHom R ) )
11	10, 2	fvmptg 5683	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. _V /\ U. (ℤring RingHom R ) e. _V ) -> ( ZRHom ` R ) = U. (ℤring RingHom R ) )
12	8, 11	mpdan 421	. . . . . . 7 |- ( R e. _V -> ( ZRHom ` R ) = U. (ℤring RingHom R ) )
13	4, 12	syl 14	. . . . . 6 |- ( x e. L -> ( ZRHom ` R ) = U. (ℤring RingHom R ) )
14	1, 13	eqtrid 2254	. . . . 5 |- ( x e. L -> L = U. (ℤring RingHom R ) )
15	14	eleq2d 2279	. . . 4 |- ( x e. L -> ( x e. L <-> x e. U. (ℤring RingHom R ) ) )
16	15	ibi 176	. . 3 |- ( x e. L -> x e. U. (ℤring RingHom R ) )
17		eluni2 3871	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. U. (ℤring RingHom R ) <-> E. y e. (ℤring RingHom R ) x e. y )
18		rexm 3571	. . . . . . . . . 10 |- ( E. y e. (ℤring RingHom R ) x e. y -> E. y y e. (ℤring RingHom R ) )
19	17, 18	sylbi 121	. . . . . . . . 9 |- ( x e. U. (ℤring RingHom R ) -> E. y y e. (ℤring RingHom R ) )
20		rhmrcl2 14085	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. (ℤring RingHom R ) -> R e. Ring )
21	20	exlimiv 1624	. . . . . . . . 9 |- ( E. y y e. (ℤring RingHom R ) -> R e. Ring )
22	19, 21	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( x e. U. (ℤring RingHom R ) -> R e. Ring )
23	22	elexd 2793	. . . . . . 7 |- ( x e. U. (ℤring RingHom R ) -> R e. _V )
24	23, 12	syl 14	. . . . . 6 |- ( x e. U. (ℤring RingHom R ) -> ( ZRHom ` R ) = U. (ℤring RingHom R ) )
25	1, 24	eqtrid 2254	. . . . 5 |- ( x e. U. (ℤring RingHom R ) -> L = U. (ℤring RingHom R ) )
26	25	eleq2d 2279	. . . 4 |- ( x e. U. (ℤring RingHom R ) -> ( x e. L <-> x e. U. (ℤring RingHom R ) ) )
27	26	ibir 177	. . 3 |- ( x e. U. (ℤring RingHom R ) -> x e. L )
28	16, 27	impbii 126	. 2 |- ( x e. L <-> x e. U. (ℤring RingHom R ) )
29	28	eqriv 2206	1 |- L = U. (ℤring RingHom R )

Syntax hints:   = wceq 1375   E.wex 1518   e. wcel 2180   E.wrex 2489   _Vcvv 2779   U.cuni 3867   ` cfv 5294  (class class class)co 5974   Ringcrg 13925   RingHom crh 14079  ℤ_ringczring 14519   ZRHomczrh 14540

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-coll 4178  ax-sep 4181  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-mulrcl 8066  ax-addcom 8067  ax-mulcom 8068  ax-addass 8069  ax-mulass 8070  ax-distr 8071  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-1rid 8074  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-precex 8077  ax-cnre 8078  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-ltwlin 8080  ax-pre-lttrn 8081  ax-pre-apti 8082  ax-pre-ltadd 8083  ax-pre-mulgt0 8084  ax-addf 8089  ax-mulf 8090

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rmo 2496  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-tp 3654  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-id 4361  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-1st 6256  df-2nd 6257  df-map 6767  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-xr 8153  df-ltxr 8154  df-le 8155  df-sub 8287  df-neg 8288  df-reap 8690  df-inn 9079  df-2 9137  df-3 9138  df-4 9139  df-5 9140  df-6 9141  df-7 9142  df-8 9143  df-9 9144  df-n0 9338  df-z 9415  df-dec 9547  df-uz 9691  df-rp 9818  df-fz 10173  df-cj 11319  df-abs 11476  df-struct 13000  df-ndx 13001  df-slot 13002  df-base 13004  df-sets 13005  df-iress 13006  df-plusg 13089  df-mulr 13090  df-starv 13091  df-tset 13095  df-ple 13096  df-ds 13098  df-unif 13099  df-0g 13257  df-topgen 13259  df-mgm 13355  df-sgrp 13401  df-mnd 13416  df-mhm 13458  df-grp 13502  df-minusg 13503  df-subg 13673  df-ghm 13744  df-cmn 13789  df-mgp 13850  df-ur 13889  df-ring 13927  df-cring 13928  df-rhm 14081  df-subrg 14148  df-bl 14475  df-mopn 14476  df-fg 14478  df-metu 14479  df-cnfld 14486  df-zring 14520  df-zrh 14543

This theorem is referenced by:  zrhpropd  14555