Theorem zrhval 14655

Description: Define the unique homomorphism from the integers to a ring or field. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jun-2015.) (Revised by AV, 12-Jun-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
zrhval.l	|- L = ( ZRHom ` R )

Assertion

Ref	Expression
zrhval	|- L = U. (ℤring RingHom R )

Proof of Theorem zrhval

Dummy variables r x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zrhval.l	. . . . . 6 |- L = ( ZRHom ` R )
2		df-zrh 14652	. . . . . . . . 9 |- ZRHom = ( r e. _V |-> U. (ℤring RingHom r ) )
3	2	mptrcl 5732	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( ZRHom ` R ) -> R e. _V )
4	3, 1	eleq2s 2325	. . . . . . 7 |- ( x e. L -> R e. _V )
5		zringring 14631	. . . . . . . . . 10 |- ℤring e. Ring
6		rhmex 14195	. . . . . . . . . 10 |- ( (ℤring e. Ring /\ R e. _V ) -> (ℤring RingHom R ) e. _V )
7	5, 6	mpan 424	. . . . . . . . 9 |- ( R e. _V -> (ℤring RingHom R ) e. _V )
8	7	uniexd 4539	. . . . . . . 8 |- ( R e. _V -> U. (ℤring RingHom R ) e. _V )
9		oveq2 6031	. . . . . . . . . 10 |- ( r = R -> (ℤring RingHom r ) = (ℤring RingHom R ) )
10	9	unieqd 3905	. . . . . . . . 9 |- ( r = R -> U. (ℤring RingHom r ) = U. (ℤring RingHom R ) )
11	10, 2	fvmptg 5725	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. _V /\ U. (ℤring RingHom R ) e. _V ) -> ( ZRHom ` R ) = U. (ℤring RingHom R ) )
12	8, 11	mpdan 421	. . . . . . 7 |- ( R e. _V -> ( ZRHom ` R ) = U. (ℤring RingHom R ) )
13	4, 12	syl 14	. . . . . 6 |- ( x e. L -> ( ZRHom ` R ) = U. (ℤring RingHom R ) )
14	1, 13	eqtrid 2275	. . . . 5 |- ( x e. L -> L = U. (ℤring RingHom R ) )
15	14	eleq2d 2300	. . . 4 |- ( x e. L -> ( x e. L <-> x e. U. (ℤring RingHom R ) ) )
16	15	ibi 176	. . 3 |- ( x e. L -> x e. U. (ℤring RingHom R ) )
17		eluni2 3898	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. U. (ℤring RingHom R ) <-> E. y e. (ℤring RingHom R ) x e. y )
18		rexm 3593	. . . . . . . . . 10 |- ( E. y e. (ℤring RingHom R ) x e. y -> E. y y e. (ℤring RingHom R ) )
19	17, 18	sylbi 121	. . . . . . . . 9 |- ( x e. U. (ℤring RingHom R ) -> E. y y e. (ℤring RingHom R ) )
20		rhmrcl2 14194	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. (ℤring RingHom R ) -> R e. Ring )
21	20	exlimiv 1646	. . . . . . . . 9 |- ( E. y y e. (ℤring RingHom R ) -> R e. Ring )
22	19, 21	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( x e. U. (ℤring RingHom R ) -> R e. Ring )
23	22	elexd 2815	. . . . . . 7 |- ( x e. U. (ℤring RingHom R ) -> R e. _V )
24	23, 12	syl 14	. . . . . 6 |- ( x e. U. (ℤring RingHom R ) -> ( ZRHom ` R ) = U. (ℤring RingHom R ) )
25	1, 24	eqtrid 2275	. . . . 5 |- ( x e. U. (ℤring RingHom R ) -> L = U. (ℤring RingHom R ) )
26	25	eleq2d 2300	. . . 4 |- ( x e. U. (ℤring RingHom R ) -> ( x e. L <-> x e. U. (ℤring RingHom R ) ) )
27	26	ibir 177	. . 3 |- ( x e. U. (ℤring RingHom R ) -> x e. L )
28	16, 27	impbii 126	. 2 |- ( x e. L <-> x e. U. (ℤring RingHom R ) )
29	28	eqriv 2227	1 |- L = U. (ℤring RingHom R )

Syntax hints:   = wceq 1397   E.wex 1540   e. wcel 2201   E.wrex 2510   _Vcvv 2801   U.cuni 3894   ` cfv 5328  (class class class)co 6023   Ringcrg 14033   RingHom crh 14188  ℤ_ringczring 14628   ZRHomczrh 14649

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4205  ax-sep 4208  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-mulrcl 8136  ax-addcom 8137  ax-mulcom 8138  ax-addass 8139  ax-mulass 8140  ax-distr 8141  ax-i2m1 8142  ax-0lt1 8143  ax-1rid 8144  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-precex 8147  ax-cnre 8148  ax-pre-ltirr 8149  ax-pre-ltwlin 8150  ax-pre-lttrn 8151  ax-pre-apti 8152  ax-pre-ltadd 8153  ax-pre-mulgt0 8154  ax-addf 8159  ax-mulf 8160

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rmo 2517  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-tp 3678  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-iun 3973  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-id 4392  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-f1 5333  df-fo 5334  df-f1o 5335  df-fv 5336  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-map 6824  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-xr 8223  df-ltxr 8224  df-le 8225  df-sub 8357  df-neg 8358  df-reap 8760  df-inn 9149  df-2 9207  df-3 9208  df-4 9209  df-5 9210  df-6 9211  df-7 9212  df-8 9213  df-9 9214  df-n0 9408  df-z 9485  df-dec 9617  df-uz 9761  df-rp 9894  df-fz 10249  df-cj 11425  df-abs 11582  df-struct 13107  df-ndx 13108  df-slot 13109  df-base 13111  df-sets 13112  df-iress 13113  df-plusg 13196  df-mulr 13197  df-starv 13198  df-tset 13202  df-ple 13203  df-ds 13205  df-unif 13206  df-0g 13364  df-topgen 13366  df-mgm 13462  df-sgrp 13508  df-mnd 13523  df-mhm 13565  df-grp 13609  df-minusg 13610  df-subg 13780  df-ghm 13851  df-cmn 13896  df-mgp 13958  df-ur 13997  df-ring 14035  df-cring 14036  df-rhm 14190  df-subrg 14257  df-bl 14584  df-mopn 14585  df-fg 14587  df-metu 14588  df-cnfld 14595  df-zring 14629  df-zrh 14652

This theorem is referenced by:  zrhpropd  14664