Theorem ringo2times 14105

Description: A ring element plus itself is two times the element. "Two" in an arbitrary unital ring is the sum of the unity element with itself. (Contributed by AV, 24-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringadd2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringadd2.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
ringadd2.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
ringo2times.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringo2times	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴 + 𝐴) = (( 1 + 1 ) · 𝐴))

Proof of Theorem ringo2times

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringadd2.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		ringadd2.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
3		ringo2times.u	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
4	1, 2, 3	ringlidm 14100	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝐴) = 𝐴)
5	4	eqcomd 2237	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 = ( 1 · 𝐴))
6	5, 5	oveq12d 6046	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴 + 𝐴) = (( 1 · 𝐴) + ( 1 · 𝐴)))
7		simpl 109	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
8	1, 3	ringidcl 14097	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)
9	8	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 1 ∈ 𝐵)
10		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵)
11		ringadd2.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑅)
12	1, 11, 2	ringdir 14096	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ( 1 ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵)) → (( 1 + 1 ) · 𝐴) = (( 1 · 𝐴) + ( 1 · 𝐴)))
13	7, 9, 9, 10, 12	syl13anc 1276	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (( 1 + 1 ) · 𝐴) = (( 1 · 𝐴) + ( 1 · 𝐴)))
14	6, 13	eqtr4d 2267	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴 + 𝐴) = (( 1 + 1 ) · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  Basecbs 13145  +_gcplusg 13223  ._rcmulr 13224  1_rcur 14036  Ringcrg 14073

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-ltxr 8261  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-ndx 13148  df-slot 13149  df-base 13151  df-sets 13152  df-plusg 13236  df-mulr 13237  df-0g 13404  df-mgm 13502  df-sgrp 13548  df-mnd 13563  df-mgp 13998  df-ur 14037  df-ring 14075

This theorem is referenced by: (None)