Theorem ringo2times 14006

Description: A ring element plus itself is two times the element. "Two" in an arbitrary unital ring is the sum of the unity element with itself. (Contributed by AV, 24-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringadd2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringadd2.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
ringadd2.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
ringo2times.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringo2times	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴 + 𝐴) = (( 1 + 1 ) · 𝐴))

Proof of Theorem ringo2times

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringadd2.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		ringadd2.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
3		ringo2times.u	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
4	1, 2, 3	ringlidm 14001	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝐴) = 𝐴)
5	4	eqcomd 2235	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 = ( 1 · 𝐴))
6	5, 5	oveq12d 6025	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴 + 𝐴) = (( 1 · 𝐴) + ( 1 · 𝐴)))
7		simpl 109	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
8	1, 3	ringidcl 13998	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)
9	8	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 1 ∈ 𝐵)
10		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵)
11		ringadd2.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑅)
12	1, 11, 2	ringdir 13997	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ( 1 ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵)) → (( 1 + 1 ) · 𝐴) = (( 1 · 𝐴) + ( 1 · 𝐴)))
13	7, 9, 9, 10, 12	syl13anc 1273	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (( 1 + 1 ) · 𝐴) = (( 1 · 𝐴) + ( 1 · 𝐴)))
14	6, 13	eqtr4d 2265	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴 + 𝐴) = (( 1 + 1 ) · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007  Basecbs 13047  +_gcplusg 13125  ._rcmulr 13126  1_rcur 13937  Ringcrg 13974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-addass 8112  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltadd 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-ltxr 8197  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-ndx 13050  df-slot 13051  df-base 13053  df-sets 13054  df-plusg 13138  df-mulr 13139  df-0g 13306  df-mgm 13404  df-sgrp 13450  df-mnd 13465  df-mgp 13899  df-ur 13938  df-ring 13976

This theorem is referenced by: (None)