Theorem ringlidm 14377

Description: The unity element of a ring is a left multiplicative identity. (Contributed by NM, 15-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngidm.b	|- B = ( Base ` R )
rngidm.t	|- .x. = ( .r ` R )
rngidm.u	|- .1. = ( 1r ` R )

Assertion

Ref	Expression
ringlidm	|- ( ( R e. Ring /\ X e. B ) -> ( .1. .x. X ) = X )

Proof of Theorem ringlidm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngidm.b	. . 3 |- B = ( Base ` R )
2		rngidm.t	. . 3 |- .x. = ( .r ` R )
3		rngidm.u	. . 3 |- .1. = ( 1r ` R )
4	1, 2, 3	ringidmlem 14376	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B ) -> ( ( .1. .x. X ) = X /\ ( X .x. .1. ) = X ) )
5	4	simpld 112	1 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B ) -> ( .1. .x. X ) = X )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   Basecbs 13401   .rcmulr 13481   1rcur 14311   Ringcrg 14349

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-ltxr 8365  df-inn 9307  df-2 9365  df-3 9366  df-ndx 13404  df-slot 13405  df-base 13407  df-sets 13408  df-plusg 13493  df-mulr 13494  df-0g 13661  df-mgm 13725  df-sgrp 13766  df-mnd 13779  df-mgp 14267  df-ur 14312  df-ring 14351

This theorem is used by:  ringo2times  14382  ringidss  14383  ringcom  14385  ring1eq0  14402  ringinvnzdiv  14404  ringnegl  14405  ringressid  14417  imasring  14418  opprring  14433  dvdsrid  14456  unitmulcl  14469  unitgrp  14472  1rinv  14484  dvreq1  14498  ringinvdv  14501  subrginv  14594  issubrg2  14598  unitrrg  14625  sralmod  14836  mulgrhm  14993  asclmul1  15078