Theorem ringlidm 13212

Description: The unity element of a ring is a left multiplicative identity. (Contributed by NM, 15-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngidm.b	|- B = ( Base ` R )
rngidm.t	|- .x. = ( .r ` R )
rngidm.u	|- .1. = ( 1r ` R )

Assertion

Ref	Expression
ringlidm	|- ( ( R e. Ring /\ X e. B ) -> ( .1. .x. X ) = X )

Proof of Theorem ringlidm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngidm.b	. . 3 |- B = ( Base ` R )
2		rngidm.t	. . 3 |- .x. = ( .r ` R )
3		rngidm.u	. . 3 |- .1. = ( 1r ` R )
4	1, 2, 3	ringidmlem 13211	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B ) -> ( ( .1. .x. X ) = X /\ ( X .x. .1. ) = X ) )
5	4	simpld 112	1 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B ) -> ( .1. .x. X ) = X )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   ` cfv 5218  (class class class)co 5878   Basecbs 12465   .rcmulr 12540   1rcur 13148   Ringcrg 13185

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-addcom 7914  ax-addass 7916  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltadd 7930

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-ltxr 8000  df-inn 8923  df-2 8981  df-3 8982  df-ndx 12468  df-slot 12469  df-base 12471  df-sets 12472  df-plusg 12552  df-mulr 12553  df-0g 12713  df-mgm 12781  df-sgrp 12814  df-mnd 12824  df-mgp 13137  df-ur 13149  df-ring 13187

This theorem is referenced by:  ringo2times  13217  ringidss  13218  ringcom  13220  ring1eq0  13231  ringinvnzdiv  13233  ringnegl  13234  ringressid  13244  opprring  13255  dvdsrid  13275  unitmulcl  13288  unitgrp  13291  1rinv  13303  dvreq1  13317  ringinvdv  13320  subrginv  13364  issubrg2  13368  sralmod  13542