Theorem ringprop 13172

Description: If two structures have the same ring components (properties), one is a ring iff the other one is. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringprop.b	|- ( Base ` K ) = ( Base ` L )
ringprop.p	|- ( +g ` K ) = ( +g ` L )
ringprop.m	|- ( .r ` K ) = ( .r ` L )

Assertion

Ref	Expression
ringprop	|- ( K e. Ring <-> L e. Ring )

Proof of Theorem ringprop

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2178	. . 3 |- ( T. -> ( Base ` K ) = ( Base ` K ) )
2		ringprop.b	. . . 4 |- ( Base ` K ) = ( Base ` L )
3	2	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> ( Base ` K ) = ( Base ` L ) )
4		ringprop.p	. . . . 5 |- ( +g ` K ) = ( +g ` L )
5	4	oveqi 5887	. . . 4 |- ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` L ) y )
6	5	a1i 9	. . 3 |- ( ( T. /\ ( x e. ( Base ` K ) /\ y e. ( Base ` K ) ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` L ) y ) )
7		ringprop.m	. . . . 5 |- ( .r ` K ) = ( .r ` L )
8	7	oveqi 5887	. . . 4 |- ( x ( .r ` K ) y ) = ( x ( .r ` L ) y )
9	8	a1i 9	. . 3 |- ( ( T. /\ ( x e. ( Base ` K ) /\ y e. ( Base ` K ) ) ) -> ( x ( .r ` K ) y ) = ( x ( .r ` L ) y ) )
10	1, 3, 6, 9	ringpropd 13170	. 2 |- ( T. -> ( K e. Ring <-> L e. Ring ) )
11	10	mptru 1362	1 |- ( K e. Ring <-> L e. Ring )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   T. wtru 1354   e. wcel 2148   ` cfv 5216  (class class class)co 5874   Basecbs 12456   +g cplusg 12530   .rcmulr 12531   Ringcrg 13132

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltadd 7926

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-ltxr 7995  df-inn 8918  df-2 8976  df-3 8977  df-ndx 12459  df-slot 12460  df-base 12462  df-sets 12463  df-plusg 12543  df-mulr 12544  df-0g 12697  df-mgm 12729  df-sgrp 12762  df-mnd 12772  df-grp 12834  df-mgp 13084  df-ring 13134

This theorem is referenced by: (None)