Theorem ringprop 13802

Description: If two structures have the same ring components (properties), one is a ring iff the other one is. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringprop.b	|- ( Base ` K ) = ( Base ` L )
ringprop.p	|- ( +g ` K ) = ( +g ` L )
ringprop.m	|- ( .r ` K ) = ( .r ` L )

Assertion

Ref	Expression
ringprop	|- ( K e. Ring <-> L e. Ring )

Proof of Theorem ringprop

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2206	. . 3 |- ( T. -> ( Base ` K ) = ( Base ` K ) )
2		ringprop.b	. . . 4 |- ( Base ` K ) = ( Base ` L )
3	2	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> ( Base ` K ) = ( Base ` L ) )
4		ringprop.p	. . . . 5 |- ( +g ` K ) = ( +g ` L )
5	4	oveqi 5957	. . . 4 |- ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` L ) y )
6	5	a1i 9	. . 3 |- ( ( T. /\ ( x e. ( Base ` K ) /\ y e. ( Base ` K ) ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` L ) y ) )
7		ringprop.m	. . . . 5 |- ( .r ` K ) = ( .r ` L )
8	7	oveqi 5957	. . . 4 |- ( x ( .r ` K ) y ) = ( x ( .r ` L ) y )
9	8	a1i 9	. . 3 |- ( ( T. /\ ( x e. ( Base ` K ) /\ y e. ( Base ` K ) ) ) -> ( x ( .r ` K ) y ) = ( x ( .r ` L ) y ) )
10	1, 3, 6, 9	ringpropd 13800	. 2 |- ( T. -> ( K e. Ring <-> L e. Ring ) )
11	10	mptru 1382	1 |- ( K e. Ring <-> L e. Ring )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   T. wtru 1374   e. wcel 2176   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   Basecbs 12832   +g cplusg 12909   .rcmulr 12910   Ringcrg 13758

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltadd 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-ltxr 8112  df-inn 9037  df-2 9095  df-3 9096  df-ndx 12835  df-slot 12836  df-base 12838  df-sets 12839  df-plusg 12922  df-mulr 12923  df-0g 13090  df-mgm 13188  df-sgrp 13234  df-mnd 13249  df-grp 13335  df-mgp 13683  df-ring 13760

This theorem is referenced by: (None)