ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ringprop Unicode version

Theorem ringprop 13172
Description: If two structures have the same ring components (properties), one is a ring iff the other one is. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
ringprop.b  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  L )
ringprop.p  |-  ( +g  `  K )  =  ( +g  `  L )
ringprop.m  |-  ( .r
`  K )  =  ( .r `  L
)
Assertion
Ref Expression
ringprop  |-  ( K  e.  Ring  <->  L  e.  Ring )

Proof of Theorem ringprop
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2178 . . 3  |-  ( T. 
->  ( Base `  K
)  =  ( Base `  K ) )
2 ringprop.b . . . 4  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  L )
32a1i 9 . . 3  |-  ( T. 
->  ( Base `  K
)  =  ( Base `  L ) )
4 ringprop.p . . . . 5  |-  ( +g  `  K )  =  ( +g  `  L )
54oveqi 5887 . . . 4  |-  ( x ( +g  `  K
) y )  =  ( x ( +g  `  L ) y )
65a1i 9 . . 3  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  ( Base `  K
)  /\  y  e.  ( Base `  K )
) )  ->  (
x ( +g  `  K
) y )  =  ( x ( +g  `  L ) y ) )
7 ringprop.m . . . . 5  |-  ( .r
`  K )  =  ( .r `  L
)
87oveqi 5887 . . . 4  |-  ( x ( .r `  K
) y )  =  ( x ( .r
`  L ) y )
98a1i 9 . . 3  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  ( Base `  K
)  /\  y  e.  ( Base `  K )
) )  ->  (
x ( .r `  K ) y )  =  ( x ( .r `  L ) y ) )
101, 3, 6, 9ringpropd 13170 . 2  |-  ( T. 
->  ( K  e.  Ring  <->  L  e.  Ring ) )
1110mptru 1362 1  |-  ( K  e.  Ring  <->  L  e.  Ring )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1353   T. wtru 1354    e. wcel 2148   ` cfv 5216  (class class class)co 5874   Basecbs 12456   +g cplusg 12530   .rcmulr 12531   Ringcrg 13132
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltadd 7926
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-ltxr 7995  df-inn 8918  df-2 8976  df-3 8977  df-ndx 12459  df-slot 12460  df-base 12462  df-sets 12463  df-plusg 12543  df-mulr 12544  df-0g 12697  df-mgm 12729  df-sgrp 12762  df-mnd 12772  df-grp 12834  df-mgp 13084  df-ring 13134
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator