Theorem ringprop 14268

Description: If two structures have the same ring components (properties), one is a ring iff the other one is. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringprop.b	⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐿)
ringprop.p	⊢ (+g‘𝐾) = (+g‘𝐿)
ringprop.m	⊢ (.r‘𝐾) = (.r‘𝐿)

Assertion

Ref	Expression
ringprop	⊢ (𝐾 ∈ Ring ↔ 𝐿 ∈ Ring)

Proof of Theorem ringprop

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2235	. . 3 ⊢ (⊤ → (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾))
2		ringprop.b	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐿)
3	2	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → (Base‘𝐾) = (Base‘𝐿))
4		ringprop.p	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐾) = (+g‘𝐿)
5	4	oveqi 6071	. . . 4 ⊢ (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦)
6	5	a1i 9	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
7		ringprop.m	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝐾) = (.r‘𝐿)
8	7	oveqi 6071	. . . 4 ⊢ (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦)
9	8	a1i 9	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))
10	1, 3, 6, 9	ringpropd 14266	. 2 ⊢ (⊤ → (𝐾 ∈ Ring ↔ 𝐿 ∈ Ring))
11	10	mptru 1407	1 ⊢ (𝐾 ∈ Ring ↔ 𝐿 ∈ Ring)

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398  ⊤wtru 1399   ∈ wcel 2205  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  Basecbs 13296  +_gcplusg 13374  ._rcmulr 13375  Ringcrg 14224

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-ltxr 8329  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-sets 13303  df-plusg 13387  df-mulr 13388  df-0g 13555  df-mgm 13653  df-sgrp 13699  df-mnd 13714  df-grp 13800  df-mgp 14149  df-ring 14226

This theorem is referenced by:  aprprop  14524  drngprop  14540