Theorem ringprop 14059

Description: If two structures have the same ring components (properties), one is a ring iff the other one is. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringprop.b	⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐿)
ringprop.p	⊢ (+g‘𝐾) = (+g‘𝐿)
ringprop.m	⊢ (.r‘𝐾) = (.r‘𝐿)

Assertion

Ref	Expression
ringprop	⊢ (𝐾 ∈ Ring ↔ 𝐿 ∈ Ring)

Proof of Theorem ringprop

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2232	. . 3 ⊢ (⊤ → (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾))
2		ringprop.b	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐿)
3	2	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → (Base‘𝐾) = (Base‘𝐿))
4		ringprop.p	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐾) = (+g‘𝐿)
5	4	oveqi 6031	. . . 4 ⊢ (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦)
6	5	a1i 9	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
7		ringprop.m	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝐾) = (.r‘𝐿)
8	7	oveqi 6031	. . . 4 ⊢ (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦)
9	8	a1i 9	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))
10	1, 3, 6, 9	ringpropd 14057	. 2 ⊢ (⊤ → (𝐾 ∈ Ring ↔ 𝐿 ∈ Ring))
11	10	mptru 1406	1 ⊢ (𝐾 ∈ Ring ↔ 𝐿 ∈ Ring)

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1397  ⊤wtru 1398   ∈ wcel 2202  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  Basecbs 13087  +_gcplusg 13165  ._rcmulr 13166  Ringcrg 14015

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-ltxr 8219  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-ndx 13090  df-slot 13091  df-base 13093  df-sets 13094  df-plusg 13178  df-mulr 13179  df-0g 13346  df-mgm 13444  df-sgrp 13490  df-mnd 13505  df-grp 13591  df-mgp 13940  df-ring 14017

This theorem is referenced by: (None)