Theorem ringprop 13277

Description: If two structures have the same ring components (properties), one is a ring iff the other one is. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringprop.b	⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐿)
ringprop.p	⊢ (+g‘𝐾) = (+g‘𝐿)
ringprop.m	⊢ (.r‘𝐾) = (.r‘𝐿)

Assertion

Ref	Expression
ringprop	⊢ (𝐾 ∈ Ring ↔ 𝐿 ∈ Ring)

Proof of Theorem ringprop

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2188	. . 3 ⊢ (⊤ → (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾))
2		ringprop.b	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐿)
3	2	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → (Base‘𝐾) = (Base‘𝐿))
4		ringprop.p	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐾) = (+g‘𝐿)
5	4	oveqi 5901	. . . 4 ⊢ (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦)
6	5	a1i 9	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
7		ringprop.m	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝐾) = (.r‘𝐿)
8	7	oveqi 5901	. . . 4 ⊢ (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦)
9	8	a1i 9	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))
10	1, 3, 6, 9	ringpropd 13275	. 2 ⊢ (⊤ → (𝐾 ∈ Ring ↔ 𝐿 ∈ Ring))
11	10	mptru 1372	1 ⊢ (𝐾 ∈ Ring ↔ 𝐿 ∈ Ring)

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1363  ⊤wtru 1364   ∈ wcel 2158  ‘cfv 5228  (class class class)co 5888  Basecbs 12475  +_gcplusg 12550  ._rcmulr 12551  Ringcrg 13233

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-addcom 7924  ax-addass 7926  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltadd 7940

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-ltxr 8010  df-inn 8933  df-2 8991  df-3 8992  df-ndx 12478  df-slot 12479  df-base 12481  df-sets 12482  df-plusg 12563  df-mulr 12564  df-0g 12724  df-mgm 12793  df-sgrp 12826  df-mnd 12837  df-grp 12899  df-mgp 13163  df-ring 13235

This theorem is referenced by: (None)