Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trilpolemisumle Unicode version

Theorem trilpolemisumle 13572
 Description: Lemma for trilpo 13577. An upper bound for the sum of the digits beyond a certain point. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
trilpolemgt1.f
trilpolemgt1.a
trilpolemisumle.z
trilpolemisumle.m
Assertion
Ref Expression
trilpolemisumle
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem trilpolemisumle
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 trilpolemisumle.z . 2
2 trilpolemisumle.m . . 3
32nnzd 9268 . 2
41eleq2i 2224 . . . . 5
54biimpi 119 . . . 4
6 eluznn 9493 . . . 4
72, 5, 6syl2an 287 . . 3
8 eqid 2157 . . . 4
9 oveq2 5826 . . . . . 6
109oveq2d 5834 . . . . 5
11 fveq2 5465 . . . . 5
1210, 11oveq12d 5836 . . . 4
13 simpr 109 . . . 4
14 2rp 9547 . . . . . . . . 9
1514a1i 9 . . . . . . . 8
1613nnzd 9268 . . . . . . . 8
1715, 16rpexpcld 10557 . . . . . . 7
1817rpreccld 9596 . . . . . 6
1918rpred 9585 . . . . 5
20 trilpolemgt1.f . . . . . . 7
21 0re 7861 . . . . . . . . 9
22 1re 7860 . . . . . . . . 9
23 prssi 3714 . . . . . . . . 9
2421, 22, 23mp2an 423 . . . . . . . 8
2524a1i 9 . . . . . . 7
2620, 25fssd 5329 . . . . . 6
2726ffvelrnda 5599 . . . . 5
2819, 27remulcld 7891 . . . 4
298, 12, 13, 28fvmptd3 5558 . . 3
307, 29syldan 280 . 2
317, 28syldan 280 . 2
32 eqid 2157 . . . 4
3332, 10, 13, 18fvmptd3 5558 . . 3
347, 33syldan 280 . 2
357, 19syldan 280 . 2
36 simpr 109 . . . . . . 7
3736oveq2d 5834 . . . . . 6
3818rpcnd 9587 . . . . . . . 8
3938adantr 274 . . . . . . 7
4039mul01d 8251 . . . . . 6
4137, 40eqtrd 2190 . . . . 5
4218adantr 274 . . . . . 6
4342rpge0d 9589 . . . . 5
4441, 43eqbrtrd 3986 . . . 4
45 simpr 109 . . . . . . 7
4645oveq2d 5834 . . . . . 6
4738adantr 274 . . . . . . 7
4847mulid1d 7878 . . . . . 6
4946, 48eqtrd 2190 . . . . 5
5019adantr 274 . . . . . 6
5150leidd 8372 . . . . 5
5249, 51eqbrtrd 3986 . . . 4
5320ffvelrnda 5599 . . . . 5
54 elpri 3583 . . . . 5
5553, 54syl 14 . . . 4
5644, 52, 55mpjaodan 788 . . 3
577, 56syldan 280 . 2
5820, 8trilpolemclim 13570 . . 3
59 nnuz 9457 . . . 4
6029, 28eqeltrd 2234 . . . . 5
6160recnd 7889 . . . 4
6259, 2, 61iserex 11218 . . 3
6358, 62mpbid 146 . 2
64 seqex 10328 . . . 4
65 rpreccl 9569 . . . . . . . 8
6614, 65ax-mp 5 . . . . . . 7
6766a1i 9 . . . . . 6
68 1zzd 9177 . . . . . 6
6967, 68rpexpcld 10557 . . . . 5
70 1mhlfehlf 9034 . . . . . . 7
7170, 66eqeltri 2230 . . . . . 6
7271a1i 9 . . . . 5
7369, 72rpdivcld 9603 . . . 4
74 halfcn 9030 . . . . . 6
7574a1i 9 . . . . 5
76 halfge0 9032 . . . . . . . 8
77 halfre 9029 . . . . . . . . 9
7877absidi 11008 . . . . . . . 8
7976, 78ax-mp 5 . . . . . . 7
80 halflt1 9033 . . . . . . 7
8179, 80eqbrtri 3985 . . . . . 6
8281a1i 9 . . . . 5
83 1nn0 9089 . . . . . 6
8483a1i 9 . . . . 5
85 oveq2 5826 . . . . . . . 8
8685oveq2d 5834 . . . . . . 7
87 elnnuz 9458 . . . . . . . . 9
8887biimpri 132 . . . . . . . 8
8988adantl 275 . . . . . . 7
9014a1i 9 . . . . . . . . 9
9189nnzd 9268 . . . . . . . . 9
9290, 91rpexpcld 10557 . . . . . . . 8
9392rpreccld 9596 . . . . . . 7
9432, 86, 89, 93fvmptd3 5558 . . . . . 6
95 2cnd 8889 . . . . . . 7
9690rpap0d 9591 . . . . . . 7 #
9795, 96, 91exprecapd 10541 . . . . . 6
9894, 97eqtr4d 2193 . . . . 5
9975, 82, 84, 98geolim2 11391 . . . 4
100 breldmg 4789 . . . 4
10164, 73, 99, 100mp3an2i 1324 . . 3
10233, 38eqeltrd 2234 . . . 4
10359, 2, 102iserex 11218 . . 3
104101, 103mpbid 146 . 2
1051, 3, 30, 31, 34, 35, 57, 63, 104isumle 11374 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wo 698   wceq 1335   wcel 2128  cvv 2712   wss 3102  cpr 3561   class class class wbr 3965   cmpt 4025   cdm 4583  wf 5163  cfv 5167  (class class class)co 5818  cc 7713  cr 7714  cc0 7715  c1 7716   caddc 7718   cmul 7720   clt 7895   cle 7896   cmin 8029   cdiv 8528  cn 8816  c2 8867  cn0 9073  cuz 9422  crp 9542   cseq 10326  cexp 10400  cabs 10879   cli 11157  csu 11232 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494  ax-iinf 4545  ax-cnex 7806  ax-resscn 7807  ax-1cn 7808  ax-1re 7809  ax-icn 7810  ax-addcl 7811  ax-addrcl 7812  ax-mulcl 7813  ax-mulrcl 7814  ax-addcom 7815  ax-mulcom 7816  ax-addass 7817  ax-mulass 7818  ax-distr 7819  ax-i2m1 7820  ax-0lt1 7821  ax-1rid 7822  ax-0id 7823  ax-rnegex 7824  ax-precex 7825  ax-cnre 7826  ax-pre-ltirr 7827  ax-pre-ltwlin 7828  ax-pre-lttrn 7829  ax-pre-apti 7830  ax-pre-ltadd 7831  ax-pre-mulgt0 7832  ax-pre-mulext 7833  ax-arch 7834  ax-caucvg 7835 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4252  df-po 4255  df-iso 4256  df-iord 4325  df-on 4327  df-ilim 4328  df-suc 4330  df-iom 4548  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-f1 5172  df-fo 5173  df-f1o 5174  df-fv 5175  df-isom 5176  df-riota 5774  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-1st 6082  df-2nd 6083  df-recs 6246  df-irdg 6311  df-frec 6332  df-1o 6357  df-oadd 6361  df-er 6473  df-en 6679  df-dom 6680  df-fin 6681  df-pnf 7897  df-mnf 7898  df-xr 7899  df-ltxr 7900  df-le 7901  df-sub 8031  df-neg 8032  df-reap 8433  df-ap 8440  df-div 8529  df-inn 8817  df-2 8875  df-3 8876  df-4 8877  df-n0 9074  df-z 9151  df-uz 9423  df-q 9511  df-rp 9543  df-ico 9780  df-fz 9895  df-fzo 10024  df-seqfrec 10327  df-exp 10401  df-ihash 10632  df-cj 10724  df-re 10725  df-im 10726  df-rsqrt 10880  df-abs 10881  df-clim 11158  df-sumdc 11233 This theorem is referenced by:  trilpolemgt1  13573  trilpolemeq1  13574
 Copyright terms: Public domain W3C validator