Theorem resqrexlemcalc3 10414

Description: Lemma for resqrex 10424. Some of the calculations involved in showing that the sequence converges. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 29-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	|- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
resqrexlemex.a	|- ( ph -> A e. RR )
resqrexlemex.agt0	|- ( ph -> 0 <_ A )

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemcalc3	|- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) )

Distinct variable groups:   y, A, z   ph, y, z

Allowed substitution hints:   F( y, z)   N( y, z)

Proof of Theorem resqrexlemcalc3

Dummy variables k w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5289	. . . . . . 7 |- ( w = 1 -> ( F ` w ) = ( F ` 1 ) )
2	1	oveq1d 5649	. . . . . 6 |- ( w = 1 -> ( ( F ` w ) ^ 2 ) = ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) )
3	2	oveq1d 5649	. . . . 5 |- ( w = 1 -> ( ( ( F ` w ) ^ 2 ) - A ) = ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) - A ) )
4		oveq1 5641	. . . . . . 7 |- ( w = 1 -> ( w - 1 ) = ( 1 - 1 ) )
5	4	oveq2d 5650	. . . . . 6 |- ( w = 1 -> ( 4 ^ ( w - 1 ) ) = ( 4 ^ ( 1 - 1 ) ) )
6	5	oveq2d 5650	. . . . 5 |- ( w = 1 -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( w - 1 ) ) ) = ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( 1 - 1 ) ) ) )
7	3, 6	breq12d 3850	. . . 4 |- ( w = 1 -> ( ( ( ( F ` w ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( w - 1 ) ) ) <-> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( 1 - 1 ) ) ) ) )
8	7	imbi2d 228	. . 3 |- ( w = 1 -> ( ( ph -> ( ( ( F ` w ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( w - 1 ) ) ) ) <-> ( ph -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( 1 - 1 ) ) ) ) ) )
9		fveq2 5289	. . . . . . 7 |- ( w = k -> ( F ` w ) = ( F ` k ) )
10	9	oveq1d 5649	. . . . . 6 |- ( w = k -> ( ( F ` w ) ^ 2 ) = ( ( F ` k ) ^ 2 ) )
11	10	oveq1d 5649	. . . . 5 |- ( w = k -> ( ( ( F ` w ) ^ 2 ) - A ) = ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) )
12		oveq1 5641	. . . . . . 7 |- ( w = k -> ( w - 1 ) = ( k - 1 ) )
13	12	oveq2d 5650	. . . . . 6 |- ( w = k -> ( 4 ^ ( w - 1 ) ) = ( 4 ^ ( k - 1 ) ) )
14	13	oveq2d 5650	. . . . 5 |- ( w = k -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( w - 1 ) ) ) = ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) )
15	11, 14	breq12d 3850	. . . 4 |- ( w = k -> ( ( ( ( F ` w ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( w - 1 ) ) ) <-> ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) ) )
16	15	imbi2d 228	. . 3 |- ( w = k -> ( ( ph -> ( ( ( F ` w ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( w - 1 ) ) ) ) <-> ( ph -> ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) )
17		fveq2 5289	. . . . . . 7 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( F ` w ) = ( F ` ( k + 1 ) ) )
18	17	oveq1d 5649	. . . . . 6 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( F ` w ) ^ 2 ) = ( ( F ` ( k + 1 ) ) ^ 2 ) )
19	18	oveq1d 5649	. . . . 5 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( ( F ` w ) ^ 2 ) - A ) = ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) ^ 2 ) - A ) )
20		oveq1 5641	. . . . . . 7 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( w - 1 ) = ( ( k + 1 ) - 1 ) )
21	20	oveq2d 5650	. . . . . 6 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( 4 ^ ( w - 1 ) ) = ( 4 ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) )
22	21	oveq2d 5650	. . . . 5 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( w - 1 ) ) ) = ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) )
23	19, 22	breq12d 3850	. . . 4 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( ( ( F ` w ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( w - 1 ) ) ) <-> ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) )
24	23	imbi2d 228	. . 3 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( ph -> ( ( ( F ` w ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( w - 1 ) ) ) ) <-> ( ph -> ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) ) )
25		fveq2 5289	. . . . . . 7 |- ( w = N -> ( F ` w ) = ( F ` N ) )
26	25	oveq1d 5649	. . . . . 6 |- ( w = N -> ( ( F ` w ) ^ 2 ) = ( ( F ` N ) ^ 2 ) )
27	26	oveq1d 5649	. . . . 5 |- ( w = N -> ( ( ( F ` w ) ^ 2 ) - A ) = ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) )
28		oveq1 5641	. . . . . . 7 |- ( w = N -> ( w - 1 ) = ( N - 1 ) )
29	28	oveq2d 5650	. . . . . 6 |- ( w = N -> ( 4 ^ ( w - 1 ) ) = ( 4 ^ ( N - 1 ) ) )
30	29	oveq2d 5650	. . . . 5 |- ( w = N -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( w - 1 ) ) ) = ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) )
31	27, 30	breq12d 3850	. . . 4 |- ( w = N -> ( ( ( ( F ` w ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( w - 1 ) ) ) <-> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
32	31	imbi2d 228	. . 3 |- ( w = N -> ( ( ph -> ( ( ( F ` w ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( w - 1 ) ) ) ) <-> ( ph -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) ) ) )
33		resqrexlemex.a	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. RR )
34	33	renegcld 7837	. . . . . 6 |- ( ph -> -u A e. RR )
35		0red 7468	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 e. RR )
36		resqrexlemex.seq	. . . . . . . . . 10 |- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
37		resqrexlemex.agt0	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 <_ A )
38	36, 33, 37	resqrexlemf 10405	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : NN --> RR+ )
39		1nn 8405	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. NN
40	39	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 1 e. NN )
41	38, 40	ffvelrnd 5419	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F ` 1 ) e. RR+ )
42	41	rpred 9142	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ` 1 ) e. RR )
43	42	resqcld 10077	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) e. RR )
44	33	le0neg2d 7972	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 0 <_ A <-> -u A <_ 0 ) )
45	37, 44	mpbid 145	. . . . . 6 |- ( ph -> -u A <_ 0 )
46	34, 35, 43, 45	leadd2dd 8013	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) + -u A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) + 0 ) )
47	43	recnd 7495	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) e. CC )
48	33	recnd 7495	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. CC )
49	47, 48	negsubd 7778	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) + -u A ) = ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) - A ) )
50	47	addid1d 7610	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) + 0 ) = ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) )
51	46, 49, 50	3brtr3d 3866	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) )
52		1m1e0 8462	. . . . . . . 8 |- ( 1 - 1 ) = 0
53	52	oveq2i 5645	. . . . . . 7 |- ( 4 ^ ( 1 - 1 ) ) = ( 4 ^ 0 )
54		4cn 8471	. . . . . . . 8 |- 4 e. CC
55		exp0 9924	. . . . . . . 8 |- ( 4 e. CC -> ( 4 ^ 0 ) = 1 )
56	54, 55	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- ( 4 ^ 0 ) = 1
57	53, 56	eqtri 2108	. . . . . 6 |- ( 4 ^ ( 1 - 1 ) ) = 1
58	57	oveq2i 5645	. . . . 5 |- ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( 1 - 1 ) ) ) = ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / 1 )
59	47	div1d 8221	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / 1 ) = ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) )
60	58, 59	syl5eq 2132	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( 1 - 1 ) ) ) = ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) )
61	51, 60	breqtrrd 3863	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( 1 - 1 ) ) ) )
62	38	adantr 270	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> F : NN --> RR+ )
63		peano2nn 8406	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN -> ( k + 1 ) e. NN )
64	63	adantl 271	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k + 1 ) e. NN )
65	62, 64	ffvelrnd 5419	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. RR+ )
66	65	rpred 9142	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. RR )
67	66	resqcld 10077	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) ^ 2 ) e. RR )
68	33	adantr 270	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> A e. RR )
69	67, 68	resubcld 7838	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) ^ 2 ) - A ) e. RR )
70	69	adantr 270	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) ^ 2 ) - A ) e. RR )
71	38	ffvelrnda 5418	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) e. RR+ )
72	71	rpred 9142	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) e. RR )
73	72	resqcld 10077	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( F ` k ) ^ 2 ) e. RR )
74	73, 68	resubcld 7838	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) e. RR )
75		4re 8470	. . . . . . . . . . . 12 |- 4 e. RR
76	75	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 4 e. RR )
77		4pos 8490	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 < 4
78	77	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 0 < 4 )
79	76, 78	elrpd 9140	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 4 e. RR+ )
80	74, 79	rerpdivcld 9174	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) / 4 ) e. RR )
81	80	adantr 270	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> ( ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) / 4 ) e. RR )
82	43	adantr 270	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) e. RR )
83		nnz 8739	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN -> k e. ZZ )
84		peano2zm 8758	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ZZ -> ( k - 1 ) e. ZZ )
85	83, 84	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN -> ( k - 1 ) e. ZZ )
86	85	adantl 271	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k - 1 ) e. ZZ )
87	79, 86	rpexpcld 10075	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( 4 ^ ( k - 1 ) ) e. RR+ )
88	82, 87	rerpdivcld 9174	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) e. RR )
89	88, 79	rerpdivcld 9174	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) / 4 ) e. RR )
90	89	adantr 270	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) / 4 ) e. RR )
91	36, 33, 37	resqrexlemcalc2 10413	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) / 4 ) )
92	91	adantr 270	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) / 4 ) )
93	74, 88, 79	lediv1d 9189	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) <-> ( ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) / 4 ) <_ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) / 4 ) ) )
94	93	biimpa 290	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> ( ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) / 4 ) <_ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) / 4 ) )
95	70, 81, 90, 92, 94	letrd 7586	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) / 4 ) )
96	47	ad2antrr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) e. CC )
97	87	adantr 270	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> ( 4 ^ ( k - 1 ) ) e. RR+ )
98	97	rpcnd 9144	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> ( 4 ^ ( k - 1 ) ) e. CC )
99	54	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> 4 e. CC )
100	97	rpap0d 9148	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> ( 4 ^ ( k - 1 ) ) # 0 )
101	79	adantr 270	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> 4 e. RR+ )
102	101	rpap0d 9148	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> 4 # 0 )
103	96, 98, 99, 100, 102	divdivap1d 8261	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) / 4 ) = ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( ( 4 ^ ( k - 1 ) ) x. 4 ) ) )
104		simpr 108	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. NN )
105	104	nncnd 8408	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. CC )
106		pncan1 7834	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. CC -> ( ( k + 1 ) - 1 ) = k )
107	105, 106	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( k + 1 ) - 1 ) = k )
108	107	oveq2d 5650	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( 4 ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) = ( 4 ^ k ) )
109	108	adantr 270	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> ( 4 ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) = ( 4 ^ k ) )
110		simplr 497	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> k e. NN )
111		expm1t 9948	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 4 e. CC /\ k e. NN ) -> ( 4 ^ k ) = ( ( 4 ^ ( k - 1 ) ) x. 4 ) )
112	54, 110, 111	sylancr 405	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> ( 4 ^ k ) = ( ( 4 ^ ( k - 1 ) ) x. 4 ) )
113	109, 112	eqtrd 2120	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> ( 4 ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) = ( ( 4 ^ ( k - 1 ) ) x. 4 ) )
114	113	oveq2d 5650	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) = ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( ( 4 ^ ( k - 1 ) ) x. 4 ) ) )
115	103, 114	eqtr4d 2123	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) / 4 ) = ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) )
116	95, 115	breqtrd 3861	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) )
117	116	ex 113	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) -> ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) )
118	117	expcom 114	. . . 4 |- ( k e. NN -> ( ph -> ( ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) -> ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) ) )
119	118	a2d 26	. . 3 |- ( k e. NN -> ( ( ph -> ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> ( ph -> ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) ) )
120	8, 16, 24, 32, 61, 119	nnind 8410	. 2 |- ( N e. NN -> ( ph -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
121	120	impcom 123	1 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   = wceq 1289   e. wcel 1438   {csn 3441   class class class wbr 3837   X. cxp 4426   -->wf 4998   ` cfv 5002  (class class class)co 5634   |-> cmpt2 5636   CCcc 7327   RRcr 7328   0cc0 7329   1c1 7330   + caddc 7332   x. cmul 7334   < clt 7501   <_ cle 7502   - cmin 7632   -ucneg 7633   / cdiv 8113   NNcn 8394   2c2 8444   4c4 8446   ZZcz 8720   RR+crp 9103   seqcseq 9817   ^cexp 9919

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulrcl 7423  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-precex 7434  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440  ax-pre-mulgt0 7441  ax-pre-mulext 7442

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-if 3390  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-iord 4184  df-on 4186  df-ilim 4187  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-recs 6052  df-frec 6138  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-reap 8028  df-ap 8035  df-div 8114  df-inn 8395  df-2 8452  df-3 8453  df-4 8454  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989  df-rp 9104  df-iseq 9818  df-seq3 9819  df-exp 9920

This theorem is referenced by:  resqrexlemnmsq  10415  resqrexlemga  10421