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Theorem resqrexlemcalc3 10414
Description: Lemma for resqrex 10424. Some of the calculations involved in showing that the sequence converges. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 29-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq  |-  F  =  seq 1 ( ( y  e.  RR+ ,  z  e.  RR+  |->  ( ( y  +  ( A  /  y ) )  /  2 ) ) ,  ( NN  X.  { ( 1  +  A ) } ) )
resqrexlemex.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
resqrexlemex.agt0  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
Assertion
Ref Expression
resqrexlemcalc3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  -  A )  <_ 
( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  /  (
4 ^ ( N  -  1 ) ) ) )
Distinct variable groups:    y, A, z    ph, y, z
Allowed substitution hints:    F( y, z)    N( y, z)

Proof of Theorem resqrexlemcalc3
Dummy variables  k  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5289 . . . . . . 7  |-  ( w  =  1  ->  ( F `  w )  =  ( F ` 
1 ) )
21oveq1d 5649 . . . . . 6  |-  ( w  =  1  ->  (
( F `  w
) ^ 2 )  =  ( ( F `
 1 ) ^
2 ) )
32oveq1d 5649 . . . . 5  |-  ( w  =  1  ->  (
( ( F `  w ) ^ 2 )  -  A )  =  ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  -  A ) )
4 oveq1 5641 . . . . . . 7  |-  ( w  =  1  ->  (
w  -  1 )  =  ( 1  -  1 ) )
54oveq2d 5650 . . . . . 6  |-  ( w  =  1  ->  (
4 ^ ( w  -  1 ) )  =  ( 4 ^ ( 1  -  1 ) ) )
65oveq2d 5650 . . . . 5  |-  ( w  =  1  ->  (
( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  /  ( 4 ^ ( w  - 
1 ) ) )  =  ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ (
1  -  1 ) ) ) )
73, 6breq12d 3850 . . . 4  |-  ( w  =  1  ->  (
( ( ( F `
 w ) ^
2 )  -  A
)  <_  ( (
( F `  1
) ^ 2 )  /  ( 4 ^ ( w  -  1 ) ) )  <->  ( (
( F `  1
) ^ 2 )  -  A )  <_ 
( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  /  (
4 ^ ( 1  -  1 ) ) ) ) )
87imbi2d 228 . . 3  |-  ( w  =  1  ->  (
( ph  ->  ( ( ( F `  w
) ^ 2 )  -  A )  <_ 
( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  /  (
4 ^ ( w  -  1 ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  -  A
)  <_  ( (
( F `  1
) ^ 2 )  /  ( 4 ^ ( 1  -  1 ) ) ) ) ) )
9 fveq2 5289 . . . . . . 7  |-  ( w  =  k  ->  ( F `  w )  =  ( F `  k ) )
109oveq1d 5649 . . . . . 6  |-  ( w  =  k  ->  (
( F `  w
) ^ 2 )  =  ( ( F `
 k ) ^
2 ) )
1110oveq1d 5649 . . . . 5  |-  ( w  =  k  ->  (
( ( F `  w ) ^ 2 )  -  A )  =  ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A ) )
12 oveq1 5641 . . . . . . 7  |-  ( w  =  k  ->  (
w  -  1 )  =  ( k  - 
1 ) )
1312oveq2d 5650 . . . . . 6  |-  ( w  =  k  ->  (
4 ^ ( w  -  1 ) )  =  ( 4 ^ ( k  -  1 ) ) )
1413oveq2d 5650 . . . . 5  |-  ( w  =  k  ->  (
( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  /  ( 4 ^ ( w  - 
1 ) ) )  =  ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ (
k  -  1 ) ) ) )
1511, 14breq12d 3850 . . . 4  |-  ( w  =  k  ->  (
( ( ( F `
 w ) ^
2 )  -  A
)  <_  ( (
( F `  1
) ^ 2 )  /  ( 4 ^ ( w  -  1 ) ) )  <->  ( (
( F `  k
) ^ 2 )  -  A )  <_ 
( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  /  (
4 ^ ( k  -  1 ) ) ) ) )
1615imbi2d 228 . . 3  |-  ( w  =  k  ->  (
( ph  ->  ( ( ( F `  w
) ^ 2 )  -  A )  <_ 
( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  /  (
4 ^ ( w  -  1 ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( ( ( F `
 k ) ^
2 )  -  A
)  <_  ( (
( F `  1
) ^ 2 )  /  ( 4 ^ ( k  -  1 ) ) ) ) ) )
17 fveq2 5289 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  ( F `  w )  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
1817oveq1d 5649 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  (
( F `  w
) ^ 2 )  =  ( ( F `
 ( k  +  1 ) ) ^
2 ) )
1918oveq1d 5649 . . . . 5  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( F `  w ) ^ 2 )  -  A )  =  ( ( ( F `  ( k  +  1 ) ) ^ 2 )  -  A ) )
20 oveq1 5641 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  (
w  -  1 )  =  ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )
2120oveq2d 5650 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  (
4 ^ ( w  -  1 ) )  =  ( 4 ^ ( ( k  +  1 )  -  1 ) ) )
2221oveq2d 5650 . . . . 5  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  /  ( 4 ^ ( w  - 
1 ) ) )  =  ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ (
( k  +  1 )  -  1 ) ) ) )
2319, 22breq12d 3850 . . . 4  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( ( F `
 w ) ^
2 )  -  A
)  <_  ( (
( F `  1
) ^ 2 )  /  ( 4 ^ ( w  -  1 ) ) )  <->  ( (
( F `  (
k  +  1 ) ) ^ 2 )  -  A )  <_ 
( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  /  (
4 ^ ( ( k  +  1 )  -  1 ) ) ) ) )
2423imbi2d 228 . . 3  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ph  ->  ( ( ( F `  w
) ^ 2 )  -  A )  <_ 
( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  /  (
4 ^ ( w  -  1 ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( ( ( F `
 ( k  +  1 ) ) ^
2 )  -  A
)  <_  ( (
( F `  1
) ^ 2 )  /  ( 4 ^ ( ( k  +  1 )  -  1 ) ) ) ) ) )
25 fveq2 5289 . . . . . . 7  |-  ( w  =  N  ->  ( F `  w )  =  ( F `  N ) )
2625oveq1d 5649 . . . . . 6  |-  ( w  =  N  ->  (
( F `  w
) ^ 2 )  =  ( ( F `
 N ) ^
2 ) )
2726oveq1d 5649 . . . . 5  |-  ( w  =  N  ->  (
( ( F `  w ) ^ 2 )  -  A )  =  ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  A ) )
28 oveq1 5641 . . . . . . 7  |-  ( w  =  N  ->  (
w  -  1 )  =  ( N  - 
1 ) )
2928oveq2d 5650 . . . . . 6  |-  ( w  =  N  ->  (
4 ^ ( w  -  1 ) )  =  ( 4 ^ ( N  -  1 ) ) )
3029oveq2d 5650 . . . . 5  |-  ( w  =  N  ->  (
( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  /  ( 4 ^ ( w  - 
1 ) ) )  =  ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ ( N  -  1 ) ) ) )
3127, 30breq12d 3850 . . . 4  |-  ( w  =  N  ->  (
( ( ( F `
 w ) ^
2 )  -  A
)  <_  ( (
( F `  1
) ^ 2 )  /  ( 4 ^ ( w  -  1 ) ) )  <->  ( (
( F `  N
) ^ 2 )  -  A )  <_ 
( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  /  (
4 ^ ( N  -  1 ) ) ) ) )
3231imbi2d 228 . . 3  |-  ( w  =  N  ->  (
( ph  ->  ( ( ( F `  w
) ^ 2 )  -  A )  <_ 
( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  /  (
4 ^ ( w  -  1 ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( ( ( F `
 N ) ^
2 )  -  A
)  <_  ( (
( F `  1
) ^ 2 )  /  ( 4 ^ ( N  -  1 ) ) ) ) ) )
33 resqrexlemex.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
3433renegcld 7837 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
-u A  e.  RR )
35 0red 7468 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
36 resqrexlemex.seq . . . . . . . . . 10  |-  F  =  seq 1 ( ( y  e.  RR+ ,  z  e.  RR+  |->  ( ( y  +  ( A  /  y ) )  /  2 ) ) ,  ( NN  X.  { ( 1  +  A ) } ) )
37 resqrexlemex.agt0 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
3836, 33, 37resqrexlemf 10405 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR+ )
39 1nn 8405 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  NN
4039a1i 9 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  e.  NN )
4138, 40ffvelrnd 5419 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  e.  RR+ )
4241rpred 9142 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  e.  RR )
4342resqcld 10077 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  e.  RR )
4433le0neg2d 7972 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  A  <->  -u A  <_  0 ) )
4537, 44mpbid 145 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
-u A  <_  0
)
4634, 35, 43, 45leadd2dd 8013 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  +  -u A )  <_  (
( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  +  0 ) )
4743recnd 7495 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  e.  CC )
4833recnd 7495 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
4947, 48negsubd 7778 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  +  -u A )  =  ( ( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  -  A ) )
5047addid1d 7610 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  +  0 )  =  ( ( F `  1 ) ^ 2 ) )
5146, 49, 503brtr3d 3866 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  -  A
)  <_  ( ( F `  1 ) ^ 2 ) )
52 1m1e0 8462 . . . . . . . 8  |-  ( 1  -  1 )  =  0
5352oveq2i 5645 . . . . . . 7  |-  ( 4 ^ ( 1  -  1 ) )  =  ( 4 ^ 0 )
54 4cn 8471 . . . . . . . 8  |-  4  e.  CC
55 exp0 9924 . . . . . . . 8  |-  ( 4  e.  CC  ->  (
4 ^ 0 )  =  1 )
5654, 55ax-mp 7 . . . . . . 7  |-  ( 4 ^ 0 )  =  1
5753, 56eqtri 2108 . . . . . 6  |-  ( 4 ^ ( 1  -  1 ) )  =  1
5857oveq2i 5645 . . . . 5  |-  ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  ( 4 ^ ( 1  -  1 ) ) )  =  ( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  /  1
)
5947div1d 8221 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  /  1
)  =  ( ( F `  1 ) ^ 2 ) )
6058, 59syl5eq 2132 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  /  (
4 ^ ( 1  -  1 ) ) )  =  ( ( F `  1 ) ^ 2 ) )
6151, 60breqtrrd 3863 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  -  A
)  <_  ( (
( F `  1
) ^ 2 )  /  ( 4 ^ ( 1  -  1 ) ) ) )
6238adantr 270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  F : NN
--> RR+ )
63 peano2nn 8406 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
6463adantl 271 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  1 )  e.  NN )
6562, 64ffvelrnd 5419 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 ( k  +  1 ) )  e.  RR+ )
6665rpred 9142 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 ( k  +  1 ) )  e.  RR )
6766resqcld 10077 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  ( k  +  1 ) ) ^ 2 )  e.  RR )
6833adantr 270 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  RR )
6967, 68resubcld 7838 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  (
k  +  1 ) ) ^ 2 )  -  A )  e.  RR )
7069adantr 270 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A )  <_  ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ (
k  -  1 ) ) ) )  -> 
( ( ( F `
 ( k  +  1 ) ) ^
2 )  -  A
)  e.  RR )
7138ffvelrnda 5418 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  e.  RR+ )
7271rpred 9142 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  e.  RR )
7372resqcld 10077 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  k ) ^ 2 )  e.  RR )
7473, 68resubcld 7838 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  k
) ^ 2 )  -  A )  e.  RR )
75 4re 8470 . . . . . . . . . . . 12  |-  4  e.  RR
7675a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  4  e.  RR )
77 4pos 8490 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  4
7877a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  <  4 )
7976, 78elrpd 9140 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  4  e.  RR+ )
8074, 79rerpdivcld 9174 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A )  /  4 )  e.  RR )
8180adantr 270 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A )  <_  ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ (
k  -  1 ) ) ) )  -> 
( ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A )  /  4
)  e.  RR )
8243adantr 270 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  1 ) ^ 2 )  e.  RR )
83 nnz 8739 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  ZZ )
84 peano2zm 8758 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
k  -  1 )  e.  ZZ )
8583, 84syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  -  1 )  e.  ZZ )
8685adantl 271 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  -  1 )  e.  ZZ )
8779, 86rpexpcld 10075 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 4 ^ ( k  - 
1 ) )  e.  RR+ )
8882, 87rerpdivcld 9174 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  ( 4 ^ ( k  -  1 ) ) )  e.  RR )
8988, 79rerpdivcld 9174 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  /  ( 4 ^ ( k  - 
1 ) ) )  /  4 )  e.  RR )
9089adantr 270 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A )  <_  ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ (
k  -  1 ) ) ) )  -> 
( ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ (
k  -  1 ) ) )  /  4
)  e.  RR )
9136, 33, 37resqrexlemcalc2 10413 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  (
k  +  1 ) ) ^ 2 )  -  A )  <_ 
( ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A )  /  4
) )
9291adantr 270 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A )  <_  ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ (
k  -  1 ) ) ) )  -> 
( ( ( F `
 ( k  +  1 ) ) ^
2 )  -  A
)  <_  ( (
( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A )  /  4 ) )
9374, 88, 79lediv1d 9189 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A )  <_  ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ (
k  -  1 ) ) )  <->  ( (
( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A )  /  4 )  <_ 
( ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ (
k  -  1 ) ) )  /  4
) ) )
9493biimpa 290 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A )  <_  ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ (
k  -  1 ) ) ) )  -> 
( ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A )  /  4
)  <_  ( (
( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  /  ( 4 ^ ( k  - 
1 ) ) )  /  4 ) )
9570, 81, 90, 92, 94letrd 7586 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A )  <_  ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ (
k  -  1 ) ) ) )  -> 
( ( ( F `
 ( k  +  1 ) ) ^
2 )  -  A
)  <_  ( (
( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  /  ( 4 ^ ( k  - 
1 ) ) )  /  4 ) )
9647ad2antrr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A )  <_  ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ (
k  -  1 ) ) ) )  -> 
( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  e.  CC )
9787adantr 270 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A )  <_  ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ (
k  -  1 ) ) ) )  -> 
( 4 ^ (
k  -  1 ) )  e.  RR+ )
9897rpcnd 9144 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A )  <_  ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ (
k  -  1 ) ) ) )  -> 
( 4 ^ (
k  -  1 ) )  e.  CC )
9954a1i 9 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A )  <_  ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ (
k  -  1 ) ) ) )  -> 
4  e.  CC )
10097rpap0d 9148 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A )  <_  ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ (
k  -  1 ) ) ) )  -> 
( 4 ^ (
k  -  1 ) ) #  0 )
10179adantr 270 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A )  <_  ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ (
k  -  1 ) ) ) )  -> 
4  e.  RR+ )
102101rpap0d 9148 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A )  <_  ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ (
k  -  1 ) ) ) )  -> 
4 #  0 )
10396, 98, 99, 100, 102divdivap1d 8261 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A )  <_  ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ (
k  -  1 ) ) ) )  -> 
( ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ (
k  -  1 ) ) )  /  4
)  =  ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  ( ( 4 ^ ( k  - 
1 ) )  x.  4 ) ) )
104 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
105104nncnd 8408 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  CC )
106 pncan1 7834 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  CC  ->  (
( k  +  1 )  -  1 )  =  k )
107105, 106syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( k  +  1 )  -  1 )  =  k )
108107oveq2d 5650 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 4 ^ ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( 4 ^ k
) )
109108adantr 270 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A )  <_  ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ (
k  -  1 ) ) ) )  -> 
( 4 ^ (
( k  +  1 )  -  1 ) )  =  ( 4 ^ k ) )
110 simplr 497 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A )  <_  ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ (
k  -  1 ) ) ) )  -> 
k  e.  NN )
111 expm1t 9948 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 4  e.  CC  /\  k  e.  NN )  ->  ( 4 ^ k
)  =  ( ( 4 ^ ( k  -  1 ) )  x.  4 ) )
11254, 110, 111sylancr 405 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A )  <_  ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ (
k  -  1 ) ) ) )  -> 
( 4 ^ k
)  =  ( ( 4 ^ ( k  -  1 ) )  x.  4 ) )
113109, 112eqtrd 2120 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A )  <_  ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ (
k  -  1 ) ) ) )  -> 
( 4 ^ (
( k  +  1 )  -  1 ) )  =  ( ( 4 ^ ( k  -  1 ) )  x.  4 ) )
114113oveq2d 5650 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A )  <_  ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ (
k  -  1 ) ) ) )  -> 
( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  /  (
4 ^ ( ( k  +  1 )  -  1 ) ) )  =  ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  ( ( 4 ^ ( k  - 
1 ) )  x.  4 ) ) )
115103, 114eqtr4d 2123 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A )  <_  ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ (
k  -  1 ) ) ) )  -> 
( ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ (
k  -  1 ) ) )  /  4
)  =  ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  ( 4 ^ ( ( k  +  1 )  -  1 ) ) ) )
11695, 115breqtrd 3861 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A )  <_  ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ (
k  -  1 ) ) ) )  -> 
( ( ( F `
 ( k  +  1 ) ) ^
2 )  -  A
)  <_  ( (
( F `  1
) ^ 2 )  /  ( 4 ^ ( ( k  +  1 )  -  1 ) ) ) )
117116ex 113 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A )  <_  ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ (
k  -  1 ) ) )  ->  (
( ( F `  ( k  +  1 ) ) ^ 2 )  -  A )  <_  ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ (
( k  +  1 )  -  1 ) ) ) ) )
118117expcom 114 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  ->  ( ph  ->  ( ( ( ( F `  k
) ^ 2 )  -  A )  <_ 
( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  /  (
4 ^ ( k  -  1 ) ) )  ->  ( (
( F `  (
k  +  1 ) ) ^ 2 )  -  A )  <_ 
( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  /  (
4 ^ ( ( k  +  1 )  -  1 ) ) ) ) ) )
119118a2d 26 . . 3  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ph  ->  ( ( ( F `  k
) ^ 2 )  -  A )  <_ 
( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  /  (
4 ^ ( k  -  1 ) ) ) )  ->  ( ph  ->  ( ( ( F `  ( k  +  1 ) ) ^ 2 )  -  A )  <_  (
( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  /  ( 4 ^ ( ( k  +  1 )  - 
1 ) ) ) ) ) )
1208, 16, 24, 32, 61, 119nnind 8410 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ph  ->  ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  A )  <_  (
( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  /  ( 4 ^ ( N  - 
1 ) ) ) ) )
121120impcom 123 1  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  -  A )  <_ 
( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  /  (
4 ^ ( N  -  1 ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1289    e. wcel 1438   {csn 3441   class class class wbr 3837    X. cxp 4426   -->wf 4998   ` cfv 5002  (class class class)co 5634    |-> cmpt2 5636   CCcc 7327   RRcr 7328   0cc0 7329   1c1 7330    + caddc 7332    x. cmul 7334    < clt 7501    <_ cle 7502    - cmin 7632   -ucneg 7633    / cdiv 8113   NNcn 8394   2c2 8444   4c4 8446   ZZcz 8720   RR+crp 9103    seqcseq 9817   ^cexp 9919
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulrcl 7423  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-precex 7434  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440  ax-pre-mulgt0 7441  ax-pre-mulext 7442
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-if 3390  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-iord 4184  df-on 4186  df-ilim 4187  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-recs 6052  df-frec 6138  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-reap 8028  df-ap 8035  df-div 8114  df-inn 8395  df-2 8452  df-3 8453  df-4 8454  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989  df-rp 9104  df-iseq 9818  df-seq3 9819  df-exp 9920
This theorem is referenced by:  resqrexlemnmsq  10415  resqrexlemga  10421
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