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Theorem resqrexlemcalc3 10739
Description: Lemma for resqrex 10749. Some of the calculations involved in showing that the sequence converges. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 29-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq  |-  F  =  seq 1 ( ( y  e.  RR+ ,  z  e.  RR+  |->  ( ( y  +  ( A  /  y ) )  /  2 ) ) ,  ( NN  X.  { ( 1  +  A ) } ) )
resqrexlemex.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
resqrexlemex.agt0  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
Assertion
Ref Expression
resqrexlemcalc3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  -  A )  <_ 
( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  /  (
4 ^ ( N  -  1 ) ) ) )
Distinct variable groups:    y, A, z    ph, y, z
Allowed substitution hints:    F( y, z)    N( y, z)

Proof of Theorem resqrexlemcalc3
Dummy variables  k  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5387 . . . . . . 7  |-  ( w  =  1  ->  ( F `  w )  =  ( F ` 
1 ) )
21oveq1d 5755 . . . . . 6  |-  ( w  =  1  ->  (
( F `  w
) ^ 2 )  =  ( ( F `
 1 ) ^
2 ) )
32oveq1d 5755 . . . . 5  |-  ( w  =  1  ->  (
( ( F `  w ) ^ 2 )  -  A )  =  ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  -  A ) )
4 oveq1 5747 . . . . . . 7  |-  ( w  =  1  ->  (
w  -  1 )  =  ( 1  -  1 ) )
54oveq2d 5756 . . . . . 6  |-  ( w  =  1  ->  (
4 ^ ( w  -  1 ) )  =  ( 4 ^ ( 1  -  1 ) ) )
65oveq2d 5756 . . . . 5  |-  ( w  =  1  ->  (
( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  /  ( 4 ^ ( w  - 
1 ) ) )  =  ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ (
1  -  1 ) ) ) )
73, 6breq12d 3910 . . . 4  |-  ( w  =  1  ->  (
( ( ( F `
 w ) ^
2 )  -  A
)  <_  ( (
( F `  1
) ^ 2 )  /  ( 4 ^ ( w  -  1 ) ) )  <->  ( (
( F `  1
) ^ 2 )  -  A )  <_ 
( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  /  (
4 ^ ( 1  -  1 ) ) ) ) )
87imbi2d 229 . . 3  |-  ( w  =  1  ->  (
( ph  ->  ( ( ( F `  w
) ^ 2 )  -  A )  <_ 
( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  /  (
4 ^ ( w  -  1 ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  -  A
)  <_  ( (
( F `  1
) ^ 2 )  /  ( 4 ^ ( 1  -  1 ) ) ) ) ) )
9 fveq2 5387 . . . . . . 7  |-  ( w  =  k  ->  ( F `  w )  =  ( F `  k ) )
109oveq1d 5755 . . . . . 6  |-  ( w  =  k  ->  (
( F `  w
) ^ 2 )  =  ( ( F `
 k ) ^
2 ) )
1110oveq1d 5755 . . . . 5  |-  ( w  =  k  ->  (
( ( F `  w ) ^ 2 )  -  A )  =  ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A ) )
12 oveq1 5747 . . . . . . 7  |-  ( w  =  k  ->  (
w  -  1 )  =  ( k  - 
1 ) )
1312oveq2d 5756 . . . . . 6  |-  ( w  =  k  ->  (
4 ^ ( w  -  1 ) )  =  ( 4 ^ ( k  -  1 ) ) )
1413oveq2d 5756 . . . . 5  |-  ( w  =  k  ->  (
( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  /  ( 4 ^ ( w  - 
1 ) ) )  =  ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ (
k  -  1 ) ) ) )
1511, 14breq12d 3910 . . . 4  |-  ( w  =  k  ->  (
( ( ( F `
 w ) ^
2 )  -  A
)  <_  ( (
( F `  1
) ^ 2 )  /  ( 4 ^ ( w  -  1 ) ) )  <->  ( (
( F `  k
) ^ 2 )  -  A )  <_ 
( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  /  (
4 ^ ( k  -  1 ) ) ) ) )
1615imbi2d 229 . . 3  |-  ( w  =  k  ->  (
( ph  ->  ( ( ( F `  w
) ^ 2 )  -  A )  <_ 
( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  /  (
4 ^ ( w  -  1 ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( ( ( F `
 k ) ^
2 )  -  A
)  <_  ( (
( F `  1
) ^ 2 )  /  ( 4 ^ ( k  -  1 ) ) ) ) ) )
17 fveq2 5387 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  ( F `  w )  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
1817oveq1d 5755 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  (
( F `  w
) ^ 2 )  =  ( ( F `
 ( k  +  1 ) ) ^
2 ) )
1918oveq1d 5755 . . . . 5  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( F `  w ) ^ 2 )  -  A )  =  ( ( ( F `  ( k  +  1 ) ) ^ 2 )  -  A ) )
20 oveq1 5747 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  (
w  -  1 )  =  ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )
2120oveq2d 5756 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  (
4 ^ ( w  -  1 ) )  =  ( 4 ^ ( ( k  +  1 )  -  1 ) ) )
2221oveq2d 5756 . . . . 5  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  /  ( 4 ^ ( w  - 
1 ) ) )  =  ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ (
( k  +  1 )  -  1 ) ) ) )
2319, 22breq12d 3910 . . . 4  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( ( F `
 w ) ^
2 )  -  A
)  <_  ( (
( F `  1
) ^ 2 )  /  ( 4 ^ ( w  -  1 ) ) )  <->  ( (
( F `  (
k  +  1 ) ) ^ 2 )  -  A )  <_ 
( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  /  (
4 ^ ( ( k  +  1 )  -  1 ) ) ) ) )
2423imbi2d 229 . . 3  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ph  ->  ( ( ( F `  w
) ^ 2 )  -  A )  <_ 
( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  /  (
4 ^ ( w  -  1 ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( ( ( F `
 ( k  +  1 ) ) ^
2 )  -  A
)  <_  ( (
( F `  1
) ^ 2 )  /  ( 4 ^ ( ( k  +  1 )  -  1 ) ) ) ) ) )
25 fveq2 5387 . . . . . . 7  |-  ( w  =  N  ->  ( F `  w )  =  ( F `  N ) )
2625oveq1d 5755 . . . . . 6  |-  ( w  =  N  ->  (
( F `  w
) ^ 2 )  =  ( ( F `
 N ) ^
2 ) )
2726oveq1d 5755 . . . . 5  |-  ( w  =  N  ->  (
( ( F `  w ) ^ 2 )  -  A )  =  ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  A ) )
28 oveq1 5747 . . . . . . 7  |-  ( w  =  N  ->  (
w  -  1 )  =  ( N  - 
1 ) )
2928oveq2d 5756 . . . . . 6  |-  ( w  =  N  ->  (
4 ^ ( w  -  1 ) )  =  ( 4 ^ ( N  -  1 ) ) )
3029oveq2d 5756 . . . . 5  |-  ( w  =  N  ->  (
( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  /  ( 4 ^ ( w  - 
1 ) ) )  =  ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ ( N  -  1 ) ) ) )
3127, 30breq12d 3910 . . . 4  |-  ( w  =  N  ->  (
( ( ( F `
 w ) ^
2 )  -  A
)  <_  ( (
( F `  1
) ^ 2 )  /  ( 4 ^ ( w  -  1 ) ) )  <->  ( (
( F `  N
) ^ 2 )  -  A )  <_ 
( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  /  (
4 ^ ( N  -  1 ) ) ) ) )
3231imbi2d 229 . . 3  |-  ( w  =  N  ->  (
( ph  ->  ( ( ( F `  w
) ^ 2 )  -  A )  <_ 
( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  /  (
4 ^ ( w  -  1 ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( ( ( F `
 N ) ^
2 )  -  A
)  <_  ( (
( F `  1
) ^ 2 )  /  ( 4 ^ ( N  -  1 ) ) ) ) ) )
33 resqrexlemex.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
3433renegcld 8106 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
-u A  e.  RR )
35 0red 7731 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
36 resqrexlemex.seq . . . . . . . . . 10  |-  F  =  seq 1 ( ( y  e.  RR+ ,  z  e.  RR+  |->  ( ( y  +  ( A  /  y ) )  /  2 ) ) ,  ( NN  X.  { ( 1  +  A ) } ) )
37 resqrexlemex.agt0 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
3836, 33, 37resqrexlemf 10730 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR+ )
39 1nn 8691 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  NN
4039a1i 9 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  e.  NN )
4138, 40ffvelrnd 5522 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  e.  RR+ )
4241rpred 9434 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  e.  RR )
4342resqcld 10401 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  e.  RR )
4433le0neg2d 8244 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  A  <->  -u A  <_  0 ) )
4537, 44mpbid 146 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
-u A  <_  0
)
4634, 35, 43, 45leadd2dd 8285 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  +  -u A )  <_  (
( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  +  0 ) )
4743recnd 7758 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  e.  CC )
4833recnd 7758 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
4947, 48negsubd 8043 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  +  -u A )  =  ( ( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  -  A ) )
5047addid1d 7875 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  +  0 )  =  ( ( F `  1 ) ^ 2 ) )
5146, 49, 503brtr3d 3927 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  -  A
)  <_  ( ( F `  1 ) ^ 2 ) )
52 1m1e0 8749 . . . . . . . 8  |-  ( 1  -  1 )  =  0
5352oveq2i 5751 . . . . . . 7  |-  ( 4 ^ ( 1  -  1 ) )  =  ( 4 ^ 0 )
54 4cn 8758 . . . . . . . 8  |-  4  e.  CC
55 exp0 10248 . . . . . . . 8  |-  ( 4  e.  CC  ->  (
4 ^ 0 )  =  1 )
5654, 55ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( 4 ^ 0 )  =  1
5753, 56eqtri 2136 . . . . . 6  |-  ( 4 ^ ( 1  -  1 ) )  =  1
5857oveq2i 5751 . . . . 5  |-  ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  ( 4 ^ ( 1  -  1 ) ) )  =  ( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  /  1
)
5947div1d 8503 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  /  1
)  =  ( ( F `  1 ) ^ 2 ) )
6058, 59syl5eq 2160 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  /  (
4 ^ ( 1  -  1 ) ) )  =  ( ( F `  1 ) ^ 2 ) )
6151, 60breqtrrd 3924 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  -  A
)  <_  ( (
( F `  1
) ^ 2 )  /  ( 4 ^ ( 1  -  1 ) ) ) )
6238adantr 272 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  F : NN
--> RR+ )
63 peano2nn 8692 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
6463adantl 273 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  1 )  e.  NN )
6562, 64ffvelrnd 5522 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 ( k  +  1 ) )  e.  RR+ )
6665rpred 9434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 ( k  +  1 ) )  e.  RR )
6766resqcld 10401 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  ( k  +  1 ) ) ^ 2 )  e.  RR )
6833adantr 272 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  RR )
6967, 68resubcld 8107 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  (
k  +  1 ) ) ^ 2 )  -  A )  e.  RR )
7069adantr 272 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A )  <_  ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ (
k  -  1 ) ) ) )  -> 
( ( ( F `
 ( k  +  1 ) ) ^
2 )  -  A
)  e.  RR )
7138ffvelrnda 5521 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  e.  RR+ )
7271rpred 9434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  e.  RR )
7372resqcld 10401 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  k ) ^ 2 )  e.  RR )
7473, 68resubcld 8107 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  k
) ^ 2 )  -  A )  e.  RR )
75 4re 8757 . . . . . . . . . . . 12  |-  4  e.  RR
7675a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  4  e.  RR )
77 4pos 8777 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  4
7877a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  <  4 )
7976, 78elrpd 9432 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  4  e.  RR+ )
8074, 79rerpdivcld 9466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A )  /  4 )  e.  RR )
8180adantr 272 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A )  <_  ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ (
k  -  1 ) ) ) )  -> 
( ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A )  /  4
)  e.  RR )
8243adantr 272 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  1 ) ^ 2 )  e.  RR )
83 nnz 9027 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  ZZ )
84 peano2zm 9046 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
k  -  1 )  e.  ZZ )
8583, 84syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  -  1 )  e.  ZZ )
8685adantl 273 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  -  1 )  e.  ZZ )
8779, 86rpexpcld 10399 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 4 ^ ( k  - 
1 ) )  e.  RR+ )
8882, 87rerpdivcld 9466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  ( 4 ^ ( k  -  1 ) ) )  e.  RR )
8988, 79rerpdivcld 9466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  /  ( 4 ^ ( k  - 
1 ) ) )  /  4 )  e.  RR )
9089adantr 272 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A )  <_  ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ (
k  -  1 ) ) ) )  -> 
( ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ (
k  -  1 ) ) )  /  4
)  e.  RR )
9136, 33, 37resqrexlemcalc2 10738 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  (
k  +  1 ) ) ^ 2 )  -  A )  <_ 
( ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A )  /  4
) )
9291adantr 272 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A )  <_  ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ (
k  -  1 ) ) ) )  -> 
( ( ( F `
 ( k  +  1 ) ) ^
2 )  -  A
)  <_  ( (
( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A )  /  4 ) )
9374, 88, 79lediv1d 9481 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A )  <_  ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ (
k  -  1 ) ) )  <->  ( (
( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A )  /  4 )  <_ 
( ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ (
k  -  1 ) ) )  /  4
) ) )
9493biimpa 292 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A )  <_  ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ (
k  -  1 ) ) ) )  -> 
( ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A )  /  4
)  <_  ( (
( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  /  ( 4 ^ ( k  - 
1 ) ) )  /  4 ) )
9570, 81, 90, 92, 94letrd 7850 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A )  <_  ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ (
k  -  1 ) ) ) )  -> 
( ( ( F `
 ( k  +  1 ) ) ^
2 )  -  A
)  <_  ( (
( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  /  ( 4 ^ ( k  - 
1 ) ) )  /  4 ) )
9647ad2antrr 477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A )  <_  ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ (
k  -  1 ) ) ) )  -> 
( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  e.  CC )
9787adantr 272 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A )  <_  ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ (
k  -  1 ) ) ) )  -> 
( 4 ^ (
k  -  1 ) )  e.  RR+ )
9897rpcnd 9436 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A )  <_  ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ (
k  -  1 ) ) ) )  -> 
( 4 ^ (
k  -  1 ) )  e.  CC )
9954a1i 9 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A )  <_  ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ (
k  -  1 ) ) ) )  -> 
4  e.  CC )
10097rpap0d 9440 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A )  <_  ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ (
k  -  1 ) ) ) )  -> 
( 4 ^ (
k  -  1 ) ) #  0 )
10179adantr 272 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A )  <_  ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ (
k  -  1 ) ) ) )  -> 
4  e.  RR+ )
102101rpap0d 9440 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A )  <_  ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ (
k  -  1 ) ) ) )  -> 
4 #  0 )
10396, 98, 99, 100, 102divdivap1d 8545 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A )  <_  ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ (
k  -  1 ) ) ) )  -> 
( ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ (
k  -  1 ) ) )  /  4
)  =  ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  ( ( 4 ^ ( k  - 
1 ) )  x.  4 ) ) )
104 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
105104nncnd 8694 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  CC )
106 pncan1 8103 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  CC  ->  (
( k  +  1 )  -  1 )  =  k )
107105, 106syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( k  +  1 )  -  1 )  =  k )
108107oveq2d 5756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 4 ^ ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( 4 ^ k
) )
109108adantr 272 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A )  <_  ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ (
k  -  1 ) ) ) )  -> 
( 4 ^ (
( k  +  1 )  -  1 ) )  =  ( 4 ^ k ) )
110 simplr 502 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A )  <_  ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ (
k  -  1 ) ) ) )  -> 
k  e.  NN )
111 expm1t 10272 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 4  e.  CC  /\  k  e.  NN )  ->  ( 4 ^ k
)  =  ( ( 4 ^ ( k  -  1 ) )  x.  4 ) )
11254, 110, 111sylancr 408 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A )  <_  ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ (
k  -  1 ) ) ) )  -> 
( 4 ^ k
)  =  ( ( 4 ^ ( k  -  1 ) )  x.  4 ) )
113109, 112eqtrd 2148 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A )  <_  ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ (
k  -  1 ) ) ) )  -> 
( 4 ^ (
( k  +  1 )  -  1 ) )  =  ( ( 4 ^ ( k  -  1 ) )  x.  4 ) )
114113oveq2d 5756 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A )  <_  ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ (
k  -  1 ) ) ) )  -> 
( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  /  (
4 ^ ( ( k  +  1 )  -  1 ) ) )  =  ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  ( ( 4 ^ ( k  - 
1 ) )  x.  4 ) ) )
115103, 114eqtr4d 2151 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A )  <_  ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ (
k  -  1 ) ) ) )  -> 
( ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ (
k  -  1 ) ) )  /  4
)  =  ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  ( 4 ^ ( ( k  +  1 )  -  1 ) ) ) )
11695, 115breqtrd 3922 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A )  <_  ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ (
k  -  1 ) ) ) )  -> 
( ( ( F `
 ( k  +  1 ) ) ^
2 )  -  A
)  <_  ( (
( F `  1
) ^ 2 )  /  ( 4 ^ ( ( k  +  1 )  -  1 ) ) ) )
117116ex 114 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A )  <_  ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ (
k  -  1 ) ) )  ->  (
( ( F `  ( k  +  1 ) ) ^ 2 )  -  A )  <_  ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ (
( k  +  1 )  -  1 ) ) ) ) )
118117expcom 115 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  ->  ( ph  ->  ( ( ( ( F `  k
) ^ 2 )  -  A )  <_ 
( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  /  (
4 ^ ( k  -  1 ) ) )  ->  ( (
( F `  (
k  +  1 ) ) ^ 2 )  -  A )  <_ 
( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  /  (
4 ^ ( ( k  +  1 )  -  1 ) ) ) ) ) )
119118a2d 26 . . 3  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ph  ->  ( ( ( F `  k
) ^ 2 )  -  A )  <_ 
( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  /  (
4 ^ ( k  -  1 ) ) ) )  ->  ( ph  ->  ( ( ( F `  ( k  +  1 ) ) ^ 2 )  -  A )  <_  (
( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  /  ( 4 ^ ( ( k  +  1 )  - 
1 ) ) ) ) ) )
1208, 16, 24, 32, 61, 119nnind 8696 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ph  ->  ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  A )  <_  (
( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  /  ( 4 ^ ( N  - 
1 ) ) ) ) )
121120impcom 124 1  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  -  A )  <_ 
( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  /  (
4 ^ ( N  -  1 ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1314    e. wcel 1463   {csn 3495   class class class wbr 3897    X. cxp 4505   -->wf 5087   ` cfv 5091  (class class class)co 5740    e. cmpo 5742   CCcc 7582   RRcr 7583   0cc0 7584   1c1 7585    + caddc 7587    x. cmul 7589    < clt 7764    <_ cle 7765    - cmin 7897   -ucneg 7898    / cdiv 8395   NNcn 8680   2c2 8731   4c4 8733   ZZcz 9008   RR+crp 9393    seqcseq 10169   ^cexp 10243
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-frec 6254  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8396  df-inn 8681  df-2 8739  df-3 8740  df-4 8741  df-n0 8932  df-z 9009  df-uz 9279  df-rp 9394  df-seqfrec 10170  df-exp 10244
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