Theorem resqrexlemcalc3 11163

Description: Lemma for resqrex 11173. Some of the calculations involved in showing that the sequence converges. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 29-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	|- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
resqrexlemex.a	|- ( ph -> A e. RR )
resqrexlemex.agt0	|- ( ph -> 0 <_ A )

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemcalc3	|- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) )

Distinct variable groups:   y, A, z   ph, y, z

Allowed substitution hints:   F( y, z)   N( y, z)

Proof of Theorem resqrexlemcalc3

Dummy variables k w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5555	. . . . . . 7 |- ( w = 1 -> ( F ` w ) = ( F ` 1 ) )
2	1	oveq1d 5934	. . . . . 6 |- ( w = 1 -> ( ( F ` w ) ^ 2 ) = ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) )
3	2	oveq1d 5934	. . . . 5 |- ( w = 1 -> ( ( ( F ` w ) ^ 2 ) - A ) = ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) - A ) )
4		oveq1 5926	. . . . . . 7 |- ( w = 1 -> ( w - 1 ) = ( 1 - 1 ) )
5	4	oveq2d 5935	. . . . . 6 |- ( w = 1 -> ( 4 ^ ( w - 1 ) ) = ( 4 ^ ( 1 - 1 ) ) )
6	5	oveq2d 5935	. . . . 5 |- ( w = 1 -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( w - 1 ) ) ) = ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( 1 - 1 ) ) ) )
7	3, 6	breq12d 4043	. . . 4 |- ( w = 1 -> ( ( ( ( F ` w ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( w - 1 ) ) ) <-> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( 1 - 1 ) ) ) ) )
8	7	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = 1 -> ( ( ph -> ( ( ( F ` w ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( w - 1 ) ) ) ) <-> ( ph -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( 1 - 1 ) ) ) ) ) )
9		fveq2 5555	. . . . . . 7 |- ( w = k -> ( F ` w ) = ( F ` k ) )
10	9	oveq1d 5934	. . . . . 6 |- ( w = k -> ( ( F ` w ) ^ 2 ) = ( ( F ` k ) ^ 2 ) )
11	10	oveq1d 5934	. . . . 5 |- ( w = k -> ( ( ( F ` w ) ^ 2 ) - A ) = ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) )
12		oveq1 5926	. . . . . . 7 |- ( w = k -> ( w - 1 ) = ( k - 1 ) )
13	12	oveq2d 5935	. . . . . 6 |- ( w = k -> ( 4 ^ ( w - 1 ) ) = ( 4 ^ ( k - 1 ) ) )
14	13	oveq2d 5935	. . . . 5 |- ( w = k -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( w - 1 ) ) ) = ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) )
15	11, 14	breq12d 4043	. . . 4 |- ( w = k -> ( ( ( ( F ` w ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( w - 1 ) ) ) <-> ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) ) )
16	15	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = k -> ( ( ph -> ( ( ( F ` w ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( w - 1 ) ) ) ) <-> ( ph -> ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) )
17		fveq2 5555	. . . . . . 7 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( F ` w ) = ( F ` ( k + 1 ) ) )
18	17	oveq1d 5934	. . . . . 6 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( F ` w ) ^ 2 ) = ( ( F ` ( k + 1 ) ) ^ 2 ) )
19	18	oveq1d 5934	. . . . 5 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( ( F ` w ) ^ 2 ) - A ) = ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) ^ 2 ) - A ) )
20		oveq1 5926	. . . . . . 7 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( w - 1 ) = ( ( k + 1 ) - 1 ) )
21	20	oveq2d 5935	. . . . . 6 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( 4 ^ ( w - 1 ) ) = ( 4 ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) )
22	21	oveq2d 5935	. . . . 5 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( w - 1 ) ) ) = ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) )
23	19, 22	breq12d 4043	. . . 4 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( ( ( F ` w ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( w - 1 ) ) ) <-> ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) )
24	23	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( ph -> ( ( ( F ` w ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( w - 1 ) ) ) ) <-> ( ph -> ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) ) )
25		fveq2 5555	. . . . . . 7 |- ( w = N -> ( F ` w ) = ( F ` N ) )
26	25	oveq1d 5934	. . . . . 6 |- ( w = N -> ( ( F ` w ) ^ 2 ) = ( ( F ` N ) ^ 2 ) )
27	26	oveq1d 5934	. . . . 5 |- ( w = N -> ( ( ( F ` w ) ^ 2 ) - A ) = ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) )
28		oveq1 5926	. . . . . . 7 |- ( w = N -> ( w - 1 ) = ( N - 1 ) )
29	28	oveq2d 5935	. . . . . 6 |- ( w = N -> ( 4 ^ ( w - 1 ) ) = ( 4 ^ ( N - 1 ) ) )
30	29	oveq2d 5935	. . . . 5 |- ( w = N -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( w - 1 ) ) ) = ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) )
31	27, 30	breq12d 4043	. . . 4 |- ( w = N -> ( ( ( ( F ` w ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( w - 1 ) ) ) <-> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
32	31	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = N -> ( ( ph -> ( ( ( F ` w ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( w - 1 ) ) ) ) <-> ( ph -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) ) ) )
33		resqrexlemex.a	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. RR )
34	33	renegcld 8401	. . . . . 6 |- ( ph -> -u A e. RR )
35		0red 8022	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 e. RR )
36		resqrexlemex.seq	. . . . . . . . . 10 |- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
37		resqrexlemex.agt0	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 <_ A )
38	36, 33, 37	resqrexlemf 11154	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : NN --> RR+ )
39		1nn 8995	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. NN
40	39	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 1 e. NN )
41	38, 40	ffvelcdmd 5695	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F ` 1 ) e. RR+ )
42	41	rpred 9765	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ` 1 ) e. RR )
43	42	resqcld 10773	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) e. RR )
44	33	le0neg2d 8539	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 0 <_ A <-> -u A <_ 0 ) )
45	37, 44	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ph -> -u A <_ 0 )
46	34, 35, 43, 45	leadd2dd 8581	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) + -u A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) + 0 ) )
47	43	recnd 8050	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) e. CC )
48	33	recnd 8050	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. CC )
49	47, 48	negsubd 8338	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) + -u A ) = ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) - A ) )
50	47	addridd 8170	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) + 0 ) = ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) )
51	46, 49, 50	3brtr3d 4061	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) )
52		1m1e0 9053	. . . . . . . 8 |- ( 1 - 1 ) = 0
53	52	oveq2i 5930	. . . . . . 7 |- ( 4 ^ ( 1 - 1 ) ) = ( 4 ^ 0 )
54		4cn 9062	. . . . . . . 8 |- 4 e. CC
55		exp0 10617	. . . . . . . 8 |- ( 4 e. CC -> ( 4 ^ 0 ) = 1 )
56	54, 55	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( 4 ^ 0 ) = 1
57	53, 56	eqtri 2214	. . . . . 6 |- ( 4 ^ ( 1 - 1 ) ) = 1
58	57	oveq2i 5930	. . . . 5 |- ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( 1 - 1 ) ) ) = ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / 1 )
59	47	div1d 8801	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / 1 ) = ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) )
60	58, 59	eqtrid 2238	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( 1 - 1 ) ) ) = ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) )
61	51, 60	breqtrrd 4058	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( 1 - 1 ) ) ) )
62	38	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> F : NN --> RR+ )
63		peano2nn 8996	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN -> ( k + 1 ) e. NN )
64	63	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k + 1 ) e. NN )
65	62, 64	ffvelcdmd 5695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. RR+ )
66	65	rpred 9765	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. RR )
67	66	resqcld 10773	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) ^ 2 ) e. RR )
68	33	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> A e. RR )
69	67, 68	resubcld 8402	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) ^ 2 ) - A ) e. RR )
70	69	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) ^ 2 ) - A ) e. RR )
71	38	ffvelcdmda 5694	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) e. RR+ )
72	71	rpred 9765	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) e. RR )
73	72	resqcld 10773	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( F ` k ) ^ 2 ) e. RR )
74	73, 68	resubcld 8402	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) e. RR )
75		4re 9061	. . . . . . . . . . . 12 |- 4 e. RR
76	75	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 4 e. RR )
77		4pos 9081	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 < 4
78	77	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 0 < 4 )
79	76, 78	elrpd 9762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 4 e. RR+ )
80	74, 79	rerpdivcld 9797	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) / 4 ) e. RR )
81	80	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> ( ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) / 4 ) e. RR )
82	43	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) e. RR )
83		nnz 9339	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN -> k e. ZZ )
84		peano2zm 9358	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ZZ -> ( k - 1 ) e. ZZ )
85	83, 84	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN -> ( k - 1 ) e. ZZ )
86	85	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k - 1 ) e. ZZ )
87	79, 86	rpexpcld 10771	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( 4 ^ ( k - 1 ) ) e. RR+ )
88	82, 87	rerpdivcld 9797	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) e. RR )
89	88, 79	rerpdivcld 9797	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) / 4 ) e. RR )
90	89	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) / 4 ) e. RR )
91	36, 33, 37	resqrexlemcalc2 11162	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) / 4 ) )
92	91	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) / 4 ) )
93	74, 88, 79	lediv1d 9812	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) <-> ( ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) / 4 ) <_ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) / 4 ) ) )
94	93	biimpa 296	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> ( ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) / 4 ) <_ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) / 4 ) )
95	70, 81, 90, 92, 94	letrd 8145	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) / 4 ) )
96	47	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) e. CC )
97	87	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> ( 4 ^ ( k - 1 ) ) e. RR+ )
98	97	rpcnd 9767	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> ( 4 ^ ( k - 1 ) ) e. CC )
99	54	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> 4 e. CC )
100	97	rpap0d 9771	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> ( 4 ^ ( k - 1 ) ) # 0 )
101	79	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> 4 e. RR+ )
102	101	rpap0d 9771	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> 4 # 0 )
103	96, 98, 99, 100, 102	divdivap1d 8843	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) / 4 ) = ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( ( 4 ^ ( k - 1 ) ) x. 4 ) ) )
104		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. NN )
105	104	nncnd 8998	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. CC )
106		pncan1 8398	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. CC -> ( ( k + 1 ) - 1 ) = k )
107	105, 106	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( k + 1 ) - 1 ) = k )
108	107	oveq2d 5935	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( 4 ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) = ( 4 ^ k ) )
109	108	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> ( 4 ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) = ( 4 ^ k ) )
110		simplr 528	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> k e. NN )
111		expm1t 10641	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 4 e. CC /\ k e. NN ) -> ( 4 ^ k ) = ( ( 4 ^ ( k - 1 ) ) x. 4 ) )
112	54, 110, 111	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> ( 4 ^ k ) = ( ( 4 ^ ( k - 1 ) ) x. 4 ) )
113	109, 112	eqtrd 2226	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> ( 4 ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) = ( ( 4 ^ ( k - 1 ) ) x. 4 ) )
114	113	oveq2d 5935	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) = ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( ( 4 ^ ( k - 1 ) ) x. 4 ) ) )
115	103, 114	eqtr4d 2229	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) / 4 ) = ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) )
116	95, 115	breqtrd 4056	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) )
117	116	ex 115	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) -> ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) )
118	117	expcom 116	. . . 4 |- ( k e. NN -> ( ph -> ( ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) -> ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) ) )
119	118	a2d 26	. . 3 |- ( k e. NN -> ( ( ph -> ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> ( ph -> ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) ) )
120	8, 16, 24, 32, 61, 119	nnind 9000	. 2 |- ( N e. NN -> ( ph -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
121	120	impcom 125	1 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164   {csn 3619   class class class wbr 4030   X. cxp 4658   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   e. cmpo 5921   CCcc 7872   RRcr 7873   0cc0 7874   1c1 7875   + caddc 7877   x. cmul 7879   < clt 8056   <_ cle 8057   - cmin 8192   -ucneg 8193   / cdiv 8693   NNcn 8984   2c2 9035   4c4 9037   ZZcz 9320   RR+crp 9722   seqcseq 10521   ^cexp 10612

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-frec 6446  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-rp 9723  df-seqfrec 10522  df-exp 10613

This theorem is referenced by:  resqrexlemnmsq  11164  resqrexlemga  11170