Theorem resqrexlemcalc3 11542

Description: Lemma for resqrex 11552. Some of the calculations involved in showing that the sequence converges. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 29-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	|- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
resqrexlemex.a	|- ( ph -> A e. RR )
resqrexlemex.agt0	|- ( ph -> 0 <_ A )

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemcalc3	|- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) )

Distinct variable groups:   y, A, z   ph, y, z

Allowed substitution hints:   F( y, z)   N( y, z)

Proof of Theorem resqrexlemcalc3

Dummy variables k w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5629	. . . . . . 7 |- ( w = 1 -> ( F ` w ) = ( F ` 1 ) )
2	1	oveq1d 6022	. . . . . 6 |- ( w = 1 -> ( ( F ` w ) ^ 2 ) = ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) )
3	2	oveq1d 6022	. . . . 5 |- ( w = 1 -> ( ( ( F ` w ) ^ 2 ) - A ) = ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) - A ) )
4		oveq1 6014	. . . . . . 7 |- ( w = 1 -> ( w - 1 ) = ( 1 - 1 ) )
5	4	oveq2d 6023	. . . . . 6 |- ( w = 1 -> ( 4 ^ ( w - 1 ) ) = ( 4 ^ ( 1 - 1 ) ) )
6	5	oveq2d 6023	. . . . 5 |- ( w = 1 -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( w - 1 ) ) ) = ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( 1 - 1 ) ) ) )
7	3, 6	breq12d 4096	. . . 4 |- ( w = 1 -> ( ( ( ( F ` w ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( w - 1 ) ) ) <-> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( 1 - 1 ) ) ) ) )
8	7	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = 1 -> ( ( ph -> ( ( ( F ` w ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( w - 1 ) ) ) ) <-> ( ph -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( 1 - 1 ) ) ) ) ) )
9		fveq2 5629	. . . . . . 7 |- ( w = k -> ( F ` w ) = ( F ` k ) )
10	9	oveq1d 6022	. . . . . 6 |- ( w = k -> ( ( F ` w ) ^ 2 ) = ( ( F ` k ) ^ 2 ) )
11	10	oveq1d 6022	. . . . 5 |- ( w = k -> ( ( ( F ` w ) ^ 2 ) - A ) = ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) )
12		oveq1 6014	. . . . . . 7 |- ( w = k -> ( w - 1 ) = ( k - 1 ) )
13	12	oveq2d 6023	. . . . . 6 |- ( w = k -> ( 4 ^ ( w - 1 ) ) = ( 4 ^ ( k - 1 ) ) )
14	13	oveq2d 6023	. . . . 5 |- ( w = k -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( w - 1 ) ) ) = ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) )
15	11, 14	breq12d 4096	. . . 4 |- ( w = k -> ( ( ( ( F ` w ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( w - 1 ) ) ) <-> ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) ) )
16	15	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = k -> ( ( ph -> ( ( ( F ` w ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( w - 1 ) ) ) ) <-> ( ph -> ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) )
17		fveq2 5629	. . . . . . 7 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( F ` w ) = ( F ` ( k + 1 ) ) )
18	17	oveq1d 6022	. . . . . 6 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( F ` w ) ^ 2 ) = ( ( F ` ( k + 1 ) ) ^ 2 ) )
19	18	oveq1d 6022	. . . . 5 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( ( F ` w ) ^ 2 ) - A ) = ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) ^ 2 ) - A ) )
20		oveq1 6014	. . . . . . 7 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( w - 1 ) = ( ( k + 1 ) - 1 ) )
21	20	oveq2d 6023	. . . . . 6 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( 4 ^ ( w - 1 ) ) = ( 4 ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) )
22	21	oveq2d 6023	. . . . 5 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( w - 1 ) ) ) = ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) )
23	19, 22	breq12d 4096	. . . 4 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( ( ( F ` w ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( w - 1 ) ) ) <-> ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) )
24	23	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( ph -> ( ( ( F ` w ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( w - 1 ) ) ) ) <-> ( ph -> ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) ) )
25		fveq2 5629	. . . . . . 7 |- ( w = N -> ( F ` w ) = ( F ` N ) )
26	25	oveq1d 6022	. . . . . 6 |- ( w = N -> ( ( F ` w ) ^ 2 ) = ( ( F ` N ) ^ 2 ) )
27	26	oveq1d 6022	. . . . 5 |- ( w = N -> ( ( ( F ` w ) ^ 2 ) - A ) = ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) )
28		oveq1 6014	. . . . . . 7 |- ( w = N -> ( w - 1 ) = ( N - 1 ) )
29	28	oveq2d 6023	. . . . . 6 |- ( w = N -> ( 4 ^ ( w - 1 ) ) = ( 4 ^ ( N - 1 ) ) )
30	29	oveq2d 6023	. . . . 5 |- ( w = N -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( w - 1 ) ) ) = ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) )
31	27, 30	breq12d 4096	. . . 4 |- ( w = N -> ( ( ( ( F ` w ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( w - 1 ) ) ) <-> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
32	31	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = N -> ( ( ph -> ( ( ( F ` w ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( w - 1 ) ) ) ) <-> ( ph -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) ) ) )
33		resqrexlemex.a	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. RR )
34	33	renegcld 8537	. . . . . 6 |- ( ph -> -u A e. RR )
35		0red 8158	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 e. RR )
36		resqrexlemex.seq	. . . . . . . . . 10 |- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
37		resqrexlemex.agt0	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 <_ A )
38	36, 33, 37	resqrexlemf 11533	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : NN --> RR+ )
39		1nn 9132	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. NN
40	39	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 1 e. NN )
41	38, 40	ffvelcdmd 5773	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F ` 1 ) e. RR+ )
42	41	rpred 9904	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ` 1 ) e. RR )
43	42	resqcld 10933	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) e. RR )
44	33	le0neg2d 8676	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 0 <_ A <-> -u A <_ 0 ) )
45	37, 44	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ph -> -u A <_ 0 )
46	34, 35, 43, 45	leadd2dd 8718	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) + -u A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) + 0 ) )
47	43	recnd 8186	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) e. CC )
48	33	recnd 8186	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. CC )
49	47, 48	negsubd 8474	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) + -u A ) = ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) - A ) )
50	47	addridd 8306	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) + 0 ) = ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) )
51	46, 49, 50	3brtr3d 4114	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) )
52		1m1e0 9190	. . . . . . . 8 |- ( 1 - 1 ) = 0
53	52	oveq2i 6018	. . . . . . 7 |- ( 4 ^ ( 1 - 1 ) ) = ( 4 ^ 0 )
54		4cn 9199	. . . . . . . 8 |- 4 e. CC
55		exp0 10777	. . . . . . . 8 |- ( 4 e. CC -> ( 4 ^ 0 ) = 1 )
56	54, 55	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( 4 ^ 0 ) = 1
57	53, 56	eqtri 2250	. . . . . 6 |- ( 4 ^ ( 1 - 1 ) ) = 1
58	57	oveq2i 6018	. . . . 5 |- ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( 1 - 1 ) ) ) = ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / 1 )
59	47	div1d 8938	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / 1 ) = ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) )
60	58, 59	eqtrid 2274	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( 1 - 1 ) ) ) = ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) )
61	51, 60	breqtrrd 4111	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( 1 - 1 ) ) ) )
62	38	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> F : NN --> RR+ )
63		peano2nn 9133	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN -> ( k + 1 ) e. NN )
64	63	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k + 1 ) e. NN )
65	62, 64	ffvelcdmd 5773	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. RR+ )
66	65	rpred 9904	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. RR )
67	66	resqcld 10933	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) ^ 2 ) e. RR )
68	33	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> A e. RR )
69	67, 68	resubcld 8538	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) ^ 2 ) - A ) e. RR )
70	69	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) ^ 2 ) - A ) e. RR )
71	38	ffvelcdmda 5772	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) e. RR+ )
72	71	rpred 9904	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) e. RR )
73	72	resqcld 10933	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( F ` k ) ^ 2 ) e. RR )
74	73, 68	resubcld 8538	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) e. RR )
75		4re 9198	. . . . . . . . . . . 12 |- 4 e. RR
76	75	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 4 e. RR )
77		4pos 9218	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 < 4
78	77	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 0 < 4 )
79	76, 78	elrpd 9901	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 4 e. RR+ )
80	74, 79	rerpdivcld 9936	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) / 4 ) e. RR )
81	80	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> ( ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) / 4 ) e. RR )
82	43	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) e. RR )
83		nnz 9476	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN -> k e. ZZ )
84		peano2zm 9495	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ZZ -> ( k - 1 ) e. ZZ )
85	83, 84	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN -> ( k - 1 ) e. ZZ )
86	85	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k - 1 ) e. ZZ )
87	79, 86	rpexpcld 10931	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( 4 ^ ( k - 1 ) ) e. RR+ )
88	82, 87	rerpdivcld 9936	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) e. RR )
89	88, 79	rerpdivcld 9936	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) / 4 ) e. RR )
90	89	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) / 4 ) e. RR )
91	36, 33, 37	resqrexlemcalc2 11541	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) / 4 ) )
92	91	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) / 4 ) )
93	74, 88, 79	lediv1d 9951	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) <-> ( ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) / 4 ) <_ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) / 4 ) ) )
94	93	biimpa 296	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> ( ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) / 4 ) <_ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) / 4 ) )
95	70, 81, 90, 92, 94	letrd 8281	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) / 4 ) )
96	47	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) e. CC )
97	87	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> ( 4 ^ ( k - 1 ) ) e. RR+ )
98	97	rpcnd 9906	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> ( 4 ^ ( k - 1 ) ) e. CC )
99	54	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> 4 e. CC )
100	97	rpap0d 9910	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> ( 4 ^ ( k - 1 ) ) # 0 )
101	79	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> 4 e. RR+ )
102	101	rpap0d 9910	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> 4 # 0 )
103	96, 98, 99, 100, 102	divdivap1d 8980	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) / 4 ) = ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( ( 4 ^ ( k - 1 ) ) x. 4 ) ) )
104		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. NN )
105	104	nncnd 9135	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. CC )
106		pncan1 8534	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. CC -> ( ( k + 1 ) - 1 ) = k )
107	105, 106	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( k + 1 ) - 1 ) = k )
108	107	oveq2d 6023	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( 4 ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) = ( 4 ^ k ) )
109	108	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> ( 4 ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) = ( 4 ^ k ) )
110		simplr 528	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> k e. NN )
111		expm1t 10801	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 4 e. CC /\ k e. NN ) -> ( 4 ^ k ) = ( ( 4 ^ ( k - 1 ) ) x. 4 ) )
112	54, 110, 111	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> ( 4 ^ k ) = ( ( 4 ^ ( k - 1 ) ) x. 4 ) )
113	109, 112	eqtrd 2262	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> ( 4 ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) = ( ( 4 ^ ( k - 1 ) ) x. 4 ) )
114	113	oveq2d 6023	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) = ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( ( 4 ^ ( k - 1 ) ) x. 4 ) ) )
115	103, 114	eqtr4d 2265	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) / 4 ) = ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) )
116	95, 115	breqtrd 4109	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) )
117	116	ex 115	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) -> ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) )
118	117	expcom 116	. . . 4 |- ( k e. NN -> ( ph -> ( ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) -> ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) ) )
119	118	a2d 26	. . 3 |- ( k e. NN -> ( ( ph -> ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> ( ph -> ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) ) )
120	8, 16, 24, 32, 61, 119	nnind 9137	. 2 |- ( N e. NN -> ( ph -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
121	120	impcom 125	1 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   {csn 3666   class class class wbr 4083   X. cxp 4717   -->wf 5314   ` cfv 5318  (class class class)co 6007   e. cmpo 6009   CCcc 8008   RRcr 8009   0cc0 8010   1c1 8011   + caddc 8013   x. cmul 8015   < clt 8192   <_ cle 8193   - cmin 8328   -ucneg 8329   / cdiv 8830   NNcn 9121   2c2 9172   4c4 9174   ZZcz 9457   RR+crp 9861   seqcseq 10681   ^cexp 10772

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-mulrcl 8109  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-precex 8120  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126  ax-pre-mulgt0 8127  ax-pre-mulext 8128

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-frec 6543  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-reap 8733  df-ap 8740  df-div 8831  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-4 9182  df-n0 9381  df-z 9458  df-uz 9734  df-rp 9862  df-seqfrec 10682  df-exp 10773

This theorem is referenced by:  resqrexlemnmsq  11543  resqrexlemga  11549