Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trilpolemclim Unicode version

Theorem trilpolemclim 13569
 Description: Lemma for trilpo 13576. Convergence of the series. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
trilpolemgt1.f
trilpolemclim.g
Assertion
Ref Expression
trilpolemclim
Distinct variable group:   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem trilpolemclim
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 trilpolemclim.g . . . 4
2 oveq2 5826 . . . . . 6
32oveq2d 5834 . . . . 5
4 fveq2 5465 . . . . 5
53, 4oveq12d 5836 . . . 4
6 simpr 109 . . . 4
7 2rp 9547 . . . . . . . . 9
87a1i 9 . . . . . . . 8
96nnzd 9268 . . . . . . . 8
108, 9rpexpcld 10557 . . . . . . 7
1110rpreccld 9596 . . . . . 6
1211rpred 9585 . . . . 5
13 simpr 109 . . . . . . 7
14 0re 7861 . . . . . . 7
1513, 14eqeltrdi 2248 . . . . . 6
16 simpr 109 . . . . . . 7
17 1re 7860 . . . . . . 7
1816, 17eqeltrdi 2248 . . . . . 6
19 trilpolemgt1.f . . . . . . . 8
2019ffvelrnda 5599 . . . . . . 7
21 elpri 3583 . . . . . . 7
2220, 21syl 14 . . . . . 6
2315, 18, 22mpjaodan 788 . . . . 5
2412, 23remulcld 7891 . . . 4
251, 5, 6, 24fvmptd3 5558 . . 3
2625, 24eqeltrd 2234 . 2
2711rpge0d 9589 . . . 4
28 0le0 8905 . . . . . 6
2928, 13breqtrrid 4002 . . . . 5
30 0le1 8339 . . . . . 6
3130, 16breqtrrid 4002 . . . . 5
3229, 31, 22mpjaodan 788 . . . 4
3312, 23, 27, 32mulge0d 8479 . . 3
3433, 25breqtrrd 3992 . 2
3525adantr 274 . . . . 5
3613oveq2d 5834 . . . . 5
3711rpcnd 9587 . . . . . . 7
3837adantr 274 . . . . . 6
3938mul01d 8251 . . . . 5
4035, 36, 393eqtrd 2194 . . . 4
4127adantr 274 . . . 4
4240, 41eqbrtrd 3986 . . 3
4325adantr 274 . . . . 5
4416oveq2d 5834 . . . . 5
4537adantr 274 . . . . . 6
4645mulid1d 7878 . . . . 5
4743, 44, 463eqtrd 2194 . . . 4
4812adantr 274 . . . . 5
4948leidd 8372 . . . 4
5047, 49eqbrtrd 3986 . . 3
5142, 50, 22mpjaodan 788 . 2
5226, 34, 51cvgcmp2n 13566 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wo 698   wceq 1335   wcel 2128  cpr 3561   class class class wbr 3965   cmpt 4025   cdm 4583  wf 5163  cfv 5167  (class class class)co 5818  cc 7713  cr 7714  cc0 7715  c1 7716   caddc 7718   cmul 7720   cle 7896   cdiv 8528  cn 8816  c2 8867  crp 9542   cseq 10326  cexp 10400   cli 11157 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494  ax-iinf 4545  ax-cnex 7806  ax-resscn 7807  ax-1cn 7808  ax-1re 7809  ax-icn 7810  ax-addcl 7811  ax-addrcl 7812  ax-mulcl 7813  ax-mulrcl 7814  ax-addcom 7815  ax-mulcom 7816  ax-addass 7817  ax-mulass 7818  ax-distr 7819  ax-i2m1 7820  ax-0lt1 7821  ax-1rid 7822  ax-0id 7823  ax-rnegex 7824  ax-precex 7825  ax-cnre 7826  ax-pre-ltirr 7827  ax-pre-ltwlin 7828  ax-pre-lttrn 7829  ax-pre-apti 7830  ax-pre-ltadd 7831  ax-pre-mulgt0 7832  ax-pre-mulext 7833  ax-arch 7834  ax-caucvg 7835 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4252  df-po 4255  df-iso 4256  df-iord 4325  df-on 4327  df-ilim 4328  df-suc 4330  df-iom 4548  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-f1 5172  df-fo 5173  df-f1o 5174  df-fv 5175  df-isom 5176  df-riota 5774  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-1st 6082  df-2nd 6083  df-recs 6246  df-irdg 6311  df-frec 6332  df-1o 6357  df-oadd 6361  df-er 6473  df-en 6679  df-dom 6680  df-fin 6681  df-pnf 7897  df-mnf 7898  df-xr 7899  df-ltxr 7900  df-le 7901  df-sub 8031  df-neg 8032  df-reap 8433  df-ap 8440  df-div 8529  df-inn 8817  df-2 8875  df-3 8876  df-4 8877  df-n0 9074  df-z 9151  df-uz 9423  df-q 9511  df-rp 9543  df-ico 9780  df-fz 9895  df-fzo 10024  df-seqfrec 10327  df-exp 10401  df-ihash 10632  df-cj 10724  df-re 10725  df-im 10726  df-rsqrt 10880  df-abs 10881  df-clim 11158  df-sumdc 11233 This theorem is referenced by:  trilpolemcl  13570  trilpolemisumle  13571  trilpolemeq1  13573  trilpolemlt1  13574  nconstwlpolemgt0  13596
 Copyright terms: Public domain W3C validator