Theorem sralmod0g 14730

Description: The subring module inherits a zero from its ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
sralmod0.a	|- ( ph -> A = ( (subringAlg ` W ) ` S ) )
sralmod0.z	|- ( ph -> .0. = ( 0g ` W ) )
sralmod0.s	|- ( ph -> S C_ ( Base ` W ) )
sralmod0g.w	|- ( ph -> W e. X )

Assertion

Ref	Expression
sralmod0g	|- ( ph -> .0. = ( 0g ` A ) )

Proof of Theorem sralmod0g

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sralmod0.z	. 2 |- ( ph -> .0. = ( 0g ` W ) )
2		eqidd 2235	. . 3 |- ( ph -> ( Base ` W ) = ( Base ` W ) )
3		sralmod0.a	. . . 4 |- ( ph -> A = ( (subringAlg ` W ) ` S ) )
4		sralmod0.s	. . . 4 |- ( ph -> S C_ ( Base ` W ) )
5		sralmod0g.w	. . . 4 |- ( ph -> W e. X )
6	3, 4, 5	srabaseg 14718	. . 3 |- ( ph -> ( Base ` W ) = ( Base ` A ) )
7	3, 4, 5	sraex 14725	. . 3 |- ( ph -> A e. _V )
8	3, 4, 5	sraaddgg 14719	. . . 4 |- ( ph -> ( +g ` W ) = ( +g ` A ) )
9	8	oveqdr 6087	. . 3 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` W ) /\ b e. ( Base ` W ) ) ) -> ( a ( +g ` W ) b ) = ( a ( +g ` A ) b ) )
10	2, 6, 5, 7, 9	grpidpropdg 13642	. 2 |- ( ph -> ( 0g ` W ) = ( 0g ` A ) )
11	1, 10	eqtrd 2267	1 |- ( ph -> .0. = ( 0g ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205   _Vcvv 2815   C_ wss 3214   ` cfv 5358   Basecbs 13301   +g cplusg 13379   0gc0g 13558  subringAlg csra 14712

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4231  ax-sep 4234  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4665  ax-cnex 8235  ax-resscn 8236  ax-1cn 8237  ax-1re 8238  ax-icn 8239  ax-addcl 8240  ax-addrcl 8241  ax-mulcl 8242  ax-addcom 8244  ax-addass 8246  ax-i2m1 8249  ax-0lt1 8250  ax-0id 8252  ax-rnegex 8253  ax-pre-ltirr 8256  ax-pre-lttrn 8258  ax-pre-ltadd 8260

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-int 3956  df-iun 3999  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-id 4420  df-xp 4761  df-rel 4762  df-cnv 4763  df-co 4764  df-dm 4765  df-rn 4766  df-res 4767  df-ima 4768  df-iota 5318  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-riota 6012  df-ov 6062  df-oprab 6063  df-mpo 6064  df-pnf 8327  df-mnf 8328  df-ltxr 8330  df-inn 9259  df-2 9317  df-3 9318  df-4 9319  df-5 9320  df-6 9321  df-7 9322  df-8 9323  df-ndx 13304  df-slot 13305  df-base 13307  df-sets 13308  df-iress 13309  df-plusg 13392  df-mulr 13393  df-sca 13395  df-vsca 13396  df-ip 13397  df-0g 13560  df-sra 14714

This theorem is referenced by:  rlm0g  14736