Theorem sralmod0g 13931

Description: The subring module inherits a zero from its ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
sralmod0.a	|- ( ph -> A = ( (subringAlg ` W ) ` S ) )
sralmod0.z	|- ( ph -> .0. = ( 0g ` W ) )
sralmod0.s	|- ( ph -> S C_ ( Base ` W ) )
sralmod0g.w	|- ( ph -> W e. X )

Assertion

Ref	Expression
sralmod0g	|- ( ph -> .0. = ( 0g ` A ) )

Proof of Theorem sralmod0g

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sralmod0.z	. 2 |- ( ph -> .0. = ( 0g ` W ) )
2		eqidd 2194	. . 3 |- ( ph -> ( Base ` W ) = ( Base ` W ) )
3		sralmod0.a	. . . 4 |- ( ph -> A = ( (subringAlg ` W ) ` S ) )
4		sralmod0.s	. . . 4 |- ( ph -> S C_ ( Base ` W ) )
5		sralmod0g.w	. . . 4 |- ( ph -> W e. X )
6	3, 4, 5	srabaseg 13919	. . 3 |- ( ph -> ( Base ` W ) = ( Base ` A ) )
7	3, 4, 5	sraex 13926	. . 3 |- ( ph -> A e. _V )
8	3, 4, 5	sraaddgg 13920	. . . 4 |- ( ph -> ( +g ` W ) = ( +g ` A ) )
9	8	oveqdr 5938	. . 3 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` W ) /\ b e. ( Base ` W ) ) ) -> ( a ( +g ` W ) b ) = ( a ( +g ` A ) b ) )
10	2, 6, 5, 7, 9	grpidpropdg 12947	. 2 |- ( ph -> ( 0g ` W ) = ( 0g ` A ) )
11	1, 10	eqtrd 2226	1 |- ( ph -> .0. = ( 0g ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164   _Vcvv 2760   C_ wss 3153   ` cfv 5246   Basecbs 12608   +g cplusg 12685   0gc0g 12857  subringAlg csra 13913

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4462  ax-setind 4565  ax-cnex 7953  ax-resscn 7954  ax-1cn 7955  ax-1re 7956  ax-icn 7957  ax-addcl 7958  ax-addrcl 7959  ax-mulcl 7960  ax-addcom 7962  ax-addass 7964  ax-i2m1 7967  ax-0lt1 7968  ax-0id 7970  ax-rnegex 7971  ax-pre-ltirr 7974  ax-pre-lttrn 7976  ax-pre-ltadd 7978

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4322  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-iota 5207  df-fun 5248  df-fn 5249  df-f 5250  df-f1 5251  df-fo 5252  df-f1o 5253  df-fv 5254  df-riota 5865  df-ov 5913  df-oprab 5914  df-mpo 5915  df-pnf 8046  df-mnf 8047  df-ltxr 8049  df-inn 8973  df-2 9031  df-3 9032  df-4 9033  df-5 9034  df-6 9035  df-7 9036  df-8 9037  df-ndx 12611  df-slot 12612  df-base 12614  df-sets 12615  df-iress 12616  df-plusg 12698  df-mulr 12699  df-sca 12701  df-vsca 12702  df-ip 12703  df-0g 12859  df-sra 13915

This theorem is referenced by:  rlm0g  13937