Theorem sralmod0g 13764

Description: The subring module inherits a zero from its ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
sralmod0.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
sralmod0.z	⊢ (𝜑 → 0 = (0g‘𝑊))
sralmod0.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
sralmod0g.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
sralmod0g	⊢ (𝜑 → 0 = (0g‘𝐴))

Proof of Theorem sralmod0g

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sralmod0.z	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 = (0g‘𝑊))
2		eqidd 2190	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊))
3		sralmod0.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
4		sralmod0.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
5		sralmod0g.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)
6	3, 4, 5	srabaseg 13752	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑊) = (Base‘𝐴))
7	3, 4, 5	sraex 13759	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
8	3, 4, 5	sraaddgg 13753	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑊) = (+g‘𝐴))
9	8	oveqdr 5923	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑎(+g‘𝑊)𝑏) = (𝑎(+g‘𝐴)𝑏))
10	2, 6, 5, 7, 9	grpidpropdg 12847	. 2 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑊) = (0g‘𝐴))
11	1, 10	eqtrd 2222	1 ⊢ (𝜑 → 0 = (0g‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  Vcvv 2752   ⊆ wss 3144  ‘cfv 5235  Basecbs 12511  +_gcplusg 12586  0_gc0g 12758  subringAlg csra 13746

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7931  ax-resscn 7932  ax-1cn 7933  ax-1re 7934  ax-icn 7935  ax-addcl 7936  ax-addrcl 7937  ax-mulcl 7938  ax-addcom 7940  ax-addass 7942  ax-i2m1 7945  ax-0lt1 7946  ax-0id 7948  ax-rnegex 7949  ax-pre-ltirr 7952  ax-pre-lttrn 7954  ax-pre-ltadd 7956

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5851  df-ov 5898  df-oprab 5899  df-mpo 5900  df-pnf 8023  df-mnf 8024  df-ltxr 8026  df-inn 8949  df-2 9007  df-3 9008  df-4 9009  df-5 9010  df-6 9011  df-7 9012  df-8 9013  df-ndx 12514  df-slot 12515  df-base 12517  df-sets 12518  df-iress 12519  df-plusg 12599  df-mulr 12600  df-sca 12602  df-vsca 12603  df-ip 12604  df-0g 12760  df-sra 13748

This theorem is referenced by:  rlm0g  13770