Theorem sralmod0g 14380

Description: The subring module inherits a zero from its ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
sralmod0.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
sralmod0.z	⊢ (𝜑 → 0 = (0g‘𝑊))
sralmod0.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
sralmod0g.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
sralmod0g	⊢ (𝜑 → 0 = (0g‘𝐴))

Proof of Theorem sralmod0g

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sralmod0.z	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 = (0g‘𝑊))
2		eqidd 2210	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊))
3		sralmod0.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
4		sralmod0.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
5		sralmod0g.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)
6	3, 4, 5	srabaseg 14368	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑊) = (Base‘𝐴))
7	3, 4, 5	sraex 14375	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
8	3, 4, 5	sraaddgg 14369	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑊) = (+g‘𝐴))
9	8	oveqdr 6002	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑎(+g‘𝑊)𝑏) = (𝑎(+g‘𝐴)𝑏))
10	2, 6, 5, 7, 9	grpidpropdg 13373	. 2 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑊) = (0g‘𝐴))
11	1, 10	eqtrd 2242	1 ⊢ (𝜑 → 0 = (0g‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1375   ∈ wcel 2180  Vcvv 2779   ⊆ wss 3177  ‘cfv 5294  Basecbs 12998  +_gcplusg 13076  0_gc0g 13255  subringAlg csra 14362

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-coll 4178  ax-sep 4181  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-addcom 8067  ax-addass 8069  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-lttrn 8081  ax-pre-ltadd 8083

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-id 4361  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-ltxr 8154  df-inn 9079  df-2 9137  df-3 9138  df-4 9139  df-5 9140  df-6 9141  df-7 9142  df-8 9143  df-ndx 13001  df-slot 13002  df-base 13004  df-sets 13005  df-iress 13006  df-plusg 13089  df-mulr 13090  df-sca 13092  df-vsca 13093  df-ip 13094  df-0g 13257  df-sra 14364

This theorem is referenced by:  rlm0g  14386