Theorem issubrgd 13932

Description: Prove a subring by closure (definition version). (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
issubrgd.s	|- ( ph -> S = ( I ↾s D ) )
issubrgd.z	|- ( ph -> .0. = ( 0g ` I ) )
issubrgd.p	|- ( ph -> .+ = ( +g ` I ) )
issubrgd.ss	|- ( ph -> D C_ ( Base ` I ) )
issubrgd.zcl	|- ( ph -> .0. e. D )
issubrgd.acl	|- ( ( ph /\ x e. D /\ y e. D ) -> ( x .+ y ) e. D )
issubrgd.ncl	|- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( ( invg ` I ) ` x ) e. D )
issubrgd.o	|- ( ph -> .1. = ( 1r ` I ) )
issubrgd.t	|- ( ph -> .x. = ( .r ` I ) )
issubrgd.ocl	|- ( ph -> .1. e. D )
issubrgd.tcl	|- ( ( ph /\ x e. D /\ y e. D ) -> ( x .x. y ) e. D )
issubrgd.g	|- ( ph -> I e. Ring )

Assertion

Ref	Expression
issubrgd	|- ( ph -> D e. (SubRing ` I ) )

Distinct variable groups:   x, y, .0.   x, D, y   x, I, y   x, .+ , y   ph, x, y   x, S, y   x, .x. , y

Allowed substitution hints:   .1. ( x, y)

Proof of Theorem issubrgd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issubrgd.s	. . 3 |- ( ph -> S = ( I ↾s D ) )
2		issubrgd.z	. . 3 |- ( ph -> .0. = ( 0g ` I ) )
3		issubrgd.p	. . 3 |- ( ph -> .+ = ( +g ` I ) )
4		issubrgd.ss	. . 3 |- ( ph -> D C_ ( Base ` I ) )
5		issubrgd.zcl	. . 3 |- ( ph -> .0. e. D )
6		issubrgd.acl	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. D /\ y e. D ) -> ( x .+ y ) e. D )
7		issubrgd.ncl	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( ( invg ` I ) ` x ) e. D )
8		issubrgd.g	. . . 4 |- ( ph -> I e. Ring )
9		ringgrp 13481	. . . 4 |- ( I e. Ring -> I e. Grp )
10	8, 9	syl 14	. . 3 |- ( ph -> I e. Grp )
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10	issubgrpd2 13249	. 2 |- ( ph -> D e. (SubGrp ` I ) )
12		issubrgd.o	. . 3 |- ( ph -> .1. = ( 1r ` I ) )
13		issubrgd.ocl	. . 3 |- ( ph -> .1. e. D )
14	12, 13	eqeltrrd 2271	. 2 |- ( ph -> ( 1r ` I ) e. D )
15		issubrgd.t	. . . . 5 |- ( ph -> .x. = ( .r ` I ) )
16	15	oveqdr 5938	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) -> ( x .x. y ) = ( x ( .r ` I ) y ) )
17		issubrgd.tcl	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. D /\ y e. D ) -> ( x .x. y ) e. D )
18	17	3expb 1206	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) -> ( x .x. y ) e. D )
19	16, 18	eqeltrrd 2271	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) -> ( x ( .r ` I ) y ) e. D )
20	19	ralrimivva 2576	. 2 |- ( ph -> A. x e. D A. y e. D ( x ( .r ` I ) y ) e. D )
21		eqid 2193	. . . 4 |- ( Base ` I ) = ( Base ` I )
22		eqid 2193	. . . 4 |- ( 1r ` I ) = ( 1r ` I )
23		eqid 2193	. . . 4 |- ( .r ` I ) = ( .r ` I )
24	21, 22, 23	issubrg2 13721	. . 3 |- ( I e. Ring -> ( D e. (SubRing ` I ) <-> ( D e. (SubGrp ` I ) /\ ( 1r ` I ) e. D /\ A. x e. D A. y e. D ( x ( .r ` I ) y ) e. D ) ) )
25	8, 24	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( D e. (SubRing ` I ) <-> ( D e. (SubGrp ` I ) /\ ( 1r ` I ) e. D /\ A. x e. D A. y e. D ( x ( .r ` I ) y ) e. D ) ) )
26	11, 14, 20, 25	mpbir3and 1182	1 |- ( ph -> D e. (SubRing ` I ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   C_ wss 3153   ` cfv 5246  (class class class)co 5910   Basecbs 12608   ↾_s cress 12609   +g cplusg 12685   .rcmulr 12686   0gc0g 12857   Grpcgrp 13062   invgcminusg 13063  SubGrpcsubg 13226   1rcur 13439   Ringcrg 13476  SubRingcsubrg 13697

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4462  ax-setind 4565  ax-cnex 7953  ax-resscn 7954  ax-1cn 7955  ax-1re 7956  ax-icn 7957  ax-addcl 7958  ax-addrcl 7959  ax-mulcl 7960  ax-addcom 7962  ax-addass 7964  ax-i2m1 7967  ax-0lt1 7968  ax-0id 7970  ax-rnegex 7971  ax-pre-ltirr 7974  ax-pre-lttrn 7976  ax-pre-ltadd 7978

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4322  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-iota 5207  df-fun 5248  df-fn 5249  df-f 5250  df-f1 5251  df-fo 5252  df-f1o 5253  df-fv 5254  df-riota 5865  df-ov 5913  df-oprab 5914  df-mpo 5915  df-pnf 8046  df-mnf 8047  df-ltxr 8049  df-inn 8973  df-2 9031  df-3 9032  df-ndx 12611  df-slot 12612  df-base 12614  df-sets 12615  df-iress 12616  df-plusg 12698  df-mulr 12699  df-0g 12859  df-mgm 12929  df-sgrp 12975  df-mnd 12988  df-grp 13065  df-minusg 13066  df-subg 13229  df-mgp 13401  df-ur 13440  df-ring 13478  df-subrg 13699

This theorem is referenced by: (None)