Theorem issubrgd 14761

Description: Prove a subring by closure (definition version). (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
issubrgd.s	|- ( ph -> S = ( I ↾s D ) )
issubrgd.z	|- ( ph -> .0. = ( 0g ` I ) )
issubrgd.p	|- ( ph -> .+ = ( +g ` I ) )
issubrgd.ss	|- ( ph -> D C_ ( Base ` I ) )
issubrgd.zcl	|- ( ph -> .0. e. D )
issubrgd.acl	|- ( ( ph /\ x e. D /\ y e. D ) -> ( x .+ y ) e. D )
issubrgd.ncl	|- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( ( invg ` I ) ` x ) e. D )
issubrgd.o	|- ( ph -> .1. = ( 1r ` I ) )
issubrgd.t	|- ( ph -> .x. = ( .r ` I ) )
issubrgd.ocl	|- ( ph -> .1. e. D )
issubrgd.tcl	|- ( ( ph /\ x e. D /\ y e. D ) -> ( x .x. y ) e. D )
issubrgd.g	|- ( ph -> I e. Ring )

Assertion

Ref	Expression
issubrgd	|- ( ph -> D e. (SubRing ` I ) )

Distinct variable groups:   x, y, .0.   x, D, y   x, I, y   x, .+ , y   ph, x, y   x, S, y   x, .x. , y

Allowed substitution hints:   .1. ( x, y)

Proof of Theorem issubrgd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issubrgd.s	. . 3 |- ( ph -> S = ( I ↾s D ) )
2		issubrgd.z	. . 3 |- ( ph -> .0. = ( 0g ` I ) )
3		issubrgd.p	. . 3 |- ( ph -> .+ = ( +g ` I ) )
4		issubrgd.ss	. . 3 |- ( ph -> D C_ ( Base ` I ) )
5		issubrgd.zcl	. . 3 |- ( ph -> .0. e. D )
6		issubrgd.acl	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. D /\ y e. D ) -> ( x .+ y ) e. D )
7		issubrgd.ncl	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( ( invg ` I ) ` x ) e. D )
8		issubrgd.g	. . . 4 |- ( ph -> I e. Ring )
9		ringgrp 14279	. . . 4 |- ( I e. Ring -> I e. Grp )
10	8, 9	syl 14	. . 3 |- ( ph -> I e. Grp )
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10	issubgrpd2 13970	. 2 |- ( ph -> D e. (SubGrp ` I ) )
12		issubrgd.o	. . 3 |- ( ph -> .1. = ( 1r ` I ) )
13		issubrgd.ocl	. . 3 |- ( ph -> .1. e. D )
14	12, 13	eqeltrrd 2316	. 2 |- ( ph -> ( 1r ` I ) e. D )
15		issubrgd.t	. . . . 5 |- ( ph -> .x. = ( .r ` I ) )
16	15	oveqdr 6103	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) -> ( x .x. y ) = ( x ( .r ` I ) y ) )
17		issubrgd.tcl	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. D /\ y e. D ) -> ( x .x. y ) e. D )
18	17	3expb 1235	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) -> ( x .x. y ) e. D )
19	16, 18	eqeltrrd 2316	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) -> ( x ( .r ` I ) y ) e. D )
20	19	ralrimivva 2632	. 2 |- ( ph -> A. x e. D A. y e. D ( x ( .r ` I ) y ) e. D )
21		eqid 2238	. . . 4 |- ( Base ` I ) = ( Base ` I )
22		eqid 2238	. . . 4 |- ( 1r ` I ) = ( 1r ` I )
23		eqid 2238	. . . 4 |- ( .r ` I ) = ( .r ` I )
24	21, 22, 23	issubrg2 14522	. . 3 |- ( I e. Ring -> ( D e. (SubRing ` I ) <-> ( D e. (SubGrp ` I ) /\ ( 1r ` I ) e. D /\ A. x e. D A. y e. D ( x ( .r ` I ) y ) e. D ) ) )
25	8, 24	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( D e. (SubRing ` I ) <-> ( D e. (SubGrp ` I ) /\ ( 1r ` I ) e. D /\ A. x e. D A. y e. D ( x ( .r ` I ) y ) e. D ) ) )
26	11, 14, 20, 25	mpbir3and 1211	1 |- ( ph -> D e. (SubRing ` I ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   C_ wss 3220   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   Basecbs 13330   ↾_s cress 13331   +g cplusg 13408   .rcmulr 13409   0gc0g 13587   Grpcgrp 13782   invgcminusg 13783  SubGrpcsubg 13947   1rcur 14237   Ringcrg 14274  SubRingcsubrg 14498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-ltxr 8355  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-sets 13337  df-iress 13338  df-plusg 13421  df-mulr 13422  df-0g 13589  df-mgm 13653  df-sgrp 13694  df-mnd 13707  df-grp 13785  df-minusg 13786  df-subg 13950  df-mgp 14195  df-ur 14238  df-ring 14276  df-subrg 14500

This theorem is referenced by: (None)