Theorem sublt0d 8864

Description: When a subtraction gives a negative result. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
sublt0d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
sublt0d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
sublt0d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) < 0 ↔ 𝐴 < 𝐵))

Proof of Theorem sublt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sublt0d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		sublt0d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		0red 8293	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	ltsubaddd 8835	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) < 0 ↔ 𝐴 < (0 + 𝐵)))
5	2	recnd 8320	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
6	5	addlidd 8442	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 + 𝐵) = 𝐵)
7	6	breq2d 4127	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < (0 + 𝐵) ↔ 𝐴 < 𝐵))
8	4, 7	bitrd 188	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) < 0 ↔ 𝐴 < 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∈ wcel 2205   class class class wbr 4115  (class class class)co 6060  ℝcr 8144  0cc0 8145   + caddc 8148   < clt 8326   − cmin 8463

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4234  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4666  ax-cnex 8236  ax-resscn 8237  ax-1cn 8238  ax-1re 8239  ax-icn 8240  ax-addcl 8241  ax-addrcl 8242  ax-mulcl 8243  ax-addcom 8245  ax-addass 8247  ax-distr 8249  ax-i2m1 8250  ax-0id 8253  ax-rnegex 8254  ax-cnre 8256  ax-pre-ltadd 8261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-br 4116  df-opab 4178  df-id 4420  df-xp 4762  df-rel 4763  df-cnv 4764  df-co 4765  df-dm 4766  df-iota 5319  df-fun 5361  df-fv 5367  df-riota 6013  df-ov 6063  df-oprab 6064  df-mpo 6065  df-pnf 8328  df-mnf 8329  df-ltxr 8331  df-sub 8465  df-neg 8466

This theorem is referenced by:  modfzo0difsn  10786  resq01  11049  sq01  11610  maxabslemlub  11923  ivthreinc  15641  trirec0  16969  apdifflemf  16971