ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sublt0d GIF version

Theorem sublt0d 7947
Description: When a subtraction gives a negative result. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
sublt0d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
sublt0d.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
sublt0d (𝜑 → ((𝐴𝐵) < 0 ↔ 𝐴 < 𝐵))

Proof of Theorem sublt0d
StepHypRef Expression
1 sublt0d.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 sublt0d.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 0red 7392 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
41, 2, 3ltsubaddd 7918 . 2 (𝜑 → ((𝐴𝐵) < 0 ↔ 𝐴 < (0 + 𝐵)))
52recnd 7419 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
65addid2d 7535 . . 3 (𝜑 → (0 + 𝐵) = 𝐵)
76breq2d 3823 . 2 (𝜑 → (𝐴 < (0 + 𝐵) ↔ 𝐴 < 𝐵))
84, 7bitrd 186 1 (𝜑 → ((𝐴𝐵) < 0 ↔ 𝐴 < 𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 103  wcel 1434   class class class wbr 3811  (class class class)co 5591  cr 7252  0cc0 7253   + caddc 7256   < clt 7425  cmin 7556
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-setind 4316  ax-cnex 7339  ax-resscn 7340  ax-1cn 7341  ax-1re 7342  ax-icn 7343  ax-addcl 7344  ax-addrcl 7345  ax-mulcl 7346  ax-addcom 7348  ax-addass 7350  ax-distr 7352  ax-i2m1 7353  ax-0id 7356  ax-rnegex 7357  ax-cnre 7359  ax-pre-ltadd 7364
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-br 3812  df-opab 3866  df-id 4084  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fv 4977  df-riota 5547  df-ov 5594  df-oprab 5595  df-mpt2 5596  df-pnf 7427  df-mnf 7428  df-ltxr 7430  df-sub 7558  df-neg 7559
This theorem is referenced by:  modfzo0difsn  9691  maxabslemlub  10467
  Copyright terms: Public domain W3C validator