Theorem sublt0d 8424

Description: When a subtraction gives a negative result. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
sublt0d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
sublt0d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
sublt0d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) < 0 ↔ 𝐴 < 𝐵))

Proof of Theorem sublt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sublt0d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		sublt0d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		0red 7858	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	ltsubaddd 8395	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) < 0 ↔ 𝐴 < (0 + 𝐵)))
5	2	recnd 7885	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
6	5	addid2d 8004	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 + 𝐵) = 𝐵)
7	6	breq2d 3973	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < (0 + 𝐵) ↔ 𝐴 < 𝐵))
8	4, 7	bitrd 187	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) < 0 ↔ 𝐴 < 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104   ∈ wcel 2125   class class class wbr 3961  (class class class)co 5814  ℝcr 7710  0cc0 7711   + caddc 7714   < clt 7891   − cmin 8025

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-sep 4078  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388  ax-setind 4490  ax-cnex 7802  ax-resscn 7803  ax-1cn 7804  ax-1re 7805  ax-icn 7806  ax-addcl 7807  ax-addrcl 7808  ax-mulcl 7809  ax-addcom 7811  ax-addass 7813  ax-distr 7815  ax-i2m1 7816  ax-0id 7819  ax-rnegex 7820  ax-cnre 7822  ax-pre-ltadd 7827

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-nel 2420  df-ral 2437  df-rex 2438  df-reu 2439  df-rab 2441  df-v 2711  df-sbc 2934  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-br 3962  df-opab 4022  df-id 4248  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fv 5171  df-riota 5770  df-ov 5817  df-oprab 5818  df-mpo 5819  df-pnf 7893  df-mnf 7894  df-ltxr 7896  df-sub 8027  df-neg 8028

This theorem is referenced by:  modfzo0difsn  10272  maxabslemlub  11084  trirec0  13556  apdifflemf  13558