ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  subrgbas GIF version

Theorem subrgbas 13311
Description: Base set of a subring structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
subrgbas.b 𝑆 = (𝑅 β†Ύs 𝐴)
Assertion
Ref Expression
subrgbas (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝐴 = (Baseβ€˜π‘†))

Proof of Theorem subrgbas
StepHypRef Expression
1 subrgsubg 13308 . 2 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…))
2 subrgbas.b . . 3 𝑆 = (𝑅 β†Ύs 𝐴)
32subgbas 12991 . 2 (𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…) β†’ 𝐴 = (Baseβ€˜π‘†))
41, 3syl 14 1 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝐴 = (Baseβ€˜π‘†))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  β€˜cfv 5216  (class class class)co 5874  Basecbs 12456   β†Ύs cress 12457  SubGrpcsubg 12980  SubRingcsubrg 13298
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1re 7904  ax-addrcl 7907
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-inn 8918  df-2 8976  df-3 8977  df-ndx 12459  df-slot 12460  df-base 12462  df-sets 12463  df-iress 12464  df-plusg 12543  df-mulr 12544  df-subg 12983  df-ring 13134  df-subrg 13300
This theorem is referenced by:  subrg1  13312  subrgmcl  13314  subrgdvds  13316  subrguss  13317  subrginv  13318  subrgdv  13319  subrgunit  13320  subsubrg  13326
  Copyright terms: Public domain W3C validator