Theorem subrgbas 13289

Description: Base set of a subring structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subrgbas.b	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
subrgbas	⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 = (Base‘𝑆))

Proof of Theorem subrgbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgsubg 13286	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑅))
2		subrgbas.b	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
3	2	subgbas 12969	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑅) → 𝐴 = (Base‘𝑆))
4	1, 3	syl 14	1 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 = (Base‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ‘cfv 5215  (class class class)co 5872  Basecbs 12454   ↾_s cress 12455  SubGrpcsubg 12958  SubRingcsubrg 13276

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1re 7902  ax-addrcl 7905

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-fv 5223  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-inn 8916  df-2 8974  df-3 8975  df-ndx 12457  df-slot 12458  df-base 12460  df-sets 12461  df-iress 12462  df-plusg 12541  df-mulr 12542  df-subg 12961  df-ring 13112  df-subrg 13278

This theorem is referenced by:  subrg1  13290  subrgmcl  13292  subrgdvds  13294  subrguss  13295  subrginv  13296  subrgdv  13297  subrgunit  13298  subsubrg  13304