Theorem subrgbas 14514

Description: Base set of a subring structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subrgbas.b	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
subrgbas	⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 = (Base‘𝑆))

Proof of Theorem subrgbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgsubg 14511	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑅))
2		subrgbas.b	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
3	2	subgbas 13961	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑅) → 𝐴 = (Base‘𝑆))
4	1, 3	syl 14	1 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 = (Base‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5375  (class class class)co 6078  Basecbs 13333   ↾_s cress 13334  SubGrpcsubg 13950  SubRingcsubrg 14501

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8263  ax-resscn 8264  ax-1re 8266  ax-addrcl 8269

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-fv 5383  df-ov 6081  df-oprab 6082  df-mpo 6083  df-inn 9287  df-2 9345  df-3 9346  df-ndx 13336  df-slot 13337  df-base 13339  df-sets 13340  df-iress 13341  df-plusg 13424  df-mulr 13425  df-subg 13953  df-ring 14279  df-subrg 14503

This theorem is referenced by:  subrg1  14515  subrgmcl  14517  subrgdvds  14519  subrguss  14520  subrginv  14521  subrgdv  14522  subrgunit  14523  subsubrg  14529