Theorem lgseisenlem4 16175

Description: Lemma for lgseisen 16176. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.) (Proof shortened by AV, 15-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgseisen.1	|- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
lgseisen.2	|- ( ph -> Q e. ( Prime \ { 2 } ) )
lgseisen.3	|- ( ph -> P =/= Q )
lgseisen.4	|- R = ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) mod P )
lgseisen.5	|- M = ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) )
lgseisen.6	|- S = ( ( Q x. ( 2 x. y ) ) mod P )
lgseisen.7	|- Y = (ℤ/nℤ ` P )
lgseisen.8	|- G = (mulGrp ` Y )
lgseisen.9	|- L = ( ZRHom ` Y )

Assertion

Ref	Expression
lgseisenlem4	|- ( ph -> ( ( Q ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) mod P ) = ( ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) mod P ) )

Distinct variable groups:   x, G   x, L   x, y, P   ph, x, y   y, M   x, Q, y   x, Y   x, S

Allowed substitution hints:   R( x, y)   S( y)   G( y)   L( y)   M( x)   Y( y)

Proof of Theorem lgseisenlem4

Dummy variables k z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zringbas 14914	. . . . 5 |- ZZ = ( Base ` ℤring )
2		zring0 14918	. . . . 5 |- 0 = ( 0g ` ℤring )
3		zringabl 14912	. . . . . 6 |- ℤring e. Abel
4		ablcmn 14077	. . . . . 6 |- (ℤring e. Abel -> ℤring e. CMnd )
5	3, 4	mp1i 10	. . . . 5 |- ( ph -> ℤring e. CMnd )
6		lgseisen.1	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
7	6	eldifad 3231	. . . . . . . 8 |- ( ph -> P e. Prime )
8		prmnn 12871	. . . . . . . . 9 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
9	8	nnnn0d 9603	. . . . . . . 8 |- ( P e. Prime -> P e. NN0 )
10	7, 9	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> P e. NN0 )
11		lgseisen.7	. . . . . . . 8 |- Y = (ℤ/nℤ ` P )
12	11	zncrng 14963	. . . . . . 7 |- ( P e. NN0 -> Y e. CRing )
13	10, 12	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> Y e. CRing )
14		lgseisen.8	. . . . . . 7 |- G = (mulGrp ` Y )
15	14	crngmgp 14291	. . . . . 6 |- ( Y e. CRing -> G e. CMnd )
16	13, 15	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> G e. CMnd )
17		1zzd 9654	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
18		oddprm 13021	. . . . . . . 8 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN )
19	6, 18	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN )
20	19	nnzd 9750	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ )
21	17, 20	fzfigd 10851	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) e. Fin )
22	13	crngringd 14296	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Y e. Ring )
23		lgseisen.9	. . . . . . . . . 10 |- L = ( ZRHom ` Y )
24	23	zrhrhm 14941	. . . . . . . . 9 |- ( Y e. Ring -> L e. (ℤring RingHom Y ) )
25	22, 24	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> L e. (ℤring RingHom Y ) )
26		eqid 2238	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` Y ) = ( Base ` Y )
27	1, 26	rhmf 14453	. . . . . . . 8 |- ( L e. (ℤring RingHom Y ) -> L : ZZ --> ( Base ` Y ) )
28	25, 27	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> L : ZZ --> ( Base ` Y ) )
29		m1expcl 10982	. . . . . . . 8 |- ( k e. ZZ -> ( -u 1 ^ k ) e. ZZ )
30	29	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> ( -u 1 ^ k ) e. ZZ )
31	28, 30	cofmpt 5871	. . . . . 6 |- ( ph -> ( L o. ( k e. ZZ |-> ( -u 1 ^ k ) ) ) = ( k e. ZZ |-> ( L ` ( -u 1 ^ k ) ) ) )
32		zringmpg 14924	. . . . . . . . 9 |- ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) = (mulGrp ` ℤring )
33	32, 14	rhmmhm 14449	. . . . . . . 8 |- ( L e. (ℤring RingHom Y ) -> L e. ( ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) MndHom G ) )
34	25, 33	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> L e. ( ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) MndHom G ) )
35		neg1cn 9392	. . . . . . . . . . 11 |- -u 1 e. CC
36		neg1ap0 9396	. . . . . . . . . . 11 |- -u 1 # 0
37		eqid 2238	. . . . . . . . . . . 12 |- (mulGrp ` ℂfld ) = (mulGrp ` ℂfld )
38		eqid 2238	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s { z e. CC | z # 0 } ) = ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s { z e. CC | z # 0 } )
39	37, 38	expghmap 14925	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -u 1 e. CC /\ -u 1 # 0 ) -> ( k e. ZZ |-> ( -u 1 ^ k ) ) e. (ℤring GrpHom ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s { z e. CC | z # 0 } ) ) )
40	35, 36, 39	mp2an 430	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ZZ |-> ( -u 1 ^ k ) ) e. (ℤring GrpHom ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s { z e. CC | z # 0 } ) )
41		ghmmhm 14039	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. ZZ |-> ( -u 1 ^ k ) ) e. (ℤring GrpHom ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s { z e. CC | z # 0 } ) ) -> ( k e. ZZ |-> ( -u 1 ^ k ) ) e. (ℤring MndHom ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s { z e. CC | z # 0 } ) ) )
42	40, 41	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ZZ |-> ( -u 1 ^ k ) ) e. (ℤring MndHom ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s { z e. CC | z # 0 } ) )
43		cnring 14890	. . . . . . . . . 10 |- ℂfld e. Ring
44		cnfldui 14907	. . . . . . . . . . 11 |- { z e. CC | z # 0 } = (Unit ` ℂfld )
45	44, 37	unitsubm 14409	. . . . . . . . . 10 |- (ℂfld e. Ring -> { z e. CC | z # 0 } e. (SubMnd ` (mulGrp ` ℂfld ) ) )
46	43, 45	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- { z e. CC | z # 0 } e. (SubMnd ` (mulGrp ` ℂfld ) )
47	38	resmhm2 13778	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( k e. ZZ |-> ( -u 1 ^ k ) ) e. (ℤring MndHom ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s { z e. CC | z # 0 } ) ) /\ { z e. CC | z # 0 } e. (SubMnd ` (mulGrp ` ℂfld ) ) ) -> ( k e. ZZ |-> ( -u 1 ^ k ) ) e. (ℤring MndHom (mulGrp ` ℂfld ) ) )
48	42, 46, 47	mp2an 430	. . . . . . . 8 |- ( k e. ZZ |-> ( -u 1 ^ k ) ) e. (ℤring MndHom (mulGrp ` ℂfld ) )
49		zsubrg 14901	. . . . . . . . . 10 |- ZZ e. (SubRing ` ℂfld )
50	37	subrgsubm 14525	. . . . . . . . . 10 |- ( ZZ e. (SubRing ` ℂfld ) -> ZZ e. (SubMnd ` (mulGrp ` ℂfld ) ) )
51	49, 50	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ZZ e. (SubMnd ` (mulGrp ` ℂfld ) )
52	30	fmpttd 5857	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( k e. ZZ |-> ( -u 1 ^ k ) ) : ZZ --> ZZ )
53	52	frnd 5541	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ran ( k e. ZZ |-> ( -u 1 ^ k ) ) C_ ZZ )
54		eqid 2238	. . . . . . . . . 10 |- ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) = ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ )
55	54	resmhm2b 13779	. . . . . . . . 9 |- ( ( ZZ e. (SubMnd ` (mulGrp ` ℂfld ) ) /\ ran ( k e. ZZ |-> ( -u 1 ^ k ) ) C_ ZZ ) -> ( ( k e. ZZ |-> ( -u 1 ^ k ) ) e. (ℤring MndHom (mulGrp ` ℂfld ) ) <-> ( k e. ZZ |-> ( -u 1 ^ k ) ) e. (ℤring MndHom ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) ) ) )
56	51, 53, 55	sylancr 418	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( k e. ZZ |-> ( -u 1 ^ k ) ) e. (ℤring MndHom (mulGrp ` ℂfld ) ) <-> ( k e. ZZ |-> ( -u 1 ^ k ) ) e. (ℤring MndHom ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) ) ) )
57	48, 56	mpbii 148	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( k e. ZZ |-> ( -u 1 ^ k ) ) e. (ℤring MndHom ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) ) )
58		mhmco 13780	. . . . . . 7 |- ( ( L e. ( ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) MndHom G ) /\ ( k e. ZZ |-> ( -u 1 ^ k ) ) e. (ℤring MndHom ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) ) ) -> ( L o. ( k e. ZZ |-> ( -u 1 ^ k ) ) ) e. (ℤring MndHom G ) )
59	34, 57, 58	syl2anc 415	. . . . . 6 |- ( ph -> ( L o. ( k e. ZZ |-> ( -u 1 ^ k ) ) ) e. (ℤring MndHom G ) )
60	31, 59	eqeltrrd 2316	. . . . 5 |- ( ph -> ( k e. ZZ |-> ( L ` ( -u 1 ^ k ) ) ) e. (ℤring MndHom G ) )
61		lgseisen.2	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Q e. ( Prime \ { 2 } ) )
62	61	gausslemma2dlem0a 16151	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Q e. NN )
63	62	nnzd 9750	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Q e. ZZ )
64	63	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> Q e. ZZ )
65	6	gausslemma2dlem0a 16151	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> P e. NN )
66	65	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> P e. NN )
67		znq 10007	. . . . . . . 8 |- ( ( Q e. ZZ /\ P e. NN ) -> ( Q / P ) e. QQ )
68	64, 66, 67	syl2anc 415	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( Q / P ) e. QQ )
69		2nn 9449	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. NN
70		elfznn 10443	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> x e. NN )
71	70	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> x e. NN )
72		nnmulcl 9308	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. NN /\ x e. NN ) -> ( 2 x. x ) e. NN )
73	69, 71, 72	sylancr 418	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( 2 x. x ) e. NN )
74	73	nnzd 9750	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( 2 x. x ) e. ZZ )
75		zq 10009	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 x. x ) e. ZZ -> ( 2 x. x ) e. QQ )
76	74, 75	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( 2 x. x ) e. QQ )
77		qmulcl 10020	. . . . . . 7 |- ( ( ( Q / P ) e. QQ /\ ( 2 x. x ) e. QQ ) -> ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) e. QQ )
78	68, 76, 77	syl2anc 415	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) e. QQ )
79	78	flqcld 10695	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) e. ZZ )
80		oveq2 6087	. . . . . 6 |- ( k = ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) -> ( -u 1 ^ k ) = ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) )
81	80	fveq2d 5697	. . . . 5 |- ( k = ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) -> ( L ` ( -u 1 ^ k ) ) = ( L ` ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) )
82		oveq2 6087	. . . . . 6 |- ( k = (ℤring gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) -> ( -u 1 ^ k ) = ( -u 1 ^ (ℤring gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) ) )
83	82	fveq2d 5697	. . . . 5 |- ( k = (ℤring gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) -> ( L ` ( -u 1 ^ k ) ) = ( L ` ( -u 1 ^ (ℤring gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) ) ) )
84	1, 2, 5, 16, 21, 60, 79, 81, 83	gsummhm2fi 14148	. . . 4 |- ( ph -> ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) ) ) = ( L ` ( -u 1 ^ (ℤring gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) ) ) )
85		eqid 2238	. . . . . . . 8 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
86		eqid 2238	. . . . . . . 8 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
87	28	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> L : ZZ --> ( Base ` Y ) )
88		m1expcl 10982	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) e. ZZ -> ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) e. ZZ )
89	79, 88	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) e. ZZ )
90	87, 89	ffvelcdmd 5838	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( L ` ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) e. ( Base ` Y ) )
91	14, 26	mgpbasg 14207	. . . . . . . . . . 11 |- ( Y e. CRing -> ( Base ` Y ) = ( Base ` G ) )
92	13, 91	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Base ` Y ) = ( Base ` G ) )
93	92	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( Base ` Y ) = ( Base ` G ) )
94	90, 93	eleqtrd 2317	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( L ` ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) e. ( Base ` G ) )
95		neg1z 9659	. . . . . . . . . . . 12 |- -u 1 e. ZZ
96		lgseisen.4	. . . . . . . . . . . . 13 |- R = ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) mod P )
97	61	eldifad 3231	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> Q e. Prime )
98	97	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> Q e. Prime )
99		prmz 12872	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Q e. Prime -> Q e. ZZ )
100	98, 99	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> Q e. ZZ )
101	100, 74	zmulcld 9757	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( Q x. ( 2 x. x ) ) e. ZZ )
102	7	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> P e. Prime )
103	102, 8	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> P e. NN )
104	101, 103	zmodcld 10765	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) mod P ) e. NN0 )
105	96, 104	eqeltrid 2325	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> R e. NN0 )
106		zexpcl 10974	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -u 1 e. ZZ /\ R e. NN0 ) -> ( -u 1 ^ R ) e. ZZ )
107	95, 105, 106	sylancr 418	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( -u 1 ^ R ) e. ZZ )
108	107, 100	zmulcld 9757	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) e. ZZ )
109	87, 108	ffvelcdmd 5838	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) e. ( Base ` Y ) )
110	109, 93	eleqtrd 2317	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) e. ( Base ` G ) )
111		eqid 2238	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) ) = ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) )
112		eqid 2238	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) = ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) )
113	85, 86, 16, 21, 94, 110, 111, 112	gsummptfidmadd2 14145	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( G gsumg ( ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) ) oF ( +g ` G ) ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) ) ) = ( ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) ) ) ( +g ` G ) ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) ) ) )
114		eqid 2238	. . . . . . . . . . . 12 |- ( .r ` Y ) = ( .r ` Y )
115	14, 114	mgpplusgg 14204	. . . . . . . . . . 11 |- ( Y e. CRing -> ( .r ` Y ) = ( +g ` G ) )
116	13, 115	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( .r ` Y ) = ( +g ` G ) )
117	116	ofeqd 6298	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> oF ( .r ` Y ) = oF ( +g ` G ) )
118	117	oveqd 6096	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) ) oF ( .r ` Y ) ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) ) = ( ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) ) oF ( +g ` G ) ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) ) )
119	118	oveq2d 6095	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( G gsumg ( ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) ) oF ( .r ` Y ) ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) ) ) = ( G gsumg ( ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) ) oF ( +g ` G ) ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) ) ) )
120	116	oveqd 6096	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) ) ) ( .r ` Y ) ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) ) ) = ( ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) ) ) ( +g ` G ) ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) ) ) )
121	113, 119, 120	3eqtr4d 2281	. . . . . 6 |- ( ph -> ( G gsumg ( ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) ) oF ( .r ` Y ) ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) ) ) = ( ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) ) ) ( .r ` Y ) ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) ) ) )
122		eqidd 2239	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) ) = ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) ) )
123		eqidd 2239	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) = ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) )
124	21, 90, 109, 122, 123	offval2 6312	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) ) oF ( .r ` Y ) ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) ) = ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( ( L ` ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) ( .r ` Y ) ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) ) )
125	25	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> L e. (ℤring RingHom Y ) )
126		zringmulr 14917	. . . . . . . . . . . 12 |- x. = ( .r ` ℤring )
127	1, 126, 114	rhmmul 14454	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( L e. (ℤring RingHom Y ) /\ ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) e. ZZ /\ ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) e. ZZ ) -> ( L ` ( ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) x. ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) = ( ( L ` ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) ( .r ` Y ) ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) )
128	125, 89, 108, 127	syl3anc 1278	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( L ` ( ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) x. ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) = ( ( L ` ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) ( .r ` Y ) ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) )
129	62	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> Q e. NN )
130	129, 73	nnmulcld 9336	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( Q x. ( 2 x. x ) ) e. NN )
131		nnq 10016	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) e. NN -> ( Q x. ( 2 x. x ) ) e. QQ )
132	130, 131	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( Q x. ( 2 x. x ) ) e. QQ )
133		nnq 10016	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( P e. NN -> P e. QQ )
134	65, 133	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> P e. QQ )
135	134	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> P e. QQ )
136	66	nngt0d 9331	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> 0 < P )
137		modqval 10744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) e. QQ /\ P e. QQ /\ 0 < P ) -> ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) mod P ) = ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) - ( P x. ( |_ ` ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) / P ) ) ) ) )
138	132, 135, 136, 137	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) mod P ) = ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) - ( P x. ( |_ ` ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) / P ) ) ) ) )
139	96, 138	eqtrid 2283	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> R = ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) - ( P x. ( |_ ` ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) / P ) ) ) ) )
140	100	zcnd 9752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> Q e. CC )
141	73	nncnd 9301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( 2 x. x ) e. CC )
142	103	nncnd 9301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> P e. CC )
143	103	nnap0d 9333	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> P # 0 )
144	140, 141, 142, 143	div23apd 9152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) / P ) = ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) )
145	144	fveq2d 5697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( |_ ` ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) / P ) ) = ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) )
146	145	oveq2d 6095	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( P x. ( |_ ` ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) / P ) ) ) = ( P x. ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) )
147	146	oveq2d 6095	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) - ( P x. ( |_ ` ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) / P ) ) ) ) = ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) - ( P x. ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) )
148	139, 147	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> R = ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) - ( P x. ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) )
149	148	oveq2d 6095	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( P x. ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) + R ) = ( ( P x. ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) + ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) - ( P x. ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) ) )
150		prmz 12872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( P e. Prime -> P e. ZZ )
151	102, 150	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> P e. ZZ )
152	151, 79	zmulcld 9757	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( P x. ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) e. ZZ )
153	152	zcnd 9752	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( P x. ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) e. CC )
154	101	zcnd 9752	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( Q x. ( 2 x. x ) ) e. CC )
155	153, 154	pncan3d 8634	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( P x. ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) + ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) - ( P x. ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) ) = ( Q x. ( 2 x. x ) ) )
156		2cnd 9360	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> 2 e. CC )
157	71	nncnd 9301	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> x e. CC )
158	140, 156, 157	mul12d 8472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( Q x. ( 2 x. x ) ) = ( 2 x. ( Q x. x ) ) )
159	149, 155, 158	3eqtrd 2275	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( P x. ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) + R ) = ( 2 x. ( Q x. x ) ) )
160	159	oveq2d 6095	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( -u 1 ^ ( ( P x. ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) + R ) ) = ( -u 1 ^ ( 2 x. ( Q x. x ) ) ) )
161	35	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> -u 1 e. CC )
162	36	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> -u 1 # 0 )
163	105	nn0zd 9749	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> R e. ZZ )
164		expaddzap 11003	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( -u 1 e. CC /\ -u 1 # 0 ) /\ ( ( P x. ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) e. ZZ /\ R e. ZZ ) ) -> ( -u 1 ^ ( ( P x. ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) + R ) ) = ( ( -u 1 ^ ( P x. ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) x. ( -u 1 ^ R ) ) )
165	161, 162, 152, 163, 164	syl22anc 1279	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( -u 1 ^ ( ( P x. ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) + R ) ) = ( ( -u 1 ^ ( P x. ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) x. ( -u 1 ^ R ) ) )
166		expmulzap 11005	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( -u 1 e. CC /\ -u 1 # 0 ) /\ ( P e. ZZ /\ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) e. ZZ ) ) -> ( -u 1 ^ ( P x. ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) = ( ( -u 1 ^ P ) ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) )
167	161, 162, 151, 79, 166	syl22anc 1279	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( -u 1 ^ ( P x. ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) = ( ( -u 1 ^ P ) ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) )
168		1cnd 8336	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> 1 e. CC )
169		eldifsni 3841	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P =/= 2 )
170	6, 169	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> P =/= 2 )
171	170	necomd 2506	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> 2 =/= P )
172	171	neneqd 2441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> -. 2 = P )
173	172	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> -. 2 = P )
174		2z 9655	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- 2 e. ZZ
175		uzid 9919	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( 2 e. ZZ -> 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) )
176	174, 175	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 2 e. ( ZZ>= ` 2 )
177		dvdsprm 12898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ P e. Prime ) -> ( 2 || P <-> 2 = P ) )
178	176, 102, 177	sylancr 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( 2 || P <-> 2 = P ) )
179	173, 178	mtbird 684	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> -. 2 || P )
180		oexpneg 12627	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 1 e. CC /\ P e. NN /\ -. 2 || P ) -> ( -u 1 ^ P ) = -u ( 1 ^ P ) )
181	168, 103, 179, 180	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( -u 1 ^ P ) = -u ( 1 ^ P ) )
182		1exp 10988	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( P e. ZZ -> ( 1 ^ P ) = 1 )
183	151, 182	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( 1 ^ P ) = 1 )
184	183	negeqd 8515	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> -u ( 1 ^ P ) = -u 1 )
185	181, 184	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( -u 1 ^ P ) = -u 1 )
186	185	oveq1d 6094	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( -u 1 ^ P ) ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) = ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) )
187	167, 186	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( -u 1 ^ ( P x. ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) = ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) )
188	187	oveq1d 6094	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( -u 1 ^ ( P x. ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) x. ( -u 1 ^ R ) ) = ( ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) x. ( -u 1 ^ R ) ) )
189	165, 188	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( -u 1 ^ ( ( P x. ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) + R ) ) = ( ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) x. ( -u 1 ^ R ) ) )
190		nnmulcl 9308	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( Q e. NN /\ x e. NN ) -> ( Q x. x ) e. NN )
191	62, 70, 190	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( Q x. x ) e. NN )
192	191	nnnn0d 9603	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( Q x. x ) e. NN0 )
193		2nn0 9563	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 2 e. NN0
194	193	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> 2 e. NN0 )
195	161, 192, 194	expmuld 11097	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( -u 1 ^ ( 2 x. ( Q x. x ) ) ) = ( ( -u 1 ^ 2 ) ^ ( Q x. x ) ) )
196		neg1sqe1 11054	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -u 1 ^ 2 ) = 1
197	196	oveq1i 6089	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( -u 1 ^ 2 ) ^ ( Q x. x ) ) = ( 1 ^ ( Q x. x ) )
198	191	nnzd 9750	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( Q x. x ) e. ZZ )
199		1exp 10988	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( Q x. x ) e. ZZ -> ( 1 ^ ( Q x. x ) ) = 1 )
200	198, 199	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( 1 ^ ( Q x. x ) ) = 1 )
201	197, 200	eqtrid 2283	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( -u 1 ^ 2 ) ^ ( Q x. x ) ) = 1 )
202	195, 201	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( -u 1 ^ ( 2 x. ( Q x. x ) ) ) = 1 )
203	160, 189, 202	3eqtr3d 2279	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) x. ( -u 1 ^ R ) ) = 1 )
204	203	oveq1d 6094	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) x. ( -u 1 ^ R ) ) x. Q ) = ( 1 x. Q ) )
205	89	zcnd 9752	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) e. CC )
206	107	zcnd 9752	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( -u 1 ^ R ) e. CC )
207	205, 206, 140	mulassd 8343	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) x. ( -u 1 ^ R ) ) x. Q ) = ( ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) x. ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) )
208	140	mullidd 8338	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( 1 x. Q ) = Q )
209	204, 207, 208	3eqtr3d 2279	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) x. ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) = Q )
210	209	fveq2d 5697	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( L ` ( ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) x. ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) = ( L ` Q ) )
211	128, 210	eqtr3d 2273	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( L ` ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) ( .r ` Y ) ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) = ( L ` Q ) )
212	211	mpteq2dva 4219	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( ( L ` ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) ( .r ` Y ) ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) ) = ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` Q ) ) )
213	124, 212	eqtrd 2271	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) ) oF ( .r ` Y ) ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) ) = ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` Q ) ) )
214	213	oveq2d 6095	. . . . . 6 |- ( ph -> ( G gsumg ( ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) ) oF ( .r ` Y ) ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) ) ) = ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` Q ) ) ) )
215		lgseisen.3	. . . . . . . 8 |- ( ph -> P =/= Q )
216		lgseisen.5	. . . . . . . 8 |- M = ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) )
217		lgseisen.6	. . . . . . . 8 |- S = ( ( Q x. ( 2 x. y ) ) mod P )
218	6, 61, 215, 96, 216, 217, 11, 14, 23	lgseisenlem3 16174	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) ) = ( 1r ` Y ) )
219	218	oveq2d 6095	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) ) ) ( .r ` Y ) ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) ) ) = ( ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) ) ) ( .r ` Y ) ( 1r ` Y ) ) )
220	121, 214, 219	3eqtr3rd 2280	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) ) ) ( .r ` Y ) ( 1r ` Y ) ) = ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` Q ) ) ) )
221		eqid 2238	. . . . . . . 8 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
222	90	fmpttd 5857	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) ) : ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) --> ( Base ` Y ) )
223	92	feq3d 5520	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) ) : ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) --> ( Base ` Y ) <-> ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) ) : ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) --> ( Base ` G ) ) )
224	222, 223	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) ) : ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) --> ( Base ` G ) )
225	85, 221, 16, 21, 224	gsumclfi 14142	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) ) ) e. ( Base ` G ) )
226	225, 92	eleqtrrd 2318	. . . . . 6 |- ( ph -> ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) ) ) e. ( Base ` Y ) )
227		eqid 2238	. . . . . . 7 |- ( 1r ` Y ) = ( 1r ` Y )
228	26, 114, 227	ringridm 14312	. . . . . 6 |- ( ( Y e. Ring /\ ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) ) ) e. ( Base ` Y ) ) -> ( ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) ) ) ( .r ` Y ) ( 1r ` Y ) ) = ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) ) ) )
229	22, 226, 228	syl2anc 415	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) ) ) ( .r ` Y ) ( 1r ` Y ) ) = ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) ) ) )
230	97, 99	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Q e. ZZ )
231	28, 230	ffvelcdmd 5838	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( L ` Q ) e. ( Base ` Y ) )
232	231, 92	eleqtrd 2317	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( L ` Q ) e. ( Base ` G ) )
233		eqid 2238	. . . . . . . . 9 |- (.g ` G ) = (.g ` G )
234	85, 233	gsumconstcmn 14149	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. CMnd /\ ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) e. Fin /\ ( L ` Q ) e. ( Base ` G ) ) -> ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` Q ) ) ) = ( (♯ ` ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) (.g ` G ) ( L ` Q ) ) )
235	16, 21, 232, 234	syl3anc 1278	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` Q ) ) ) = ( (♯ ` ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) (.g ` G ) ( L ` Q ) ) )
236		nnuz 9941	. . . . . . . . . 10 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
237	19, 236	eleqtrdi 2331	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
238		hashfz 11245	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) -> (♯ ` ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) = ( ( ( ( P - 1 ) / 2 ) - 1 ) + 1 ) )
239	237, 238	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> (♯ ` ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) = ( ( ( ( P - 1 ) / 2 ) - 1 ) + 1 ) )
240	239	oveq1d 6094	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( (♯ ` ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) (.g ` G ) ( L ` Q ) ) = ( ( ( ( ( P - 1 ) / 2 ) - 1 ) + 1 ) (.g ` G ) ( L ` Q ) ) )
241	235, 240	eqtrd 2271	. . . . . 6 |- ( ph -> ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` Q ) ) ) = ( ( ( ( ( P - 1 ) / 2 ) - 1 ) + 1 ) (.g ` G ) ( L ` Q ) ) )
242	19	nncnd 9301	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. CC )
243		1cnd 8336	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 e. CC )
244	242, 243	npcand 8635	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( ( P - 1 ) / 2 ) - 1 ) + 1 ) = ( ( P - 1 ) / 2 ) )
245	244	oveq1d 6094	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( ( P - 1 ) / 2 ) - 1 ) + 1 ) (.g ` G ) ( L ` Q ) ) = ( ( ( P - 1 ) / 2 ) (.g ` G ) ( L ` Q ) ) )
246	19	nnnn0d 9603	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN0 )
247		zringring 14911	. . . . . . . . . 10 |- ℤring e. Ring
248	32, 1	mgpbasg 14207	. . . . . . . . . 10 |- (ℤring e. Ring -> ZZ = ( Base ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) ) )
249	247, 248	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ZZ = ( Base ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) )
250		eqid 2238	. . . . . . . . 9 |- (.g ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) ) = (.g ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) )
251	249, 250, 233	mhmmulg 13949	. . . . . . . 8 |- ( ( L e. ( ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) MndHom G ) /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN0 /\ Q e. ZZ ) -> ( L ` ( ( ( P - 1 ) / 2 ) (.g ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) ) Q ) ) = ( ( ( P - 1 ) / 2 ) (.g ` G ) ( L ` Q ) ) )
252	34, 246, 230, 251	syl3anc 1278	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( L ` ( ( ( P - 1 ) / 2 ) (.g ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) ) Q ) ) = ( ( ( P - 1 ) / 2 ) (.g ` G ) ( L ` Q ) ) )
253	49, 50	mp1i 10	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ZZ e. (SubMnd ` (mulGrp ` ℂfld ) ) )
254		eqid 2238	. . . . . . . . . . 11 |- (.g ` (mulGrp ` ℂfld ) ) = (.g ` (mulGrp ` ℂfld ) )
255	254, 54, 250	submmulg 13952	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ZZ e. (SubMnd ` (mulGrp ` ℂfld ) ) /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN0 /\ Q e. ZZ ) -> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) (.g ` (mulGrp ` ℂfld ) ) Q ) = ( ( ( P - 1 ) / 2 ) (.g ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) ) Q ) )
256	253, 246, 230, 255	syl3anc 1278	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) (.g ` (mulGrp ` ℂfld ) ) Q ) = ( ( ( P - 1 ) / 2 ) (.g ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) ) Q ) )
257	230	zcnd 9752	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Q e. CC )
258		cnfldexp 14897	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Q e. CC /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) (.g ` (mulGrp ` ℂfld ) ) Q ) = ( Q ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
259	257, 246, 258	syl2anc 415	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) (.g ` (mulGrp ` ℂfld ) ) Q ) = ( Q ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
260	256, 259	eqtr3d 2273	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) (.g ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) ) Q ) = ( Q ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
261	260	fveq2d 5697	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( L ` ( ( ( P - 1 ) / 2 ) (.g ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) ) Q ) ) = ( L ` ( Q ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) )
262	252, 261	eqtr3d 2273	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) (.g ` G ) ( L ` Q ) ) = ( L ` ( Q ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) )
263	241, 245, 262	3eqtrd 2275	. . . . 5 |- ( ph -> ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` Q ) ) ) = ( L ` ( Q ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) )
264	220, 229, 263	3eqtr3d 2279	. . . 4 |- ( ph -> ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) ) ) = ( L ` ( Q ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) )
265		subrgsubg 14518	. . . . . . . . . 10 |- ( ZZ e. (SubRing ` ℂfld ) -> ZZ e. (SubGrp ` ℂfld ) )
266	49, 265	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ZZ e. (SubGrp ` ℂfld )
267		subgsubm 13982	. . . . . . . . 9 |- ( ZZ e. (SubGrp ` ℂfld ) -> ZZ e. (SubMnd ` ℂfld ) )
268	266, 267	mp1i 10	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ZZ e. (SubMnd ` ℂfld ) )
269		ringcmn 14321	. . . . . . . . 9 |- (ℂfld e. Ring -> ℂfld e. CMnd )
270	43, 269	mp1i 10	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ℂfld e. CMnd )
271	79	fmpttd 5857	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) : ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) --> ZZ )
272		df-zring 14909	. . . . . . . 8 |- ℤring = (ℂfld ↾s ZZ )
273	21, 268, 270, 271, 272	gsumsubmfi 14151	. . . . . . 7 |- ( ph -> (ℂfld gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) = (ℤring gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) )
274	79	zcnd 9752	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) e. CC )
275	21, 274	gsumfsum 14906	. . . . . . 7 |- ( ph -> (ℂfld gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) = sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) )
276	273, 275	eqtr3d 2273	. . . . . 6 |- ( ph -> (ℤring gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) = sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) )
277	276	oveq2d 6095	. . . . 5 |- ( ph -> ( -u 1 ^ (ℤring gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) ) = ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) )
278	277	fveq2d 5697	. . . 4 |- ( ph -> ( L ` ( -u 1 ^ (ℤring gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) ) ) = ( L ` ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) )
279	84, 264, 278	3eqtr3d 2279	. . 3 |- ( ph -> ( L ` ( Q ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) = ( L ` ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) )
280	65	nnnn0d 9603	. . . 4 |- ( ph -> P e. NN0 )
281		zexpcl 10974	. . . . 5 |- ( ( Q e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( Q ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
282	230, 246, 281	syl2anc 415	. . . 4 |- ( ph -> ( Q ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
283	21, 79	fsumzcl 12152	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) e. ZZ )
284		m1expcl 10982	. . . . 5 |- ( sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) e. ZZ -> ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) e. ZZ )
285	283, 284	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) e. ZZ )
286	11, 23	zndvds 14967	. . . 4 |- ( ( P e. NN0 /\ ( Q ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ /\ ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) e. ZZ ) -> ( ( L ` ( Q ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) = ( L ` ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) <-> P || ( ( Q ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) - ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) ) )
287	280, 282, 285, 286	syl3anc 1278	. . 3 |- ( ph -> ( ( L ` ( Q ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) = ( L ` ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) <-> P || ( ( Q ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) - ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) ) )
288	279, 287	mpbid 147	. 2 |- ( ph -> P || ( ( Q ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) - ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) )
289		moddvds 12549	. . 3 |- ( ( P e. NN /\ ( Q ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ /\ ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) e. ZZ ) -> ( ( ( Q ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) mod P ) = ( ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) mod P ) <-> P || ( ( Q ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) - ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) ) )
290	65, 282, 285, 289	syl3anc 1278	. 2 |- ( ph -> ( ( ( Q ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) mod P ) = ( ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) mod P ) <-> P || ( ( Q ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) - ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) ) )
291	288, 290	mpbird 167	1 |- ( ph -> ( ( Q ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) mod P ) = ( ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) mod P ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   {crab 2532   \ cdif 3217   C_ wss 3220   {csn 3708   class class class wbr 4128   |-> cmpt 4190   ran crn 4773   o. ccom 4776   -->wf 5371   ` cfv 5375  (class class class)co 6079   oFcof 6294   Fincfn 7016   CCcc 8171   0cc0 8173   1c1 8174   + caddc 8176   x. cmul 8178   < clt 8354   - cmin 8491   -ucneg 8492   # cap 8903   / cdiv 8996   NNcn 9287   2c2 9338   NN0cn0 9546   ZZcz 9627   ZZ>=cuz 9904   QQcq 10002   ...cfz 10394   |_cfl 10686   mod cmo 10742   ^cexp 10958  ♯chash 11197   sum_csu 12102   || cdvds 12537   Primecprime 12868   Basecbs 13335   ↾_s cress 13336   +g cplusg 13414   .rcmulr 13415   0gc0g 13593   MndHom cmhm 13747  SubMndcsubmnd 13748  ._gcmg 13905  SubGrpcsubg 13953   GrpHom cghm 14026  CMndccmn 14070   Abelcabl 14071   gsum_g cgsu 14133  mulGrpcmgp 14200   1rcur 14245   Ringcrg 14283   CRingccrg 14284   RingHom crh 14440  SubRingcsubrg 14508  ℂ_fldccnfld 14876  ℤ_ringczring 14908   ZRHomczrh 14929  ℤ/nℤczn 14931

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290  ax-pre-mulext 8291  ax-arch 8292  ax-caucvg 8293  ax-addf 8295  ax-mulf 8296

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-xor 1425  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-tp 3716  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-isom 5384  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-of 6296  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-tpos 6510  df-recs 6570  df-irdg 6635  df-frec 6656  df-1o 6681  df-2o 6682  df-oadd 6685  df-er 6801  df-ec 6803  df-qs 6807  df-map 6918  df-en 7017  df-dom 7018  df-fin 7019  df-sup 7318  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-reap 8897  df-ap 8904  df-div 8997  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-5 9349  df-6 9350  df-7 9351  df-8 9352  df-9 9353  df-n0 9547  df-z 9628  df-dec 9761  df-uz 9905  df-q 10003  df-rp 10038  df-fz 10395  df-fzo 10533  df-fl 10688  df-mod 10743  df-seqfrec 10868  df-exp 10959  df-ihash 11198  df-cj 11590  df-re 11591  df-im 11592  df-rsqrt 11747  df-abs 11748  df-clim 12028  df-sumdc 12103  df-dvds 12538  df-gcd 12714  df-prm 12869  df-struct 13337  df-ndx 13338  df-slot 13339  df-base 13341  df-sets 13342  df-iress 13343  df-plusg 13427  df-mulr 13428  df-starv 13429  df-sca 13430  df-vsca 13431  df-ip 13432  df-tset 13433  df-ple 13434  df-ds 13436  df-unif 13437  df-0g 13595  df-gzsum 13596  df-topgen 13597  df-iimas 13607  df-qus 13608  df-mgm 13659  df-sgrp 13700  df-mnd 13713  df-mhm 13749  df-submnd 13750  df-grp 13791  df-minusg 13792  df-sbg 13793  df-mulg 13906  df-subg 13956  df-nsg 13957  df-eqg 13958  df-ghm 14027  df-cmn 14072  df-abl 14073  df-gsumfi 14134  df-mgp 14201  df-rng 14215  df-ur 14246  df-srg 14251  df-ring 14285  df-cring 14286  df-oppr 14356  df-dvdsr 14378  df-unit 14379  df-invr 14411  df-dvr 14422  df-rhm 14442  df-nzr 14470  df-subrg 14510  df-domn 14550  df-idom 14551  df-lmod 14608  df-lssm 14673  df-lsp 14707  df-sra 14755  df-rgmod 14756  df-lidl 14789  df-rsp 14790  df-2idl 14820  df-bl 14866  df-mopn 14867  df-fg 14869  df-metu 14870  df-cnfld 14877  df-zring 14909  df-zrh 14932  df-zn 14934

This theorem is referenced by:  lgseisen  16176