Theorem lgseisenlem4 16075

Description: Lemma for lgseisen 16076. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.) (Proof shortened by AV, 15-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgseisen.1	|- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
lgseisen.2	|- ( ph -> Q e. ( Prime \ { 2 } ) )
lgseisen.3	|- ( ph -> P =/= Q )
lgseisen.4	|- R = ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) mod P )
lgseisen.5	|- M = ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) )
lgseisen.6	|- S = ( ( Q x. ( 2 x. y ) ) mod P )
lgseisen.7	|- Y = (ℤ/nℤ ` P )
lgseisen.8	|- G = (mulGrp ` Y )
lgseisen.9	|- L = ( ZRHom ` Y )

Assertion

Ref	Expression
lgseisenlem4	|- ( ph -> ( ( Q ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) mod P ) = ( ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) mod P ) )

Distinct variable groups:   x, G   x, L   x, y, P   ph, x, y   y, M   x, Q, y   x, Y   x, S

Allowed substitution hints:   R( x, y)   S( y)   G( y)   L( y)   M( x)   Y( y)

Proof of Theorem lgseisenlem4

Dummy variables k z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zringbas 14873	. . . . 5 |- ZZ = ( Base ` ℤring )
2		zring0 14877	. . . . 5 |- 0 = ( 0g ` ℤring )
3		zringabl 14871	. . . . . 6 |- ℤring e. Abel
4		ablcmn 14047	. . . . . 6 |- (ℤring e. Abel -> ℤring e. CMnd )
5	3, 4	mp1i 10	. . . . 5 |- ( ph -> ℤring e. CMnd )
6		lgseisen.1	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
7	6	eldifad 3225	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> P e. Prime )
8		prmnn 12835	. . . . . . . . . 10 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
9	8	nnnn0d 9573	. . . . . . . . 9 |- ( P e. Prime -> P e. NN0 )
10	7, 9	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> P e. NN0 )
11		lgseisen.7	. . . . . . . . 9 |- Y = (ℤ/nℤ ` P )
12	11	zncrng 14922	. . . . . . . 8 |- ( P e. NN0 -> Y e. CRing )
13	10, 12	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> Y e. CRing )
14		lgseisen.8	. . . . . . . 8 |- G = (mulGrp ` Y )
15	14	crngmgp 14250	. . . . . . 7 |- ( Y e. CRing -> G e. CMnd )
16	13, 15	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> G e. CMnd )
17	16	cmnmndd 14064	. . . . 5 |- ( ph -> G e. Mnd )
18		1zzd 9624	. . . . 5 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
19		oddprm 12985	. . . . . . 7 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN )
20	6, 19	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN )
21	20	nnzd 9720	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ )
22	13	crngringd 14255	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Y e. Ring )
23		lgseisen.9	. . . . . . . . . 10 |- L = ( ZRHom ` Y )
24	23	zrhrhm 14900	. . . . . . . . 9 |- ( Y e. Ring -> L e. (ℤring RingHom Y ) )
25	22, 24	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> L e. (ℤring RingHom Y ) )
26		eqid 2234	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` Y ) = ( Base ` Y )
27	1, 26	rhmf 14411	. . . . . . . 8 |- ( L e. (ℤring RingHom Y ) -> L : ZZ --> ( Base ` Y ) )
28	25, 27	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> L : ZZ --> ( Base ` Y ) )
29		m1expcl 10951	. . . . . . . 8 |- ( k e. ZZ -> ( -u 1 ^ k ) e. ZZ )
30	29	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> ( -u 1 ^ k ) e. ZZ )
31	28, 30	cofmpt 5851	. . . . . 6 |- ( ph -> ( L o. ( k e. ZZ |-> ( -u 1 ^ k ) ) ) = ( k e. ZZ |-> ( L ` ( -u 1 ^ k ) ) ) )
32		zringmpg 14883	. . . . . . . . 9 |- ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) = (mulGrp ` ℤring )
33	32, 14	rhmmhm 14407	. . . . . . . 8 |- ( L e. (ℤring RingHom Y ) -> L e. ( ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) MndHom G ) )
34	25, 33	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> L e. ( ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) MndHom G ) )
35		neg1cn 9362	. . . . . . . . . . 11 |- -u 1 e. CC
36		neg1ap0 9366	. . . . . . . . . . 11 |- -u 1 # 0
37		eqid 2234	. . . . . . . . . . . 12 |- (mulGrp ` ℂfld ) = (mulGrp ` ℂfld )
38		eqid 2234	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s { z e. CC | z # 0 } ) = ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s { z e. CC | z # 0 } )
39	37, 38	expghmap 14884	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -u 1 e. CC /\ -u 1 # 0 ) -> ( k e. ZZ |-> ( -u 1 ^ k ) ) e. (ℤring GrpHom ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s { z e. CC | z # 0 } ) ) )
40	35, 36, 39	mp2an 426	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ZZ |-> ( -u 1 ^ k ) ) e. (ℤring GrpHom ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s { z e. CC | z # 0 } ) )
41		ghmmhm 14009	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. ZZ |-> ( -u 1 ^ k ) ) e. (ℤring GrpHom ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s { z e. CC | z # 0 } ) ) -> ( k e. ZZ |-> ( -u 1 ^ k ) ) e. (ℤring MndHom ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s { z e. CC | z # 0 } ) ) )
42	40, 41	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ZZ |-> ( -u 1 ^ k ) ) e. (ℤring MndHom ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s { z e. CC | z # 0 } ) )
43		cnring 14847	. . . . . . . . . 10 |- ℂfld e. Ring
44		cnfldui 14866	. . . . . . . . . . 11 |- { z e. CC | z # 0 } = (Unit ` ℂfld )
45	44, 37	unitsubm 14367	. . . . . . . . . 10 |- (ℂfld e. Ring -> { z e. CC | z # 0 } e. (SubMnd ` (mulGrp ` ℂfld ) ) )
46	43, 45	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- { z e. CC | z # 0 } e. (SubMnd ` (mulGrp ` ℂfld ) )
47	38	resmhm2 13746	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( k e. ZZ |-> ( -u 1 ^ k ) ) e. (ℤring MndHom ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s { z e. CC | z # 0 } ) ) /\ { z e. CC | z # 0 } e. (SubMnd ` (mulGrp ` ℂfld ) ) ) -> ( k e. ZZ |-> ( -u 1 ^ k ) ) e. (ℤring MndHom (mulGrp ` ℂfld ) ) )
48	42, 46, 47	mp2an 426	. . . . . . . 8 |- ( k e. ZZ |-> ( -u 1 ^ k ) ) e. (ℤring MndHom (mulGrp ` ℂfld ) )
49		zsubrg 14858	. . . . . . . . . 10 |- ZZ e. (SubRing ` ℂfld )
50	37	subrgsubm 14483	. . . . . . . . . 10 |- ( ZZ e. (SubRing ` ℂfld ) -> ZZ e. (SubMnd ` (mulGrp ` ℂfld ) ) )
51	49, 50	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ZZ e. (SubMnd ` (mulGrp ` ℂfld ) )
52	30	fmpttd 5837	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( k e. ZZ |-> ( -u 1 ^ k ) ) : ZZ --> ZZ )
53	52	frnd 5523	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ran ( k e. ZZ |-> ( -u 1 ^ k ) ) C_ ZZ )
54		eqid 2234	. . . . . . . . . 10 |- ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) = ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ )
55	54	resmhm2b 13747	. . . . . . . . 9 |- ( ( ZZ e. (SubMnd ` (mulGrp ` ℂfld ) ) /\ ran ( k e. ZZ |-> ( -u 1 ^ k ) ) C_ ZZ ) -> ( ( k e. ZZ |-> ( -u 1 ^ k ) ) e. (ℤring MndHom (mulGrp ` ℂfld ) ) <-> ( k e. ZZ |-> ( -u 1 ^ k ) ) e. (ℤring MndHom ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) ) ) )
56	51, 53, 55	sylancr 414	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( k e. ZZ |-> ( -u 1 ^ k ) ) e. (ℤring MndHom (mulGrp ` ℂfld ) ) <-> ( k e. ZZ |-> ( -u 1 ^ k ) ) e. (ℤring MndHom ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) ) ) )
57	48, 56	mpbii 148	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( k e. ZZ |-> ( -u 1 ^ k ) ) e. (ℤring MndHom ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) ) )
58		mhmco 13748	. . . . . . 7 |- ( ( L e. ( ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) MndHom G ) /\ ( k e. ZZ |-> ( -u 1 ^ k ) ) e. (ℤring MndHom ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) ) ) -> ( L o. ( k e. ZZ |-> ( -u 1 ^ k ) ) ) e. (ℤring MndHom G ) )
59	34, 57, 58	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ph -> ( L o. ( k e. ZZ |-> ( -u 1 ^ k ) ) ) e. (ℤring MndHom G ) )
60	31, 59	eqeltrrd 2312	. . . . 5 |- ( ph -> ( k e. ZZ |-> ( L ` ( -u 1 ^ k ) ) ) e. (ℤring MndHom G ) )
61		lgseisen.2	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Q e. ( Prime \ { 2 } ) )
62	61	gausslemma2dlem0a 16051	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Q e. NN )
63	62	nnzd 9720	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Q e. ZZ )
64	63	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> Q e. ZZ )
65	6	gausslemma2dlem0a 16051	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> P e. NN )
66	65	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> P e. NN )
67		znq 9977	. . . . . . . 8 |- ( ( Q e. ZZ /\ P e. NN ) -> ( Q / P ) e. QQ )
68	64, 66, 67	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( Q / P ) e. QQ )
69		2nn 9419	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. NN
70		elfznn 10412	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> x e. NN )
71	70	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> x e. NN )
72		nnmulcl 9278	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. NN /\ x e. NN ) -> ( 2 x. x ) e. NN )
73	69, 71, 72	sylancr 414	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( 2 x. x ) e. NN )
74	73	nnzd 9720	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( 2 x. x ) e. ZZ )
75		zq 9979	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 x. x ) e. ZZ -> ( 2 x. x ) e. QQ )
76	74, 75	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( 2 x. x ) e. QQ )
77		qmulcl 9990	. . . . . . 7 |- ( ( ( Q / P ) e. QQ /\ ( 2 x. x ) e. QQ ) -> ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) e. QQ )
78	68, 76, 77	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) e. QQ )
79	78	flqcld 10664	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) e. ZZ )
80		oveq2 6066	. . . . . 6 |- ( k = ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) -> ( -u 1 ^ k ) = ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) )
81	80	fveq2d 5679	. . . . 5 |- ( k = ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) -> ( L ` ( -u 1 ^ k ) ) = ( L ` ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) )
82		oveq2 6066	. . . . . 6 |- ( k = (ℤring gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) -> ( -u 1 ^ k ) = ( -u 1 ^ (ℤring gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) ) )
83	82	fveq2d 5679	. . . . 5 |- ( k = (ℤring gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) -> ( L ` ( -u 1 ^ k ) ) = ( L ` ( -u 1 ^ (ℤring gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) ) ) )
84	1, 2, 5, 17, 18, 21, 60, 79, 81, 83	gsumfzmhm2 14100	. . . 4 |- ( ph -> ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) ) ) = ( L ` ( -u 1 ^ (ℤring gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) ) ) )
85		eqid 2234	. . . . . . . 8 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
86		eqid 2234	. . . . . . . 8 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
87	28	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> L : ZZ --> ( Base ` Y ) )
88		m1expcl 10951	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) e. ZZ -> ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) e. ZZ )
89	79, 88	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) e. ZZ )
90	87, 89	ffvelcdmd 5818	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( L ` ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) e. ( Base ` Y ) )
91	14, 26	mgpbasg 14168	. . . . . . . . . . 11 |- ( Y e. CRing -> ( Base ` Y ) = ( Base ` G ) )
92	13, 91	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Base ` Y ) = ( Base ` G ) )
93	92	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( Base ` Y ) = ( Base ` G ) )
94	90, 93	eleqtrd 2313	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( L ` ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) e. ( Base ` G ) )
95		neg1z 9629	. . . . . . . . . . . 12 |- -u 1 e. ZZ
96		lgseisen.4	. . . . . . . . . . . . 13 |- R = ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) mod P )
97	61	eldifad 3225	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> Q e. Prime )
98	97	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> Q e. Prime )
99		prmz 12836	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Q e. Prime -> Q e. ZZ )
100	98, 99	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> Q e. ZZ )
101	100, 74	zmulcld 9727	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( Q x. ( 2 x. x ) ) e. ZZ )
102	7	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> P e. Prime )
103	102, 8	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> P e. NN )
104	101, 103	zmodcld 10734	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) mod P ) e. NN0 )
105	96, 104	eqeltrid 2321	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> R e. NN0 )
106		zexpcl 10943	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -u 1 e. ZZ /\ R e. NN0 ) -> ( -u 1 ^ R ) e. ZZ )
107	95, 105, 106	sylancr 414	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( -u 1 ^ R ) e. ZZ )
108	107, 100	zmulcld 9727	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) e. ZZ )
109	87, 108	ffvelcdmd 5818	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) e. ( Base ` Y ) )
110	109, 93	eleqtrd 2313	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) e. ( Base ` G ) )
111		eqid 2234	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) ) = ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) )
112		eqid 2234	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) = ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) )
113	85, 86, 16, 18, 21, 94, 110, 111, 112	gsumfzmptfidmadd2 14096	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( G gsumg ( ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) ) oF ( +g ` G ) ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) ) ) = ( ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) ) ) ( +g ` G ) ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) ) ) )
114		eqid 2234	. . . . . . . . . . . 12 |- ( .r ` Y ) = ( .r ` Y )
115	14, 114	mgpplusgg 14166	. . . . . . . . . . 11 |- ( Y e. CRing -> ( .r ` Y ) = ( +g ` G ) )
116	13, 115	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( .r ` Y ) = ( +g ` G ) )
117	116	ofeqd 6277	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> oF ( .r ` Y ) = oF ( +g ` G ) )
118	117	oveqd 6075	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) ) oF ( .r ` Y ) ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) ) = ( ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) ) oF ( +g ` G ) ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) ) )
119	118	oveq2d 6074	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( G gsumg ( ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) ) oF ( .r ` Y ) ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) ) ) = ( G gsumg ( ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) ) oF ( +g ` G ) ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) ) ) )
120	116	oveqd 6075	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) ) ) ( .r ` Y ) ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) ) ) = ( ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) ) ) ( +g ` G ) ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) ) ) )
121	113, 119, 120	3eqtr4d 2277	. . . . . 6 |- ( ph -> ( G gsumg ( ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) ) oF ( .r ` Y ) ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) ) ) = ( ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) ) ) ( .r ` Y ) ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) ) ) )
122	18, 21	fzfigd 10820	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) e. Fin )
123		eqidd 2235	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) ) = ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) ) )
124		eqidd 2235	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) = ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) )
125	122, 90, 109, 123, 124	offval2 6291	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) ) oF ( .r ` Y ) ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) ) = ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( ( L ` ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) ( .r ` Y ) ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) ) )
126	25	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> L e. (ℤring RingHom Y ) )
127		zringmulr 14876	. . . . . . . . . . . 12 |- x. = ( .r ` ℤring )
128	1, 127, 114	rhmmul 14412	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( L e. (ℤring RingHom Y ) /\ ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) e. ZZ /\ ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) e. ZZ ) -> ( L ` ( ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) x. ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) = ( ( L ` ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) ( .r ` Y ) ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) )
129	126, 89, 108, 128	syl3anc 1274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( L ` ( ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) x. ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) = ( ( L ` ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) ( .r ` Y ) ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) )
130	62	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> Q e. NN )
131	130, 73	nnmulcld 9306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( Q x. ( 2 x. x ) ) e. NN )
132		nnq 9986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) e. NN -> ( Q x. ( 2 x. x ) ) e. QQ )
133	131, 132	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( Q x. ( 2 x. x ) ) e. QQ )
134		nnq 9986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( P e. NN -> P e. QQ )
135	65, 134	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> P e. QQ )
136	135	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> P e. QQ )
137	66	nngt0d 9301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> 0 < P )
138		modqval 10713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) e. QQ /\ P e. QQ /\ 0 < P ) -> ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) mod P ) = ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) - ( P x. ( |_ ` ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) / P ) ) ) ) )
139	133, 136, 137, 138	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) mod P ) = ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) - ( P x. ( |_ ` ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) / P ) ) ) ) )
140	96, 139	eqtrid 2279	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> R = ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) - ( P x. ( |_ ` ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) / P ) ) ) ) )
141	100	zcnd 9722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> Q e. CC )
142	73	nncnd 9271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( 2 x. x ) e. CC )
143	103	nncnd 9271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> P e. CC )
144	103	nnap0d 9303	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> P # 0 )
145	141, 142, 143, 144	div23apd 9122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) / P ) = ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) )
146	145	fveq2d 5679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( |_ ` ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) / P ) ) = ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) )
147	146	oveq2d 6074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( P x. ( |_ ` ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) / P ) ) ) = ( P x. ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) )
148	147	oveq2d 6074	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) - ( P x. ( |_ ` ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) / P ) ) ) ) = ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) - ( P x. ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) )
149	140, 148	eqtrd 2267	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> R = ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) - ( P x. ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) )
150	149	oveq2d 6074	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( P x. ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) + R ) = ( ( P x. ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) + ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) - ( P x. ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) ) )
151		prmz 12836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( P e. Prime -> P e. ZZ )
152	102, 151	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> P e. ZZ )
153	152, 79	zmulcld 9727	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( P x. ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) e. ZZ )
154	153	zcnd 9722	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( P x. ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) e. CC )
155	101	zcnd 9722	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( Q x. ( 2 x. x ) ) e. CC )
156	154, 155	pncan3d 8604	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( P x. ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) + ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) - ( P x. ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) ) = ( Q x. ( 2 x. x ) ) )
157		2cnd 9330	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> 2 e. CC )
158	71	nncnd 9271	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> x e. CC )
159	141, 157, 158	mul12d 8442	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( Q x. ( 2 x. x ) ) = ( 2 x. ( Q x. x ) ) )
160	150, 156, 159	3eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( P x. ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) + R ) = ( 2 x. ( Q x. x ) ) )
161	160	oveq2d 6074	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( -u 1 ^ ( ( P x. ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) + R ) ) = ( -u 1 ^ ( 2 x. ( Q x. x ) ) ) )
162	35	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> -u 1 e. CC )
163	36	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> -u 1 # 0 )
164	105	nn0zd 9719	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> R e. ZZ )
165		expaddzap 10972	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( -u 1 e. CC /\ -u 1 # 0 ) /\ ( ( P x. ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) e. ZZ /\ R e. ZZ ) ) -> ( -u 1 ^ ( ( P x. ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) + R ) ) = ( ( -u 1 ^ ( P x. ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) x. ( -u 1 ^ R ) ) )
166	162, 163, 153, 164, 165	syl22anc 1275	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( -u 1 ^ ( ( P x. ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) + R ) ) = ( ( -u 1 ^ ( P x. ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) x. ( -u 1 ^ R ) ) )
167		expmulzap 10974	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( -u 1 e. CC /\ -u 1 # 0 ) /\ ( P e. ZZ /\ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) e. ZZ ) ) -> ( -u 1 ^ ( P x. ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) = ( ( -u 1 ^ P ) ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) )
168	162, 163, 152, 79, 167	syl22anc 1275	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( -u 1 ^ ( P x. ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) = ( ( -u 1 ^ P ) ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) )
169		1cnd 8306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> 1 e. CC )
170		eldifsni 3827	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P =/= 2 )
171	6, 170	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> P =/= 2 )
172	171	necomd 2500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> 2 =/= P )
173	172	neneqd 2435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> -. 2 = P )
174	173	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> -. 2 = P )
175		2z 9625	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- 2 e. ZZ
176		uzid 9889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( 2 e. ZZ -> 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) )
177	175, 176	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 2 e. ( ZZ>= ` 2 )
178		dvdsprm 12862	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ P e. Prime ) -> ( 2 || P <-> 2 = P ) )
179	177, 102, 178	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( 2 || P <-> 2 = P ) )
180	174, 179	mtbird 680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> -. 2 || P )
181		oexpneg 12591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 1 e. CC /\ P e. NN /\ -. 2 || P ) -> ( -u 1 ^ P ) = -u ( 1 ^ P ) )
182	169, 103, 180, 181	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( -u 1 ^ P ) = -u ( 1 ^ P ) )
183		1exp 10957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( P e. ZZ -> ( 1 ^ P ) = 1 )
184	152, 183	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( 1 ^ P ) = 1 )
185	184	negeqd 8485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> -u ( 1 ^ P ) = -u 1 )
186	182, 185	eqtrd 2267	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( -u 1 ^ P ) = -u 1 )
187	186	oveq1d 6073	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( -u 1 ^ P ) ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) = ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) )
188	168, 187	eqtrd 2267	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( -u 1 ^ ( P x. ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) = ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) )
189	188	oveq1d 6073	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( -u 1 ^ ( P x. ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) x. ( -u 1 ^ R ) ) = ( ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) x. ( -u 1 ^ R ) ) )
190	166, 189	eqtrd 2267	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( -u 1 ^ ( ( P x. ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) + R ) ) = ( ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) x. ( -u 1 ^ R ) ) )
191		nnmulcl 9278	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( Q e. NN /\ x e. NN ) -> ( Q x. x ) e. NN )
192	62, 70, 191	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( Q x. x ) e. NN )
193	192	nnnn0d 9573	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( Q x. x ) e. NN0 )
194		2nn0 9533	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 2 e. NN0
195	194	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> 2 e. NN0 )
196	162, 193, 195	expmuld 11066	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( -u 1 ^ ( 2 x. ( Q x. x ) ) ) = ( ( -u 1 ^ 2 ) ^ ( Q x. x ) ) )
197		neg1sqe1 11023	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -u 1 ^ 2 ) = 1
198	197	oveq1i 6068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( -u 1 ^ 2 ) ^ ( Q x. x ) ) = ( 1 ^ ( Q x. x ) )
199	192	nnzd 9720	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( Q x. x ) e. ZZ )
200		1exp 10957	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( Q x. x ) e. ZZ -> ( 1 ^ ( Q x. x ) ) = 1 )
201	199, 200	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( 1 ^ ( Q x. x ) ) = 1 )
202	198, 201	eqtrid 2279	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( -u 1 ^ 2 ) ^ ( Q x. x ) ) = 1 )
203	196, 202	eqtrd 2267	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( -u 1 ^ ( 2 x. ( Q x. x ) ) ) = 1 )
204	161, 190, 203	3eqtr3d 2275	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) x. ( -u 1 ^ R ) ) = 1 )
205	204	oveq1d 6073	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) x. ( -u 1 ^ R ) ) x. Q ) = ( 1 x. Q ) )
206	89	zcnd 9722	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) e. CC )
207	107	zcnd 9722	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( -u 1 ^ R ) e. CC )
208	206, 207, 141	mulassd 8313	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) x. ( -u 1 ^ R ) ) x. Q ) = ( ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) x. ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) )
209	141	mullidd 8308	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( 1 x. Q ) = Q )
210	205, 208, 209	3eqtr3d 2275	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) x. ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) = Q )
211	210	fveq2d 5679	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( L ` ( ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) x. ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) = ( L ` Q ) )
212	129, 211	eqtr3d 2269	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( L ` ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) ( .r ` Y ) ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) = ( L ` Q ) )
213	212	mpteq2dva 4205	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( ( L ` ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) ( .r ` Y ) ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) ) = ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` Q ) ) )
214	125, 213	eqtrd 2267	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) ) oF ( .r ` Y ) ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) ) = ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` Q ) ) )
215	214	oveq2d 6074	. . . . . 6 |- ( ph -> ( G gsumg ( ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) ) oF ( .r ` Y ) ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) ) ) = ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` Q ) ) ) )
216		lgseisen.3	. . . . . . . 8 |- ( ph -> P =/= Q )
217		lgseisen.5	. . . . . . . 8 |- M = ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) )
218		lgseisen.6	. . . . . . . 8 |- S = ( ( Q x. ( 2 x. y ) ) mod P )
219	6, 61, 216, 96, 217, 218, 11, 14, 23	lgseisenlem3 16074	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) ) = ( 1r ` Y ) )
220	219	oveq2d 6074	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) ) ) ( .r ` Y ) ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) ) ) = ( ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) ) ) ( .r ` Y ) ( 1r ` Y ) ) )
221	121, 215, 220	3eqtr3rd 2276	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) ) ) ( .r ` Y ) ( 1r ` Y ) ) = ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` Q ) ) ) )
222		eqid 2234	. . . . . . . 8 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
223	90	fmpttd 5837	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) ) : ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) --> ( Base ` Y ) )
224	92	feq3d 5502	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) ) : ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) --> ( Base ` Y ) <-> ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) ) : ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) --> ( Base ` G ) ) )
225	223, 224	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) ) : ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) --> ( Base ` G ) )
226	85, 222, 17, 18, 21, 225	gsumfzcl 13757	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) ) ) e. ( Base ` G ) )
227	226, 92	eleqtrrd 2314	. . . . . 6 |- ( ph -> ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) ) ) e. ( Base ` Y ) )
228		eqid 2234	. . . . . . 7 |- ( 1r ` Y ) = ( 1r ` Y )
229	26, 114, 228	ringridm 14270	. . . . . 6 |- ( ( Y e. Ring /\ ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) ) ) e. ( Base ` Y ) ) -> ( ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) ) ) ( .r ` Y ) ( 1r ` Y ) ) = ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) ) ) )
230	22, 227, 229	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) ) ) ( .r ` Y ) ( 1r ` Y ) ) = ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) ) ) )
231		nnuz 9911	. . . . . . . 8 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
232	20, 231	eleqtrdi 2327	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
233	97, 99	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Q e. ZZ )
234	28, 233	ffvelcdmd 5818	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( L ` Q ) e. ( Base ` Y ) )
235	234, 92	eleqtrd 2313	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( L ` Q ) e. ( Base ` G ) )
236		eqid 2234	. . . . . . . 8 |- (.g ` G ) = (.g ` G )
237	85, 236	gsumfzconst 14097	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Mnd /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ ( L ` Q ) e. ( Base ` G ) ) -> ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` Q ) ) ) = ( ( ( ( ( P - 1 ) / 2 ) - 1 ) + 1 ) (.g ` G ) ( L ` Q ) ) )
238	17, 232, 235, 237	syl3anc 1274	. . . . . 6 |- ( ph -> ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` Q ) ) ) = ( ( ( ( ( P - 1 ) / 2 ) - 1 ) + 1 ) (.g ` G ) ( L ` Q ) ) )
239	20	nncnd 9271	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. CC )
240		1cnd 8306	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 e. CC )
241	239, 240	npcand 8605	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( ( P - 1 ) / 2 ) - 1 ) + 1 ) = ( ( P - 1 ) / 2 ) )
242	241	oveq1d 6073	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( ( P - 1 ) / 2 ) - 1 ) + 1 ) (.g ` G ) ( L ` Q ) ) = ( ( ( P - 1 ) / 2 ) (.g ` G ) ( L ` Q ) ) )
243	20	nnnn0d 9573	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN0 )
244		zringring 14870	. . . . . . . . . 10 |- ℤring e. Ring
245	32, 1	mgpbasg 14168	. . . . . . . . . 10 |- (ℤring e. Ring -> ZZ = ( Base ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) ) )
246	244, 245	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ZZ = ( Base ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) )
247		eqid 2234	. . . . . . . . 9 |- (.g ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) ) = (.g ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) )
248	246, 247, 236	mhmmulg 13919	. . . . . . . 8 |- ( ( L e. ( ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) MndHom G ) /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN0 /\ Q e. ZZ ) -> ( L ` ( ( ( P - 1 ) / 2 ) (.g ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) ) Q ) ) = ( ( ( P - 1 ) / 2 ) (.g ` G ) ( L ` Q ) ) )
249	34, 243, 233, 248	syl3anc 1274	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( L ` ( ( ( P - 1 ) / 2 ) (.g ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) ) Q ) ) = ( ( ( P - 1 ) / 2 ) (.g ` G ) ( L ` Q ) ) )
250	51	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ZZ e. (SubMnd ` (mulGrp ` ℂfld ) ) )
251		eqid 2234	. . . . . . . . . . 11 |- (.g ` (mulGrp ` ℂfld ) ) = (.g ` (mulGrp ` ℂfld ) )
252	251, 54, 247	submmulg 13922	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ZZ e. (SubMnd ` (mulGrp ` ℂfld ) ) /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN0 /\ Q e. ZZ ) -> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) (.g ` (mulGrp ` ℂfld ) ) Q ) = ( ( ( P - 1 ) / 2 ) (.g ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) ) Q ) )
253	250, 243, 233, 252	syl3anc 1274	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) (.g ` (mulGrp ` ℂfld ) ) Q ) = ( ( ( P - 1 ) / 2 ) (.g ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) ) Q ) )
254	233	zcnd 9722	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Q e. CC )
255		cnfldexp 14854	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Q e. CC /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) (.g ` (mulGrp ` ℂfld ) ) Q ) = ( Q ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
256	254, 243, 255	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) (.g ` (mulGrp ` ℂfld ) ) Q ) = ( Q ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
257	253, 256	eqtr3d 2269	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) (.g ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) ) Q ) = ( Q ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
258	257	fveq2d 5679	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( L ` ( ( ( P - 1 ) / 2 ) (.g ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) ) Q ) ) = ( L ` ( Q ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) )
259	249, 258	eqtr3d 2269	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) (.g ` G ) ( L ` Q ) ) = ( L ` ( Q ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) )
260	238, 242, 259	3eqtrd 2271	. . . . 5 |- ( ph -> ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` Q ) ) ) = ( L ` ( Q ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) )
261	221, 230, 260	3eqtr3d 2275	. . . 4 |- ( ph -> ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( -u 1 ^ ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) ) ) = ( L ` ( Q ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) )
262		subrgsubg 14476	. . . . . . . . . 10 |- ( ZZ e. (SubRing ` ℂfld ) -> ZZ e. (SubGrp ` ℂfld ) )
263	49, 262	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ZZ e. (SubGrp ` ℂfld )
264		subgsubm 13952	. . . . . . . . 9 |- ( ZZ e. (SubGrp ` ℂfld ) -> ZZ e. (SubMnd ` ℂfld ) )
265	263, 264	mp1i 10	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ZZ e. (SubMnd ` ℂfld ) )
266	79	fmpttd 5837	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) : ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) --> ZZ )
267		df-zring 14868	. . . . . . . 8 |- ℤring = (ℂfld ↾s ZZ )
268	122, 265, 266, 267	gsumsubm 13752	. . . . . . 7 |- ( ph -> (ℂfld gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) = (ℤring gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) )
269	79	zcnd 9722	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) e. CC )
270	18, 21, 269	gsumfzfsum 14865	. . . . . . 7 |- ( ph -> (ℂfld gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) = sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) )
271	268, 270	eqtr3d 2269	. . . . . 6 |- ( ph -> (ℤring gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) = sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) )
272	271	oveq2d 6074	. . . . 5 |- ( ph -> ( -u 1 ^ (ℤring gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) ) = ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) )
273	272	fveq2d 5679	. . . 4 |- ( ph -> ( L ` ( -u 1 ^ (ℤring gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) ) ) = ( L ` ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) )
274	84, 261, 273	3eqtr3d 2275	. . 3 |- ( ph -> ( L ` ( Q ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) = ( L ` ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) )
275	65	nnnn0d 9573	. . . 4 |- ( ph -> P e. NN0 )
276		zexpcl 10943	. . . . 5 |- ( ( Q e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( Q ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
277	233, 243, 276	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( Q ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
278	122, 79	fsumzcl 12116	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) e. ZZ )
279		m1expcl 10951	. . . . 5 |- ( sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) e. ZZ -> ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) e. ZZ )
280	278, 279	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) e. ZZ )
281	11, 23	zndvds 14926	. . . 4 |- ( ( P e. NN0 /\ ( Q ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ /\ ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) e. ZZ ) -> ( ( L ` ( Q ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) = ( L ` ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) <-> P || ( ( Q ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) - ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) ) )
282	275, 277, 280, 281	syl3anc 1274	. . 3 |- ( ph -> ( ( L ` ( Q ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) = ( L ` ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) <-> P || ( ( Q ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) - ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) ) )
283	274, 282	mpbid 147	. 2 |- ( ph -> P || ( ( Q ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) - ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) )
284		moddvds 12513	. . 3 |- ( ( P e. NN /\ ( Q ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ /\ ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) e. ZZ ) -> ( ( ( Q ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) mod P ) = ( ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) mod P ) <-> P || ( ( Q ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) - ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) ) )
285	65, 277, 280, 284	syl3anc 1274	. 2 |- ( ph -> ( ( ( Q ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) mod P ) = ( ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) mod P ) <-> P || ( ( Q ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) - ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) ) )
286	283, 285	mpbird 167	1 |- ( ph -> ( ( Q ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) mod P ) = ( ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) mod P ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2205   =/= wne 2414   {crab 2526   \ cdif 3211   C_ wss 3214   {csn 3694   class class class wbr 4114   |-> cmpt 4176   ran crn 4755   o. ccom 4758   -->wf 5353   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   oFcof 6273   Fincfn 6988   CCcc 8141   0cc0 8143   1c1 8144   + caddc 8146   x. cmul 8148   < clt 8324   - cmin 8461   -ucneg 8462   # cap 8873   / cdiv 8966   NNcn 9257   2c2 9308   NN0cn0 9516   ZZcz 9597   ZZ>=cuz 9874   QQcq 9972   ...cfz 10364   |_cfl 10655   mod cmo 10711   ^cexp 10927   sum_csu 12066   || cdvds 12501   Primecprime 12832   Basecbs 13299   ↾_s cress 13300   +g cplusg 13377   .rcmulr 13378   0gc0g 13556   gsum_g cgsu 13557   Mndcmnd 13680   MndHom cmhm 13715  SubMndcsubmnd 13716  ._gcmg 13875  SubGrpcsubg 13923   GrpHom cghm 13996  CMndccmn 14040   Abelcabl 14041  mulGrpcmgp 14162   1rcur 14205   Ringcrg 14242   CRingccrg 14243   RingHom crh 14398  SubRingcsubrg 14466  ℂ_fldccnfld 14833  ℤ_ringczring 14867   ZRHomczrh 14888  ℤ/nℤczn 14890

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262  ax-caucvg 8263  ax-addf 8265  ax-mulf 8266

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-xor 1421  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-tp 3702  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-isom 5366  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-of 6275  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-tpos 6489  df-recs 6549  df-irdg 6614  df-frec 6635  df-1o 6660  df-2o 6661  df-oadd 6664  df-er 6780  df-ec 6782  df-qs 6786  df-map 6897  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-sup 7288  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8463  df-neg 8464  df-reap 8867  df-ap 8874  df-div 8967  df-inn 9258  df-2 9316  df-3 9317  df-4 9318  df-5 9319  df-6 9320  df-7 9321  df-8 9322  df-9 9323  df-n0 9517  df-z 9598  df-dec 9731  df-uz 9875  df-q 9973  df-rp 10008  df-fz 10365  df-fzo 10502  df-fl 10657  df-mod 10712  df-seqfrec 10837  df-exp 10928  df-ihash 11167  df-cj 11555  df-re 11556  df-im 11557  df-rsqrt 11711  df-abs 11712  df-clim 11992  df-sumdc 12067  df-dvds 12502  df-gcd 12678  df-prm 12833  df-struct 13301  df-ndx 13302  df-slot 13303  df-base 13305  df-sets 13306  df-iress 13307  df-plusg 13390  df-mulr 13391  df-starv 13392  df-sca 13393  df-vsca 13394  df-ip 13395  df-tset 13396  df-ple 13397  df-ds 13399  df-unif 13400  df-0g 13558  df-igsum 13559  df-topgen 13560  df-iimas 13570  df-qus 13571  df-mgm 13622  df-sgrp 13668  df-mnd 13681  df-mhm 13717  df-submnd 13718  df-grp 13761  df-minusg 13762  df-sbg 13763  df-mulg 13876  df-subg 13926  df-nsg 13927  df-eqg 13928  df-ghm 13997  df-cmn 14042  df-abl 14043  df-mgp 14163  df-rng 14175  df-ur 14206  df-srg 14210  df-ring 14244  df-cring 14245  df-oppr 14314  df-dvdsr 14336  df-unit 14337  df-invr 14369  df-dvr 14380  df-rhm 14400  df-nzr 14428  df-subrg 14468  df-domn 14508  df-idom 14509  df-lmod 14566  df-lssm 14630  df-lsp 14664  df-sra 14712  df-rgmod 14713  df-lidl 14746  df-rsp 14747  df-2idl 14777  df-bl 14823  df-mopn 14824  df-fg 14826  df-metu 14827  df-cnfld 14834  df-zring 14868  df-zrh 14891  df-zn 14893

This theorem is referenced by:  lgseisen  16076