Theorem subrgsubg 14508

Description: A subring is a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
subrgsubg	⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑅))

Proof of Theorem subrgsubg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgrcl 14507	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
2		ringgrp 14279	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Grp)
4		eqid 2238	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
5	4	subrgss 14503	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝑅))
6		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (𝑅 ↾s 𝐴) = (𝑅 ↾s 𝐴)
7	6	subrgring 14505	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Ring)
8		ringgrp 14279	. . 3 ⊢ ((𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Ring → (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Grp)
9	7, 8	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Grp)
10	4	issubg 13953	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐴 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Grp))
11	3, 5, 9, 10	syl3anbrc 1212	1 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2209   ⊆ wss 3220  ‘cfv 5372  (class class class)co 6075  Basecbs 13330   ↾_s cress 13331  Grpcgrp 13782  SubGrpcsubg 13947  Ringcrg 14274  SubRingcsubrg 14498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1re 8263  ax-addrcl 8266

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-fv 5380  df-ov 6078  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-plusg 13421  df-mulr 13422  df-subg 13950  df-ring 14276  df-subrg 14500

This theorem is referenced by:  subrg0  14509  subrgbas  14511  subrgacl  14513  issubrg2  14522  subrgintm  14524  resrhm  14529  resrhm2b  14530  rhmima  14532  zsssubrg  14894  zringsubgval  14912  zndvds  14956  dvply2g  15790  lgseisenlem4  16106