Theorem zringsubgval 14400

Description: Subtraction in the ring of integers. (Contributed by AV, 3-Aug-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
zringsubgval.m	|- .- = ( -g ` ℤring )

Assertion

Ref	Expression
zringsubgval	|- ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) -> ( X - Y ) = ( X .- Y ) )

Proof of Theorem zringsubgval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsubrg 14376	. . 3 |- ZZ e. (SubRing ` ℂfld )
2		subrgsubg 14022	. . 3 |- ( ZZ e. (SubRing ` ℂfld ) -> ZZ e. (SubGrp ` ℂfld ) )
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 |- ZZ e. (SubGrp ` ℂfld )
4		cnfldsub 14370	. . 3 |- - = ( -g ` ℂfld )
5		df-zring 14386	. . 3 |- ℤring = (ℂfld ↾s ZZ )
6		zringsubgval.m	. . 3 |- .- = ( -g ` ℤring )
7	4, 5, 6	subgsub 13555	. 2 |- ( ( ZZ e. (SubGrp ` ℂfld ) /\ X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) -> ( X - Y ) = ( X .- Y ) )
8	3, 7	mp3an1 1337	1 |- ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) -> ( X - Y ) = ( X .- Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2176   ` cfv 5272  (class class class)co 5946   - cmin 8245   ZZcz 9374   -gcsg 13367  SubGrpcsubg 13536  SubRingcsubrg 14012  ℂ_fldccnfld 14351  ℤ_ringczring 14385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4160  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-mulrcl 8026  ax-addcom 8027  ax-mulcom 8028  ax-addass 8029  ax-mulass 8030  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-1rid 8034  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-precex 8037  ax-cnre 8038  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltwlin 8040  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-apti 8042  ax-pre-ltadd 8043  ax-pre-mulgt0 8044  ax-addf 8049  ax-mulf 8050

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-tp 3641  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-1st 6228  df-2nd 6229  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-sub 8247  df-neg 8248  df-reap 8650  df-inn 9039  df-2 9097  df-3 9098  df-4 9099  df-5 9100  df-6 9101  df-7 9102  df-8 9103  df-9 9104  df-n0 9298  df-z 9375  df-dec 9507  df-uz 9651  df-rp 9778  df-fz 10133  df-cj 11186  df-abs 11343  df-struct 12867  df-ndx 12868  df-slot 12869  df-base 12871  df-sets 12872  df-iress 12873  df-plusg 12955  df-mulr 12956  df-starv 12957  df-tset 12961  df-ple 12962  df-ds 12964  df-unif 12965  df-0g 13123  df-topgen 13125  df-mgm 13221  df-sgrp 13267  df-mnd 13282  df-grp 13368  df-minusg 13369  df-sbg 13370  df-subg 13539  df-cmn 13655  df-mgp 13716  df-ur 13755  df-ring 13793  df-cring 13794  df-subrg 14014  df-bl 14341  df-mopn 14342  df-fg 14344  df-metu 14345  df-cnfld 14352  df-zring 14386

This theorem is referenced by: (None)