Theorem zringsubgval 14075

Description: Subtraction in the ring of integers. (Contributed by AV, 3-Aug-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
zringsubgval.m	|- .- = ( -g ` ℤring )

Assertion

Ref	Expression
zringsubgval	|- ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) -> ( X - Y ) = ( X .- Y ) )

Proof of Theorem zringsubgval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsubrg 14055	. . 3 |- ZZ e. (SubRing ` ℂfld )
2		subrgsubg 13711	. . 3 |- ( ZZ e. (SubRing ` ℂfld ) -> ZZ e. (SubGrp ` ℂfld ) )
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 |- ZZ e. (SubGrp ` ℂfld )
4		cnfldsub 14049	. . 3 |- - = ( -g ` ℂfld )
5		df-zring 14061	. . 3 |- ℤring = (ℂfld ↾s ZZ )
6		zringsubgval.m	. . 3 |- .- = ( -g ` ℤring )
7	4, 5, 6	subgsub 13249	. 2 |- ( ( ZZ e. (SubGrp ` ℂfld ) /\ X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) -> ( X - Y ) = ( X .- Y ) )
8	3, 7	mp3an1 1335	1 |- ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) -> ( X - Y ) = ( X .- Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164   ` cfv 5250  (class class class)co 5914   - cmin 8184   ZZcz 9311   -gcsg 13068  SubGrpcsubg 13230  SubRingcsubrg 13701  ℂ_fldccnfld 14035  ℤ_ringczring 14060

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4462  ax-setind 4567  ax-cnex 7957  ax-resscn 7958  ax-1cn 7959  ax-1re 7960  ax-icn 7961  ax-addcl 7962  ax-addrcl 7963  ax-mulcl 7964  ax-mulrcl 7965  ax-addcom 7966  ax-mulcom 7967  ax-addass 7968  ax-mulass 7969  ax-distr 7970  ax-i2m1 7971  ax-0lt1 7972  ax-1rid 7973  ax-0id 7974  ax-rnegex 7975  ax-precex 7976  ax-cnre 7977  ax-pre-ltirr 7978  ax-pre-ltwlin 7979  ax-pre-lttrn 7980  ax-pre-apti 7981  ax-pre-ltadd 7982  ax-pre-mulgt0 7983  ax-addf 7988  ax-mulf 7989

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-tp 3626  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4322  df-xp 4663  df-rel 4664  df-cnv 4665  df-co 4666  df-dm 4667  df-rn 4668  df-res 4669  df-ima 4670  df-iota 5211  df-fun 5252  df-fn 5253  df-f 5254  df-f1 5255  df-fo 5256  df-f1o 5257  df-fv 5258  df-riota 5869  df-ov 5917  df-oprab 5918  df-mpo 5919  df-1st 6188  df-2nd 6189  df-pnf 8050  df-mnf 8051  df-xr 8052  df-ltxr 8053  df-le 8054  df-sub 8186  df-neg 8187  df-reap 8588  df-inn 8977  df-2 9035  df-3 9036  df-4 9037  df-5 9038  df-6 9039  df-7 9040  df-8 9041  df-9 9042  df-n0 9235  df-z 9312  df-dec 9443  df-uz 9587  df-fz 10069  df-cj 10980  df-struct 12614  df-ndx 12615  df-slot 12616  df-base 12618  df-sets 12619  df-iress 12620  df-plusg 12702  df-mulr 12703  df-starv 12704  df-0g 12863  df-mgm 12933  df-sgrp 12979  df-mnd 12992  df-grp 13069  df-minusg 13070  df-sbg 13071  df-subg 13233  df-cmn 13349  df-mgp 13405  df-ur 13444  df-ring 13482  df-cring 13483  df-subrg 13703  df-icnfld 14036  df-zring 14061

This theorem is referenced by: (None)