Theorem zringsubgval 14093

Description: Subtraction in the ring of integers. (Contributed by AV, 3-Aug-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
zringsubgval.m	|- .- = ( -g ` ℤring )

Assertion

Ref	Expression
zringsubgval	|- ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) -> ( X - Y ) = ( X .- Y ) )

Proof of Theorem zringsubgval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsubrg 14069	. . 3 |- ZZ e. (SubRing ` ℂfld )
2		subrgsubg 13723	. . 3 |- ( ZZ e. (SubRing ` ℂfld ) -> ZZ e. (SubGrp ` ℂfld ) )
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 |- ZZ e. (SubGrp ` ℂfld )
4		cnfldsub 14063	. . 3 |- - = ( -g ` ℂfld )
5		df-zring 14079	. . 3 |- ℤring = (ℂfld ↾s ZZ )
6		zringsubgval.m	. . 3 |- .- = ( -g ` ℤring )
7	4, 5, 6	subgsub 13256	. 2 |- ( ( ZZ e. (SubGrp ` ℂfld ) /\ X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) -> ( X - Y ) = ( X .- Y ) )
8	3, 7	mp3an1 1335	1 |- ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) -> ( X - Y ) = ( X .- Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   - cmin 8190   ZZcz 9317   -gcsg 13074  SubGrpcsubg 13237  SubRingcsubrg 13713  ℂ_fldccnfld 14047  ℤ_ringczring 14078

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-addf 7994  ax-mulf 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-tp 3626  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-5 9044  df-6 9045  df-7 9046  df-8 9047  df-9 9048  df-n0 9241  df-z 9318  df-dec 9449  df-uz 9593  df-fz 10075  df-cj 10986  df-struct 12620  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-sets 12625  df-iress 12626  df-plusg 12708  df-mulr 12709  df-starv 12710  df-0g 12869  df-mgm 12939  df-sgrp 12985  df-mnd 12998  df-grp 13075  df-minusg 13076  df-sbg 13077  df-subg 13240  df-cmn 13356  df-mgp 13417  df-ur 13456  df-ring 13494  df-cring 13495  df-subrg 13715  df-icnfld 14048  df-zring 14079

This theorem is referenced by: (None)