Theorem subrgrcl 14038

Description: Reverse closure for a subring predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
subrgrcl	|- ( A e. (SubRing ` R ) -> R e. Ring )

Proof of Theorem subrgrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2206	. . . 4 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
2		eqid 2206	. . . 4 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
3	1, 2	issubrg 14033	. . 3 |- ( A e. (SubRing ` R ) <-> ( ( R e. Ring /\ ( R ↾s A ) e. Ring ) /\ ( A C_ ( Base ` R ) /\ ( 1r ` R ) e. A ) ) )
4	3	simplbi 274	. 2 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> ( R e. Ring /\ ( R ↾s A ) e. Ring ) )
5	4	simpld 112	1 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> R e. Ring )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2177   C_ wss 3168   ` cfv 5277  (class class class)co 5954   Basecbs 12882   ↾_s cress 12883   1rcur 13771   Ringcrg 13808  SubRingcsubrg 14029

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4167  ax-pow 4223  ax-pr 4258  ax-un 4485  ax-cnex 8029  ax-resscn 8030  ax-1re 8032  ax-addrcl 8035

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3001  df-csb 3096  df-un 3172  df-in 3174  df-ss 3181  df-pw 3620  df-sn 3641  df-pr 3642  df-op 3644  df-uni 3854  df-int 3889  df-br 4049  df-opab 4111  df-mpt 4112  df-id 4345  df-xp 4686  df-rel 4687  df-cnv 4688  df-co 4689  df-dm 4690  df-rn 4691  df-res 4692  df-ima 4693  df-iota 5238  df-fun 5279  df-fn 5280  df-fv 5285  df-ov 5957  df-inn 9050  df-ndx 12885  df-slot 12886  df-base 12888  df-subrg 14031

This theorem is referenced by:  subrgsubg  14039  subrg1  14043  subrgmcl  14045  subrgsubm  14046  subrgdvds  14047  subrguss  14048  subrginv  14049  subrgdv  14050  subrgunit  14051  subrgugrp  14052  subrgintm  14055  subsubrg  14057  resrhm2b  14061  subrgpropd  14065  sralmod  14262