Theorem subrgrcl 14371

Description: Reverse closure for a subring predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
subrgrcl	|- ( A e. (SubRing ` R ) -> R e. Ring )

Proof of Theorem subrgrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2232	. . . 4 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
2		eqid 2232	. . . 4 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
3	1, 2	issubrg 14366	. . 3 |- ( A e. (SubRing ` R ) <-> ( ( R e. Ring /\ ( R ↾s A ) e. Ring ) /\ ( A C_ ( Base ` R ) /\ ( 1r ` R ) e. A ) ) )
4	3	simplbi 274	. 2 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> ( R e. Ring /\ ( R ↾s A ) e. Ring ) )
5	4	simpld 112	1 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> R e. Ring )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2203   C_ wss 3211   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   Basecbs 13212   ↾_s cress 13213   1rcur 14103   Ringcrg 14140  SubRingcsubrg 14362

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1re 8221  ax-addrcl 8224

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-fv 5360  df-ov 6053  df-inn 9238  df-ndx 13215  df-slot 13216  df-base 13218  df-subrg 14364

This theorem is referenced by:  subrgsubg  14372  subrg1  14376  subrgmcl  14378  subrgsubm  14379  subrgdvds  14380  subrguss  14381  subrginv  14382  subrgdv  14383  subrgunit  14384  subrgugrp  14385  subrgintm  14388  subsubrg  14390  resrhm2b  14394  subrgpropd  14398  sralmod  14598