Theorem subrgrcl 14175

Description: Reverse closure for a subring predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
subrgrcl	|- ( A e. (SubRing ` R ) -> R e. Ring )

Proof of Theorem subrgrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2229	. . . 4 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
2		eqid 2229	. . . 4 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
3	1, 2	issubrg 14170	. . 3 |- ( A e. (SubRing ` R ) <-> ( ( R e. Ring /\ ( R ↾s A ) e. Ring ) /\ ( A C_ ( Base ` R ) /\ ( 1r ` R ) e. A ) ) )
4	3	simplbi 274	. 2 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> ( R e. Ring /\ ( R ↾s A ) e. Ring ) )
5	4	simpld 112	1 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> R e. Ring )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2200   C_ wss 3197   ` cfv 5314  (class class class)co 5994   Basecbs 13018   ↾_s cress 13019   1rcur 13908   Ringcrg 13945  SubRingcsubrg 14166

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1re 8081  ax-addrcl 8084

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4381  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-fv 5322  df-ov 5997  df-inn 9099  df-ndx 13021  df-slot 13022  df-base 13024  df-subrg 14168

This theorem is referenced by:  subrgsubg  14176  subrg1  14180  subrgmcl  14182  subrgsubm  14183  subrgdvds  14184  subrguss  14185  subrginv  14186  subrgdv  14187  subrgunit  14188  subrgugrp  14189  subrgintm  14192  subsubrg  14194  resrhm2b  14198  subrgpropd  14202  sralmod  14399