Theorem subrgrcl 14230

Description: Reverse closure for a subring predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
subrgrcl	|- ( A e. (SubRing ` R ) -> R e. Ring )

Proof of Theorem subrgrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2229	. . . 4 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
2		eqid 2229	. . . 4 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
3	1, 2	issubrg 14225	. . 3 |- ( A e. (SubRing ` R ) <-> ( ( R e. Ring /\ ( R ↾s A ) e. Ring ) /\ ( A C_ ( Base ` R ) /\ ( 1r ` R ) e. A ) ) )
4	3	simplbi 274	. 2 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> ( R e. Ring /\ ( R ↾s A ) e. Ring ) )
5	4	simpld 112	1 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> R e. Ring )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2200   C_ wss 3198   ` cfv 5324  (class class class)co 6013   Basecbs 13072   ↾_s cress 13073   1rcur 13962   Ringcrg 13999  SubRingcsubrg 14221

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1re 8116  ax-addrcl 8119

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-fv 5332  df-ov 6016  df-inn 9134  df-ndx 13075  df-slot 13076  df-base 13078  df-subrg 14223

This theorem is referenced by:  subrgsubg  14231  subrg1  14235  subrgmcl  14237  subrgsubm  14238  subrgdvds  14239  subrguss  14240  subrginv  14241  subrgdv  14242  subrgunit  14243  subrgugrp  14244  subrgintm  14247  subsubrg  14249  resrhm2b  14253  subrgpropd  14257  sralmod  14454