Theorem subrgring 14369

Description: A subring is a ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subrgring.1	|- S = ( R ↾s A )

Assertion

Ref	Expression
subrgring	|- ( A e. (SubRing ` R ) -> S e. Ring )

Proof of Theorem subrgring

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgring.1	. 2 |- S = ( R ↾s A )
2		eqid 2232	. . . . 5 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
3		eqid 2232	. . . . 5 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
4	2, 3	issubrg 14366	. . . 4 |- ( A e. (SubRing ` R ) <-> ( ( R e. Ring /\ ( R ↾s A ) e. Ring ) /\ ( A C_ ( Base ` R ) /\ ( 1r ` R ) e. A ) ) )
5	4	simplbi 274	. . 3 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> ( R e. Ring /\ ( R ↾s A ) e. Ring ) )
6	5	simprd 114	. 2 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> ( R ↾s A ) e. Ring )
7	1, 6	eqeltrid 2319	1 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> S e. Ring )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2203   C_ wss 3211   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   Basecbs 13212   ↾_s cress 13213   1rcur 14103   Ringcrg 14140  SubRingcsubrg 14362

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1re 8221  ax-addrcl 8224

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-fv 5360  df-ov 6053  df-inn 9238  df-ndx 13215  df-slot 13216  df-base 13218  df-subrg 14364

This theorem is referenced by:  subrgcrng  14370  subrgsubg  14372  subrg1  14376  subrgmcl  14378  subrgsubm  14379  subrgdvds  14380  subrguss  14381  subrginv  14382  subrgdv  14383  subrgunit  14384  subrgugrp  14385  subrgnzr  14387  subsubrg  14390  resrhm  14393  resrhm2b  14394  sralmod  14598