Theorem subrgring 14505

Description: A subring is a ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subrgring.1	|- S = ( R ↾s A )

Assertion

Ref	Expression
subrgring	|- ( A e. (SubRing ` R ) -> S e. Ring )

Proof of Theorem subrgring

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgring.1	. 2 |- S = ( R ↾s A )
2		eqid 2238	. . . . 5 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
3		eqid 2238	. . . . 5 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
4	2, 3	issubrg 14502	. . . 4 |- ( A e. (SubRing ` R ) <-> ( ( R e. Ring /\ ( R ↾s A ) e. Ring ) /\ ( A C_ ( Base ` R ) /\ ( 1r ` R ) e. A ) ) )
5	4	simplbi 274	. . 3 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> ( R e. Ring /\ ( R ↾s A ) e. Ring ) )
6	5	simprd 114	. 2 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> ( R ↾s A ) e. Ring )
7	1, 6	eqeltrid 2325	1 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> S e. Ring )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   C_ wss 3220   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   Basecbs 13330   ↾_s cress 13331   1rcur 14237   Ringcrg 14274  SubRingcsubrg 14498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1re 8263  ax-addrcl 8266

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-fv 5380  df-ov 6078  df-inn 9284  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-subrg 14500

This theorem is referenced by:  subrgcrng  14506  subrgsubg  14508  subrg1  14512  subrgmcl  14514  subrgsubm  14515  subrgdvds  14516  subrguss  14517  subrginv  14518  subrgdv  14519  subrgunit  14520  subrgugrp  14521  subrgnzr  14523  subsubrg  14526  resrhm  14529  resrhm2b  14530  sralmod  14759