Theorem subrgring 13723

Description: A subring is a ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subrgring.1	|- S = ( R ↾s A )

Assertion

Ref	Expression
subrgring	|- ( A e. (SubRing ` R ) -> S e. Ring )

Proof of Theorem subrgring

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgring.1	. 2 |- S = ( R ↾s A )
2		eqid 2193	. . . . 5 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
3		eqid 2193	. . . . 5 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
4	2, 3	issubrg 13720	. . . 4 |- ( A e. (SubRing ` R ) <-> ( ( R e. Ring /\ ( R ↾s A ) e. Ring ) /\ ( A C_ ( Base ` R ) /\ ( 1r ` R ) e. A ) ) )
5	4	simplbi 274	. . 3 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> ( R e. Ring /\ ( R ↾s A ) e. Ring ) )
6	5	simprd 114	. 2 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> ( R ↾s A ) e. Ring )
7	1, 6	eqeltrid 2280	1 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> S e. Ring )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164   C_ wss 3154   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   Basecbs 12621   ↾_s cress 12622   1rcur 13458   Ringcrg 13495  SubRingcsubrg 13716

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1re 7968  ax-addrcl 7971

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-fv 5263  df-ov 5922  df-inn 8985  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-base 12627  df-subrg 13718

This theorem is referenced by:  subrgcrng  13724  subrgsubg  13726  subrg1  13730  subrgmcl  13732  subrgsubm  13733  subrgdvds  13734  subrguss  13735  subrginv  13736  subrgdv  13737  subrgunit  13738  subrgugrp  13739  subrgnzr  13741  subsubrg  13744  resrhm  13747  resrhm2b  13748  sralmod  13949