Theorem subrgring 14237

Description: A subring is a ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subrgring.1	|- S = ( R ↾s A )

Assertion

Ref	Expression
subrgring	|- ( A e. (SubRing ` R ) -> S e. Ring )

Proof of Theorem subrgring

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgring.1	. 2 |- S = ( R ↾s A )
2		eqid 2231	. . . . 5 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
3		eqid 2231	. . . . 5 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
4	2, 3	issubrg 14234	. . . 4 |- ( A e. (SubRing ` R ) <-> ( ( R e. Ring /\ ( R ↾s A ) e. Ring ) /\ ( A C_ ( Base ` R ) /\ ( 1r ` R ) e. A ) ) )
5	4	simplbi 274	. . 3 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> ( R e. Ring /\ ( R ↾s A ) e. Ring ) )
6	5	simprd 114	. 2 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> ( R ↾s A ) e. Ring )
7	1, 6	eqeltrid 2318	1 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> S e. Ring )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202   C_ wss 3200   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   Basecbs 13081   ↾_s cress 13082   1rcur 13971   Ringcrg 14008  SubRingcsubrg 14230

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1re 8125  ax-addrcl 8128

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-fv 5334  df-ov 6020  df-inn 9143  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-subrg 14232

This theorem is referenced by:  subrgcrng  14238  subrgsubg  14240  subrg1  14244  subrgmcl  14246  subrgsubm  14247  subrgdvds  14248  subrguss  14249  subrginv  14250  subrgdv  14251  subrgunit  14252  subrgugrp  14253  subrgnzr  14255  subsubrg  14258  resrhm  14261  resrhm2b  14262  sralmod  14463