Theorem subrgring 13720

Description: A subring is a ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subrgring.1	|- S = ( R ↾s A )

Assertion

Ref	Expression
subrgring	|- ( A e. (SubRing ` R ) -> S e. Ring )

Proof of Theorem subrgring

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgring.1	. 2 |- S = ( R ↾s A )
2		eqid 2193	. . . . 5 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
3		eqid 2193	. . . . 5 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
4	2, 3	issubrg 13717	. . . 4 |- ( A e. (SubRing ` R ) <-> ( ( R e. Ring /\ ( R ↾s A ) e. Ring ) /\ ( A C_ ( Base ` R ) /\ ( 1r ` R ) e. A ) ) )
5	4	simplbi 274	. . 3 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> ( R e. Ring /\ ( R ↾s A ) e. Ring ) )
6	5	simprd 114	. 2 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> ( R ↾s A ) e. Ring )
7	1, 6	eqeltrid 2280	1 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> S e. Ring )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164   C_ wss 3153   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   Basecbs 12618   ↾_s cress 12619   1rcur 13455   Ringcrg 13492  SubRingcsubrg 13713

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1re 7966  ax-addrcl 7969

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-fv 5262  df-ov 5921  df-inn 8983  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-subrg 13715

This theorem is referenced by:  subrgcrng  13721  subrgsubg  13723  subrg1  13727  subrgmcl  13729  subrgsubm  13730  subrgdvds  13731  subrguss  13732  subrginv  13733  subrgdv  13734  subrgunit  13735  subrgugrp  13736  subrgnzr  13738  subsubrg  13741  resrhm  13744  resrhm2b  13745  sralmod  13946