Theorem sumdc 10568

Description: Decidability of a subset of upper integers. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumdc.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
sumdc.ss	|- ( ph -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
sumdc.dc	|- ( ph -> A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. A )
sumdc.n	|- ( ph -> N e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
sumdc	|- ( ph -> DECID N e. A )

Distinct variable groups:   x, A   x, M   x, N

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem sumdc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumdc.dc	. . 3 |- ( ph -> A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. A )
2		eleq1 2145	. . . . 5 |- ( x = N -> ( x e. A <-> N e. A ) )
3	2	dcbid 782	. . . 4 |- ( x = N -> (DECID x e. A <-> DECID N e. A ) )
4	3	rspcv 2708	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. A -> DECID N e. A ) )
5	1, 4	mpan9 275	. 2 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID N e. A )
6		sumdc.ss	. . . . . 6 |- ( ph -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
7	6	ssneld 3012	. . . . 5 |- ( ph -> ( -. N e. ( ZZ>= ` M ) -> -. N e. A ) )
8	7	imp 122	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> -. N e. A )
9	8	olcd 686	. . 3 |- ( ( ph /\ -. N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( N e. A \/ -. N e. A ) )
10		df-dc 777	. . 3 |- (DECID N e. A <-> ( N e. A \/ -. N e. A ) )
11	9, 10	sylibr 132	. 2 |- ( ( ph /\ -. N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID N e. A )
12		sumdc.m	. . . 4 |- ( ph -> M e. ZZ )
13		sumdc.n	. . . 4 |- ( ph -> N e. ZZ )
14		eluzdc 8991	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID N e. ( ZZ>= ` M ) )
15	12, 13, 14	syl2anc 403	. . 3 |- ( ph -> DECID N e. ( ZZ>= ` M ) )
16		exmiddc 778	. . 3 |- (DECID N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) \/ -. N e. ( ZZ>= ` M ) ) )
17	15, 16	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) \/ -. N e. ( ZZ>= ` M ) ) )
18	5, 11, 17	mpjaodan 745	1 |- ( ph -> DECID N e. A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102   \/ wo 662  DECID wdc 776   = wceq 1285   e. wcel 1434   A.wral 2353   C_ wss 2984   ` cfv 4968   ZZcz 8645   ZZ>=cuz 8913

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 3999  ax-un 4223  ax-setind 4315  ax-cnex 7338  ax-resscn 7339  ax-1cn 7340  ax-1re 7341  ax-icn 7342  ax-addcl 7343  ax-addrcl 7344  ax-mulcl 7345  ax-addcom 7347  ax-addass 7349  ax-distr 7351  ax-i2m1 7352  ax-0lt1 7353  ax-0id 7355  ax-rnegex 7356  ax-cnre 7358  ax-pre-ltirr 7359  ax-pre-ltwlin 7360  ax-pre-lttrn 7361  ax-pre-ltadd 7363

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-id 4083  df-xp 4406  df-rel 4407  df-cnv 4408  df-co 4409  df-dm 4410  df-iota 4933  df-fun 4970  df-fv 4976  df-riota 5546  df-ov 5593  df-oprab 5594  df-mpt2 5595  df-pnf 7426  df-mnf 7427  df-xr 7428  df-ltxr 7429  df-le 7430  df-sub 7557  df-neg 7558  df-inn 8316  df-n0 8565  df-z 8646  df-uz 8914

This theorem is referenced by:  sumeq2d  10569  sumeq2  10570