ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sumdc Unicode version

Theorem sumdc 11078
Description: Decidability of a subset of upper integers. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
sumdc.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
sumdc.ss  |-  ( ph  ->  A  C_  ( ZZ>= `  M ) )
sumdc.dc  |-  ( ph  ->  A. x  e.  (
ZZ>= `  M )DECID  x  e.  A )
sumdc.n  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
Assertion
Ref Expression
sumdc  |-  ( ph  -> DECID  N  e.  A )
Distinct variable groups:    x, A    x, M    x, N
Allowed substitution hint:    ph( x)

Proof of Theorem sumdc
StepHypRef Expression
1 sumdc.dc . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  (
ZZ>= `  M )DECID  x  e.  A )
2 eleq1 2178 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  (
x  e.  A  <->  N  e.  A ) )
32dcbid 806 . . . 4  |-  ( x  =  N  ->  (DECID  x  e.  A  <-> DECID  N  e.  A )
)
43rspcv 2757 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( A. x  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  x  e.  A  -> DECID  N  e.  A ) )
51, 4mpan9 277 . 2  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  -> DECID  N  e.  A
)
6 sumdc.ss . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  C_  ( ZZ>= `  M ) )
76ssneld 3067 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( -.  N  e.  ( ZZ>= `  M )  ->  -.  N  e.  A
) )
87imp 123 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  -.  N  e.  A )
98olcd 706 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( N  e.  A  \/  -.  N  e.  A )
)
10 df-dc 803 . . 3  |-  (DECID  N  e.  A  <->  ( N  e.  A  \/  -.  N  e.  A ) )
119, 10sylibr 133 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  -> DECID  N  e.  A
)
12 sumdc.m . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
13 sumdc.n . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
14 eluzdc 9356 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  -> DECID  N  e.  ( ZZ>= `  M
) )
1512, 13, 14syl2anc 406 . . 3  |-  ( ph  -> DECID  N  e.  ( ZZ>= `  M
) )
16 exmiddc 804 . . 3  |-  (DECID  N  e.  ( ZZ>= `  M )  ->  ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  \/ 
-.  N  e.  (
ZZ>= `  M ) ) )
1715, 16syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  \/ 
-.  N  e.  (
ZZ>= `  M ) ) )
185, 11, 17mpjaodan 770 1  |-  ( ph  -> DECID  N  e.  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    \/ wo 680  DECID wdc 802    = wceq 1314    e. wcel 1463   A.wral 2391    C_ wss 3039   ` cfv 5091   ZZcz 9008   ZZ>=cuz 9278
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-addcom 7684  ax-addass 7686  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-ltadd 7700
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-id 4183  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-inn 8681  df-n0 8932  df-z 9009  df-uz 9279
This theorem is referenced by:  sumeq2  11079
  Copyright terms: Public domain W3C validator