Theorem sumdc 11321

Description: Decidability of a subset of upper integers. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumdc.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
sumdc.ss	|- ( ph -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
sumdc.dc	|- ( ph -> A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. A )
sumdc.n	|- ( ph -> N e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
sumdc	|- ( ph -> DECID N e. A )

Distinct variable groups:   x, A   x, M   x, N

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem sumdc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumdc.dc	. . 3 |- ( ph -> A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. A )
2		eleq1 2233	. . . . 5 |- ( x = N -> ( x e. A <-> N e. A ) )
3	2	dcbid 833	. . . 4 |- ( x = N -> (DECID x e. A <-> DECID N e. A ) )
4	3	rspcv 2830	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. A -> DECID N e. A ) )
5	1, 4	mpan9 279	. 2 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID N e. A )
6		sumdc.ss	. . . . . 6 |- ( ph -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
7	6	ssneld 3149	. . . . 5 |- ( ph -> ( -. N e. ( ZZ>= ` M ) -> -. N e. A ) )
8	7	imp 123	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> -. N e. A )
9	8	olcd 729	. . 3 |- ( ( ph /\ -. N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( N e. A \/ -. N e. A ) )
10		df-dc 830	. . 3 |- (DECID N e. A <-> ( N e. A \/ -. N e. A ) )
11	9, 10	sylibr 133	. 2 |- ( ( ph /\ -. N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID N e. A )
12		sumdc.m	. . . 4 |- ( ph -> M e. ZZ )
13		sumdc.n	. . . 4 |- ( ph -> N e. ZZ )
14		eluzdc 9569	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID N e. ( ZZ>= ` M ) )
15	12, 13, 14	syl2anc 409	. . 3 |- ( ph -> DECID N e. ( ZZ>= ` M ) )
16		exmiddc 831	. . 3 |- (DECID N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) \/ -. N e. ( ZZ>= ` M ) ) )
17	15, 16	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) \/ -. N e. ( ZZ>= ` M ) ) )
18	5, 11, 17	mpjaodan 793	1 |- ( ph -> DECID N e. A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 703  DECID wdc 829   = wceq 1348   e. wcel 2141   A.wral 2448   C_ wss 3121   ` cfv 5198   ZZcz 9212   ZZ>=cuz 9487

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488

This theorem is referenced by:  sumeq2  11322  prodeq2  11520