Theorem sumdc 11299

Description: Decidability of a subset of upper integers. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumdc.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
sumdc.ss	|- ( ph -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
sumdc.dc	|- ( ph -> A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. A )
sumdc.n	|- ( ph -> N e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
sumdc	|- ( ph -> DECID N e. A )

Distinct variable groups:   x, A   x, M   x, N

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem sumdc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumdc.dc	. . 3 |- ( ph -> A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. A )
2		eleq1 2229	. . . . 5 |- ( x = N -> ( x e. A <-> N e. A ) )
3	2	dcbid 828	. . . 4 |- ( x = N -> (DECID x e. A <-> DECID N e. A ) )
4	3	rspcv 2826	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. A -> DECID N e. A ) )
5	1, 4	mpan9 279	. 2 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID N e. A )
6		sumdc.ss	. . . . . 6 |- ( ph -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
7	6	ssneld 3144	. . . . 5 |- ( ph -> ( -. N e. ( ZZ>= ` M ) -> -. N e. A ) )
8	7	imp 123	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> -. N e. A )
9	8	olcd 724	. . 3 |- ( ( ph /\ -. N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( N e. A \/ -. N e. A ) )
10		df-dc 825	. . 3 |- (DECID N e. A <-> ( N e. A \/ -. N e. A ) )
11	9, 10	sylibr 133	. 2 |- ( ( ph /\ -. N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID N e. A )
12		sumdc.m	. . . 4 |- ( ph -> M e. ZZ )
13		sumdc.n	. . . 4 |- ( ph -> N e. ZZ )
14		eluzdc 9548	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID N e. ( ZZ>= ` M ) )
15	12, 13, 14	syl2anc 409	. . 3 |- ( ph -> DECID N e. ( ZZ>= ` M ) )
16		exmiddc 826	. . 3 |- (DECID N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) \/ -. N e. ( ZZ>= ` M ) ) )
17	15, 16	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) \/ -. N e. ( ZZ>= ` M ) ) )
18	5, 11, 17	mpjaodan 788	1 |- ( ph -> DECID N e. A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 698  DECID wdc 824   = wceq 1343   e. wcel 2136   A.wral 2444   C_ wss 3116   ` cfv 5188   ZZcz 9191   ZZ>=cuz 9466

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-ltadd 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-inn 8858  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467

This theorem is referenced by:  sumeq2  11300  prodeq2  11498