Theorem sumdc 12124

Description: Decidability of a subset of upper integers. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumdc.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
sumdc.ss	|- ( ph -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
sumdc.dc	|- ( ph -> A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. A )
sumdc.n	|- ( ph -> N e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
sumdc	|- ( ph -> DECID N e. A )

Distinct variable groups:   x, A   x, M   x, N

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem sumdc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumdc.dc	. . 3 |- ( ph -> A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. A )
2		eleq1 2301	. . . . 5 |- ( x = N -> ( x e. A <-> N e. A ) )
3	2	dcbid 850	. . . 4 |- ( x = N -> (DECID x e. A <-> DECID N e. A ) )
4	3	rspcv 2925	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. A -> DECID N e. A ) )
5	1, 4	mpan9 281	. 2 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID N e. A )
6		sumdc.ss	. . . . . 6 |- ( ph -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
7	6	ssneld 3250	. . . . 5 |- ( ph -> ( -. N e. ( ZZ>= ` M ) -> -. N e. A ) )
8	7	imp 124	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> -. N e. A )
9	8	olcd 746	. . 3 |- ( ( ph /\ -. N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( N e. A \/ -. N e. A ) )
10		df-dc 847	. . 3 |- (DECID N e. A <-> ( N e. A \/ -. N e. A ) )
11	9, 10	sylibr 134	. 2 |- ( ( ph /\ -. N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID N e. A )
12		sumdc.m	. . . 4 |- ( ph -> M e. ZZ )
13		sumdc.n	. . . 4 |- ( ph -> N e. ZZ )
14		eluzdc 10010	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID N e. ( ZZ>= ` M ) )
15	12, 13, 14	syl2anc 415	. . 3 |- ( ph -> DECID N e. ( ZZ>= ` M ) )
16		exmiddc 848	. . 3 |- (DECID N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) \/ -. N e. ( ZZ>= ` M ) ) )
17	15, 16	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) \/ -. N e. ( ZZ>= ` M ) ) )
18	5, 11, 17	mpjaodan 810	1 |- ( ph -> DECID N e. A )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 720  DECID wdc 846   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   C_ wss 3220   ` cfv 5377   ZZcz 9644   ZZ>=cuz 9921

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922

This theorem is used by:  sumeq2  12125  prodeq2  12324