ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sumdc Unicode version

Theorem sumdc 11398
Description: Decidability of a subset of upper integers. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
sumdc.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
sumdc.ss  |-  ( ph  ->  A  C_  ( ZZ>= `  M ) )
sumdc.dc  |-  ( ph  ->  A. x  e.  (
ZZ>= `  M )DECID  x  e.  A )
sumdc.n  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
Assertion
Ref Expression
sumdc  |-  ( ph  -> DECID  N  e.  A )
Distinct variable groups:    x, A    x, M    x, N
Allowed substitution hint:    ph( x)

Proof of Theorem sumdc
StepHypRef Expression
1 sumdc.dc . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  (
ZZ>= `  M )DECID  x  e.  A )
2 eleq1 2252 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  (
x  e.  A  <->  N  e.  A ) )
32dcbid 839 . . . 4  |-  ( x  =  N  ->  (DECID  x  e.  A  <-> DECID  N  e.  A )
)
43rspcv 2852 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( A. x  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  x  e.  A  -> DECID  N  e.  A ) )
51, 4mpan9 281 . 2  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  -> DECID  N  e.  A
)
6 sumdc.ss . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  C_  ( ZZ>= `  M ) )
76ssneld 3172 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( -.  N  e.  ( ZZ>= `  M )  ->  -.  N  e.  A
) )
87imp 124 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  -.  N  e.  A )
98olcd 735 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( N  e.  A  \/  -.  N  e.  A )
)
10 df-dc 836 . . 3  |-  (DECID  N  e.  A  <->  ( N  e.  A  \/  -.  N  e.  A ) )
119, 10sylibr 134 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  -> DECID  N  e.  A
)
12 sumdc.m . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
13 sumdc.n . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
14 eluzdc 9640 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  -> DECID  N  e.  ( ZZ>= `  M
) )
1512, 13, 14syl2anc 411 . . 3  |-  ( ph  -> DECID  N  e.  ( ZZ>= `  M
) )
16 exmiddc 837 . . 3  |-  (DECID  N  e.  ( ZZ>= `  M )  ->  ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  \/ 
-.  N  e.  (
ZZ>= `  M ) ) )
1715, 16syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  \/ 
-.  N  e.  (
ZZ>= `  M ) ) )
185, 11, 17mpjaodan 799 1  |-  ( ph  -> DECID  N  e.  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    \/ wo 709  DECID wdc 835    = wceq 1364    e. wcel 2160   A.wral 2468    C_ wss 3144   ` cfv 5235   ZZcz 9283   ZZ>=cuz 9558
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-1re 7935  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-addcom 7941  ax-addass 7943  ax-distr 7945  ax-i2m1 7946  ax-0lt1 7947  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-cnre 7952  ax-pre-ltirr 7953  ax-pre-ltwlin 7954  ax-pre-lttrn 7955  ax-pre-ltadd 7957
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-xr 8026  df-ltxr 8027  df-le 8028  df-sub 8160  df-neg 8161  df-inn 8950  df-n0 9207  df-z 9284  df-uz 9559
This theorem is referenced by:  sumeq2  11399  prodeq2  11597
  Copyright terms: Public domain W3C validator