Theorem sumdc 11540

Description: Decidability of a subset of upper integers. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumdc.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
sumdc.ss	|- ( ph -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
sumdc.dc	|- ( ph -> A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. A )
sumdc.n	|- ( ph -> N e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
sumdc	|- ( ph -> DECID N e. A )

Distinct variable groups:   x, A   x, M   x, N

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem sumdc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumdc.dc	. . 3 |- ( ph -> A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. A )
2		eleq1 2259	. . . . 5 |- ( x = N -> ( x e. A <-> N e. A ) )
3	2	dcbid 839	. . . 4 |- ( x = N -> (DECID x e. A <-> DECID N e. A ) )
4	3	rspcv 2864	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. A -> DECID N e. A ) )
5	1, 4	mpan9 281	. 2 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID N e. A )
6		sumdc.ss	. . . . . 6 |- ( ph -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
7	6	ssneld 3186	. . . . 5 |- ( ph -> ( -. N e. ( ZZ>= ` M ) -> -. N e. A ) )
8	7	imp 124	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> -. N e. A )
9	8	olcd 735	. . 3 |- ( ( ph /\ -. N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( N e. A \/ -. N e. A ) )
10		df-dc 836	. . 3 |- (DECID N e. A <-> ( N e. A \/ -. N e. A ) )
11	9, 10	sylibr 134	. 2 |- ( ( ph /\ -. N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID N e. A )
12		sumdc.m	. . . 4 |- ( ph -> M e. ZZ )
13		sumdc.n	. . . 4 |- ( ph -> N e. ZZ )
14		eluzdc 9701	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID N e. ( ZZ>= ` M ) )
15	12, 13, 14	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> DECID N e. ( ZZ>= ` M ) )
16		exmiddc 837	. . 3 |- (DECID N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) \/ -. N e. ( ZZ>= ` M ) ) )
17	15, 16	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) \/ -. N e. ( ZZ>= ` M ) ) )
18	5, 11, 17	mpjaodan 799	1 |- ( ph -> DECID N e. A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   C_ wss 3157   ` cfv 5259   ZZcz 9343   ZZ>=cuz 9618

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-inn 9008  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619

This theorem is referenced by:  sumeq2  11541  prodeq2  11739