ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sumdc GIF version

Theorem sumdc 11321
Description: Decidability of a subset of upper integers. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
sumdc.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
sumdc.ss (𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑀))
sumdc.dc (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑥𝐴)
sumdc.n (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
sumdc (𝜑DECID 𝑁𝐴)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem sumdc
StepHypRef Expression
1 sumdc.dc . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑥𝐴)
2 eleq1 2233 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → (𝑥𝐴𝑁𝐴))
32dcbid 833 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → (DECID 𝑥𝐴DECID 𝑁𝐴))
43rspcv 2830 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑥𝐴DECID 𝑁𝐴))
51, 4mpan9 279 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → DECID 𝑁𝐴)
6 sumdc.ss . . . . . 6 (𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑀))
76ssneld 3149 . . . . 5 (𝜑 → (¬ 𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ¬ 𝑁𝐴))
87imp 123 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → ¬ 𝑁𝐴)
98olcd 729 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑁𝐴 ∨ ¬ 𝑁𝐴))
10 df-dc 830 . . 3 (DECID 𝑁𝐴 ↔ (𝑁𝐴 ∨ ¬ 𝑁𝐴))
119, 10sylibr 133 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → DECID 𝑁𝐴)
12 sumdc.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
13 sumdc.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
14 eluzdc 9569 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
1512, 13, 14syl2anc 409 . . 3 (𝜑DECID 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
16 exmiddc 831 . . 3 (DECID 𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∨ ¬ 𝑁 ∈ (ℤ𝑀)))
1715, 16syl 14 . 2 (𝜑 → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∨ ¬ 𝑁 ∈ (ℤ𝑀)))
185, 11, 17mpjaodan 793 1 (𝜑DECID 𝑁𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wo 703  DECID wdc 829   = wceq 1348  wcel 2141  wral 2448  wss 3121  cfv 5198  cz 9212  cuz 9487
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-ltadd 7890
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488
This theorem is referenced by:  sumeq2  11322  prodeq2  11520
  Copyright terms: Public domain W3C validator