Theorem sumdc 11159

Description: Decidability of a subset of upper integers. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumdc.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
sumdc.ss	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
sumdc.dc	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
sumdc.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
sumdc	⊢ (𝜑 → DECID 𝑁 ∈ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem sumdc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumdc.dc	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
2		eleq1 2203	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑁 ∈ 𝐴))
3	2	dcbid 824	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ DECID 𝑁 ∈ 𝐴))
4	3	rspcv 2789	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (∀𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑥 ∈ 𝐴 → DECID 𝑁 ∈ 𝐴))
5	1, 4	mpan9 279	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → DECID 𝑁 ∈ 𝐴)
6		sumdc.ss	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
7	6	ssneld 3104	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ¬ 𝑁 ∈ 𝐴))
8	7	imp 123	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ¬ 𝑁 ∈ 𝐴)
9	8	olcd 724	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑁 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑁 ∈ 𝐴))
10		df-dc 821	. . 3 ⊢ (DECID 𝑁 ∈ 𝐴 ↔ (𝑁 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑁 ∈ 𝐴))
11	9, 10	sylibr 133	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → DECID 𝑁 ∈ 𝐴)
12		sumdc.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
13		sumdc.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
14		eluzdc 9431	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
15	12, 13, 14	syl2anc 409	. . 3 ⊢ (𝜑 → DECID 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
16		exmiddc 822	. . 3 ⊢ (DECID 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∨ ¬ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
17	15, 16	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∨ ¬ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
18	5, 11, 17	mpjaodan 788	1 ⊢ (𝜑 → DECID 𝑁 ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 698  DECID wdc 820   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  ∀wral 2417   ⊆ wss 3076  ‘cfv 5131  ℤcz 9078  ℤ_≥cuz 9350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-addcom 7744  ax-addass 7746  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-ltadd 7760

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-inn 8745  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351

This theorem is referenced by:  sumeq2  11160  prodeq2  11358