Theorem sumdc 11739

Description: Decidability of a subset of upper integers. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumdc.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
sumdc.ss	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
sumdc.dc	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
sumdc.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
sumdc	⊢ (𝜑 → DECID 𝑁 ∈ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem sumdc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumdc.dc	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
2		eleq1 2269	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑁 ∈ 𝐴))
3	2	dcbid 840	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ DECID 𝑁 ∈ 𝐴))
4	3	rspcv 2877	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (∀𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑥 ∈ 𝐴 → DECID 𝑁 ∈ 𝐴))
5	1, 4	mpan9 281	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → DECID 𝑁 ∈ 𝐴)
6		sumdc.ss	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
7	6	ssneld 3199	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ¬ 𝑁 ∈ 𝐴))
8	7	imp 124	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ¬ 𝑁 ∈ 𝐴)
9	8	olcd 736	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑁 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑁 ∈ 𝐴))
10		df-dc 837	. . 3 ⊢ (DECID 𝑁 ∈ 𝐴 ↔ (𝑁 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑁 ∈ 𝐴))
11	9, 10	sylibr 134	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → DECID 𝑁 ∈ 𝐴)
12		sumdc.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
13		sumdc.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
14		eluzdc 9746	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
15	12, 13, 14	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → DECID 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
16		exmiddc 838	. . 3 ⊢ (DECID 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∨ ¬ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
17	15, 16	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∨ ¬ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
18	5, 11, 17	mpjaodan 800	1 ⊢ (𝜑 → DECID 𝑁 ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 710  DECID wdc 836   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ∀wral 2485   ⊆ wss 3170  ‘cfv 5279  ℤcz 9387  ℤ_≥cuz 9663

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4169  ax-pow 4225  ax-pr 4260  ax-un 4487  ax-setind 4592  ax-cnex 8031  ax-resscn 8032  ax-1cn 8033  ax-1re 8034  ax-icn 8035  ax-addcl 8036  ax-addrcl 8037  ax-mulcl 8038  ax-addcom 8040  ax-addass 8042  ax-distr 8044  ax-i2m1 8045  ax-0lt1 8046  ax-0id 8048  ax-rnegex 8049  ax-cnre 8051  ax-pre-ltirr 8052  ax-pre-ltwlin 8053  ax-pre-lttrn 8054  ax-pre-ltadd 8056

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3622  df-sn 3643  df-pr 3644  df-op 3646  df-uni 3856  df-int 3891  df-br 4051  df-opab 4113  df-mpt 4114  df-id 4347  df-xp 4688  df-rel 4689  df-cnv 4690  df-co 4691  df-dm 4692  df-iota 5240  df-fun 5281  df-fv 5287  df-riota 5911  df-ov 5959  df-oprab 5960  df-mpo 5961  df-pnf 8124  df-mnf 8125  df-xr 8126  df-ltxr 8127  df-le 8128  df-sub 8260  df-neg 8261  df-inn 9052  df-n0 9311  df-z 9388  df-uz 9664

This theorem is referenced by:  sumeq2  11740  prodeq2  11938