ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sumdc GIF version

Theorem sumdc 11259
Description: Decidability of a subset of upper integers. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
sumdc.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
sumdc.ss (𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑀))
sumdc.dc (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑥𝐴)
sumdc.n (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
sumdc (𝜑DECID 𝑁𝐴)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem sumdc
StepHypRef Expression
1 sumdc.dc . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑥𝐴)
2 eleq1 2220 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → (𝑥𝐴𝑁𝐴))
32dcbid 824 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → (DECID 𝑥𝐴DECID 𝑁𝐴))
43rspcv 2812 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑥𝐴DECID 𝑁𝐴))
51, 4mpan9 279 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → DECID 𝑁𝐴)
6 sumdc.ss . . . . . 6 (𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑀))
76ssneld 3130 . . . . 5 (𝜑 → (¬ 𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ¬ 𝑁𝐴))
87imp 123 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → ¬ 𝑁𝐴)
98olcd 724 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑁𝐴 ∨ ¬ 𝑁𝐴))
10 df-dc 821 . . 3 (DECID 𝑁𝐴 ↔ (𝑁𝐴 ∨ ¬ 𝑁𝐴))
119, 10sylibr 133 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → DECID 𝑁𝐴)
12 sumdc.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
13 sumdc.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
14 eluzdc 9522 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
1512, 13, 14syl2anc 409 . . 3 (𝜑DECID 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
16 exmiddc 822 . . 3 (DECID 𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∨ ¬ 𝑁 ∈ (ℤ𝑀)))
1715, 16syl 14 . 2 (𝜑 → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∨ ¬ 𝑁 ∈ (ℤ𝑀)))
185, 11, 17mpjaodan 788 1 (𝜑DECID 𝑁𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wo 698  DECID wdc 820   = wceq 1335  wcel 2128  wral 2435  wss 3102  cfv 5171  cz 9168  cuz 9440
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4083  ax-pow 4136  ax-pr 4170  ax-un 4394  ax-setind 4497  ax-cnex 7824  ax-resscn 7825  ax-1cn 7826  ax-1re 7827  ax-icn 7828  ax-addcl 7829  ax-addrcl 7830  ax-mulcl 7831  ax-addcom 7833  ax-addass 7835  ax-distr 7837  ax-i2m1 7838  ax-0lt1 7839  ax-0id 7841  ax-rnegex 7842  ax-cnre 7844  ax-pre-ltirr 7845  ax-pre-ltwlin 7846  ax-pre-lttrn 7847  ax-pre-ltadd 7849
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3774  df-int 3809  df-br 3967  df-opab 4027  df-mpt 4028  df-id 4254  df-xp 4593  df-rel 4594  df-cnv 4595  df-co 4596  df-dm 4597  df-iota 5136  df-fun 5173  df-fv 5179  df-riota 5781  df-ov 5828  df-oprab 5829  df-mpo 5830  df-pnf 7915  df-mnf 7916  df-xr 7917  df-ltxr 7918  df-le 7919  df-sub 8049  df-neg 8050  df-inn 8835  df-n0 9092  df-z 9169  df-uz 9441
This theorem is referenced by:  sumeq2  11260  prodeq2  11458
  Copyright terms: Public domain W3C validator