ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  topgrpstrd Unicode version

Theorem topgrpstrd 12650
Description: A constructed topological group is a structure. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 9-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
topgrpfn.w  |-  W  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. (TopSet `  ndx ) ,  J >. }
topgrpfnd.b  |-  ( ph  ->  B  e.  V )
topgrpfnd.p  |-  ( ph  ->  .+  e.  W )
topgrpfnd.j  |-  ( ph  ->  J  e.  X )
Assertion
Ref Expression
topgrpstrd  |-  ( ph  ->  W Struct  <. 1 ,  9
>. )

Proof of Theorem topgrpstrd
StepHypRef Expression
1 topgrpfn.w . 2  |-  W  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. (TopSet `  ndx ) ,  J >. }
2 topgrpfnd.b . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  V )
3 topgrpfnd.p . . 3  |-  ( ph  ->  .+  e.  W )
4 topgrpfnd.j . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  X )
5 1nn 8929 . . . 4  |-  1  e.  NN
6 basendx 12516 . . . 4  |-  ( Base `  ndx )  =  1
7 1lt2 9087 . . . 4  |-  1  <  2
8 2nn 9079 . . . 4  |-  2  e.  NN
9 plusgndx 12567 . . . 4  |-  ( +g  ` 
ndx )  =  2
10 2lt9 9121 . . . 4  |-  2  <  9
11 9nn 9086 . . . 4  |-  9  e.  NN
12 tsetndx 12640 . . . 4  |-  (TopSet `  ndx )  =  9
135, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12strle3g 12566 . . 3  |-  ( ( B  e.  V  /\  .+  e.  W  /\  J  e.  X )  ->  { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. (TopSet ` 
ndx ) ,  J >. } Struct  <. 1 ,  9
>. )
142, 3, 4, 13syl3anc 1238 . 2  |-  ( ph  ->  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. (TopSet `  ndx ) ,  J >. } Struct  <. 1 ,  9
>. )
151, 14eqbrtrid 4038 1  |-  ( ph  ->  W Struct  <. 1 ,  9
>. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1353    e. wcel 2148   {ctp 3594   <.cop 3595   class class class wbr 4003   ` cfv 5216   1c1 7811   2c2 8969   9c9 8976   Struct cstr 12457   ndxcnx 12458   Basecbs 12461   +g cplusg 12535  TopSetcts 12541
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-tp 3600  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-inn 8919  df-2 8977  df-3 8978  df-4 8979  df-5 8980  df-6 8981  df-7 8982  df-8 8983  df-9 8984  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-fz 10008  df-struct 12463  df-ndx 12464  df-slot 12465  df-base 12467  df-plusg 12548  df-tset 12554
This theorem is referenced by:  topgrpbasd  12651  topgrpplusgd  12652  topgrptsetd  12653
  Copyright terms: Public domain W3C validator