Theorem topgrpstrd 13426

Description: A constructed topological group is a structure. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 9-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
topgrpfn.w	|- W = { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. (TopSet ` ndx ) , J >. }
topgrpfnd.b	|- ( ph -> B e. V )
topgrpfnd.p	|- ( ph -> .+ e. W )
topgrpfnd.j	|- ( ph -> J e. X )

Assertion

Ref	Expression
topgrpstrd	|- ( ph -> W Struct <. 1 , 9 >. )

Proof of Theorem topgrpstrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		topgrpfn.w	. 2 |- W = { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. (TopSet ` ndx ) , J >. }
2		topgrpfnd.b	. . 3 |- ( ph -> B e. V )
3		topgrpfnd.p	. . 3 |- ( ph -> .+ e. W )
4		topgrpfnd.j	. . 3 |- ( ph -> J e. X )
5		1nn 9250	. . . 4 |- 1 e. NN
6		basendx 13284	. . . 4 |- ( Base ` ndx ) = 1
7		1lt2 9409	. . . 4 |- 1 < 2
8		2nn 9401	. . . 4 |- 2 e. NN
9		plusgndx 13339	. . . 4 |- ( +g ` ndx ) = 2
10		2lt9 9443	. . . 4 |- 2 < 9
11		9nn 9408	. . . 4 |- 9 e. NN
12		tsetndx 13416	. . . 4 |- (TopSet ` ndx ) = 9
13	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	strle3g 13338	. . 3 |- ( ( B e. V /\ .+ e. W /\ J e. X ) -> { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. (TopSet ` ndx ) , J >. } Struct <. 1 , 9 >. )
14	2, 3, 4, 13	syl3anc 1274	. 2 |- ( ph -> { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. (TopSet ` ndx ) , J >. } Struct <. 1 , 9 >. )
15	1, 14	eqbrtrid 4146	1 |- ( ph -> W Struct <. 1 , 9 >. )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2205   {ctp 3693   <.cop 3694   class class class wbr 4111   ` cfv 5354   1c1 8130   2c2 9290   9c9 9297   Struct cstr 13225   ndxcnx 13226   Basecbs 13229   +g cplusg 13307  TopSetcts 13313

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-addcom 8229  ax-addass 8231  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-apti 8244  ax-pre-ltadd 8245

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-tp 3699  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-inn 9240  df-2 9298  df-3 9299  df-4 9300  df-5 9301  df-6 9302  df-7 9303  df-8 9304  df-9 9305  df-n0 9499  df-z 9580  df-uz 9857  df-fz 10346  df-struct 13231  df-ndx 13232  df-slot 13233  df-base 13235  df-plusg 13320  df-tset 13326

This theorem is referenced by:  topgrpbasd  13427  topgrpplusgd  13428  topgrptsetd  13429