Theorem topgrpplusgd 13283

Description: The additive operation of a constructed topological group. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 9-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
topgrpfn.w	⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩}
topgrpfnd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
topgrpfnd.p	⊢ (𝜑 → + ∈ 𝑊)
topgrpfnd.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
topgrpplusgd	⊢ (𝜑 → + = (+g‘𝑊))

Proof of Theorem topgrpplusgd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plusgslid 13197	. 2 ⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)
2		topgrpfn.w	. . 3 ⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩}
3		topgrpfnd.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
4		topgrpfnd.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → + ∈ 𝑊)
5		topgrpfnd.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑋)
6	2, 3, 4, 5	topgrpstrd 13281	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 Struct ⟨1, 9⟩)
7	1	simpri 113	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) ∈ ℕ
8		opexg 4320	. . . . 5 ⊢ (((+g‘ndx) ∈ ℕ ∧ + ∈ 𝑊) → ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∈ V)
9	7, 4, 8	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∈ V)
10		tpid2g 3786	. . . 4 ⊢ (⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∈ V → ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩})
11	9, 10	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩})
12	11, 2	eleqtrrdi 2325	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∈ 𝑊)
13	1, 6, 4, 12	opelstrsl 13199	1 ⊢ (𝜑 → + = (+g‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  Vcvv 2802  {ctp 3671  ⟨cop 3672  ‘cfv 5326  1c1 8033  ℕcn 9143  9c9 9201  ndxcnx 13081  Slot cslot 13083  Basecbs 13084  +_gcplusg 13162  TopSetcts 13168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-tp 3677  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-7 9207  df-8 9208  df-9 9209  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-fz 10244  df-struct 13086  df-ndx 13087  df-slot 13088  df-base 13090  df-plusg 13175  df-tset 13181

This theorem is referenced by: (None)