Theorem topgrpplusgd 13001

Description: The additive operation of a constructed topological group. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 9-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
topgrpfn.w	⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩}
topgrpfnd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
topgrpfnd.p	⊢ (𝜑 → + ∈ 𝑊)
topgrpfnd.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
topgrpplusgd	⊢ (𝜑 → + = (+g‘𝑊))

Proof of Theorem topgrpplusgd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plusgslid 12915	. 2 ⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)
2		topgrpfn.w	. . 3 ⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩}
3		topgrpfnd.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
4		topgrpfnd.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → + ∈ 𝑊)
5		topgrpfnd.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑋)
6	2, 3, 4, 5	topgrpstrd 12999	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 Struct ⟨1, 9⟩)
7	1	simpri 113	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) ∈ ℕ
8		opexg 4271	. . . . 5 ⊢ (((+g‘ndx) ∈ ℕ ∧ + ∈ 𝑊) → ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∈ V)
9	7, 4, 8	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∈ V)
10		tpid2g 3746	. . . 4 ⊢ (⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∈ V → ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩})
11	9, 10	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩})
12	11, 2	eleqtrrdi 2298	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∈ 𝑊)
13	1, 6, 4, 12	opelstrsl 12917	1 ⊢ (𝜑 → + = (+g‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1372   ∈ wcel 2175  Vcvv 2771  {ctp 3634  ⟨cop 3635  ‘cfv 5270  1c1 7925  ℕcn 9035  9c9 9093  ndxcnx 12800  Slot cslot 12802  Basecbs 12803  +_gcplusg 12880  TopSetcts 12886

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-addcom 8024  ax-addass 8026  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-cnre 8035  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltwlin 8037  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-apti 8039  ax-pre-ltadd 8040

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-tp 3640  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111  df-le 8112  df-sub 8244  df-neg 8245  df-inn 9036  df-2 9094  df-3 9095  df-4 9096  df-5 9097  df-6 9098  df-7 9099  df-8 9100  df-9 9101  df-n0 9295  df-z 9372  df-uz 9648  df-fz 10130  df-struct 12805  df-ndx 12806  df-slot 12807  df-base 12809  df-plusg 12893  df-tset 12899

This theorem is referenced by: (None)