ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  topgrpplusgd GIF version

Theorem topgrpplusgd 12149
Description: The additive operation of a constructed topological group. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 9-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
topgrpfn.w 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩}
topgrpfnd.b (𝜑𝐵𝑉)
topgrpfnd.p (𝜑+𝑊)
topgrpfnd.j (𝜑𝐽𝑋)
Assertion
Ref Expression
topgrpplusgd (𝜑+ = (+g𝑊))

Proof of Theorem topgrpplusgd
StepHypRef Expression
1 plusgslid 12091 . 2 (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)
2 topgrpfn.w . . 3 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩}
3 topgrpfnd.b . . 3 (𝜑𝐵𝑉)
4 topgrpfnd.p . . 3 (𝜑+𝑊)
5 topgrpfnd.j . . 3 (𝜑𝐽𝑋)
62, 3, 4, 5topgrpstrd 12147 . 2 (𝜑𝑊 Struct ⟨1, 9⟩)
71simpri 112 . . . . 5 (+g‘ndx) ∈ ℕ
8 opexg 4157 . . . . 5 (((+g‘ndx) ∈ ℕ ∧ +𝑊) → ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∈ V)
97, 4, 8sylancr 411 . . . 4 (𝜑 → ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∈ V)
10 tpid2g 3644 . . . 4 (⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∈ V → ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩})
119, 10syl 14 . . 3 (𝜑 → ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩})
1211, 2eleqtrrdi 2234 . 2 (𝜑 → ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∈ 𝑊)
131, 6, 4, 12opelstrsl 12092 1 (𝜑+ = (+g𝑊))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1332  wcel 1481  Vcvv 2689  {ctp 3533  cop 3534  cfv 5130  1c1 7644  cn 8743  9c9 8801  ndxcnx 11993  Slot cslot 11995  Basecbs 11996  +gcplusg 12058  TopSetcts 12064
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-addcom 7743  ax-addass 7745  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0lt1 7749  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-apti 7758  ax-pre-ltadd 7759
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-nul 3368  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-tp 3539  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-id 4222  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-fv 5138  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-sub 7958  df-neg 7959  df-inn 8744  df-2 8802  df-3 8803  df-4 8804  df-5 8805  df-6 8806  df-7 8807  df-8 8808  df-9 8809  df-n0 9001  df-z 9078  df-uz 9350  df-fz 9821  df-struct 11998  df-ndx 11999  df-slot 12000  df-base 12002  df-plusg 12071  df-tset 12077
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator