Theorem tpfidceq 7034

Description: A triple is finite if it consists of elements of a class with decidable equality. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
tpfidceq.a	|- ( ph -> A e. D )
tpfidceq.b	|- ( ph -> B e. D )
tpfidceq.c	|- ( ph -> C e. D )
tpfidceq.dc	|- ( ph -> A. x e. D A. y e. D DECID x = y )

Assertion

Ref	Expression
tpfidceq	|- ( ph -> { A , B , C } e. Fin )

Distinct variable groups:   x, A, y   y, B   x, C, y   x, D, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   B( x)

Proof of Theorem tpfidceq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-tp 3642	. 2 |- { A , B , C } = ( { A , B } u. { C } )
2		tpfidceq.c	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. D )
3		snssg 3769	. . . . . . 7 |- ( C e. D -> ( C e. { A , B } <-> { C } C_ { A , B } ) )
4	2, 3	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> ( C e. { A , B } <-> { C } C_ { A , B } ) )
5	4	biimpa 296	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C e. { A , B } ) -> { C } C_ { A , B } )
6		ssequn2 3347	. . . . 5 |- ( { C } C_ { A , B } <-> ( { A , B } u. { C } ) = { A , B } )
7	5, 6	sylib 122	. . . 4 |- ( ( ph /\ C e. { A , B } ) -> ( { A , B } u. { C } ) = { A , B } )
8		tpfidceq.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. D )
9		tpfidceq.b	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. D )
10		tpfidceq.dc	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. D A. y e. D DECID x = y )
11	8, 9, 10	prfidceq 7032	. . . . 5 |- ( ph -> { A , B } e. Fin )
12	11	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ C e. { A , B } ) -> { A , B } e. Fin )
13	7, 12	eqeltrd 2283	. . 3 |- ( ( ph /\ C e. { A , B } ) -> ( { A , B } u. { C } ) e. Fin )
14	11	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. C e. { A , B } ) -> { A , B } e. Fin )
15	2	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. C e. { A , B } ) -> C e. D )
16		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. C e. { A , B } ) -> -. C e. { A , B } )
17		unsnfi 7023	. . . 4 |- ( ( { A , B } e. Fin /\ C e. D /\ -. C e. { A , B } ) -> ( { A , B } u. { C } ) e. Fin )
18	14, 15, 16, 17	syl3anc 1250	. . 3 |- ( ( ph /\ -. C e. { A , B } ) -> ( { A , B } u. { C } ) e. Fin )
19		eqeq1 2213	. . . . . . . . . 10 |- ( x = C -> ( x = y <-> C = y ) )
20	19	dcbid 840	. . . . . . . . 9 |- ( x = C -> (DECID x = y <-> DECID C = y ) )
21		eqeq2 2216	. . . . . . . . . 10 |- ( y = A -> ( C = y <-> C = A ) )
22	21	dcbid 840	. . . . . . . . 9 |- ( y = A -> (DECID C = y <-> DECID C = A ) )
23	20, 22	rspc2va 2892	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. D /\ A e. D ) /\ A. x e. D A. y e. D DECID x = y ) -> DECID C = A )
24	2, 8, 10, 23	syl21anc 1249	. . . . . . 7 |- ( ph -> DECID C = A )
25		elsng 3649	. . . . . . . . 9 |- ( C e. D -> ( C e. { A } <-> C = A ) )
26	2, 25	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( C e. { A } <-> C = A ) )
27	26	dcbid 840	. . . . . . 7 |- ( ph -> (DECID C e. { A } <-> DECID C = A ) )
28	24, 27	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ph -> DECID C e. { A } )
29		eqeq2 2216	. . . . . . . . . 10 |- ( y = B -> ( C = y <-> C = B ) )
30	29	dcbid 840	. . . . . . . . 9 |- ( y = B -> (DECID C = y <-> DECID C = B ) )
31	20, 30	rspc2va 2892	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. D /\ B e. D ) /\ A. x e. D A. y e. D DECID x = y ) -> DECID C = B )
32	2, 9, 10, 31	syl21anc 1249	. . . . . . 7 |- ( ph -> DECID C = B )
33		elsng 3649	. . . . . . . . 9 |- ( C e. D -> ( C e. { B } <-> C = B ) )
34	2, 33	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( C e. { B } <-> C = B ) )
35	34	dcbid 840	. . . . . . 7 |- ( ph -> (DECID C e. { B } <-> DECID C = B ) )
36	32, 35	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ph -> DECID C e. { B } )
37	28, 36	dcun 3571	. . . . 5 |- ( ph -> DECID C e. ( { A } u. { B } ) )
38		df-pr 3641	. . . . . . 7 |- { A , B } = ( { A } u. { B } )
39	38	eleq2i 2273	. . . . . 6 |- ( C e. { A , B } <-> C e. ( { A } u. { B } ) )
40	39	dcbii 842	. . . . 5 |- (DECID C e. { A , B } <-> DECID C e. ( { A } u. { B } ) )
41	37, 40	sylibr 134	. . . 4 |- ( ph -> DECID C e. { A , B } )
42		exmiddc 838	. . . 4 |- (DECID C e. { A , B } -> ( C e. { A , B } \/ -. C e. { A , B } ) )
43	41, 42	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( C e. { A , B } \/ -. C e. { A , B } ) )
44	13, 18, 43	mpjaodan 800	. 2 |- ( ph -> ( { A , B } u. { C } ) e. Fin )
45	1, 44	eqeltrid 2293	1 |- ( ph -> { A , B , C } e. Fin )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 710  DECID wdc 836   = wceq 1373   e. wcel 2177   A.wral 2485   u. cun 3165   C_ wss 3167   {csn 3634   {cpr 3635   {ctp 3636   Fincfn 6834

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-nul 4174  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-iinf 4640

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-if 3573  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-tp 3642  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-tr 4147  df-id 4344  df-iord 4417  df-on 4419  df-suc 4422  df-iom 4643  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-1o 6509  df-er 6627  df-en 6835  df-fin 6837

This theorem is referenced by:  perfectlem2  15516