Theorem tpfidceq 7203

Description: A triple is finite if it consists of elements of a class with decidable equality. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
tpfidceq.a	|- ( ph -> A e. D )
tpfidceq.b	|- ( ph -> B e. D )
tpfidceq.c	|- ( ph -> C e. D )
tpfidceq.dc	|- ( ph -> A. x e. D A. y e. D DECID x = y )

Assertion

Ref	Expression
tpfidceq	|- ( ph -> { A , B , C } e. Fin )

Distinct variable groups:   x, A, y   y, B   x, C, y   x, D, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   B( x)

Proof of Theorem tpfidceq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-tp 3702	. 2 |- { A , B , C } = ( { A , B } u. { C } )
2		tpfidceq.c	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. D )
3		snssg 3833	. . . . . . 7 |- ( C e. D -> ( C e. { A , B } <-> { C } C_ { A , B } ) )
4	2, 3	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> ( C e. { A , B } <-> { C } C_ { A , B } ) )
5	4	biimpa 296	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C e. { A , B } ) -> { C } C_ { A , B } )
6		ssequn2 3396	. . . . 5 |- ( { C } C_ { A , B } <-> ( { A , B } u. { C } ) = { A , B } )
7	5, 6	sylib 122	. . . 4 |- ( ( ph /\ C e. { A , B } ) -> ( { A , B } u. { C } ) = { A , B } )
8		tpfidceq.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. D )
9		tpfidceq.b	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. D )
10		tpfidceq.dc	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. D A. y e. D DECID x = y )
11	8, 9, 10	prfidceq 7201	. . . . 5 |- ( ph -> { A , B } e. Fin )
12	11	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ C e. { A , B } ) -> { A , B } e. Fin )
13	7, 12	eqeltrd 2311	. . 3 |- ( ( ph /\ C e. { A , B } ) -> ( { A , B } u. { C } ) e. Fin )
14	11	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. C e. { A , B } ) -> { A , B } e. Fin )
15	2	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. C e. { A , B } ) -> C e. D )
16		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. C e. { A , B } ) -> -. C e. { A , B } )
17		unsnfi 7192	. . . 4 |- ( ( { A , B } e. Fin /\ C e. D /\ -. C e. { A , B } ) -> ( { A , B } u. { C } ) e. Fin )
18	14, 15, 16, 17	syl3anc 1274	. . 3 |- ( ( ph /\ -. C e. { A , B } ) -> ( { A , B } u. { C } ) e. Fin )
19		eqeq1 2241	. . . . . . . . . 10 |- ( x = C -> ( x = y <-> C = y ) )
20	19	dcbid 846	. . . . . . . . 9 |- ( x = C -> (DECID x = y <-> DECID C = y ) )
21		eqeq2 2244	. . . . . . . . . 10 |- ( y = A -> ( C = y <-> C = A ) )
22	21	dcbid 846	. . . . . . . . 9 |- ( y = A -> (DECID C = y <-> DECID C = A ) )
23	20, 22	rspc2va 2938	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. D /\ A e. D ) /\ A. x e. D A. y e. D DECID x = y ) -> DECID C = A )
24	2, 8, 10, 23	syl21anc 1273	. . . . . . 7 |- ( ph -> DECID C = A )
25		elsng 3709	. . . . . . . . 9 |- ( C e. D -> ( C e. { A } <-> C = A ) )
26	2, 25	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( C e. { A } <-> C = A ) )
27	26	dcbid 846	. . . . . . 7 |- ( ph -> (DECID C e. { A } <-> DECID C = A ) )
28	24, 27	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ph -> DECID C e. { A } )
29		eqeq2 2244	. . . . . . . . . 10 |- ( y = B -> ( C = y <-> C = B ) )
30	29	dcbid 846	. . . . . . . . 9 |- ( y = B -> (DECID C = y <-> DECID C = B ) )
31	20, 30	rspc2va 2938	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. D /\ B e. D ) /\ A. x e. D A. y e. D DECID x = y ) -> DECID C = B )
32	2, 9, 10, 31	syl21anc 1273	. . . . . . 7 |- ( ph -> DECID C = B )
33		elsng 3709	. . . . . . . . 9 |- ( C e. D -> ( C e. { B } <-> C = B ) )
34	2, 33	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( C e. { B } <-> C = B ) )
35	34	dcbid 846	. . . . . . 7 |- ( ph -> (DECID C e. { B } <-> DECID C = B ) )
36	32, 35	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ph -> DECID C e. { B } )
37	28, 36	dcun 3623	. . . . 5 |- ( ph -> DECID C e. ( { A } u. { B } ) )
38		df-pr 3701	. . . . . . 7 |- { A , B } = ( { A } u. { B } )
39	38	eleq2i 2301	. . . . . 6 |- ( C e. { A , B } <-> C e. ( { A } u. { B } ) )
40	39	dcbii 848	. . . . 5 |- (DECID C e. { A , B } <-> DECID C e. ( { A } u. { B } ) )
41	37, 40	sylibr 134	. . . 4 |- ( ph -> DECID C e. { A , B } )
42		exmiddc 844	. . . 4 |- (DECID C e. { A , B } -> ( C e. { A , B } \/ -. C e. { A , B } ) )
43	41, 42	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( C e. { A , B } \/ -. C e. { A , B } ) )
44	13, 18, 43	mpjaodan 806	. 2 |- ( ph -> ( { A , B } u. { C } ) e. Fin )
45	1, 44	eqeltrid 2321	1 |- ( ph -> { A , B , C } e. Fin )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716  DECID wdc 842   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   u. cun 3212   C_ wss 3214   {csn 3694   {cpr 3695   {ctp 3696   Fincfn 6988

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-tp 3702  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-1o 6660  df-er 6780  df-en 6989  df-fin 6991

This theorem is referenced by:  perfectlem2  15994