Theorem tpfidceq 6991

Description: A triple is finite if it consists of elements of a class with decidable equality. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
tpfidceq.a	|- ( ph -> A e. D )
tpfidceq.b	|- ( ph -> B e. D )
tpfidceq.c	|- ( ph -> C e. D )
tpfidceq.dc	|- ( ph -> A. x e. D A. y e. D DECID x = y )

Assertion

Ref	Expression
tpfidceq	|- ( ph -> { A , B , C } e. Fin )

Distinct variable groups:   x, A, y   y, B   x, C, y   x, D, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   B( x)

Proof of Theorem tpfidceq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-tp 3630	. 2 |- { A , B , C } = ( { A , B } u. { C } )
2		tpfidceq.c	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. D )
3		snssg 3756	. . . . . . 7 |- ( C e. D -> ( C e. { A , B } <-> { C } C_ { A , B } ) )
4	2, 3	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> ( C e. { A , B } <-> { C } C_ { A , B } ) )
5	4	biimpa 296	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C e. { A , B } ) -> { C } C_ { A , B } )
6		ssequn2 3336	. . . . 5 |- ( { C } C_ { A , B } <-> ( { A , B } u. { C } ) = { A , B } )
7	5, 6	sylib 122	. . . 4 |- ( ( ph /\ C e. { A , B } ) -> ( { A , B } u. { C } ) = { A , B } )
8		tpfidceq.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. D )
9		tpfidceq.b	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. D )
10		tpfidceq.dc	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. D A. y e. D DECID x = y )
11	8, 9, 10	prfidceq 6989	. . . . 5 |- ( ph -> { A , B } e. Fin )
12	11	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ C e. { A , B } ) -> { A , B } e. Fin )
13	7, 12	eqeltrd 2273	. . 3 |- ( ( ph /\ C e. { A , B } ) -> ( { A , B } u. { C } ) e. Fin )
14	11	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. C e. { A , B } ) -> { A , B } e. Fin )
15	2	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. C e. { A , B } ) -> C e. D )
16		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. C e. { A , B } ) -> -. C e. { A , B } )
17		unsnfi 6980	. . . 4 |- ( ( { A , B } e. Fin /\ C e. D /\ -. C e. { A , B } ) -> ( { A , B } u. { C } ) e. Fin )
18	14, 15, 16, 17	syl3anc 1249	. . 3 |- ( ( ph /\ -. C e. { A , B } ) -> ( { A , B } u. { C } ) e. Fin )
19		eqeq1 2203	. . . . . . . . . 10 |- ( x = C -> ( x = y <-> C = y ) )
20	19	dcbid 839	. . . . . . . . 9 |- ( x = C -> (DECID x = y <-> DECID C = y ) )
21		eqeq2 2206	. . . . . . . . . 10 |- ( y = A -> ( C = y <-> C = A ) )
22	21	dcbid 839	. . . . . . . . 9 |- ( y = A -> (DECID C = y <-> DECID C = A ) )
23	20, 22	rspc2va 2882	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. D /\ A e. D ) /\ A. x e. D A. y e. D DECID x = y ) -> DECID C = A )
24	2, 8, 10, 23	syl21anc 1248	. . . . . . 7 |- ( ph -> DECID C = A )
25		elsng 3637	. . . . . . . . 9 |- ( C e. D -> ( C e. { A } <-> C = A ) )
26	2, 25	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( C e. { A } <-> C = A ) )
27	26	dcbid 839	. . . . . . 7 |- ( ph -> (DECID C e. { A } <-> DECID C = A ) )
28	24, 27	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ph -> DECID C e. { A } )
29		eqeq2 2206	. . . . . . . . . 10 |- ( y = B -> ( C = y <-> C = B ) )
30	29	dcbid 839	. . . . . . . . 9 |- ( y = B -> (DECID C = y <-> DECID C = B ) )
31	20, 30	rspc2va 2882	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. D /\ B e. D ) /\ A. x e. D A. y e. D DECID x = y ) -> DECID C = B )
32	2, 9, 10, 31	syl21anc 1248	. . . . . . 7 |- ( ph -> DECID C = B )
33		elsng 3637	. . . . . . . . 9 |- ( C e. D -> ( C e. { B } <-> C = B ) )
34	2, 33	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( C e. { B } <-> C = B ) )
35	34	dcbid 839	. . . . . . 7 |- ( ph -> (DECID C e. { B } <-> DECID C = B ) )
36	32, 35	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ph -> DECID C e. { B } )
37	28, 36	dcun 3560	. . . . 5 |- ( ph -> DECID C e. ( { A } u. { B } ) )
38		df-pr 3629	. . . . . . 7 |- { A , B } = ( { A } u. { B } )
39	38	eleq2i 2263	. . . . . 6 |- ( C e. { A , B } <-> C e. ( { A } u. { B } ) )
40	39	dcbii 841	. . . . 5 |- (DECID C e. { A , B } <-> DECID C e. ( { A } u. { B } ) )
41	37, 40	sylibr 134	. . . 4 |- ( ph -> DECID C e. { A , B } )
42		exmiddc 837	. . . 4 |- (DECID C e. { A , B } -> ( C e. { A , B } \/ -. C e. { A , B } ) )
43	41, 42	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( C e. { A , B } \/ -. C e. { A , B } ) )
44	13, 18, 43	mpjaodan 799	. 2 |- ( ph -> ( { A , B } u. { C } ) e. Fin )
45	1, 44	eqeltrid 2283	1 |- ( ph -> { A , B , C } e. Fin )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   u. cun 3155   C_ wss 3157   {csn 3622   {cpr 3623   {ctp 3624   Fincfn 6799

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-tp 3630  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-1o 6474  df-er 6592  df-en 6800  df-fin 6802

This theorem is referenced by:  perfectlem2  15236