Theorem tpfidceq 7227

Description: A triple is finite if it consists of elements of a class with decidable equality. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
tpfidceq.a	|- ( ph -> A e. D )
tpfidceq.b	|- ( ph -> B e. D )
tpfidceq.c	|- ( ph -> C e. D )
tpfidceq.dc	|- ( ph -> A. x e. D A. y e. D DECID x = y )

Assertion

Ref	Expression
tpfidceq	|- ( ph -> { A , B , C } e. Fin )

Distinct variable groups:   x, A, y   y, B   x, C, y   x, D, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   B( x)

Proof of Theorem tpfidceq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-tp 3713	. 2 |- { A , B , C } = ( { A , B } u. { C } )
2		tpfidceq.c	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. D )
3		snssg 3844	. . . . . . 7 |- ( C e. D -> ( C e. { A , B } <-> { C } C_ { A , B } ) )
4	2, 3	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> ( C e. { A , B } <-> { C } C_ { A , B } ) )
5	4	biimpa 296	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C e. { A , B } ) -> { C } C_ { A , B } )
6		ssequn2 3402	. . . . 5 |- ( { C } C_ { A , B } <-> ( { A , B } u. { C } ) = { A , B } )
7	5, 6	sylib 122	. . . 4 |- ( ( ph /\ C e. { A , B } ) -> ( { A , B } u. { C } ) = { A , B } )
8		tpfidceq.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. D )
9		tpfidceq.b	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. D )
10		tpfidceq.dc	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. D A. y e. D DECID x = y )
11	8, 9, 10	prfidceq 7225	. . . . 5 |- ( ph -> { A , B } e. Fin )
12	11	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ C e. { A , B } ) -> { A , B } e. Fin )
13	7, 12	eqeltrd 2315	. . 3 |- ( ( ph /\ C e. { A , B } ) -> ( { A , B } u. { C } ) e. Fin )
14	11	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. C e. { A , B } ) -> { A , B } e. Fin )
15	2	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. C e. { A , B } ) -> C e. D )
16		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. C e. { A , B } ) -> -. C e. { A , B } )
17		unsnfi 7216	. . . 4 |- ( ( { A , B } e. Fin /\ C e. D /\ -. C e. { A , B } ) -> ( { A , B } u. { C } ) e. Fin )
18	14, 15, 16, 17	syl3anc 1278	. . 3 |- ( ( ph /\ -. C e. { A , B } ) -> ( { A , B } u. { C } ) e. Fin )
19		eqeq1 2245	. . . . . . . . . 10 |- ( x = C -> ( x = y <-> C = y ) )
20	19	dcbid 850	. . . . . . . . 9 |- ( x = C -> (DECID x = y <-> DECID C = y ) )
21		eqeq2 2248	. . . . . . . . . 10 |- ( y = A -> ( C = y <-> C = A ) )
22	21	dcbid 850	. . . . . . . . 9 |- ( y = A -> (DECID C = y <-> DECID C = A ) )
23	20, 22	rspc2va 2944	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. D /\ A e. D ) /\ A. x e. D A. y e. D DECID x = y ) -> DECID C = A )
24	2, 8, 10, 23	syl21anc 1277	. . . . . . 7 |- ( ph -> DECID C = A )
25		elsng 3720	. . . . . . . . 9 |- ( C e. D -> ( C e. { A } <-> C = A ) )
26	2, 25	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( C e. { A } <-> C = A ) )
27	26	dcbid 850	. . . . . . 7 |- ( ph -> (DECID C e. { A } <-> DECID C = A ) )
28	24, 27	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ph -> DECID C e. { A } )
29		eqeq2 2248	. . . . . . . . . 10 |- ( y = B -> ( C = y <-> C = B ) )
30	29	dcbid 850	. . . . . . . . 9 |- ( y = B -> (DECID C = y <-> DECID C = B ) )
31	20, 30	rspc2va 2944	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. D /\ B e. D ) /\ A. x e. D A. y e. D DECID x = y ) -> DECID C = B )
32	2, 9, 10, 31	syl21anc 1277	. . . . . . 7 |- ( ph -> DECID C = B )
33		elsng 3720	. . . . . . . . 9 |- ( C e. D -> ( C e. { B } <-> C = B ) )
34	2, 33	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( C e. { B } <-> C = B ) )
35	34	dcbid 850	. . . . . . 7 |- ( ph -> (DECID C e. { B } <-> DECID C = B ) )
36	32, 35	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ph -> DECID C e. { B } )
37	28, 36	dcun 3634	. . . . 5 |- ( ph -> DECID C e. ( { A } u. { B } ) )
38		df-pr 3712	. . . . . . 7 |- { A , B } = ( { A } u. { B } )
39	38	eleq2i 2305	. . . . . 6 |- ( C e. { A , B } <-> C e. ( { A } u. { B } ) )
40	39	dcbii 852	. . . . 5 |- (DECID C e. { A , B } <-> DECID C e. ( { A } u. { B } ) )
41	37, 40	sylibr 134	. . . 4 |- ( ph -> DECID C e. { A , B } )
42		exmiddc 848	. . . 4 |- (DECID C e. { A , B } -> ( C e. { A , B } \/ -. C e. { A , B } ) )
43	41, 42	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( C e. { A , B } \/ -. C e. { A , B } ) )
44	13, 18, 43	mpjaodan 810	. 2 |- ( ph -> ( { A , B } u. { C } ) e. Fin )
45	1, 44	eqeltrid 2325	1 |- ( ph -> { A , B , C } e. Fin )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720  DECID wdc 846   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   u. cun 3218   C_ wss 3220   {csn 3705   {cpr 3706   {ctp 3707   Fincfn 7012

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-tp 3713  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-1o 6677  df-er 6797  df-en 7013  df-fin 7015

This theorem is referenced by:  perfectlem2  16028