Theorem perfectlem2 15320

Description: Lemma for perfect 15321. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.) (Revised by Wolf Lammen, 17-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
perfectlem.1	|- ( ph -> A e. NN )
perfectlem.2	|- ( ph -> B e. NN )
perfectlem.3	|- ( ph -> -. 2 || B )
perfectlem.4	|- ( ph -> ( 1 sigma ( ( 2 ^ A ) x. B ) ) = ( 2 x. ( ( 2 ^ A ) x. B ) ) )

Assertion

Ref	Expression
perfectlem2	|- ( ph -> ( B e. Prime /\ B = ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) )

Proof of Theorem perfectlem2

Dummy variables k n x p q are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		perfectlem.2	. . . 4 |- ( ph -> B e. NN )
2		1red 8058	. . . . 5 |- ( ph -> 1 e. RR )
3		perfectlem.1	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. NN )
4		perfectlem.3	. . . . . . . 8 |- ( ph -> -. 2 || B )
5		perfectlem.4	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 sigma ( ( 2 ^ A ) x. B ) ) = ( 2 x. ( ( 2 ^ A ) x. B ) ) )
6	3, 1, 4, 5	perfectlem1 15319	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) e. NN /\ ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) e. NN /\ ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) e. NN ) )
7	6	simp3d 1013	. . . . . 6 |- ( ph -> ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) e. NN )
8	7	nnred 9020	. . . . 5 |- ( ph -> ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) e. RR )
9	1	nnred 9020	. . . . 5 |- ( ph -> B e. RR )
10	7	nnge1d 9050	. . . . 5 |- ( ph -> 1 <_ ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) )
11		2cn 9078	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. CC
12		exp1 10654	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 e. CC -> ( 2 ^ 1 ) = 2 )
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 ^ 1 ) = 2
14		df-2 9066	. . . . . . . . . 10 |- 2 = ( 1 + 1 )
15	13, 14	eqtri 2217	. . . . . . . . 9 |- ( 2 ^ 1 ) = ( 1 + 1 )
16		2re 9077	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. RR
17	16	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 2 e. RR )
18		1zzd 9370	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
19	3	peano2nnd 9022	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A + 1 ) e. NN )
20	19	nnzd 9464	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A + 1 ) e. ZZ )
21		1lt2 9177	. . . . . . . . . . 11 |- 1 < 2
22	21	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 1 < 2 )
23		1re 8042	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. RR
24	3	nnrpd 9786	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A e. RR+ )
25		ltaddrp 9783	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 e. RR /\ A e. RR+ ) -> 1 < ( 1 + A ) )
26	23, 24, 25	sylancr 414	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 1 < ( 1 + A ) )
27		ax-1cn 7989	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. CC
28	3	nncnd 9021	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A e. CC )
29		addcom 8180	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 e. CC /\ A e. CC ) -> ( 1 + A ) = ( A + 1 ) )
30	27, 28, 29	sylancr 414	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 + A ) = ( A + 1 ) )
31	26, 30	breqtrd 4060	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 1 < ( A + 1 ) )
32		ltexp2a 10700	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 2 e. RR /\ 1 e. ZZ /\ ( A + 1 ) e. ZZ ) /\ ( 1 < 2 /\ 1 < ( A + 1 ) ) ) -> ( 2 ^ 1 ) < ( 2 ^ ( A + 1 ) ) )
33	17, 18, 20, 22, 31, 32	syl32anc 1257	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 2 ^ 1 ) < ( 2 ^ ( A + 1 ) ) )
34	15, 33	eqbrtrrid 4070	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 + 1 ) < ( 2 ^ ( A + 1 ) ) )
35	6	simp1d 1011	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 ^ ( A + 1 ) ) e. NN )
36	35	nnred 9020	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 2 ^ ( A + 1 ) ) e. RR )
37	2, 2, 36	ltaddsubd 8589	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 1 + 1 ) < ( 2 ^ ( A + 1 ) ) <-> 1 < ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) )
38	34, 37	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 < ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) )
39		0lt1 8170	. . . . . . . . 9 |- 0 < 1
40	39	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 < 1 )
41		peano2rem 8310	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) e. RR -> ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) e. RR )
42	36, 41	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) e. RR )
43		expgt1 10686	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. RR /\ ( A + 1 ) e. NN /\ 1 < 2 ) -> 1 < ( 2 ^ ( A + 1 ) ) )
44	16, 19, 22, 43	mp3an2i 1353	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 1 < ( 2 ^ ( A + 1 ) ) )
45		posdif 8499	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. RR /\ ( 2 ^ ( A + 1 ) ) e. RR ) -> ( 1 < ( 2 ^ ( A + 1 ) ) <-> 0 < ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) )
46	23, 36, 45	sylancr 414	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 < ( 2 ^ ( A + 1 ) ) <-> 0 < ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) )
47	44, 46	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 < ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) )
48	1	nngt0d 9051	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 < B )
49		ltdiv2 8931	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 1 e. RR /\ 0 < 1 ) /\ ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) e. RR /\ 0 < ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) /\ ( B e. RR /\ 0 < B ) ) -> ( 1 < ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) <-> ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) < ( B / 1 ) ) )
50	2, 40, 42, 47, 9, 48, 49	syl222anc 1265	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 < ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) <-> ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) < ( B / 1 ) ) )
51	38, 50	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ph -> ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) < ( B / 1 ) )
52	1	nncnd 9021	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. CC )
53	52	div1d 8824	. . . . . 6 |- ( ph -> ( B / 1 ) = B )
54	51, 53	breqtrd 4060	. . . . 5 |- ( ph -> ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) < B )
55	2, 8, 9, 10, 54	lelttrd 8168	. . . 4 |- ( ph -> 1 < B )
56		eluz2b2 9694	. . . 4 |- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( B e. NN /\ 1 < B ) )
57	1, 55, 56	sylanbrc 417	. . 3 |- ( ph -> B e. ( ZZ>= ` 2 ) )
58		simprl 529	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) -> n e. NN )
59	58	nnzd 9464	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) -> n e. ZZ )
60	7	nnzd 9464	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) e. ZZ )
61	60	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) -> ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) e. ZZ )
62		zdceq 9418	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. ZZ /\ ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) e. ZZ ) -> DECID n = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) )
63	59, 61, 62	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) -> DECID n = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) )
64	1	nnzd 9464	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> B e. ZZ )
65	64	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) -> B e. ZZ )
66		zdceq 9418	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> DECID n = B )
67	59, 65, 66	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) -> DECID n = B )
68		dcor 937	. . . . . . . . . 10 |- (DECID n = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) -> (DECID n = B -> DECID ( n = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) \/ n = B ) ) )
69	63, 67, 68	sylc 62	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) -> DECID ( n = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) \/ n = B ) )
70		elprg 3643	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN -> ( n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } <-> ( n = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) \/ n = B ) ) )
71	58, 70	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) -> ( n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } <-> ( n = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) \/ n = B ) ) )
72	71	dcbid 839	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) -> (DECID n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } <-> DECID ( n = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) \/ n = B ) ) )
73	69, 72	mpbird 167	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) -> DECID n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } )
74		dvdsfi 12432	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. NN -> { x e. NN | x || B } e. Fin )
75	1, 74	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> { x e. NN | x || B } e. Fin )
76	75	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> { x e. NN | x || B } e. Fin )
77		ssrab2 3269	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { x e. NN | x || B } C_ NN
78	77	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> { x e. NN | x || B } C_ NN )
79	78	sselda 3184	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) /\ k e. { x e. NN | x || B } ) -> k e. NN )
80	79	nnred 9020	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) /\ k e. { x e. NN | x || B } ) -> k e. RR )
81	79	nnnn0d 9319	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) /\ k e. { x e. NN | x || B } ) -> k e. NN0 )
82	81	nn0ge0d 9322	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) /\ k e. { x e. NN | x || B } ) -> 0 <_ k )
83		df-tp 3631	. . . . . . . . . . . . 13 |- { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , n } = ( { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } u. { n } )
84	7, 1	prssd 3782	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } C_ NN )
85	84	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } C_ NN )
86		simplrl 535	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> n e. NN )
87	86	snssd 3768	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> { n } C_ NN )
88	85, 87	unssd 3340	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> ( { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } u. { n } ) C_ NN )
89	83, 88	eqsstrid 3230	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , n } C_ NN )
90	6	simp2d 1012	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) e. NN )
91	90	nnzd 9464	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) e. ZZ )
92		dvdsmul2 11996	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) e. ZZ /\ ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) e. ZZ ) -> ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) || ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) )
93	91, 60, 92	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) || ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) )
94	90	nncnd 9021	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) e. CC )
95	42, 47	gt0ap0d 8673	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) # 0 )
96	52, 94, 95	divcanap2d 8836	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) = B )
97	93, 96	breqtrd 4060	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) || B )
98		breq1 4037	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) -> ( x || B <-> ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) || B ) )
99	97, 98	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( x = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) -> x || B ) )
100	99	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> ( x = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) -> x || B ) )
101		iddvds 11986	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( B e. ZZ -> B || B )
102	64, 101	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> B || B )
103		breq1 4037	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = B -> ( x || B <-> B || B ) )
104	102, 103	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( x = B -> x || B ) )
105	104	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> ( x = B -> x || B ) )
106		simplrr 536	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> n || B )
107		breq1 4037	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = n -> ( x || B <-> n || B ) )
108	106, 107	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> ( x = n -> x || B ) )
109	100, 105, 108	3jaod 1315	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> ( ( x = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) \/ x = B \/ x = n ) -> x || B ) )
110		eltpi 3670	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , n } -> ( x = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) \/ x = B \/ x = n ) )
111	109, 110	impel 280	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) /\ x e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , n } ) -> x || B )
112	89, 111	ssrabdv 3263	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , n } C_ { x e. NN | x || B } )
113		zdceq 9418	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( p e. ZZ /\ q e. ZZ ) -> DECID p = q )
114	113	rgen2 2583	. . . . . . . . . . . . . 14 |- A. p e. ZZ A. q e. ZZ DECID p = q
115	114	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) -> A. p e. ZZ A. q e. ZZ DECID p = q )
116	61, 65, 59, 115	tpfidceq 7000	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) -> { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , n } e. Fin )
117	116	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , n } e. Fin )
118	76, 80, 82, 112, 117	fsumlessfi 11642	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> sum_ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , n } k <_ sum_ k e. { x e. NN | x || B } k )
119		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } )
120		disjsn 3685	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } i^i { n } ) = (/) <-> -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } )
121	119, 120	sylibr 134	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> ( { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } i^i { n } ) = (/) )
122	83	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , n } = ( { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } u. { n } ) )
123	89	sselda 3184	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) /\ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , n } ) -> k e. NN )
124	123	nncnd 9021	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) /\ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , n } ) -> k e. CC )
125	121, 122, 117, 124	fsumsplit 11589	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> sum_ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , n } k = ( sum_ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } k + sum_ k e. { n } k ) )
126	7	nncnd 9021	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) e. CC )
127		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) -> k = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) )
128	127	sumsn 11593	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) e. NN /\ ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) e. CC ) -> sum_ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) } k = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) )
129	7, 126, 128	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> sum_ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) } k = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) )
130		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = B -> k = B )
131	130	sumsn 11593	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( B e. NN /\ B e. CC ) -> sum_ k e. { B } k = B )
132	1, 52, 131	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> sum_ k e. { B } k = B )
133	129, 132	oveq12d 5943	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( sum_ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) } k + sum_ k e. { B } k ) = ( ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) + B ) )
134		incom 3356	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( { B } i^i { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) } ) = ( { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) } i^i { B } )
135	8, 54	gtned 8156	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> B =/= ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) )
136		disjsn2 3686	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( B =/= ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) -> ( { B } i^i { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) } ) = (/) )
137	135, 136	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( { B } i^i { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) } ) = (/) )
138	134, 137	eqtr3id 2243	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) } i^i { B } ) = (/) )
139		df-pr 3630	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } = ( { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) } u. { B } )
140	139	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } = ( { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) } u. { B } ) )
141	114	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A. p e. ZZ A. q e. ZZ DECID p = q )
142	60, 64, 141	prfidceq 6998	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } e. Fin )
143	84	sselda 3184	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> k e. NN )
144	143	nncnd 9021	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> k e. CC )
145	138, 140, 142, 144	fsumsplit 11589	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> sum_ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } k = ( sum_ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) } k + sum_ k e. { B } k ) )
146	94, 52	mulcld 8064	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) x. B ) e. CC )
147	52, 146, 94, 95	divdirapd 8873	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( B + ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) x. B ) ) / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) = ( ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) + ( ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) x. B ) / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) )
148	35	nncnd 9021	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( 2 ^ ( A + 1 ) ) e. CC )
149		1cnd 8059	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> 1 e. CC )
150	148, 149, 52	subdird 8458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) x. B ) = ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. B ) - ( 1 x. B ) ) )
151	52	mullidd 8061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( 1 x. B ) = B )
152	151	oveq2d 5941	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. B ) - ( 1 x. B ) ) = ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. B ) - B ) )
153	150, 152	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) x. B ) = ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. B ) - B ) )
154	153	oveq2d 5941	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( B + ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) x. B ) ) = ( B + ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. B ) - B ) ) )
155	148, 52	mulcld 8064	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. B ) e. CC )
156	52, 155	pncan3d 8357	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( B + ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. B ) - B ) ) = ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. B ) )
157	154, 156	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( B + ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) x. B ) ) = ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. B ) )
158	157	oveq1d 5940	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( B + ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) x. B ) ) / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) = ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. B ) / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) )
159	148, 52, 94, 95	divassapd 8870	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. B ) / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) = ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) )
160	158, 159	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( B + ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) x. B ) ) / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) = ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) )
161	52, 94, 95	divcanap3d 8839	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) x. B ) / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) = B )
162	161	oveq2d 5941	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) + ( ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) x. B ) / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) = ( ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) + B ) )
163	147, 160, 162	3eqtr3d 2237	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) = ( ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) + B ) )
164	133, 145, 163	3eqtr4d 2239	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> sum_ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } k = ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) )
165	164	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> sum_ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } k = ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) )
166	86	nncnd 9021	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> n e. CC )
167		id 19	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = n -> k = n )
168	167	sumsn 11593	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. CC /\ n e. CC ) -> sum_ k e. { n } k = n )
169	166, 166, 168	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> sum_ k e. { n } k = n )
170	165, 169	oveq12d 5943	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> ( sum_ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } k + sum_ k e. { n } k ) = ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + n ) )
171	125, 170	eqtrd 2229	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> sum_ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , n } k = ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + n ) )
172	3	nnnn0d 9319	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> A e. NN0 )
173		expp1 10655	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 2 e. CC /\ A e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( A + 1 ) ) = ( ( 2 ^ A ) x. 2 ) )
174	11, 172, 173	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( 2 ^ ( A + 1 ) ) = ( ( 2 ^ A ) x. 2 ) )
175		2nn 9169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 2 e. NN
176		nnexpcl 10661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 2 e. NN /\ A e. NN0 ) -> ( 2 ^ A ) e. NN )
177	175, 172, 176	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( 2 ^ A ) e. NN )
178	177	nncnd 9021	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( 2 ^ A ) e. CC )
179		mulcom 8025	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( 2 ^ A ) e. CC /\ 2 e. CC ) -> ( ( 2 ^ A ) x. 2 ) = ( 2 x. ( 2 ^ A ) ) )
180	178, 11, 179	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( 2 ^ A ) x. 2 ) = ( 2 x. ( 2 ^ A ) ) )
181	174, 180	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( 2 ^ ( A + 1 ) ) = ( 2 x. ( 2 ^ A ) ) )
182	181	oveq1d 5940	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. B ) = ( ( 2 x. ( 2 ^ A ) ) x. B ) )
183		2cnd 9080	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> 2 e. CC )
184	183, 178, 52	mulassd 8067	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( 2 ^ A ) ) x. B ) = ( 2 x. ( ( 2 ^ A ) x. B ) ) )
185		2prm 12320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 2 e. Prime
186		coprm 12337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 2 e. Prime /\ B e. ZZ ) -> ( -. 2 || B <-> ( 2 gcd B ) = 1 ) )
187	185, 64, 186	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( -. 2 || B <-> ( 2 gcd B ) = 1 ) )
188	4, 187	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( 2 gcd B ) = 1 )
189		2z 9371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 2 e. ZZ
190		rpexp1i 12347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 2 e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A e. NN0 ) -> ( ( 2 gcd B ) = 1 -> ( ( 2 ^ A ) gcd B ) = 1 ) )
191	189, 64, 172, 190	mp3an2i 1353	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( 2 gcd B ) = 1 -> ( ( 2 ^ A ) gcd B ) = 1 ) )
192	188, 191	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( 2 ^ A ) gcd B ) = 1 )
193		sgmmul 15316	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 1 e. CC /\ ( ( 2 ^ A ) e. NN /\ B e. NN /\ ( ( 2 ^ A ) gcd B ) = 1 ) ) -> ( 1 sigma ( ( 2 ^ A ) x. B ) ) = ( ( 1 sigma ( 2 ^ A ) ) x. ( 1 sigma B ) ) )
194	149, 177, 1, 192, 193	syl13anc 1251	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( 1 sigma ( ( 2 ^ A ) x. B ) ) = ( ( 1 sigma ( 2 ^ A ) ) x. ( 1 sigma B ) ) )
195		pncan 8249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( A e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( A + 1 ) - 1 ) = A )
196	28, 27, 195	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( ( A + 1 ) - 1 ) = A )
197	196	oveq2d 5941	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( 2 ^ ( ( A + 1 ) - 1 ) ) = ( 2 ^ A ) )
198	197	oveq2d 5941	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( 1 sigma ( 2 ^ ( ( A + 1 ) - 1 ) ) ) = ( 1 sigma ( 2 ^ A ) ) )
199		1sgm2ppw 15315	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A + 1 ) e. NN -> ( 1 sigma ( 2 ^ ( ( A + 1 ) - 1 ) ) ) = ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) )
200	19, 199	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( 1 sigma ( 2 ^ ( ( A + 1 ) - 1 ) ) ) = ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) )
201	198, 200	eqtr3d 2231	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( 1 sigma ( 2 ^ A ) ) = ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) )
202	201	oveq1d 5940	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( 1 sigma ( 2 ^ A ) ) x. ( 1 sigma B ) ) = ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) x. ( 1 sigma B ) ) )
203	194, 5, 202	3eqtr3d 2237	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( 2 x. ( ( 2 ^ A ) x. B ) ) = ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) x. ( 1 sigma B ) ) )
204	182, 184, 203	3eqtrd 2233	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. B ) = ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) x. ( 1 sigma B ) ) )
205	204	oveq1d 5940	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. B ) / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) = ( ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) x. ( 1 sigma B ) ) / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) )
206		1nn0 9282	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. NN0
207		sgmnncl 15308	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( 1 sigma B ) e. NN )
208	206, 1, 207	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( 1 sigma B ) e. NN )
209	208	nncnd 9021	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 1 sigma B ) e. CC )
210	209, 94, 95	divcanap3d 8839	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) x. ( 1 sigma B ) ) / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) = ( 1 sigma B ) )
211	205, 159, 210	3eqtr3d 2237	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) = ( 1 sigma B ) )
212		sgmval 15303	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 e. CC /\ B e. NN ) -> ( 1 sigma B ) = sum_ k e. { x e. NN | x || B } ( k ^c 1 ) )
213	27, 1, 212	sylancr 414	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 1 sigma B ) = sum_ k e. { x e. NN | x || B } ( k ^c 1 ) )
214		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || B } ) -> k e. { x e. NN | x || B } )
215	77, 214	sselid 3182	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || B } ) -> k e. NN )
216	215	nnrpd 9786	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || B } ) -> k e. RR+ )
217	216	rpcxp1d 15245	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || B } ) -> ( k ^c 1 ) = k )
218	217	sumeq2dv 11550	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> sum_ k e. { x e. NN | x || B } ( k ^c 1 ) = sum_ k e. { x e. NN | x || B } k )
219	211, 213, 218	3eqtrrd 2234	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> sum_ k e. { x e. NN | x || B } k = ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) )
220	219	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> sum_ k e. { x e. NN | x || B } k = ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) )
221	118, 171, 220	3brtr3d 4065	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + n ) <_ ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) )
222	36, 8	remulcld 8074	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) e. RR )
223	222	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) e. RR )
224	86	nnrpd 9786	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> n e. RR+ )
225	223, 224	ltaddrpd 9822	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) < ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + n ) )
226	211, 208	eqeltrd 2273	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) e. NN )
227	226	nnzd 9464	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) e. ZZ )
228	227	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) e. ZZ )
229	226	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) -> ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) e. NN )
230	229, 58	nnaddcld 9055	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) -> ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + n ) e. NN )
231	230	nnzd 9464	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) -> ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + n ) e. ZZ )
232	231	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + n ) e. ZZ )
233		zltnle 9389	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) e. ZZ /\ ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + n ) e. ZZ ) -> ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) < ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + n ) <-> -. ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + n ) <_ ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) ) )
234	228, 232, 233	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) < ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + n ) <-> -. ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + n ) <_ ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) ) )
235	225, 234	mpbid 147	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> -. ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + n ) <_ ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) )
236	221, 235	condandc 882	. . . . . . . 8 |- (DECID n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } -> ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) -> n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) )
237	73, 236	mpcom 36	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) -> n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } )
238		elpri 3646	. . . . . . 7 |- ( n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } -> ( n = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) \/ n = B ) )
239	237, 238	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) -> ( n = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) \/ n = B ) )
240	239	expr 375	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( n || B -> ( n = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) \/ n = B ) ) )
241	240	ralrimiva 2570	. . . 4 |- ( ph -> A. n e. NN ( n || B -> ( n = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) \/ n = B ) ) )
242	2, 55	gtned 8156	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B =/= 1 )
243	242	necomd 2453	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 1 =/= B )
244	243	neneqd 2388	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> -. 1 = B )
245		1dvds 11987	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. ZZ -> 1 || B )
246	64, 245	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 1 || B )
247		breq1 4037	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = 1 -> ( n || B <-> 1 || B ) )
248		eqeq1 2203	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = 1 -> ( n = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) <-> 1 = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) )
249		eqeq1 2203	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = 1 -> ( n = B <-> 1 = B ) )
250	248, 249	orbi12d 794	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = 1 -> ( ( n = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) \/ n = B ) <-> ( 1 = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) \/ 1 = B ) ) )
251	247, 250	imbi12d 234	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = 1 -> ( ( n || B -> ( n = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) \/ n = B ) ) <-> ( 1 || B -> ( 1 = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) \/ 1 = B ) ) ) )
252		1nn 9018	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. NN
253	252	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 1 e. NN )
254	251, 241, 253	rspcdva 2873	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 || B -> ( 1 = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) \/ 1 = B ) ) )
255	246, 254	mpd 13	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) \/ 1 = B ) )
256	244, 255	ecased 1360	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) )
257	256	eqeq2d 2208	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( n = 1 <-> n = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) )
258	257	orbi1d 792	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( n = 1 \/ n = B ) <-> ( n = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) \/ n = B ) ) )
259	258	imbi2d 230	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( n || B -> ( n = 1 \/ n = B ) ) <-> ( n || B -> ( n = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) \/ n = B ) ) ) )
260	259	ralbidv 2497	. . . 4 |- ( ph -> ( A. n e. NN ( n || B -> ( n = 1 \/ n = B ) ) <-> A. n e. NN ( n || B -> ( n = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) \/ n = B ) ) ) )
261	241, 260	mpbird 167	. . 3 |- ( ph -> A. n e. NN ( n || B -> ( n = 1 \/ n = B ) ) )
262		isprm2 12310	. . 3 |- ( B e. Prime <-> ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. n e. NN ( n || B -> ( n = 1 \/ n = B ) ) ) )
263	57, 261, 262	sylanbrc 417	. 2 |- ( ph -> B e. Prime )
264		zdceq 9418	. . . 4 |- ( ( B e. ZZ /\ ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) e. ZZ ) -> DECID B = ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) )
265	64, 91, 264	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> DECID B = ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) )
266	222	ltp1d 8974	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) < ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + 1 ) )
267	227	peano2zd 9468	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + 1 ) e. ZZ )
268		zltnle 9389	. . . . 5 |- ( ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) e. ZZ /\ ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + 1 ) e. ZZ ) -> ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) < ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + 1 ) <-> -. ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + 1 ) <_ ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) ) )
269	227, 267, 268	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) < ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + 1 ) <-> -. ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + 1 ) <_ ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) ) )
270	266, 269	mpbid 147	. . 3 |- ( ph -> -. ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + 1 ) <_ ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) )
271	215	nnred 9020	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || B } ) -> k e. RR )
272	215	nnnn0d 9319	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || B } ) -> k e. NN0 )
273	272	nn0ge0d 9322	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || B } ) -> 0 <_ k )
274		df-tp 3631	. . . . . . . . . . 11 |- { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , 1 } = ( { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } u. { 1 } )
275		snssi 3767	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 e. NN -> { 1 } C_ NN )
276	252, 275	mp1i 10	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> { 1 } C_ NN )
277	84, 276	unssd 3340	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } u. { 1 } ) C_ NN )
278	274, 277	eqsstrid 3230	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , 1 } C_ NN )
279		breq1 4037	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = 1 -> ( x || B <-> 1 || B ) )
280	246, 279	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( x = 1 -> x || B ) )
281	99, 104, 280	3jaod 1315	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( x = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) \/ x = B \/ x = 1 ) -> x || B ) )
282		eltpi 3670	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , 1 } -> ( x = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) \/ x = B \/ x = 1 ) )
283	281, 282	impel 280	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , 1 } ) -> x || B )
284	278, 283	ssrabdv 3263	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , 1 } C_ { x e. NN | x || B } )
285	60, 64, 18, 141	tpfidceq 7000	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , 1 } e. Fin )
286	75, 271, 273, 284, 285	fsumlessfi 11642	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , 1 } k <_ sum_ k e. { x e. NN | x || B } k )
287	286	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ B =/= ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) -> sum_ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , 1 } k <_ sum_ k e. { x e. NN | x || B } k )
288	52, 94, 95	diveqap1ad 8843	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) = 1 <-> B = ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) )
289	288	necon3bid 2408	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) =/= 1 <-> B =/= ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) )
290	289	biimpar 297	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ B =/= ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) -> ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) =/= 1 )
291	290	necomd 2453	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ B =/= ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) -> 1 =/= ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) )
292	243	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ B =/= ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) -> 1 =/= B )
293	291, 292	nelprd 3649	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ B =/= ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) -> -. 1 e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } )
294		disjsn 3685	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } i^i { 1 } ) = (/) <-> -. 1 e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } )
295	293, 294	sylibr 134	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ B =/= ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) -> ( { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } i^i { 1 } ) = (/) )
296	274	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ B =/= ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) -> { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , 1 } = ( { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } u. { 1 } ) )
297	285	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ B =/= ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) -> { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , 1 } e. Fin )
298	278	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ B =/= ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) -> { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , 1 } C_ NN )
299	298	sselda 3184	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ B =/= ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) /\ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , 1 } ) -> k e. NN )
300	299	nncnd 9021	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ B =/= ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) /\ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , 1 } ) -> k e. CC )
301	295, 296, 297, 300	fsumsplit 11589	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ B =/= ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) -> sum_ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , 1 } k = ( sum_ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } k + sum_ k e. { 1 } k ) )
302		id 19	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = 1 -> k = 1 )
303	302	sumsn 11593	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. RR /\ 1 e. CC ) -> sum_ k e. { 1 } k = 1 )
304	2, 27, 303	sylancl 413	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> sum_ k e. { 1 } k = 1 )
305	164, 304	oveq12d 5943	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( sum_ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } k + sum_ k e. { 1 } k ) = ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + 1 ) )
306	305	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ B =/= ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) -> ( sum_ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } k + sum_ k e. { 1 } k ) = ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + 1 ) )
307	301, 306	eqtrd 2229	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ B =/= ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) -> sum_ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , 1 } k = ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + 1 ) )
308	219	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ B =/= ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) -> sum_ k e. { x e. NN | x || B } k = ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) )
309	287, 307, 308	3brtr3d 4065	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ B =/= ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) -> ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + 1 ) <_ ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) )
310	309	ex 115	. . . . 5 |- ( ph -> ( B =/= ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) -> ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + 1 ) <_ ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) ) )
311	310	a1d 22	. . . 4 |- ( ph -> (DECID B = ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) -> ( B =/= ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) -> ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + 1 ) <_ ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) ) ) )
312	311	necon1bddc 2444	. . 3 |- ( ph -> (DECID B = ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) -> ( -. ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + 1 ) <_ ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) -> B = ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) )
313	265, 270, 312	mp2d 47	. 2 |- ( ph -> B = ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) )
314	263, 313	jca 306	1 |- ( ph -> ( B e. Prime /\ B = ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709  DECID wdc 835   \/ w3o 979   = wceq 1364   e. wcel 2167   =/= wne 2367   A.wral 2475   {crab 2479   u. cun 3155   i^i cin 3156   C_ wss 3157   (/)c0 3451   {csn 3623   {cpr 3624   {ctp 3625   class class class wbr 4034   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   Fincfn 6808   CCcc 7894   RRcr 7895   0cc0 7896   1c1 7897   + caddc 7899   x. cmul 7901   < clt 8078   <_ cle 8079   - cmin 8214   / cdiv 8716   NNcn 9007   2c2 9058   NN0cn0 9266   ZZcz 9343   ZZ>=cuz 9618   RR+crp 9745   ^cexp 10647   sum_csu 11535   || cdvds 11969   gcd cgcd 12145   Primecprime 12300   ^c ccxp 15177   sigma csgm 15301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015  ax-caucvg 8016  ax-pre-suploc 8017  ax-addf 8018  ax-mulf 8019

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-tp 3631  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-disj 4012  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-of 6139  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-irdg 6437  df-frec 6458  df-1o 6483  df-2o 6484  df-oadd 6487  df-er 6601  df-map 6718  df-pm 6719  df-en 6809  df-dom 6810  df-fin 6811  df-sup 7059  df-inf 7060  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-n0 9267  df-xnn0 9330  df-z 9344  df-uz 9619  df-q 9711  df-rp 9746  df-xneg 9864  df-xadd 9865  df-ioo 9984  df-ico 9986  df-icc 9987  df-fz 10101  df-fzo 10235  df-fl 10377  df-mod 10432  df-seqfrec 10557  df-exp 10648  df-fac 10835  df-bc 10857  df-ihash 10885  df-shft 10997  df-cj 11024  df-re 11025  df-im 11026  df-rsqrt 11180  df-abs 11181  df-clim 11461  df-sumdc 11536  df-ef 11830  df-e 11831  df-dvds 11970  df-gcd 12146  df-prm 12301  df-pc 12479  df-rest 12943  df-topgen 12962  df-psmet 14175  df-xmet 14176  df-met 14177  df-bl 14178  df-mopn 14179  df-top 14318  df-topon 14331  df-bases 14363  df-ntr 14416  df-cn 14508  df-cnp 14509  df-tx 14573  df-cncf 14891  df-limced 14976  df-dvap 14977  df-relog 15178  df-rpcxp 15179  df-sgm 15302

This theorem is referenced by:  perfect  15321