Theorem tpfidceq 7203

Description: A triple is finite if it consists of elements of a class with decidable equality. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
tpfidceq.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
tpfidceq.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
tpfidceq.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐷)
tpfidceq.dc	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐷 ∀𝑦 ∈ 𝐷 DECID 𝑥 = 𝑦)

Assertion

Ref	Expression
tpfidceq	⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∈ Fin)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑦,𝐵   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem tpfidceq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-tp 3702	. 2 ⊢ {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶})
2		tpfidceq.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐷)
3		snssg 3833	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐷 → (𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵} ↔ {𝐶} ⊆ {𝐴, 𝐵}))
4	2, 3	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵} ↔ {𝐶} ⊆ {𝐴, 𝐵}))
5	4	biimpa 296	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵}) → {𝐶} ⊆ {𝐴, 𝐵})
6		ssequn2 3396	. . . . 5 ⊢ ({𝐶} ⊆ {𝐴, 𝐵} ↔ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) = {𝐴, 𝐵})
7	5, 6	sylib 122	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵}) → ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) = {𝐴, 𝐵})
8		tpfidceq.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
9		tpfidceq.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
10		tpfidceq.dc	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐷 ∀𝑦 ∈ 𝐷 DECID 𝑥 = 𝑦)
11	8, 9, 10	prfidceq 7201	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
12	11	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵}) → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
13	7, 12	eqeltrd 2311	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵}) → ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ∈ Fin)
14	11	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵}) → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
15	2	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵}) → 𝐶 ∈ 𝐷)
16		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵}) → ¬ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵})
17		unsnfi 7192	. . . 4 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵}) → ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ∈ Fin)
18	14, 15, 16, 17	syl3anc 1274	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵}) → ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ∈ Fin)
19		eqeq1 2241	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝑥 = 𝑦 ↔ 𝐶 = 𝑦))
20	19	dcbid 846	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (DECID 𝑥 = 𝑦 ↔ DECID 𝐶 = 𝑦))
21		eqeq2 2244	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝐶 = 𝑦 ↔ 𝐶 = 𝐴))
22	21	dcbid 846	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (DECID 𝐶 = 𝑦 ↔ DECID 𝐶 = 𝐴))
23	20, 22	rspc2va 2938	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐷 ∀𝑦 ∈ 𝐷 DECID 𝑥 = 𝑦) → DECID 𝐶 = 𝐴)
24	2, 8, 10, 23	syl21anc 1273	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → DECID 𝐶 = 𝐴)
25		elsng 3709	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐷 → (𝐶 ∈ {𝐴} ↔ 𝐶 = 𝐴))
26	2, 25	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ {𝐴} ↔ 𝐶 = 𝐴))
27	26	dcbid 846	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (DECID 𝐶 ∈ {𝐴} ↔ DECID 𝐶 = 𝐴))
28	24, 27	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → DECID 𝐶 ∈ {𝐴})
29		eqeq2 2244	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝐶 = 𝑦 ↔ 𝐶 = 𝐵))
30	29	dcbid 846	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (DECID 𝐶 = 𝑦 ↔ DECID 𝐶 = 𝐵))
31	20, 30	rspc2va 2938	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 ∈ 𝐷 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐷 ∀𝑦 ∈ 𝐷 DECID 𝑥 = 𝑦) → DECID 𝐶 = 𝐵)
32	2, 9, 10, 31	syl21anc 1273	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → DECID 𝐶 = 𝐵)
33		elsng 3709	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐷 → (𝐶 ∈ {𝐵} ↔ 𝐶 = 𝐵))
34	2, 33	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ {𝐵} ↔ 𝐶 = 𝐵))
35	34	dcbid 846	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (DECID 𝐶 ∈ {𝐵} ↔ DECID 𝐶 = 𝐵))
36	32, 35	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → DECID 𝐶 ∈ {𝐵})
37	28, 36	dcun 3623	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → DECID 𝐶 ∈ ({𝐴} ∪ {𝐵}))
38		df-pr 3701	. . . . . . 7 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
39	38	eleq2i 2301	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵} ↔ 𝐶 ∈ ({𝐴} ∪ {𝐵}))
40	39	dcbii 848	. . . . 5 ⊢ (DECID 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵} ↔ DECID 𝐶 ∈ ({𝐴} ∪ {𝐵}))
41	37, 40	sylibr 134	. . . 4 ⊢ (𝜑 → DECID 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵})
42		exmiddc 844	. . . 4 ⊢ (DECID 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵} → (𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵} ∨ ¬ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵}))
43	41, 42	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵} ∨ ¬ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵}))
44	13, 18, 43	mpjaodan 806	. 2 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ∈ Fin)
45	1, 44	eqeltrid 2321	1 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∈ Fin)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 716  DECID wdc 842   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ∀wral 2522   ∪ cun 3212   ⊆ wss 3214  {csn 3694  {cpr 3695  {ctp 3696  Fincfn 6988

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-tp 3702  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-1o 6660  df-er 6780  df-en 6989  df-fin 6991

This theorem is referenced by:  perfectlem2  15997