Theorem tpfidceq 7000

Description: A triple is finite if it consists of elements of a class with decidable equality. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
tpfidceq.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
tpfidceq.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
tpfidceq.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐷)
tpfidceq.dc	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐷 ∀𝑦 ∈ 𝐷 DECID 𝑥 = 𝑦)

Assertion

Ref	Expression
tpfidceq	⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∈ Fin)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑦,𝐵   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem tpfidceq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-tp 3631	. 2 ⊢ {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶})
2		tpfidceq.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐷)
3		snssg 3757	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐷 → (𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵} ↔ {𝐶} ⊆ {𝐴, 𝐵}))
4	2, 3	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵} ↔ {𝐶} ⊆ {𝐴, 𝐵}))
5	4	biimpa 296	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵}) → {𝐶} ⊆ {𝐴, 𝐵})
6		ssequn2 3337	. . . . 5 ⊢ ({𝐶} ⊆ {𝐴, 𝐵} ↔ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) = {𝐴, 𝐵})
7	5, 6	sylib 122	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵}) → ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) = {𝐴, 𝐵})
8		tpfidceq.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
9		tpfidceq.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
10		tpfidceq.dc	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐷 ∀𝑦 ∈ 𝐷 DECID 𝑥 = 𝑦)
11	8, 9, 10	prfidceq 6998	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
12	11	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵}) → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
13	7, 12	eqeltrd 2273	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵}) → ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ∈ Fin)
14	11	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵}) → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
15	2	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵}) → 𝐶 ∈ 𝐷)
16		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵}) → ¬ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵})
17		unsnfi 6989	. . . 4 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵}) → ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ∈ Fin)
18	14, 15, 16, 17	syl3anc 1249	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵}) → ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ∈ Fin)
19		eqeq1 2203	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝑥 = 𝑦 ↔ 𝐶 = 𝑦))
20	19	dcbid 839	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (DECID 𝑥 = 𝑦 ↔ DECID 𝐶 = 𝑦))
21		eqeq2 2206	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝐶 = 𝑦 ↔ 𝐶 = 𝐴))
22	21	dcbid 839	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (DECID 𝐶 = 𝑦 ↔ DECID 𝐶 = 𝐴))
23	20, 22	rspc2va 2882	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐷 ∀𝑦 ∈ 𝐷 DECID 𝑥 = 𝑦) → DECID 𝐶 = 𝐴)
24	2, 8, 10, 23	syl21anc 1248	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → DECID 𝐶 = 𝐴)
25		elsng 3638	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐷 → (𝐶 ∈ {𝐴} ↔ 𝐶 = 𝐴))
26	2, 25	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ {𝐴} ↔ 𝐶 = 𝐴))
27	26	dcbid 839	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (DECID 𝐶 ∈ {𝐴} ↔ DECID 𝐶 = 𝐴))
28	24, 27	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → DECID 𝐶 ∈ {𝐴})
29		eqeq2 2206	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝐶 = 𝑦 ↔ 𝐶 = 𝐵))
30	29	dcbid 839	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (DECID 𝐶 = 𝑦 ↔ DECID 𝐶 = 𝐵))
31	20, 30	rspc2va 2882	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 ∈ 𝐷 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐷 ∀𝑦 ∈ 𝐷 DECID 𝑥 = 𝑦) → DECID 𝐶 = 𝐵)
32	2, 9, 10, 31	syl21anc 1248	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → DECID 𝐶 = 𝐵)
33		elsng 3638	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐷 → (𝐶 ∈ {𝐵} ↔ 𝐶 = 𝐵))
34	2, 33	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ {𝐵} ↔ 𝐶 = 𝐵))
35	34	dcbid 839	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (DECID 𝐶 ∈ {𝐵} ↔ DECID 𝐶 = 𝐵))
36	32, 35	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → DECID 𝐶 ∈ {𝐵})
37	28, 36	dcun 3561	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → DECID 𝐶 ∈ ({𝐴} ∪ {𝐵}))
38		df-pr 3630	. . . . . . 7 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
39	38	eleq2i 2263	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵} ↔ 𝐶 ∈ ({𝐴} ∪ {𝐵}))
40	39	dcbii 841	. . . . 5 ⊢ (DECID 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵} ↔ DECID 𝐶 ∈ ({𝐴} ∪ {𝐵}))
41	37, 40	sylibr 134	. . . 4 ⊢ (𝜑 → DECID 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵})
42		exmiddc 837	. . . 4 ⊢ (DECID 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵} → (𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵} ∨ ¬ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵}))
43	41, 42	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵} ∨ ¬ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵}))
44	13, 18, 43	mpjaodan 799	. 2 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ∈ Fin)
45	1, 44	eqeltrid 2283	1 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∈ Fin)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475   ∪ cun 3155   ⊆ wss 3157  {csn 3623  {cpr 3624  {ctp 3625  Fincfn 6808

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-tp 3631  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-1o 6483  df-er 6601  df-en 6809  df-fin 6811

This theorem is referenced by:  perfectlem2  15320