Theorem tpfidceq 7100

Description: A triple is finite if it consists of elements of a class with decidable equality. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
tpfidceq.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
tpfidceq.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
tpfidceq.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐷)
tpfidceq.dc	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐷 ∀𝑦 ∈ 𝐷 DECID 𝑥 = 𝑦)

Assertion

Ref	Expression
tpfidceq	⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∈ Fin)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑦,𝐵   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem tpfidceq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-tp 3674	. 2 ⊢ {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶})
2		tpfidceq.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐷)
3		snssg 3802	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐷 → (𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵} ↔ {𝐶} ⊆ {𝐴, 𝐵}))
4	2, 3	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵} ↔ {𝐶} ⊆ {𝐴, 𝐵}))
5	4	biimpa 296	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵}) → {𝐶} ⊆ {𝐴, 𝐵})
6		ssequn2 3377	. . . . 5 ⊢ ({𝐶} ⊆ {𝐴, 𝐵} ↔ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) = {𝐴, 𝐵})
7	5, 6	sylib 122	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵}) → ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) = {𝐴, 𝐵})
8		tpfidceq.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
9		tpfidceq.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
10		tpfidceq.dc	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐷 ∀𝑦 ∈ 𝐷 DECID 𝑥 = 𝑦)
11	8, 9, 10	prfidceq 7098	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
12	11	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵}) → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
13	7, 12	eqeltrd 2306	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵}) → ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ∈ Fin)
14	11	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵}) → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
15	2	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵}) → 𝐶 ∈ 𝐷)
16		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵}) → ¬ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵})
17		unsnfi 7089	. . . 4 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵}) → ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ∈ Fin)
18	14, 15, 16, 17	syl3anc 1271	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵}) → ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ∈ Fin)
19		eqeq1 2236	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝑥 = 𝑦 ↔ 𝐶 = 𝑦))
20	19	dcbid 843	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (DECID 𝑥 = 𝑦 ↔ DECID 𝐶 = 𝑦))
21		eqeq2 2239	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝐶 = 𝑦 ↔ 𝐶 = 𝐴))
22	21	dcbid 843	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (DECID 𝐶 = 𝑦 ↔ DECID 𝐶 = 𝐴))
23	20, 22	rspc2va 2921	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐷 ∀𝑦 ∈ 𝐷 DECID 𝑥 = 𝑦) → DECID 𝐶 = 𝐴)
24	2, 8, 10, 23	syl21anc 1270	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → DECID 𝐶 = 𝐴)
25		elsng 3681	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐷 → (𝐶 ∈ {𝐴} ↔ 𝐶 = 𝐴))
26	2, 25	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ {𝐴} ↔ 𝐶 = 𝐴))
27	26	dcbid 843	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (DECID 𝐶 ∈ {𝐴} ↔ DECID 𝐶 = 𝐴))
28	24, 27	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → DECID 𝐶 ∈ {𝐴})
29		eqeq2 2239	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝐶 = 𝑦 ↔ 𝐶 = 𝐵))
30	29	dcbid 843	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (DECID 𝐶 = 𝑦 ↔ DECID 𝐶 = 𝐵))
31	20, 30	rspc2va 2921	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 ∈ 𝐷 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐷 ∀𝑦 ∈ 𝐷 DECID 𝑥 = 𝑦) → DECID 𝐶 = 𝐵)
32	2, 9, 10, 31	syl21anc 1270	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → DECID 𝐶 = 𝐵)
33		elsng 3681	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐷 → (𝐶 ∈ {𝐵} ↔ 𝐶 = 𝐵))
34	2, 33	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ {𝐵} ↔ 𝐶 = 𝐵))
35	34	dcbid 843	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (DECID 𝐶 ∈ {𝐵} ↔ DECID 𝐶 = 𝐵))
36	32, 35	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → DECID 𝐶 ∈ {𝐵})
37	28, 36	dcun 3601	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → DECID 𝐶 ∈ ({𝐴} ∪ {𝐵}))
38		df-pr 3673	. . . . . . 7 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
39	38	eleq2i 2296	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵} ↔ 𝐶 ∈ ({𝐴} ∪ {𝐵}))
40	39	dcbii 845	. . . . 5 ⊢ (DECID 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵} ↔ DECID 𝐶 ∈ ({𝐴} ∪ {𝐵}))
41	37, 40	sylibr 134	. . . 4 ⊢ (𝜑 → DECID 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵})
42		exmiddc 841	. . . 4 ⊢ (DECID 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵} → (𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵} ∨ ¬ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵}))
43	41, 42	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵} ∨ ¬ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵}))
44	13, 18, 43	mpjaodan 803	. 2 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ∈ Fin)
45	1, 44	eqeltrid 2316	1 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∈ Fin)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 713  DECID wdc 839   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508   ∪ cun 3195   ⊆ wss 3197  {csn 3666  {cpr 3667  {ctp 3668  Fincfn 6895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-tp 3674  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-1o 6568  df-er 6688  df-en 6896  df-fin 6898

This theorem is referenced by:  perfectlem2  15682