Theorem tpfidceq 7231

Description: A triple is finite if it consists of elements of a class with decidable equality. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
tpfidceq.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
tpfidceq.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
tpfidceq.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐷)
tpfidceq.dc	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐷 ∀𝑦 ∈ 𝐷 DECID 𝑥 = 𝑦)

Assertion

Ref	Expression
tpfidceq	⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∈ Fin)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑦,𝐵   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem tpfidceq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-tp 3716	. 2 ⊢ {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶})
2		tpfidceq.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐷)
3		snssg 3847	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐷 → (𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵} ↔ {𝐶} ⊆ {𝐴, 𝐵}))
4	2, 3	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵} ↔ {𝐶} ⊆ {𝐴, 𝐵}))
5	4	biimpa 296	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵}) → {𝐶} ⊆ {𝐴, 𝐵})
6		ssequn2 3402	. . . . 5 ⊢ ({𝐶} ⊆ {𝐴, 𝐵} ↔ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) = {𝐴, 𝐵})
7	5, 6	sylib 122	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵}) → ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) = {𝐴, 𝐵})
8		tpfidceq.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
9		tpfidceq.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
10		tpfidceq.dc	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐷 ∀𝑦 ∈ 𝐷 DECID 𝑥 = 𝑦)
11	8, 9, 10	prfidceq 7229	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
12	11	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵}) → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
13	7, 12	eqeltrd 2315	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵}) → ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ∈ Fin)
14	11	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵}) → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
15	2	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵}) → 𝐶 ∈ 𝐷)
16		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵}) → ¬ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵})
17		unsnfi 7220	. . . 4 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵}) → ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ∈ Fin)
18	14, 15, 16, 17	syl3anc 1278	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵}) → ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ∈ Fin)
19		eqeq1 2245	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝑥 = 𝑦 ↔ 𝐶 = 𝑦))
20	19	dcbid 850	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (DECID 𝑥 = 𝑦 ↔ DECID 𝐶 = 𝑦))
21		eqeq2 2248	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝐶 = 𝑦 ↔ 𝐶 = 𝐴))
22	21	dcbid 850	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (DECID 𝐶 = 𝑦 ↔ DECID 𝐶 = 𝐴))
23	20, 22	rspc2va 2944	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐷 ∀𝑦 ∈ 𝐷 DECID 𝑥 = 𝑦) → DECID 𝐶 = 𝐴)
24	2, 8, 10, 23	syl21anc 1277	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → DECID 𝐶 = 𝐴)
25		elsng 3723	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐷 → (𝐶 ∈ {𝐴} ↔ 𝐶 = 𝐴))
26	2, 25	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ {𝐴} ↔ 𝐶 = 𝐴))
27	26	dcbid 850	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (DECID 𝐶 ∈ {𝐴} ↔ DECID 𝐶 = 𝐴))
28	24, 27	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → DECID 𝐶 ∈ {𝐴})
29		eqeq2 2248	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝐶 = 𝑦 ↔ 𝐶 = 𝐵))
30	29	dcbid 850	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (DECID 𝐶 = 𝑦 ↔ DECID 𝐶 = 𝐵))
31	20, 30	rspc2va 2944	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 ∈ 𝐷 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐷 ∀𝑦 ∈ 𝐷 DECID 𝑥 = 𝑦) → DECID 𝐶 = 𝐵)
32	2, 9, 10, 31	syl21anc 1277	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → DECID 𝐶 = 𝐵)
33		elsng 3723	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐷 → (𝐶 ∈ {𝐵} ↔ 𝐶 = 𝐵))
34	2, 33	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ {𝐵} ↔ 𝐶 = 𝐵))
35	34	dcbid 850	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (DECID 𝐶 ∈ {𝐵} ↔ DECID 𝐶 = 𝐵))
36	32, 35	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → DECID 𝐶 ∈ {𝐵})
37	28, 36	dcun 3637	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → DECID 𝐶 ∈ ({𝐴} ∪ {𝐵}))
38		df-pr 3715	. . . . . . 7 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
39	38	eleq2i 2305	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵} ↔ 𝐶 ∈ ({𝐴} ∪ {𝐵}))
40	39	dcbii 852	. . . . 5 ⊢ (DECID 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵} ↔ DECID 𝐶 ∈ ({𝐴} ∪ {𝐵}))
41	37, 40	sylibr 134	. . . 4 ⊢ (𝜑 → DECID 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵})
42		exmiddc 848	. . . 4 ⊢ (DECID 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵} → (𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵} ∨ ¬ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵}))
43	41, 42	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵} ∨ ¬ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵}))
44	13, 18, 43	mpjaodan 810	. 2 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ∈ Fin)
45	1, 44	eqeltrid 2325	1 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∈ Fin)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 720  DECID wdc 846   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528   ∪ cun 3218   ⊆ wss 3220  {csn 3708  {cpr 3709  {ctp 3710  Fincfn 7016

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-tp 3716  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-1o 6681  df-er 6801  df-en 7017  df-fin 7019

This theorem is referenced by:  perfectlem2  16097