Theorem tpfidceq 7127

Description: A triple is finite if it consists of elements of a class with decidable equality. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
tpfidceq.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
tpfidceq.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
tpfidceq.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐷)
tpfidceq.dc	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐷 ∀𝑦 ∈ 𝐷 DECID 𝑥 = 𝑦)

Assertion

Ref	Expression
tpfidceq	⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∈ Fin)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑦,𝐵   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem tpfidceq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-tp 3678	. 2 ⊢ {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶})
2		tpfidceq.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐷)
3		snssg 3808	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐷 → (𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵} ↔ {𝐶} ⊆ {𝐴, 𝐵}))
4	2, 3	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵} ↔ {𝐶} ⊆ {𝐴, 𝐵}))
5	4	biimpa 296	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵}) → {𝐶} ⊆ {𝐴, 𝐵})
6		ssequn2 3379	. . . . 5 ⊢ ({𝐶} ⊆ {𝐴, 𝐵} ↔ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) = {𝐴, 𝐵})
7	5, 6	sylib 122	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵}) → ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) = {𝐴, 𝐵})
8		tpfidceq.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
9		tpfidceq.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
10		tpfidceq.dc	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐷 ∀𝑦 ∈ 𝐷 DECID 𝑥 = 𝑦)
11	8, 9, 10	prfidceq 7125	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
12	11	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵}) → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
13	7, 12	eqeltrd 2307	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵}) → ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ∈ Fin)
14	11	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵}) → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
15	2	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵}) → 𝐶 ∈ 𝐷)
16		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵}) → ¬ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵})
17		unsnfi 7116	. . . 4 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵}) → ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ∈ Fin)
18	14, 15, 16, 17	syl3anc 1273	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵}) → ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ∈ Fin)
19		eqeq1 2237	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝑥 = 𝑦 ↔ 𝐶 = 𝑦))
20	19	dcbid 845	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (DECID 𝑥 = 𝑦 ↔ DECID 𝐶 = 𝑦))
21		eqeq2 2240	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝐶 = 𝑦 ↔ 𝐶 = 𝐴))
22	21	dcbid 845	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (DECID 𝐶 = 𝑦 ↔ DECID 𝐶 = 𝐴))
23	20, 22	rspc2va 2923	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐷 ∀𝑦 ∈ 𝐷 DECID 𝑥 = 𝑦) → DECID 𝐶 = 𝐴)
24	2, 8, 10, 23	syl21anc 1272	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → DECID 𝐶 = 𝐴)
25		elsng 3685	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐷 → (𝐶 ∈ {𝐴} ↔ 𝐶 = 𝐴))
26	2, 25	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ {𝐴} ↔ 𝐶 = 𝐴))
27	26	dcbid 845	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (DECID 𝐶 ∈ {𝐴} ↔ DECID 𝐶 = 𝐴))
28	24, 27	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → DECID 𝐶 ∈ {𝐴})
29		eqeq2 2240	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝐶 = 𝑦 ↔ 𝐶 = 𝐵))
30	29	dcbid 845	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (DECID 𝐶 = 𝑦 ↔ DECID 𝐶 = 𝐵))
31	20, 30	rspc2va 2923	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 ∈ 𝐷 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐷 ∀𝑦 ∈ 𝐷 DECID 𝑥 = 𝑦) → DECID 𝐶 = 𝐵)
32	2, 9, 10, 31	syl21anc 1272	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → DECID 𝐶 = 𝐵)
33		elsng 3685	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐷 → (𝐶 ∈ {𝐵} ↔ 𝐶 = 𝐵))
34	2, 33	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ {𝐵} ↔ 𝐶 = 𝐵))
35	34	dcbid 845	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (DECID 𝐶 ∈ {𝐵} ↔ DECID 𝐶 = 𝐵))
36	32, 35	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → DECID 𝐶 ∈ {𝐵})
37	28, 36	dcun 3603	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → DECID 𝐶 ∈ ({𝐴} ∪ {𝐵}))
38		df-pr 3677	. . . . . . 7 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
39	38	eleq2i 2297	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵} ↔ 𝐶 ∈ ({𝐴} ∪ {𝐵}))
40	39	dcbii 847	. . . . 5 ⊢ (DECID 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵} ↔ DECID 𝐶 ∈ ({𝐴} ∪ {𝐵}))
41	37, 40	sylibr 134	. . . 4 ⊢ (𝜑 → DECID 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵})
42		exmiddc 843	. . . 4 ⊢ (DECID 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵} → (𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵} ∨ ¬ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵}))
43	41, 42	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵} ∨ ¬ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵}))
44	13, 18, 43	mpjaodan 805	. 2 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ∈ Fin)
45	1, 44	eqeltrid 2317	1 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∈ Fin)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 715  DECID wdc 841   = wceq 1397   ∈ wcel 2201  ∀wral 2509   ∪ cun 3197   ⊆ wss 3199  {csn 3670  {cpr 3671  {ctp 3672  Fincfn 6914

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4205  ax-sep 4208  ax-nul 4216  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-iinf 4688

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-if 3605  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-tp 3678  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-iun 3973  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-tr 4189  df-id 4392  df-iord 4465  df-on 4467  df-suc 4470  df-iom 4691  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-f1 5333  df-fo 5334  df-f1o 5335  df-fv 5336  df-1o 6587  df-er 6707  df-en 6915  df-fin 6917

This theorem is referenced by:  perfectlem2  15753