Theorem umgrnloopv 16096

Description: In a multigraph, there is no loop, i.e. no edge connecting a vertex with itself. (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-Jan-2018.) (Revised by AV, 11-Dec-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
umgrnloopv.e	|- E = (iEdg ` G )

Assertion

Ref	Expression
umgrnloopv	|- ( ( G e. UMGraph /\ M e. W ) -> ( ( E ` X ) = { M , N } -> M =/= N ) )

Proof of Theorem umgrnloopv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ M e. W ) /\ ( E ` X ) = { M , N } ) -> ( E ` X ) = { M , N } )
2		simpll 527	. . . . 5 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ M e. W ) /\ ( E ` X ) = { M , N } ) -> G e. UMGraph )
3		umgruhgr 16095	. . . . . . . 8 |- ( G e. UMGraph -> G e. UHGraph )
4		umgrnloopv.e	. . . . . . . . 9 |- E = (iEdg ` G )
5	4	uhgrfun 16059	. . . . . . . 8 |- ( G e. UHGraph -> Fun E )
6		funrel 5368	. . . . . . . 8 |- ( Fun E -> Rel E )
7	3, 5, 6	3syl 17	. . . . . . 7 |- ( G e. UMGraph -> Rel E )
8	7	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ M e. W ) /\ ( E ` X ) = { M , N } ) -> Rel E )
9		simplr 529	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ M e. W ) /\ ( E ` X ) = { M , N } ) -> M e. W )
10		prid1g 3794	. . . . . . . . 9 |- ( M e. W -> M e. { M , N } )
11	10	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( E ` X ) = { M , N } /\ M e. W ) -> M e. { M , N } )
12		eleq2 2296	. . . . . . . . 9 |- ( ( E ` X ) = { M , N } -> ( M e. ( E ` X ) <-> M e. { M , N } ) )
13	12	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( E ` X ) = { M , N } /\ M e. W ) -> ( M e. ( E ` X ) <-> M e. { M , N } ) )
14	11, 13	mpbird 167	. . . . . . 7 |- ( ( ( E ` X ) = { M , N } /\ M e. W ) -> M e. ( E ` X ) )
15	1, 9, 14	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ M e. W ) /\ ( E ` X ) = { M , N } ) -> M e. ( E ` X ) )
16		relelfvdm 5701	. . . . . 6 |- ( ( Rel E /\ M e. ( E ` X ) ) -> X e. dom E )
17	8, 15, 16	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ M e. W ) /\ ( E ` X ) = { M , N } ) -> X e. dom E )
18		eqid 2232	. . . . . 6 |- (Vtx ` G ) = (Vtx ` G )
19	18, 4	umgredg2en 16091	. . . . 5 |- ( ( G e. UMGraph /\ X e. dom E ) -> ( E ` X ) ~~ 2o )
20	2, 17, 19	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ M e. W ) /\ ( E ` X ) = { M , N } ) -> ( E ` X ) ~~ 2o )
21	1, 20	eqbrtrrd 4132	. . 3 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ M e. W ) /\ ( E ` X ) = { M , N } ) -> { M , N } ~~ 2o )
22		pr2cv 7493	. . . 4 |- ( { M , N } ~~ 2o -> ( M e. _V /\ N e. _V ) )
23		pr2ne 7488	. . . 4 |- ( ( M e. _V /\ N e. _V ) -> ( { M , N } ~~ 2o <-> M =/= N ) )
24	21, 22, 23	3syl 17	. . 3 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ M e. W ) /\ ( E ` X ) = { M , N } ) -> ( { M , N } ~~ 2o <-> M =/= N ) )
25	21, 24	mpbid 147	. 2 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ M e. W ) /\ ( E ` X ) = { M , N } ) -> M =/= N )
26	25	ex 115	1 |- ( ( G e. UMGraph /\ M e. W ) -> ( ( E ` X ) = { M , N } -> M =/= N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2203   =/= wne 2412   _Vcvv 2812   {cpr 3689   class class class wbr 4108   dom cdm 4748   Rel wrel 4753   Fun wfun 5345   ` cfv 5351   2oc2o 6640   ~~ cen 6972  Vtxcvtx 15994  iEdgciedg 15995  UHGraphcuhgr 16049  UMGraphcumgr 16074

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-addcom 8223  ax-mulcom 8224  ax-addass 8225  ax-mulass 8226  ax-distr 8227  ax-i2m1 8228  ax-1rid 8230  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-cnre 8234

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-iord 4486  df-on 4488  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-1o 6646  df-2o 6647  df-er 6766  df-en 6975  df-sub 8442  df-inn 9234  df-2 9292  df-3 9293  df-4 9294  df-5 9295  df-6 9296  df-7 9297  df-8 9298  df-9 9299  df-n0 9493  df-dec 9706  df-ndx 13204  df-slot 13205  df-base 13207  df-edgf 15987  df-vtx 15996  df-iedg 15997  df-uhgrm 16051  df-upgren 16075  df-umgren 16076

This theorem is referenced by:  umgrnloop  16098  usgrnloopv  16183