Theorem umgrnloopv 16158

Description: In a multigraph, there is no loop, i.e. no edge connecting a vertex with itself. (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-Jan-2018.) (Revised by AV, 11-Dec-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
umgrnloopv.e	|- E = (iEdg ` G )

Assertion

Ref	Expression
umgrnloopv	|- ( ( G e. UMGraph /\ M e. W ) -> ( ( E ` X ) = { M , N } -> M =/= N ) )

Proof of Theorem umgrnloopv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ M e. W ) /\ ( E ` X ) = { M , N } ) -> ( E ` X ) = { M , N } )
2		simpll 527	. . . . 5 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ M e. W ) /\ ( E ` X ) = { M , N } ) -> G e. UMGraph )
3		umgruhgr 16157	. . . . . . . 8 |- ( G e. UMGraph -> G e. UHGraph )
4		umgrnloopv.e	. . . . . . . . 9 |- E = (iEdg ` G )
5	4	uhgrfun 16121	. . . . . . . 8 |- ( G e. UHGraph -> Fun E )
6		funrel 5371	. . . . . . . 8 |- ( Fun E -> Rel E )
7	3, 5, 6	3syl 17	. . . . . . 7 |- ( G e. UMGraph -> Rel E )
8	7	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ M e. W ) /\ ( E ` X ) = { M , N } ) -> Rel E )
9		simplr 529	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ M e. W ) /\ ( E ` X ) = { M , N } ) -> M e. W )
10		prid1g 3797	. . . . . . . . 9 |- ( M e. W -> M e. { M , N } )
11	10	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( E ` X ) = { M , N } /\ M e. W ) -> M e. { M , N } )
12		eleq2 2298	. . . . . . . . 9 |- ( ( E ` X ) = { M , N } -> ( M e. ( E ` X ) <-> M e. { M , N } ) )
13	12	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( E ` X ) = { M , N } /\ M e. W ) -> ( M e. ( E ` X ) <-> M e. { M , N } ) )
14	11, 13	mpbird 167	. . . . . . 7 |- ( ( ( E ` X ) = { M , N } /\ M e. W ) -> M e. ( E ` X ) )
15	1, 9, 14	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ M e. W ) /\ ( E ` X ) = { M , N } ) -> M e. ( E ` X ) )
16		relelfvdm 5704	. . . . . 6 |- ( ( Rel E /\ M e. ( E ` X ) ) -> X e. dom E )
17	8, 15, 16	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ M e. W ) /\ ( E ` X ) = { M , N } ) -> X e. dom E )
18		eqid 2234	. . . . . 6 |- (Vtx ` G ) = (Vtx ` G )
19	18, 4	umgredg2en 16153	. . . . 5 |- ( ( G e. UMGraph /\ X e. dom E ) -> ( E ` X ) ~~ 2o )
20	2, 17, 19	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ M e. W ) /\ ( E ` X ) = { M , N } ) -> ( E ` X ) ~~ 2o )
21	1, 20	eqbrtrrd 4135	. . 3 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ M e. W ) /\ ( E ` X ) = { M , N } ) -> { M , N } ~~ 2o )
22		pr2cv 7496	. . . 4 |- ( { M , N } ~~ 2o -> ( M e. _V /\ N e. _V ) )
23		pr2ne 7491	. . . 4 |- ( ( M e. _V /\ N e. _V ) -> ( { M , N } ~~ 2o <-> M =/= N ) )
24	21, 22, 23	3syl 17	. . 3 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ M e. W ) /\ ( E ` X ) = { M , N } ) -> ( { M , N } ~~ 2o <-> M =/= N ) )
25	21, 24	mpbid 147	. 2 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ M e. W ) /\ ( E ` X ) = { M , N } ) -> M =/= N )
26	25	ex 115	1 |- ( ( G e. UMGraph /\ M e. W ) -> ( ( E ` X ) = { M , N } -> M =/= N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2205   =/= wne 2414   _Vcvv 2815   {cpr 3692   class class class wbr 4111   dom cdm 4751   Rel wrel 4756   Fun wfun 5348   ` cfv 5354   2oc2o 6643   ~~ cen 6975  Vtxcvtx 16056  iEdgciedg 16057  UHGraphcuhgr 16111  UMGraphcumgr 16136

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-addcom 8232  ax-mulcom 8233  ax-addass 8234  ax-mulass 8235  ax-distr 8236  ax-i2m1 8237  ax-1rid 8239  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-cnre 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-iord 4489  df-on 4491  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-1o 6649  df-2o 6650  df-er 6769  df-en 6978  df-sub 8451  df-inn 9243  df-2 9301  df-3 9302  df-4 9303  df-5 9304  df-6 9305  df-7 9306  df-8 9307  df-9 9308  df-n0 9502  df-dec 9716  df-ndx 13236  df-slot 13237  df-base 13239  df-edgf 16049  df-vtx 16058  df-iedg 16059  df-uhgrm 16113  df-upgren 16137  df-umgren 16138

This theorem is referenced by:  umgrnloop  16160  usgrnloopv  16245