Theorem umgrnloopv 15914

Description: In a multigraph, there is no loop, i.e. no edge connecting a vertex with itself. (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-Jan-2018.) (Revised by AV, 11-Dec-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
umgrnloopv.e	|- E = (iEdg ` G )

Assertion

Ref	Expression
umgrnloopv	|- ( ( G e. UMGraph /\ M e. W ) -> ( ( E ` X ) = { M , N } -> M =/= N ) )

Proof of Theorem umgrnloopv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ M e. W ) /\ ( E ` X ) = { M , N } ) -> ( E ` X ) = { M , N } )
2		simpll 527	. . . . 5 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ M e. W ) /\ ( E ` X ) = { M , N } ) -> G e. UMGraph )
3		umgruhgr 15913	. . . . . . . 8 |- ( G e. UMGraph -> G e. UHGraph )
4		umgrnloopv.e	. . . . . . . . 9 |- E = (iEdg ` G )
5	4	uhgrfun 15877	. . . . . . . 8 |- ( G e. UHGraph -> Fun E )
6		funrel 5335	. . . . . . . 8 |- ( Fun E -> Rel E )
7	3, 5, 6	3syl 17	. . . . . . 7 |- ( G e. UMGraph -> Rel E )
8	7	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ M e. W ) /\ ( E ` X ) = { M , N } ) -> Rel E )
9		simplr 528	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ M e. W ) /\ ( E ` X ) = { M , N } ) -> M e. W )
10		prid1g 3770	. . . . . . . . 9 |- ( M e. W -> M e. { M , N } )
11	10	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( E ` X ) = { M , N } /\ M e. W ) -> M e. { M , N } )
12		eleq2 2293	. . . . . . . . 9 |- ( ( E ` X ) = { M , N } -> ( M e. ( E ` X ) <-> M e. { M , N } ) )
13	12	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( E ` X ) = { M , N } /\ M e. W ) -> ( M e. ( E ` X ) <-> M e. { M , N } ) )
14	11, 13	mpbird 167	. . . . . . 7 |- ( ( ( E ` X ) = { M , N } /\ M e. W ) -> M e. ( E ` X ) )
15	1, 9, 14	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ M e. W ) /\ ( E ` X ) = { M , N } ) -> M e. ( E ` X ) )
16		relelfvdm 5659	. . . . . 6 |- ( ( Rel E /\ M e. ( E ` X ) ) -> X e. dom E )
17	8, 15, 16	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ M e. W ) /\ ( E ` X ) = { M , N } ) -> X e. dom E )
18		eqid 2229	. . . . . 6 |- (Vtx ` G ) = (Vtx ` G )
19	18, 4	umgredg2en 15909	. . . . 5 |- ( ( G e. UMGraph /\ X e. dom E ) -> ( E ` X ) ~~ 2o )
20	2, 17, 19	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ M e. W ) /\ ( E ` X ) = { M , N } ) -> ( E ` X ) ~~ 2o )
21	1, 20	eqbrtrrd 4107	. . 3 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ M e. W ) /\ ( E ` X ) = { M , N } ) -> { M , N } ~~ 2o )
22		pr2cv 7370	. . . 4 |- ( { M , N } ~~ 2o -> ( M e. _V /\ N e. _V ) )
23		pr2ne 7365	. . . 4 |- ( ( M e. _V /\ N e. _V ) -> ( { M , N } ~~ 2o <-> M =/= N ) )
24	21, 22, 23	3syl 17	. . 3 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ M e. W ) /\ ( E ` X ) = { M , N } ) -> ( { M , N } ~~ 2o <-> M =/= N ) )
25	21, 24	mpbid 147	. 2 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ M e. W ) /\ ( E ` X ) = { M , N } ) -> M =/= N )
26	25	ex 115	1 |- ( ( G e. UMGraph /\ M e. W ) -> ( ( E ` X ) = { M , N } -> M =/= N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   =/= wne 2400   _Vcvv 2799   {cpr 3667   class class class wbr 4083   dom cdm 4719   Rel wrel 4724   Fun wfun 5312   ` cfv 5318   2oc2o 6556   ~~ cen 6885  Vtxcvtx 15813  iEdgciedg 15814  UHGraphcuhgr 15867  UMGraphcumgr 15892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-mulcom 8100  ax-addass 8101  ax-mulass 8102  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-1rid 8106  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-1o 6562  df-2o 6563  df-er 6680  df-en 6888  df-sub 8319  df-inn 9111  df-2 9169  df-3 9170  df-4 9171  df-5 9172  df-6 9173  df-7 9174  df-8 9175  df-9 9176  df-n0 9370  df-dec 9579  df-ndx 13035  df-slot 13036  df-base 13038  df-edgf 15806  df-vtx 15815  df-iedg 15816  df-uhgrm 15869  df-upgren 15893  df-umgren 15894

This theorem is referenced by:  umgrnloop  15916  usgrnloopv  15999