Theorem 1hegrvtxdg1fi 16533

Description: The vertex degree of a multigraph with one edge, case 2: an edge from the given vertex to some other vertex contributes one to the vertex's degree. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Alexander van der Vekens, 22-Dec-2017.) (Revised by AV, 23-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
1hegrvtxdg1.a	|- ( ph -> A e. X )
1hegrvtxdg1.b	|- ( ph -> B e. V )
1hegrvtxdg1.c	|- ( ph -> C e. V )
1hegrvtxdg1.n	|- ( ph -> B =/= C )
1hegrvtxdg1.x	|- ( ph -> E e. ~P V )
1hegrvtxdg1.i	|- ( ph -> (iEdg ` G ) = { <. A , E >. } )
1hegrvtxdg1.e	|- ( ph -> { B , C } C_ E )
1hegrvtxdg1.v	|- ( ph -> (Vtx ` G ) = V )
1hegrvtxdg1fi.fi	|- ( ph -> V e. Fin )
1hegrvtxdg1fi.m	|- ( ph -> G e. UMGraph )

Assertion

Ref	Expression
1hegrvtxdg1fi	|- ( ph -> ( (VtxDeg ` G ) ` B ) = 1 )

Proof of Theorem 1hegrvtxdg1fi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1hegrvtxdg1.i	. 2 |- ( ph -> (iEdg ` G ) = { <. A , E >. } )
2		1hegrvtxdg1.v	. 2 |- ( ph -> (Vtx ` G ) = V )
3		1hegrvtxdg1.a	. 2 |- ( ph -> A e. X )
4		1hegrvtxdg1.b	. 2 |- ( ph -> B e. V )
5		1hegrvtxdg1fi.fi	. 2 |- ( ph -> V e. Fin )
6		1hegrvtxdg1fi.m	. 2 |- ( ph -> G e. UMGraph )
7		1hegrvtxdg1.x	. 2 |- ( ph -> E e. ~P V )
8		1hegrvtxdg1.e	. . 3 |- ( ph -> { B , C } C_ E )
9		prid1g 3814	. . . 4 |- ( B e. V -> B e. { B , C } )
10	4, 9	syl 14	. . 3 |- ( ph -> B e. { B , C } )
11	8, 10	sseldd 3249	. 2 |- ( ph -> B e. E )
12	1	fveq1d 5695	. . . 4 |- ( ph -> ( (iEdg ` G ) ` A ) = ( { <. A , E >. } ` A ) )
13		fvsng 5905	. . . . 5 |- ( ( A e. X /\ E e. ~P V ) -> ( { <. A , E >. } ` A ) = E )
14	3, 7, 13	syl2anc 415	. . . 4 |- ( ph -> ( { <. A , E >. } ` A ) = E )
15	12, 14	eqtrd 2271	. . 3 |- ( ph -> ( (iEdg ` G ) ` A ) = E )
16		snidg 3737	. . . . . 6 |- ( A e. X -> A e. { A } )
17	3, 16	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> A e. { A } )
18	1	dmeqd 4981	. . . . . 6 |- ( ph -> dom (iEdg ` G ) = dom { <. A , E >. } )
19		dmsnopg 5257	. . . . . . 7 |- ( E e. ~P V -> dom { <. A , E >. } = { A } )
20	7, 19	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> dom { <. A , E >. } = { A } )
21	18, 20	eqtrd 2271	. . . . 5 |- ( ph -> dom (iEdg ` G ) = { A } )
22	17, 21	eleqtrrd 2318	. . . 4 |- ( ph -> A e. dom (iEdg ` G ) )
23		eqid 2238	. . . . 5 |- (Vtx ` G ) = (Vtx ` G )
24		eqid 2238	. . . . 5 |- (iEdg ` G ) = (iEdg ` G )
25	23, 24	umgredg2en 16333	. . . 4 |- ( ( G e. UMGraph /\ A e. dom (iEdg ` G ) ) -> ( (iEdg ` G ) ` A ) ~~ 2o )
26	6, 22, 25	syl2anc 415	. . 3 |- ( ph -> ( (iEdg ` G ) ` A ) ~~ 2o )
27	15, 26	eqbrtrrd 4152	. 2 |- ( ph -> E ~~ 2o )
28	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11, 27	1hevtxdg1en 16532	1 |- ( ph -> ( (VtxDeg ` G ) ` B ) = 1 )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   C_ wss 3220   ~Pcpw 3688   {csn 3708   {cpr 3709   <.cop 3711   class class class wbr 4128   dom cdm 4772   ` cfv 5375   2oc2o 6675   ~~ cen 7014   Fincfn 7016   1c1 8174  Vtxcvtx 16236  iEdgciedg 16237  UMGraphcumgr 16316  VtxDegcvtxdg 16510

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-frec 6656  df-1o 6681  df-2o 6682  df-er 6801  df-en 7017  df-dom 7018  df-fin 7019  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-5 9349  df-6 9350  df-7 9351  df-8 9352  df-9 9353  df-n0 9547  df-z 9628  df-dec 9761  df-uz 9905  df-xadd 10158  df-fz 10395  df-ihash 11198  df-ndx 13338  df-slot 13339  df-base 13341  df-edgf 16229  df-vtx 16238  df-iedg 16239  df-upgren 16317  df-umgren 16318  df-vtxdg 16511

This theorem is referenced by:  1hegrvtxdg1rfi  16534  eupth2lem3lem4fi  16697