Theorem 1hegrvtxdg1fi 16163

Description: The vertex degree of a multigraph with one edge, case 2: an edge from the given vertex to some other vertex contributes one to the vertex's degree. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Alexander van der Vekens, 22-Dec-2017.) (Revised by AV, 23-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
1hegrvtxdg1.a	|- ( ph -> A e. X )
1hegrvtxdg1.b	|- ( ph -> B e. V )
1hegrvtxdg1.c	|- ( ph -> C e. V )
1hegrvtxdg1.n	|- ( ph -> B =/= C )
1hegrvtxdg1.x	|- ( ph -> E e. ~P V )
1hegrvtxdg1.i	|- ( ph -> (iEdg ` G ) = { <. A , E >. } )
1hegrvtxdg1.e	|- ( ph -> { B , C } C_ E )
1hegrvtxdg1.v	|- ( ph -> (Vtx ` G ) = V )
1hegrvtxdg1fi.fi	|- ( ph -> V e. Fin )
1hegrvtxdg1fi.m	|- ( ph -> G e. UMGraph )

Assertion

Ref	Expression
1hegrvtxdg1fi	|- ( ph -> ( (VtxDeg ` G ) ` B ) = 1 )

Proof of Theorem 1hegrvtxdg1fi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1hegrvtxdg1.i	. 2 |- ( ph -> (iEdg ` G ) = { <. A , E >. } )
2		1hegrvtxdg1.v	. 2 |- ( ph -> (Vtx ` G ) = V )
3		1hegrvtxdg1.a	. 2 |- ( ph -> A e. X )
4		1hegrvtxdg1.b	. 2 |- ( ph -> B e. V )
5		1hegrvtxdg1fi.fi	. 2 |- ( ph -> V e. Fin )
6		1hegrvtxdg1fi.m	. 2 |- ( ph -> G e. UMGraph )
7		1hegrvtxdg1.x	. 2 |- ( ph -> E e. ~P V )
8		1hegrvtxdg1.e	. . 3 |- ( ph -> { B , C } C_ E )
9		prid1g 3775	. . . 4 |- ( B e. V -> B e. { B , C } )
10	4, 9	syl 14	. . 3 |- ( ph -> B e. { B , C } )
11	8, 10	sseldd 3228	. 2 |- ( ph -> B e. E )
12	1	fveq1d 5641	. . . 4 |- ( ph -> ( (iEdg ` G ) ` A ) = ( { <. A , E >. } ` A ) )
13		fvsng 5850	. . . . 5 |- ( ( A e. X /\ E e. ~P V ) -> ( { <. A , E >. } ` A ) = E )
14	3, 7, 13	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( { <. A , E >. } ` A ) = E )
15	12, 14	eqtrd 2264	. . 3 |- ( ph -> ( (iEdg ` G ) ` A ) = E )
16		snidg 3698	. . . . . 6 |- ( A e. X -> A e. { A } )
17	3, 16	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> A e. { A } )
18	1	dmeqd 4933	. . . . . 6 |- ( ph -> dom (iEdg ` G ) = dom { <. A , E >. } )
19		dmsnopg 5208	. . . . . . 7 |- ( E e. ~P V -> dom { <. A , E >. } = { A } )
20	7, 19	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> dom { <. A , E >. } = { A } )
21	18, 20	eqtrd 2264	. . . . 5 |- ( ph -> dom (iEdg ` G ) = { A } )
22	17, 21	eleqtrrd 2311	. . . 4 |- ( ph -> A e. dom (iEdg ` G ) )
23		eqid 2231	. . . . 5 |- (Vtx ` G ) = (Vtx ` G )
24		eqid 2231	. . . . 5 |- (iEdg ` G ) = (iEdg ` G )
25	23, 24	umgredg2en 15963	. . . 4 |- ( ( G e. UMGraph /\ A e. dom (iEdg ` G ) ) -> ( (iEdg ` G ) ` A ) ~~ 2o )
26	6, 22, 25	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( (iEdg ` G ) ` A ) ~~ 2o )
27	15, 26	eqbrtrrd 4112	. 2 |- ( ph -> E ~~ 2o )
28	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11, 27	1hevtxdg1en 16162	1 |- ( ph -> ( (VtxDeg ` G ) ` B ) = 1 )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1397   e. wcel 2202   =/= wne 2402   C_ wss 3200   ~Pcpw 3652   {csn 3669   {cpr 3670   <.cop 3672   class class class wbr 4088   dom cdm 4725   ` cfv 5326   2oc2o 6576   ~~ cen 6907   Fincfn 6909   1c1 8033  Vtxcvtx 15866  iEdgciedg 15867  UMGraphcumgr 15946  VtxDegcvtxdg 16140

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-1o 6582  df-2o 6583  df-er 6702  df-en 6910  df-dom 6911  df-fin 6912  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-7 9207  df-8 9208  df-9 9209  df-n0 9403  df-z 9480  df-dec 9612  df-uz 9756  df-xadd 10008  df-fz 10244  df-ihash 11039  df-ndx 13087  df-slot 13088  df-base 13090  df-edgf 15859  df-vtx 15868  df-iedg 15869  df-upgren 15947  df-umgren 15948  df-vtxdg 16141

This theorem is referenced by:  1hegrvtxdg1rfi  16164  eupth2lem3lem4fi  16327