Theorem fztp 10200

Description: A finite interval of integers with three elements. (Contributed by NM, 13-Sep-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fztp	|- ( M e. ZZ -> ( M ... ( M + 2 ) ) = { M , ( M + 1 ) , ( M + 2 ) } )

Proof of Theorem fztp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzid 9662	. . 3 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
2		peano2uz 9704	. . 3 |- ( M e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
3		fzsuc 10191	. . 3 |- ( ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M ... ( ( M + 1 ) + 1 ) ) = ( ( M ... ( M + 1 ) ) u. { ( ( M + 1 ) + 1 ) } ) )
4	1, 2, 3	3syl 17	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( M ... ( ( M + 1 ) + 1 ) ) = ( ( M ... ( M + 1 ) ) u. { ( ( M + 1 ) + 1 ) } ) )
5		zcn 9377	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> M e. CC )
6		ax-1cn 8018	. . . . . 6 |- 1 e. CC
7		addass 8055	. . . . . 6 |- ( ( M e. CC /\ 1 e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( M + 1 ) + 1 ) = ( M + ( 1 + 1 ) ) )
8	6, 6, 7	mp3an23 1342	. . . . 5 |- ( M e. CC -> ( ( M + 1 ) + 1 ) = ( M + ( 1 + 1 ) ) )
9	5, 8	syl 14	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( ( M + 1 ) + 1 ) = ( M + ( 1 + 1 ) ) )
10		df-2 9095	. . . . 5 |- 2 = ( 1 + 1 )
11	10	oveq2i 5955	. . . 4 |- ( M + 2 ) = ( M + ( 1 + 1 ) )
12	9, 11	eqtr4di 2256	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( ( M + 1 ) + 1 ) = ( M + 2 ) )
13	12	oveq2d 5960	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( M ... ( ( M + 1 ) + 1 ) ) = ( M ... ( M + 2 ) ) )
14		fzpr 10199	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( M ... ( M + 1 ) ) = { M , ( M + 1 ) } )
15	12	sneqd 3646	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> { ( ( M + 1 ) + 1 ) } = { ( M + 2 ) } )
16	14, 15	uneq12d 3328	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( ( M ... ( M + 1 ) ) u. { ( ( M + 1 ) + 1 ) } ) = ( { M , ( M + 1 ) } u. { ( M + 2 ) } ) )
17		df-tp 3641	. . 3 |- { M , ( M + 1 ) , ( M + 2 ) } = ( { M , ( M + 1 ) } u. { ( M + 2 ) } )
18	16, 17	eqtr4di 2256	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( ( M ... ( M + 1 ) ) u. { ( ( M + 1 ) + 1 ) } ) = { M , ( M + 1 ) , ( M + 2 ) } )
19	4, 13, 18	3eqtr3d 2246	1 |- ( M e. ZZ -> ( M ... ( M + 2 ) ) = { M , ( M + 1 ) , ( M + 2 ) } )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2176   u. cun 3164   {csn 3633   {cpr 3634   {ctp 3635   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   CCcc 7923   1c1 7926   + caddc 7928   2c2 9087   ZZcz 9372   ZZ>=cuz 9648   ...cfz 10130

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-tp 3641  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-inn 9037  df-2 9095  df-n0 9296  df-z 9373  df-uz 9649  df-fz 10131

This theorem is referenced by:  fztpval  10205  fz0tp  10244  fz0to4untppr  10246  fzo0to3tp  10348