ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fztp Unicode version

Theorem fztp 9980
Description: A finite interval of integers with three elements. (Contributed by NM, 13-Sep-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
fztp  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M ... ( M  + 
2 ) )  =  { M ,  ( M  +  1 ) ,  ( M  + 
2 ) } )

Proof of Theorem fztp
StepHypRef Expression
1 uzid 9453 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
2 peano2uz 9494 . . 3  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
3 fzsuc 9971 . . 3  |-  ( ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M ... ( ( M  + 
1 )  +  1 ) )  =  ( ( M ... ( M  +  1 ) )  u.  { ( ( M  +  1 )  +  1 ) } ) )
41, 2, 33syl 17 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M ... ( ( M  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( M ... ( M  +  1
) )  u.  {
( ( M  + 
1 )  +  1 ) } ) )
5 zcn 9172 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  CC )
6 ax-1cn 7825 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
7 addass 7862 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( M  +  1 )  +  1 )  =  ( M  +  ( 1  +  1 ) ) )
86, 6, 7mp3an23 1311 . . . . 5  |-  ( M  e.  CC  ->  (
( M  +  1 )  +  1 )  =  ( M  +  ( 1  +  1 ) ) )
95, 8syl 14 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( M  +  1 )  +  1 )  =  ( M  +  ( 1  +  1 ) ) )
10 df-2 8892 . . . . 5  |-  2  =  ( 1  +  1 )
1110oveq2i 5835 . . . 4  |-  ( M  +  2 )  =  ( M  +  ( 1  +  1 ) )
129, 11eqtr4di 2208 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( M  +  1 )  +  1 )  =  ( M  + 
2 ) )
1312oveq2d 5840 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M ... ( ( M  +  1 )  +  1 ) )  =  ( M ... ( M  +  2 ) ) )
14 fzpr 9979 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M ... ( M  + 
1 ) )  =  { M ,  ( M  +  1 ) } )
1512sneqd 3573 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  { ( ( M  +  1 )  +  1 ) }  =  { ( M  +  2 ) } )
1614, 15uneq12d 3262 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( M ... ( M  +  1 ) )  u.  { ( ( M  +  1 )  +  1 ) } )  =  ( { M ,  ( M  +  1 ) }  u.  { ( M  +  2 ) } ) )
17 df-tp 3568 . . 3  |-  { M ,  ( M  + 
1 ) ,  ( M  +  2 ) }  =  ( { M ,  ( M  +  1 ) }  u.  { ( M  +  2 ) } )
1816, 17eqtr4di 2208 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( M ... ( M  +  1 ) )  u.  { ( ( M  +  1 )  +  1 ) } )  =  { M ,  ( M  +  1 ) ,  ( M  +  2 ) } )
194, 13, 183eqtr3d 2198 1  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M ... ( M  + 
2 ) )  =  { M ,  ( M  +  1 ) ,  ( M  + 
2 ) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1335    e. wcel 2128    u. cun 3100   {csn 3560   {cpr 3561   {ctp 3562   ` cfv 5170  (class class class)co 5824   CCcc 7730   1c1 7733    + caddc 7735   2c2 8884   ZZcz 9167   ZZ>=cuz 9439   ...cfz 9912
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-1cn 7825  ax-1re 7826  ax-icn 7827  ax-addcl 7828  ax-addrcl 7829  ax-mulcl 7830  ax-addcom 7832  ax-addass 7834  ax-distr 7836  ax-i2m1 7837  ax-0lt1 7838  ax-0id 7840  ax-rnegex 7841  ax-cnre 7843  ax-pre-ltirr 7844  ax-pre-ltwlin 7845  ax-pre-lttrn 7846  ax-pre-apti 7847  ax-pre-ltadd 7848
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-tp 3568  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4253  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-fv 5178  df-riota 5780  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-xr 7916  df-ltxr 7917  df-le 7918  df-sub 8048  df-neg 8049  df-inn 8834  df-2 8892  df-n0 9091  df-z 9168  df-uz 9440  df-fz 9913
This theorem is referenced by:  fztpval  9985  fz0tp  10023  fzo0to3tp  10118
  Copyright terms: Public domain W3C validator