Theorem fztp 9980

Description: A finite interval of integers with three elements. (Contributed by NM, 13-Sep-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fztp	|- ( M e. ZZ -> ( M ... ( M + 2 ) ) = { M , ( M + 1 ) , ( M + 2 ) } )

Proof of Theorem fztp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzid 9453	. . 3 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
2		peano2uz 9494	. . 3 |- ( M e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
3		fzsuc 9971	. . 3 |- ( ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M ... ( ( M + 1 ) + 1 ) ) = ( ( M ... ( M + 1 ) ) u. { ( ( M + 1 ) + 1 ) } ) )
4	1, 2, 3	3syl 17	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( M ... ( ( M + 1 ) + 1 ) ) = ( ( M ... ( M + 1 ) ) u. { ( ( M + 1 ) + 1 ) } ) )
5		zcn 9172	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> M e. CC )
6		ax-1cn 7825	. . . . . 6 |- 1 e. CC
7		addass 7862	. . . . . 6 |- ( ( M e. CC /\ 1 e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( M + 1 ) + 1 ) = ( M + ( 1 + 1 ) ) )
8	6, 6, 7	mp3an23 1311	. . . . 5 |- ( M e. CC -> ( ( M + 1 ) + 1 ) = ( M + ( 1 + 1 ) ) )
9	5, 8	syl 14	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( ( M + 1 ) + 1 ) = ( M + ( 1 + 1 ) ) )
10		df-2 8892	. . . . 5 |- 2 = ( 1 + 1 )
11	10	oveq2i 5835	. . . 4 |- ( M + 2 ) = ( M + ( 1 + 1 ) )
12	9, 11	eqtr4di 2208	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( ( M + 1 ) + 1 ) = ( M + 2 ) )
13	12	oveq2d 5840	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( M ... ( ( M + 1 ) + 1 ) ) = ( M ... ( M + 2 ) ) )
14		fzpr 9979	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( M ... ( M + 1 ) ) = { M , ( M + 1 ) } )
15	12	sneqd 3573	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> { ( ( M + 1 ) + 1 ) } = { ( M + 2 ) } )
16	14, 15	uneq12d 3262	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( ( M ... ( M + 1 ) ) u. { ( ( M + 1 ) + 1 ) } ) = ( { M , ( M + 1 ) } u. { ( M + 2 ) } ) )
17		df-tp 3568	. . 3 |- { M , ( M + 1 ) , ( M + 2 ) } = ( { M , ( M + 1 ) } u. { ( M + 2 ) } )
18	16, 17	eqtr4di 2208	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( ( M ... ( M + 1 ) ) u. { ( ( M + 1 ) + 1 ) } ) = { M , ( M + 1 ) , ( M + 2 ) } )
19	4, 13, 18	3eqtr3d 2198	1 |- ( M e. ZZ -> ( M ... ( M + 2 ) ) = { M , ( M + 1 ) , ( M + 2 ) } )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1335   e. wcel 2128   u. cun 3100   {csn 3560   {cpr 3561   {ctp 3562   ` cfv 5170  (class class class)co 5824   CCcc 7730   1c1 7733   + caddc 7735   2c2 8884   ZZcz 9167   ZZ>=cuz 9439   ...cfz 9912

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-1cn 7825  ax-1re 7826  ax-icn 7827  ax-addcl 7828  ax-addrcl 7829  ax-mulcl 7830  ax-addcom 7832  ax-addass 7834  ax-distr 7836  ax-i2m1 7837  ax-0lt1 7838  ax-0id 7840  ax-rnegex 7841  ax-cnre 7843  ax-pre-ltirr 7844  ax-pre-ltwlin 7845  ax-pre-lttrn 7846  ax-pre-apti 7847  ax-pre-ltadd 7848

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-tp 3568  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4253  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-fv 5178  df-riota 5780  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-xr 7916  df-ltxr 7917  df-le 7918  df-sub 8048  df-neg 8049  df-inn 8834  df-2 8892  df-n0 9091  df-z 9168  df-uz 9440  df-fz 9913

This theorem is referenced by:  fztpval  9985  fz0tp  10023  fzo0to3tp  10118