Theorem fztp 9889

Description: A finite interval of integers with three elements. (Contributed by NM, 13-Sep-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fztp	|- ( M e. ZZ -> ( M ... ( M + 2 ) ) = { M , ( M + 1 ) , ( M + 2 ) } )

Proof of Theorem fztp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzid 9364	. . 3 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
2		peano2uz 9405	. . 3 |- ( M e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
3		fzsuc 9880	. . 3 |- ( ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M ... ( ( M + 1 ) + 1 ) ) = ( ( M ... ( M + 1 ) ) u. { ( ( M + 1 ) + 1 ) } ) )
4	1, 2, 3	3syl 17	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( M ... ( ( M + 1 ) + 1 ) ) = ( ( M ... ( M + 1 ) ) u. { ( ( M + 1 ) + 1 ) } ) )
5		zcn 9083	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> M e. CC )
6		ax-1cn 7737	. . . . . 6 |- 1 e. CC
7		addass 7774	. . . . . 6 |- ( ( M e. CC /\ 1 e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( M + 1 ) + 1 ) = ( M + ( 1 + 1 ) ) )
8	6, 6, 7	mp3an23 1308	. . . . 5 |- ( M e. CC -> ( ( M + 1 ) + 1 ) = ( M + ( 1 + 1 ) ) )
9	5, 8	syl 14	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( ( M + 1 ) + 1 ) = ( M + ( 1 + 1 ) ) )
10		df-2 8803	. . . . 5 |- 2 = ( 1 + 1 )
11	10	oveq2i 5793	. . . 4 |- ( M + 2 ) = ( M + ( 1 + 1 ) )
12	9, 11	eqtr4di 2191	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( ( M + 1 ) + 1 ) = ( M + 2 ) )
13	12	oveq2d 5798	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( M ... ( ( M + 1 ) + 1 ) ) = ( M ... ( M + 2 ) ) )
14		fzpr 9888	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( M ... ( M + 1 ) ) = { M , ( M + 1 ) } )
15	12	sneqd 3545	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> { ( ( M + 1 ) + 1 ) } = { ( M + 2 ) } )
16	14, 15	uneq12d 3236	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( ( M ... ( M + 1 ) ) u. { ( ( M + 1 ) + 1 ) } ) = ( { M , ( M + 1 ) } u. { ( M + 2 ) } ) )
17		df-tp 3540	. . 3 |- { M , ( M + 1 ) , ( M + 2 ) } = ( { M , ( M + 1 ) } u. { ( M + 2 ) } )
18	16, 17	eqtr4di 2191	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( ( M ... ( M + 1 ) ) u. { ( ( M + 1 ) + 1 ) } ) = { M , ( M + 1 ) , ( M + 2 ) } )
19	4, 13, 18	3eqtr3d 2181	1 |- ( M e. ZZ -> ( M ... ( M + 2 ) ) = { M , ( M + 1 ) , ( M + 2 ) } )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1332   e. wcel 1481   u. cun 3074   {csn 3532   {cpr 3533   {ctp 3534   ` cfv 5131  (class class class)co 5782   CCcc 7642   1c1 7645   + caddc 7647   2c2 8795   ZZcz 9078   ZZ>=cuz 9350   ...cfz 9821

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-addcom 7744  ax-addass 7746  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-tp 3540  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-inn 8745  df-2 8803  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-fz 9822

This theorem is referenced by:  fztpval  9894  fz0tp  9932  fzo0to3tp  10027