ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fztp Unicode version

Theorem fztp 9851
Description: A finite interval of integers with three elements. (Contributed by NM, 13-Sep-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
fztp  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M ... ( M  + 
2 ) )  =  { M ,  ( M  +  1 ) ,  ( M  + 
2 ) } )

Proof of Theorem fztp
StepHypRef Expression
1 uzid 9333 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
2 peano2uz 9371 . . 3  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
3 fzsuc 9842 . . 3  |-  ( ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M ... ( ( M  + 
1 )  +  1 ) )  =  ( ( M ... ( M  +  1 ) )  u.  { ( ( M  +  1 )  +  1 ) } ) )
41, 2, 33syl 17 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M ... ( ( M  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( M ... ( M  +  1
) )  u.  {
( ( M  + 
1 )  +  1 ) } ) )
5 zcn 9052 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  CC )
6 ax-1cn 7706 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
7 addass 7743 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( M  +  1 )  +  1 )  =  ( M  +  ( 1  +  1 ) ) )
86, 6, 7mp3an23 1307 . . . . 5  |-  ( M  e.  CC  ->  (
( M  +  1 )  +  1 )  =  ( M  +  ( 1  +  1 ) ) )
95, 8syl 14 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( M  +  1 )  +  1 )  =  ( M  +  ( 1  +  1 ) ) )
10 df-2 8772 . . . . 5  |-  2  =  ( 1  +  1 )
1110oveq2i 5778 . . . 4  |-  ( M  +  2 )  =  ( M  +  ( 1  +  1 ) )
129, 11syl6eqr 2188 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( M  +  1 )  +  1 )  =  ( M  + 
2 ) )
1312oveq2d 5783 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M ... ( ( M  +  1 )  +  1 ) )  =  ( M ... ( M  +  2 ) ) )
14 fzpr 9850 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M ... ( M  + 
1 ) )  =  { M ,  ( M  +  1 ) } )
1512sneqd 3535 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  { ( ( M  +  1 )  +  1 ) }  =  { ( M  +  2 ) } )
1614, 15uneq12d 3226 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( M ... ( M  +  1 ) )  u.  { ( ( M  +  1 )  +  1 ) } )  =  ( { M ,  ( M  +  1 ) }  u.  { ( M  +  2 ) } ) )
17 df-tp 3530 . . 3  |-  { M ,  ( M  + 
1 ) ,  ( M  +  2 ) }  =  ( { M ,  ( M  +  1 ) }  u.  { ( M  +  2 ) } )
1816, 17syl6eqr 2188 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( M ... ( M  +  1 ) )  u.  { ( ( M  +  1 )  +  1 ) } )  =  { M ,  ( M  +  1 ) ,  ( M  +  2 ) } )
194, 13, 183eqtr3d 2178 1  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M ... ( M  + 
2 ) )  =  { M ,  ( M  +  1 ) ,  ( M  + 
2 ) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1331    e. wcel 1480    u. cun 3064   {csn 3522   {cpr 3523   {ctp 3524   ` cfv 5118  (class class class)co 5767   CCcc 7611   1c1 7614    + caddc 7616   2c2 8764   ZZcz 9047   ZZ>=cuz 9319   ...cfz 9783
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-addcom 7713  ax-addass 7715  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-tp 3530  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-inn 8714  df-2 8772  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-fz 9784
This theorem is referenced by:  fztpval  9856  fz0tp  9894  fzo0to3tp  9989
  Copyright terms: Public domain W3C validator