Theorem fztp 10144

Description: A finite interval of integers with three elements. (Contributed by NM, 13-Sep-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fztp	|- ( M e. ZZ -> ( M ... ( M + 2 ) ) = { M , ( M + 1 ) , ( M + 2 ) } )

Proof of Theorem fztp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzid 9606	. . 3 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
2		peano2uz 9648	. . 3 |- ( M e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
3		fzsuc 10135	. . 3 |- ( ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M ... ( ( M + 1 ) + 1 ) ) = ( ( M ... ( M + 1 ) ) u. { ( ( M + 1 ) + 1 ) } ) )
4	1, 2, 3	3syl 17	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( M ... ( ( M + 1 ) + 1 ) ) = ( ( M ... ( M + 1 ) ) u. { ( ( M + 1 ) + 1 ) } ) )
5		zcn 9322	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> M e. CC )
6		ax-1cn 7965	. . . . . 6 |- 1 e. CC
7		addass 8002	. . . . . 6 |- ( ( M e. CC /\ 1 e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( M + 1 ) + 1 ) = ( M + ( 1 + 1 ) ) )
8	6, 6, 7	mp3an23 1340	. . . . 5 |- ( M e. CC -> ( ( M + 1 ) + 1 ) = ( M + ( 1 + 1 ) ) )
9	5, 8	syl 14	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( ( M + 1 ) + 1 ) = ( M + ( 1 + 1 ) ) )
10		df-2 9041	. . . . 5 |- 2 = ( 1 + 1 )
11	10	oveq2i 5929	. . . 4 |- ( M + 2 ) = ( M + ( 1 + 1 ) )
12	9, 11	eqtr4di 2244	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( ( M + 1 ) + 1 ) = ( M + 2 ) )
13	12	oveq2d 5934	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( M ... ( ( M + 1 ) + 1 ) ) = ( M ... ( M + 2 ) ) )
14		fzpr 10143	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( M ... ( M + 1 ) ) = { M , ( M + 1 ) } )
15	12	sneqd 3631	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> { ( ( M + 1 ) + 1 ) } = { ( M + 2 ) } )
16	14, 15	uneq12d 3314	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( ( M ... ( M + 1 ) ) u. { ( ( M + 1 ) + 1 ) } ) = ( { M , ( M + 1 ) } u. { ( M + 2 ) } ) )
17		df-tp 3626	. . 3 |- { M , ( M + 1 ) , ( M + 2 ) } = ( { M , ( M + 1 ) } u. { ( M + 2 ) } )
18	16, 17	eqtr4di 2244	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( ( M ... ( M + 1 ) ) u. { ( ( M + 1 ) + 1 ) } ) = { M , ( M + 1 ) , ( M + 2 ) } )
19	4, 13, 18	3eqtr3d 2234	1 |- ( M e. ZZ -> ( M ... ( M + 2 ) ) = { M , ( M + 1 ) , ( M + 2 ) } )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2164   u. cun 3151   {csn 3618   {cpr 3619   {ctp 3620   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   CCcc 7870   1c1 7873   + caddc 7875   2c2 9033   ZZcz 9317   ZZ>=cuz 9592   ...cfz 10074

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-tp 3626  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-2 9041  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-fz 10075

This theorem is referenced by:  fztpval  10149  fz0tp  10188  fz0to4untppr  10190  fzo0to3tp  10286