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Theorem tfr1onlemaccex 6213
Description: We can define an acceptable function on any element of  X.

As with many of the transfinite recursion theorems, we have hypotheses that state that  F is a function and that it is defined up to  X. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Mar-2022.)

Hypotheses
Ref Expression
tfr1on.f  |-  F  = recs ( G )
tfr1on.g  |-  ( ph  ->  Fun  G )
tfr1on.x  |-  ( ph  ->  Ord  X )
tfr1on.ex  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  f  Fn  x
)  ->  ( G `  f )  e.  _V )
tfr1onlemsucfn.1  |-  A  =  { f  |  E. x  e.  X  (
f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) ) }
tfr1onlemaccex.u  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. X )  ->  suc  x  e.  X )
Assertion
Ref Expression
tfr1onlemaccex  |-  ( (
ph  /\  C  e.  X )  ->  E. g
( g  Fn  C  /\  A. u  e.  C  ( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) ) ) )
Distinct variable groups:    u, A, x    C, g, u    g, G, u, x    f, G, y, x    x, X, f    ph, x    y, g    ph, f
Allowed substitution hints:    ph( y, u, g)    A( y, f, g)    C( x, y, f)    F( x, y, u, f, g)    X( y, u, g)

Proof of Theorem tfr1onlemaccex
Dummy variables  a  b  c  d  h  r  s  t  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tfr1on.x . . 3  |-  ( ph  ->  Ord  X )
2 ordelon 4275 . . 3  |-  ( ( Ord  X  /\  C  e.  X )  ->  C  e.  On )
31, 2sylan 281 . 2  |-  ( (
ph  /\  C  e.  X )  ->  C  e.  On )
4 eleq1 2180 . . . . 5  |-  ( z  =  w  ->  (
z  e.  X  <->  w  e.  X ) )
54anbi2d 459 . . . 4  |-  ( z  =  w  ->  (
( ph  /\  z  e.  X )  <->  ( ph  /\  w  e.  X ) ) )
6 fneq2 5182 . . . . . 6  |-  ( z  =  w  ->  (
g  Fn  z  <->  g  Fn  w ) )
7 raleq 2603 . . . . . 6  |-  ( z  =  w  ->  ( A. u  e.  z 
( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) )  <->  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) )
86, 7anbi12d 464 . . . . 5  |-  ( z  =  w  ->  (
( g  Fn  z  /\  A. u  e.  z  ( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) ) )  <-> 
( g  Fn  w  /\  A. u  e.  w  ( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) ) ) ) )
98exbidv 1781 . . . 4  |-  ( z  =  w  ->  ( E. g ( g  Fn  z  /\  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) )  <->  E. g ( g  Fn  w  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) ) )
105, 9imbi12d 233 . . 3  |-  ( z  =  w  ->  (
( ( ph  /\  z  e.  X )  ->  E. g ( g  Fn  z  /\  A. u  e.  z  (
g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) )  <-> 
( ( ph  /\  w  e.  X )  ->  E. g ( g  Fn  w  /\  A. u  e.  w  (
g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) ) ) )
11 eleq1 2180 . . . . 5  |-  ( z  =  C  ->  (
z  e.  X  <->  C  e.  X ) )
1211anbi2d 459 . . . 4  |-  ( z  =  C  ->  (
( ph  /\  z  e.  X )  <->  ( ph  /\  C  e.  X ) ) )
13 fneq2 5182 . . . . . 6  |-  ( z  =  C  ->  (
g  Fn  z  <->  g  Fn  C ) )
14 raleq 2603 . . . . . 6  |-  ( z  =  C  ->  ( A. u  e.  z 
( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) )  <->  A. u  e.  C  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) )
1513, 14anbi12d 464 . . . . 5  |-  ( z  =  C  ->  (
( g  Fn  z  /\  A. u  e.  z  ( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) ) )  <-> 
( g  Fn  C  /\  A. u  e.  C  ( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) ) ) ) )
1615exbidv 1781 . . . 4  |-  ( z  =  C  ->  ( E. g ( g  Fn  z  /\  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) )  <->  E. g ( g  Fn  C  /\  A. u  e.  C  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) ) )
1712, 16imbi12d 233 . . 3  |-  ( z  =  C  ->  (
( ( ph  /\  z  e.  X )  ->  E. g ( g  Fn  z  /\  A. u  e.  z  (
g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) )  <-> 
( ( ph  /\  C  e.  X )  ->  E. g ( g  Fn  C  /\  A. u  e.  C  (
g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) ) ) )
18 tfr1on.f . . . . . . . . 9  |-  F  = recs ( G )
19 tfr1on.g . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Fun  G )
2019ad3antrrr 483 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g ( g  Fn  w  /\  A. u  e.  w  (
g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) ) )  /\  z  e.  X )  ->  Fun  G )
211ad3antrrr 483 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g ( g  Fn  w  /\  A. u  e.  w  (
g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) ) )  /\  z  e.  X )  ->  Ord  X )
22 tfr1on.ex . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  f  Fn  x
)  ->  ( G `  f )  e.  _V )
23223expia 1168 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
f  Fn  x  -> 
( G `  f
)  e.  _V )
)
2423alrimiv 1830 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. f
( f  Fn  x  ->  ( G `  f
)  e.  _V )
)
25 fneq1 5181 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  =  h  ->  (
f  Fn  x  <->  h  Fn  x ) )
26 fveq2 5389 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  =  h  ->  ( G `  f )  =  ( G `  h ) )
2726eleq1d 2186 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  =  h  ->  (
( G `  f
)  e.  _V  <->  ( G `  h )  e.  _V ) )
2825, 27imbi12d 233 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  h  ->  (
( f  Fn  x  ->  ( G `  f
)  e.  _V )  <->  ( h  Fn  x  -> 
( G `  h
)  e.  _V )
) )
2928cbvalv 1871 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. f ( f  Fn  x  ->  ( G `  f )  e.  _V ) 
<-> 
A. h ( h  Fn  x  ->  ( G `  h )  e.  _V ) )
3024, 29sylib 121 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. h
( h  Fn  x  ->  ( G `  h
)  e.  _V )
)
313019.21bi 1522 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
h  Fn  x  -> 
( G `  h
)  e.  _V )
)
32313impia 1163 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  h  Fn  x
)  ->  ( G `  h )  e.  _V )
33323adant1r 1194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  On )  /\  x  e.  X  /\  h  Fn  x )  ->  ( G `  h )  e.  _V )
34333adant1r 1194 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g ( g  Fn  w  /\  A. u  e.  w  (
g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) ) )  /\  x  e.  X  /\  h  Fn  x )  ->  ( G `  h )  e.  _V )
35343adant1r 1194 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g
( g  Fn  w  /\  A. u  e.  w  ( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) ) ) ) )  /\  z  e.  X )  /\  x  e.  X  /\  h  Fn  x )  ->  ( G `  h )  e.  _V )
36 tfr1onlemsucfn.1 . . . . . . . . . 10  |-  A  =  { f  |  E. x  e.  X  (
f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) ) }
37 fveq1 5388 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  h  ->  (
f `  y )  =  ( h `  y ) )
38 reseq1 4783 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  h  ->  (
f  |`  y )  =  ( h  |`  y
) )
3938fveq2d 5393 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  h  ->  ( G `  ( f  |`  y ) )  =  ( G `  (
h  |`  y ) ) )
4037, 39eqeq12d 2132 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  h  ->  (
( f `  y
)  =  ( G `
 ( f  |`  y ) )  <->  ( h `  y )  =  ( G `  ( h  |`  y ) ) ) )
4140ralbidv 2414 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  h  ->  ( A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( G `
 ( f  |`  y ) )  <->  A. y  e.  x  ( h `  y )  =  ( G `  ( h  |`  y ) ) ) )
4225, 41anbi12d 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  h  ->  (
( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( G `
 ( f  |`  y ) ) )  <-> 
( h  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( h `  y
)  =  ( G `
 ( h  |`  y ) ) ) ) )
4342rexbidv 2415 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  h  ->  ( E. x  e.  X  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( G `
 ( f  |`  y ) ) )  <->  E. x  e.  X  ( h  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( h `  y
)  =  ( G `
 ( h  |`  y ) ) ) ) )
4443cbvabv 2241 . . . . . . . . . 10  |-  { f  |  E. x  e.  X  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y ) ) ) }  =  { h  |  E. x  e.  X  ( h  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( h `  y
)  =  ( G `
 ( h  |`  y ) ) ) }
4536, 44eqtri 2138 . . . . . . . . 9  |-  A  =  { h  |  E. x  e.  X  (
h  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( h `  y )  =  ( G `  ( h  |`  y ) ) ) }
46 fneq1 5181 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( r  =  a  ->  (
r  Fn  t  <->  a  Fn  t ) )
47 eleq1 2180 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( r  =  a  ->  (
r  e.  A  <->  a  e.  A ) )
48 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( r  =  a  ->  r  =  a )
49 fveq2 5389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( r  =  a  ->  ( G `  r )  =  ( G `  a ) )
5049opeq2d 3682 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( r  =  a  ->  <. t ,  ( G `  r ) >.  =  <. t ,  ( G `  a ) >. )
5150sneqd 3510 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( r  =  a  ->  { <. t ,  ( G `  r ) >. }  =  { <. t ,  ( G `  a )
>. } )
5248, 51uneq12d 3201 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( r  =  a  ->  (
r  u.  { <. t ,  ( G `  r ) >. } )  =  ( a  u. 
{ <. t ,  ( G `  a )
>. } ) )
5352eqeq2d 2129 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( r  =  a  ->  (
s  =  ( r  u.  { <. t ,  ( G `  r ) >. } )  <-> 
s  =  ( a  u.  { <. t ,  ( G `  a ) >. } ) ) )
5446, 47, 533anbi123d 1275 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  =  a  ->  (
( r  Fn  t  /\  r  e.  A  /\  s  =  (
r  u.  { <. t ,  ( G `  r ) >. } ) )  <->  ( a  Fn  t  /\  a  e.  A  /\  s  =  ( a  u.  { <. t ,  ( G `
 a ) >. } ) ) ) )
5554cbvexv 1872 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. r ( r  Fn  t  /\  r  e.  A  /\  s  =  ( r  u.  { <. t ,  ( G `
 r ) >. } ) )  <->  E. a
( a  Fn  t  /\  a  e.  A  /\  s  =  (
a  u.  { <. t ,  ( G `  a ) >. } ) ) )
5655rexbii 2419 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. t  e.  z  E. r ( r  Fn  t  /\  r  e.  A  /\  s  =  ( r  u.  { <. t ,  ( G `
 r ) >. } ) )  <->  E. t  e.  z  E. a
( a  Fn  t  /\  a  e.  A  /\  s  =  (
a  u.  { <. t ,  ( G `  a ) >. } ) ) )
57 fneq2 5182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  b  ->  (
a  Fn  t  <->  a  Fn  b ) )
58 opeq1 3675 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( t  =  b  ->  <. t ,  ( G `  a ) >.  =  <. b ,  ( G `  a ) >. )
5958sneqd 3510 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( t  =  b  ->  { <. t ,  ( G `  a ) >. }  =  { <. b ,  ( G `  a )
>. } )
6059uneq2d 3200 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  =  b  ->  (
a  u.  { <. t ,  ( G `  a ) >. } )  =  ( a  u. 
{ <. b ,  ( G `  a )
>. } ) )
6160eqeq2d 2129 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  b  ->  (
s  =  ( a  u.  { <. t ,  ( G `  a ) >. } )  <-> 
s  =  ( a  u.  { <. b ,  ( G `  a ) >. } ) ) )
6257, 613anbi13d 1277 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  b  ->  (
( a  Fn  t  /\  a  e.  A  /\  s  =  (
a  u.  { <. t ,  ( G `  a ) >. } ) )  <->  ( a  Fn  b  /\  a  e.  A  /\  s  =  ( a  u.  { <. b ,  ( G `
 a ) >. } ) ) ) )
6362exbidv 1781 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  b  ->  ( E. a ( a  Fn  t  /\  a  e.  A  /\  s  =  ( a  u.  { <. t ,  ( G `
 a ) >. } ) )  <->  E. a
( a  Fn  b  /\  a  e.  A  /\  s  =  (
a  u.  { <. b ,  ( G `  a ) >. } ) ) ) )
6463cbvrexv 2632 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. t  e.  z  E. a ( a  Fn  t  /\  a  e.  A  /\  s  =  ( a  u.  { <. t ,  ( G `
 a ) >. } ) )  <->  E. b  e.  z  E. a
( a  Fn  b  /\  a  e.  A  /\  s  =  (
a  u.  { <. b ,  ( G `  a ) >. } ) ) )
6556, 64bitri 183 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. t  e.  z  E. r ( r  Fn  t  /\  r  e.  A  /\  s  =  ( r  u.  { <. t ,  ( G `
 r ) >. } ) )  <->  E. b  e.  z  E. a
( a  Fn  b  /\  a  e.  A  /\  s  =  (
a  u.  { <. b ,  ( G `  a ) >. } ) ) )
6665abbii 2233 . . . . . . . . . 10  |-  { s  |  E. t  e.  z  E. r ( r  Fn  t  /\  r  e.  A  /\  s  =  ( r  u.  { <. t ,  ( G `  r )
>. } ) ) }  =  { s  |  E. b  e.  z  E. a ( a  Fn  b  /\  a  e.  A  /\  s  =  ( a  u. 
{ <. b ,  ( G `  a )
>. } ) ) }
67 eqeq1 2124 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  =  d  ->  (
s  =  ( a  u.  { <. b ,  ( G `  a ) >. } )  <-> 
d  =  ( a  u.  { <. b ,  ( G `  a ) >. } ) ) )
68673anbi3d 1281 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  d  ->  (
( a  Fn  b  /\  a  e.  A  /\  s  =  (
a  u.  { <. b ,  ( G `  a ) >. } ) )  <->  ( a  Fn  b  /\  a  e.  A  /\  d  =  ( a  u.  { <. b ,  ( G `
 a ) >. } ) ) ) )
6968exbidv 1781 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  d  ->  ( E. a ( a  Fn  b  /\  a  e.  A  /\  s  =  ( a  u.  { <. b ,  ( G `
 a ) >. } ) )  <->  E. a
( a  Fn  b  /\  a  e.  A  /\  d  =  (
a  u.  { <. b ,  ( G `  a ) >. } ) ) ) )
7069rexbidv 2415 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  d  ->  ( E. b  e.  z  E. a ( a  Fn  b  /\  a  e.  A  /\  s  =  ( a  u.  { <. b ,  ( G `
 a ) >. } ) )  <->  E. b  e.  z  E. a
( a  Fn  b  /\  a  e.  A  /\  d  =  (
a  u.  { <. b ,  ( G `  a ) >. } ) ) ) )
7170cbvabv 2241 . . . . . . . . . 10  |-  { s  |  E. b  e.  z  E. a ( a  Fn  b  /\  a  e.  A  /\  s  =  ( a  u.  { <. b ,  ( G `  a )
>. } ) ) }  =  { d  |  E. b  e.  z  E. a ( a  Fn  b  /\  a  e.  A  /\  d  =  ( a  u. 
{ <. b ,  ( G `  a )
>. } ) ) }
7266, 71eqtri 2138 . . . . . . . . 9  |-  { s  |  E. t  e.  z  E. r ( r  Fn  t  /\  r  e.  A  /\  s  =  ( r  u.  { <. t ,  ( G `  r )
>. } ) ) }  =  { d  |  E. b  e.  z  E. a ( a  Fn  b  /\  a  e.  A  /\  d  =  ( a  u. 
{ <. b ,  ( G `  a )
>. } ) ) }
73 tfr1onlemaccex.u . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. X )  ->  suc  x  e.  X )
7473adantlr 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  On )  /\  x  e.  U. X )  ->  suc  x  e.  X )
7574adantlr 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g ( g  Fn  w  /\  A. u  e.  w  (
g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) ) )  /\  x  e. 
U. X )  ->  suc  x  e.  X )
7675adantlr 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g
( g  Fn  w  /\  A. u  e.  w  ( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) ) ) ) )  /\  z  e.  X )  /\  x  e.  U. X )  ->  suc  x  e.  X )
77 simpr 109 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g ( g  Fn  w  /\  A. u  e.  w  (
g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) ) )  /\  z  e.  X )  ->  z  e.  X )
78 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g
( g  Fn  w  /\  A. u  e.  w  ( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) ) ) ) )  /\  z  e.  X )  /\  b  e.  z )  ->  b  e.  z )
79 simplr 504 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g
( g  Fn  w  /\  A. u  e.  w  ( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) ) ) ) )  /\  z  e.  X )  /\  b  e.  z )  ->  z  e.  X )
80 ordtr1 4280 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Ord 
X  ->  ( (
b  e.  z  /\  z  e.  X )  ->  b  e.  X ) )
811, 80syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( b  e.  z  /\  z  e.  X )  ->  b  e.  X ) )
8281ad4antr 485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g
( g  Fn  w  /\  A. u  e.  w  ( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) ) ) ) )  /\  z  e.  X )  /\  b  e.  z )  ->  (
( b  e.  z  /\  z  e.  X
)  ->  b  e.  X ) )
8378, 79, 82mp2and 429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g
( g  Fn  w  /\  A. u  e.  w  ( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) ) ) ) )  /\  z  e.  X )  /\  b  e.  z )  ->  b  e.  X )
84 eleq1 2180 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  b  ->  (
w  e.  X  <->  b  e.  X ) )
85 fneq2 5182 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  b  ->  (
g  Fn  w  <->  g  Fn  b ) )
86 raleq 2603 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  b  ->  ( A. u  e.  w  ( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) )  <->  A. u  e.  b  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) )
8785, 86anbi12d 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  b  ->  (
( g  Fn  w  /\  A. u  e.  w  ( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) ) )  <-> 
( g  Fn  b  /\  A. u  e.  b  ( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) ) ) ) )
8887exbidv 1781 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  b  ->  ( E. g ( g  Fn  w  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) )  <->  E. g ( g  Fn  b  /\  A. u  e.  b  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) ) )
8984, 88imbi12d 233 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  b  ->  (
( w  e.  X  ->  E. g ( g  Fn  w  /\  A. u  e.  w  (
g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) )  <-> 
( b  e.  X  ->  E. g ( g  Fn  b  /\  A. u  e.  b  (
g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) ) ) )
90 simpllr 508 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g
( g  Fn  w  /\  A. u  e.  w  ( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) ) ) ) )  /\  z  e.  X )  /\  b  e.  z )  ->  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g
( g  Fn  w  /\  A. u  e.  w  ( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) ) ) ) )
9189, 90, 78rspcdva 2768 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g
( g  Fn  w  /\  A. u  e.  w  ( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) ) ) ) )  /\  z  e.  X )  /\  b  e.  z )  ->  (
b  e.  X  ->  E. g ( g  Fn  b  /\  A. u  e.  b  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) ) )
92 fneq1 5181 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  =  a  ->  (
g  Fn  b  <->  a  Fn  b ) )
93 fveq1 5388 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( g  =  a  ->  (
g `  u )  =  ( a `  u ) )
94 reseq1 4783 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( g  =  a  ->  (
g  |`  u )  =  ( a  |`  u
) )
9594fveq2d 5393 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( g  =  a  ->  ( G `  ( g  |`  u ) )  =  ( G `  (
a  |`  u ) ) )
9693, 95eqeq12d 2132 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g  =  a  ->  (
( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) )  <->  ( a `  u )  =  ( G `  ( a  |`  u ) ) ) )
9796ralbidv 2414 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  =  a  ->  ( A. u  e.  b 
( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) )  <->  A. u  e.  b  ( a `  u )  =  ( G `  ( a  |`  u ) ) ) )
9892, 97anbi12d 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  =  a  ->  (
( g  Fn  b  /\  A. u  e.  b  ( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) ) )  <-> 
( a  Fn  b  /\  A. u  e.  b  ( a `  u
)  =  ( G `
 ( a  |`  u ) ) ) ) )
9998cbvexv 1872 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. g ( g  Fn  b  /\  A. u  e.  b  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) )  <->  E. a ( a  Fn  b  /\  A. u  e.  b  ( a `  u )  =  ( G `  ( a  |`  u ) ) ) )
100 fveq2 5389 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  =  c  ->  (
a `  u )  =  ( a `  c ) )
101 reseq2 4784 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  =  c  ->  (
a  |`  u )  =  ( a  |`  c
) )
102101fveq2d 5393 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  =  c  ->  ( G `  ( a  |`  u ) )  =  ( G `  (
a  |`  c ) ) )
103100, 102eqeq12d 2132 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  =  c  ->  (
( a `  u
)  =  ( G `
 ( a  |`  u ) )  <->  ( a `  c )  =  ( G `  ( a  |`  c ) ) ) )
104103cbvralv 2631 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. u  e.  b  (
a `  u )  =  ( G `  ( a  |`  u
) )  <->  A. c  e.  b  ( a `  c )  =  ( G `  ( a  |`  c ) ) )
105104anbi2i 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  Fn  b  /\  A. u  e.  b  ( a `  u )  =  ( G `  ( a  |`  u
) ) )  <->  ( a  Fn  b  /\  A. c  e.  b  ( a `  c )  =  ( G `  ( a  |`  c ) ) ) )
106105exbii 1569 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. a ( a  Fn  b  /\  A. u  e.  b  ( a `  u )  =  ( G `  ( a  |`  u ) ) )  <->  E. a ( a  Fn  b  /\  A. c  e.  b  ( a `  c )  =  ( G `  ( a  |`  c ) ) ) )
10799, 106bitri 183 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. g ( g  Fn  b  /\  A. u  e.  b  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) )  <->  E. a ( a  Fn  b  /\  A. c  e.  b  ( a `  c )  =  ( G `  ( a  |`  c ) ) ) )
10891, 107syl6ib 160 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g
( g  Fn  w  /\  A. u  e.  w  ( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) ) ) ) )  /\  z  e.  X )  /\  b  e.  z )  ->  (
b  e.  X  ->  E. a ( a  Fn  b  /\  A. c  e.  b  ( a `  c )  =  ( G `  ( a  |`  c ) ) ) ) )
10983, 108mpd 13 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g
( g  Fn  w  /\  A. u  e.  w  ( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) ) ) ) )  /\  z  e.  X )  /\  b  e.  z )  ->  E. a
( a  Fn  b  /\  A. c  e.  b  ( a `  c
)  =  ( G `
 ( a  |`  c ) ) ) )
110109ralrimiva 2482 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g ( g  Fn  w  /\  A. u  e.  w  (
g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) ) )  /\  z  e.  X )  ->  A. b  e.  z  E. a
( a  Fn  b  /\  A. c  e.  b  ( a `  c
)  =  ( G `
 ( a  |`  c ) ) ) )
11118, 20, 21, 35, 45, 72, 76, 77, 110tfr1onlemex 6212 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g ( g  Fn  w  /\  A. u  e.  w  (
g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) ) )  /\  z  e.  X )  ->  E. h
( h  Fn  z  /\  A. u  e.  z  ( h `  u
)  =  ( G `
 ( h  |`  u ) ) ) )
112 fneq1 5181 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  =  g  ->  (
h  Fn  z  <->  g  Fn  z ) )
113 fveq1 5388 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( h  =  g  ->  (
h `  u )  =  ( g `  u ) )
114 reseq1 4783 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( h  =  g  ->  (
h  |`  u )  =  ( g  |`  u
) )
115114fveq2d 5393 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( h  =  g  ->  ( G `  ( h  |`  u ) )  =  ( G `  (
g  |`  u ) ) )
116113, 115eqeq12d 2132 . . . . . . . . . . 11  |-  ( h  =  g  ->  (
( h `  u
)  =  ( G `
 ( h  |`  u ) )  <->  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) )
117116ralbidv 2414 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  =  g  ->  ( A. u  e.  z 
( h `  u
)  =  ( G `
 ( h  |`  u ) )  <->  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) )
118112, 117anbi12d 464 . . . . . . . . 9  |-  ( h  =  g  ->  (
( h  Fn  z  /\  A. u  e.  z  ( h `  u
)  =  ( G `
 ( h  |`  u ) ) )  <-> 
( g  Fn  z  /\  A. u  e.  z  ( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) ) ) ) )
119118cbvexv 1872 . . . . . . . 8  |-  ( E. h ( h  Fn  z  /\  A. u  e.  z  ( h `  u )  =  ( G `  ( h  |`  u ) ) )  <->  E. g ( g  Fn  z  /\  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) )
120111, 119sylib 121 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g ( g  Fn  w  /\  A. u  e.  w  (
g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) ) )  /\  z  e.  X )  ->  E. g
( g  Fn  z  /\  A. u  e.  z  ( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) ) ) )
121120exp31 361 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  On )  ->  ( A. w  e.  z  (
w  e.  X  ->  E. g ( g  Fn  w  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) )  ->  ( z  e.  X  ->  E. g
( g  Fn  z  /\  A. u  e.  z  ( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) ) ) ) ) )
122121expcom 115 . . . . 5  |-  ( z  e.  On  ->  ( ph  ->  ( A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g
( g  Fn  w  /\  A. u  e.  w  ( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) ) ) )  ->  ( z  e.  X  ->  E. g
( g  Fn  z  /\  A. u  e.  z  ( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) ) ) ) ) ) )
123122a2d 26 . . . 4  |-  ( z  e.  On  ->  (
( ph  ->  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g
( g  Fn  w  /\  A. u  e.  w  ( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) ) ) ) )  ->  ( ph  ->  ( z  e.  X  ->  E. g
( g  Fn  z  /\  A. u  e.  z  ( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) ) ) ) ) ) )
124 impexp 261 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  X )  ->  E. g
( g  Fn  w  /\  A. u  e.  w  ( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( w  e.  X  ->  E. g ( g  Fn  w  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) ) ) )
125124ralbii 2418 . . . . 5  |-  ( A. w  e.  z  (
( ph  /\  w  e.  X )  ->  E. g
( g  Fn  w  /\  A. u  e.  w  ( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) ) ) )  <->  A. w  e.  z  ( ph  ->  (
w  e.  X  ->  E. g ( g  Fn  w  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) ) ) )
126 r19.21v 2486 . . . . 5  |-  ( A. w  e.  z  ( ph  ->  ( w  e.  X  ->  E. g
( g  Fn  w  /\  A. u  e.  w  ( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) ) ) ) )  <->  ( ph  ->  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g ( g  Fn  w  /\  A. u  e.  w  (
g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) ) ) )
127125, 126bitri 183 . . . 4  |-  ( A. w  e.  z  (
( ph  /\  w  e.  X )  ->  E. g
( g  Fn  w  /\  A. u  e.  w  ( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) ) ) )  <->  ( ph  ->  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g ( g  Fn  w  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) ) ) )
128 impexp 261 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  ->  E. g
( g  Fn  z  /\  A. u  e.  z  ( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( z  e.  X  ->  E. g ( g  Fn  z  /\  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) ) ) )
129123, 127, 1283imtr4g 204 . . 3  |-  ( z  e.  On  ->  ( A. w  e.  z 
( ( ph  /\  w  e.  X )  ->  E. g ( g  Fn  w  /\  A. u  e.  w  (
g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) )  ->  ( ( ph  /\  z  e.  X )  ->  E. g ( g  Fn  z  /\  A. u  e.  z  (
g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) ) ) )
13010, 17, 129tfis3 4470 . 2  |-  ( C  e.  On  ->  (
( ph  /\  C  e.  X )  ->  E. g
( g  Fn  C  /\  A. u  e.  C  ( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) ) ) ) )
1313, 130mpcom 36 1  |-  ( (
ph  /\  C  e.  X )  ->  E. g
( g  Fn  C  /\  A. u  e.  C  ( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    /\ w3a 947   A.wal 1314    = wceq 1316   E.wex 1453    e. wcel 1465   {cab 2103   A.wral 2393   E.wrex 2394   _Vcvv 2660    u. cun 3039   {csn 3497   <.cop 3500   U.cuni 3706   Ord word 4254   Oncon0 4255   suc csuc 4257    |` cres 4511   Fun wfun 5087    Fn wfn 5088   ` cfv 5093  recscrecs 6169
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-iord 4258  df-on 4260  df-suc 4263  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-recs 6170
This theorem is referenced by:  tfr1onlemres  6214
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