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Theorem tfr1onlemaccex 6069
Description: We can define an acceptable function on any element of  X.

As with many of the transfinite recursion theorems, we have hypotheses that state that  F is a function and that it is defined up to  X. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Mar-2022.)

Hypotheses
Ref Expression
tfr1on.f  |-  F  = recs ( G )
tfr1on.g  |-  ( ph  ->  Fun  G )
tfr1on.x  |-  ( ph  ->  Ord  X )
tfr1on.ex  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  f  Fn  x
)  ->  ( G `  f )  e.  _V )
tfr1onlemsucfn.1  |-  A  =  { f  |  E. x  e.  X  (
f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) ) }
tfr1onlemaccex.u  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. X )  ->  suc  x  e.  X )
Assertion
Ref Expression
tfr1onlemaccex  |-  ( (
ph  /\  C  e.  X )  ->  E. g
( g  Fn  C  /\  A. u  e.  C  ( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) ) ) )
Distinct variable groups:    u, A, x    C, g, u    g, G, u, x    f, G, y, x    x, X, f    ph, x    y, g    ph, f
Allowed substitution hints:    ph( y, u, g)    A( y, f, g)    C( x, y, f)    F( x, y, u, f, g)    X( y, u, g)

Proof of Theorem tfr1onlemaccex
Dummy variables  a  b  c  d  h  r  s  t  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tfr1on.x . . 3  |-  ( ph  ->  Ord  X )
2 ordelon 4186 . . 3  |-  ( ( Ord  X  /\  C  e.  X )  ->  C  e.  On )
31, 2sylan 277 . 2  |-  ( (
ph  /\  C  e.  X )  ->  C  e.  On )
4 eleq1 2147 . . . . 5  |-  ( z  =  w  ->  (
z  e.  X  <->  w  e.  X ) )
54anbi2d 452 . . . 4  |-  ( z  =  w  ->  (
( ph  /\  z  e.  X )  <->  ( ph  /\  w  e.  X ) ) )
6 fneq2 5070 . . . . . 6  |-  ( z  =  w  ->  (
g  Fn  z  <->  g  Fn  w ) )
7 raleq 2558 . . . . . 6  |-  ( z  =  w  ->  ( A. u  e.  z 
( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) )  <->  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) )
86, 7anbi12d 457 . . . . 5  |-  ( z  =  w  ->  (
( g  Fn  z  /\  A. u  e.  z  ( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) ) )  <-> 
( g  Fn  w  /\  A. u  e.  w  ( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) ) ) ) )
98exbidv 1750 . . . 4  |-  ( z  =  w  ->  ( E. g ( g  Fn  z  /\  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) )  <->  E. g ( g  Fn  w  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) ) )
105, 9imbi12d 232 . . 3  |-  ( z  =  w  ->  (
( ( ph  /\  z  e.  X )  ->  E. g ( g  Fn  z  /\  A. u  e.  z  (
g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) )  <-> 
( ( ph  /\  w  e.  X )  ->  E. g ( g  Fn  w  /\  A. u  e.  w  (
g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) ) ) )
11 eleq1 2147 . . . . 5  |-  ( z  =  C  ->  (
z  e.  X  <->  C  e.  X ) )
1211anbi2d 452 . . . 4  |-  ( z  =  C  ->  (
( ph  /\  z  e.  X )  <->  ( ph  /\  C  e.  X ) ) )
13 fneq2 5070 . . . . . 6  |-  ( z  =  C  ->  (
g  Fn  z  <->  g  Fn  C ) )
14 raleq 2558 . . . . . 6  |-  ( z  =  C  ->  ( A. u  e.  z 
( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) )  <->  A. u  e.  C  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) )
1513, 14anbi12d 457 . . . . 5  |-  ( z  =  C  ->  (
( g  Fn  z  /\  A. u  e.  z  ( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) ) )  <-> 
( g  Fn  C  /\  A. u  e.  C  ( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) ) ) ) )
1615exbidv 1750 . . . 4  |-  ( z  =  C  ->  ( E. g ( g  Fn  z  /\  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) )  <->  E. g ( g  Fn  C  /\  A. u  e.  C  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) ) )
1712, 16imbi12d 232 . . 3  |-  ( z  =  C  ->  (
( ( ph  /\  z  e.  X )  ->  E. g ( g  Fn  z  /\  A. u  e.  z  (
g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) )  <-> 
( ( ph  /\  C  e.  X )  ->  E. g ( g  Fn  C  /\  A. u  e.  C  (
g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) ) ) )
18 tfr1on.f . . . . . . . . 9  |-  F  = recs ( G )
19 tfr1on.g . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Fun  G )
2019ad3antrrr 476 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g ( g  Fn  w  /\  A. u  e.  w  (
g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) ) )  /\  z  e.  X )  ->  Fun  G )
211ad3antrrr 476 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g ( g  Fn  w  /\  A. u  e.  w  (
g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) ) )  /\  z  e.  X )  ->  Ord  X )
22 tfr1on.ex . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  f  Fn  x
)  ->  ( G `  f )  e.  _V )
23223expia 1143 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
f  Fn  x  -> 
( G `  f
)  e.  _V )
)
2423alrimiv 1799 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. f
( f  Fn  x  ->  ( G `  f
)  e.  _V )
)
25 fneq1 5069 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  =  h  ->  (
f  Fn  x  <->  h  Fn  x ) )
26 fveq2 5270 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  =  h  ->  ( G `  f )  =  ( G `  h ) )
2726eleq1d 2153 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  =  h  ->  (
( G `  f
)  e.  _V  <->  ( G `  h )  e.  _V ) )
2825, 27imbi12d 232 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  h  ->  (
( f  Fn  x  ->  ( G `  f
)  e.  _V )  <->  ( h  Fn  x  -> 
( G `  h
)  e.  _V )
) )
2928cbvalv 1839 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. f ( f  Fn  x  ->  ( G `  f )  e.  _V ) 
<-> 
A. h ( h  Fn  x  ->  ( G `  h )  e.  _V ) )
3024, 29sylib 120 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. h
( h  Fn  x  ->  ( G `  h
)  e.  _V )
)
313019.21bi 1493 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
h  Fn  x  -> 
( G `  h
)  e.  _V )
)
32313impia 1138 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  h  Fn  x
)  ->  ( G `  h )  e.  _V )
33323adant1r 1165 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  On )  /\  x  e.  X  /\  h  Fn  x )  ->  ( G `  h )  e.  _V )
34333adant1r 1165 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g ( g  Fn  w  /\  A. u  e.  w  (
g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) ) )  /\  x  e.  X  /\  h  Fn  x )  ->  ( G `  h )  e.  _V )
35343adant1r 1165 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g
( g  Fn  w  /\  A. u  e.  w  ( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) ) ) ) )  /\  z  e.  X )  /\  x  e.  X  /\  h  Fn  x )  ->  ( G `  h )  e.  _V )
36 tfr1onlemsucfn.1 . . . . . . . . . 10  |-  A  =  { f  |  E. x  e.  X  (
f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) ) }
37 fveq1 5269 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  h  ->  (
f `  y )  =  ( h `  y ) )
38 reseq1 4677 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  h  ->  (
f  |`  y )  =  ( h  |`  y
) )
3938fveq2d 5274 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  h  ->  ( G `  ( f  |`  y ) )  =  ( G `  (
h  |`  y ) ) )
4037, 39eqeq12d 2099 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  h  ->  (
( f `  y
)  =  ( G `
 ( f  |`  y ) )  <->  ( h `  y )  =  ( G `  ( h  |`  y ) ) ) )
4140ralbidv 2376 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  h  ->  ( A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( G `
 ( f  |`  y ) )  <->  A. y  e.  x  ( h `  y )  =  ( G `  ( h  |`  y ) ) ) )
4225, 41anbi12d 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  h  ->  (
( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( G `
 ( f  |`  y ) ) )  <-> 
( h  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( h `  y
)  =  ( G `
 ( h  |`  y ) ) ) ) )
4342rexbidv 2377 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  h  ->  ( E. x  e.  X  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( G `
 ( f  |`  y ) ) )  <->  E. x  e.  X  ( h  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( h `  y
)  =  ( G `
 ( h  |`  y ) ) ) ) )
4443cbvabv 2208 . . . . . . . . . 10  |-  { f  |  E. x  e.  X  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y ) ) ) }  =  { h  |  E. x  e.  X  ( h  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( h `  y
)  =  ( G `
 ( h  |`  y ) ) ) }
4536, 44eqtri 2105 . . . . . . . . 9  |-  A  =  { h  |  E. x  e.  X  (
h  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( h `  y )  =  ( G `  ( h  |`  y ) ) ) }
46 fneq1 5069 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( r  =  a  ->  (
r  Fn  t  <->  a  Fn  t ) )
47 eleq1 2147 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( r  =  a  ->  (
r  e.  A  <->  a  e.  A ) )
48 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( r  =  a  ->  r  =  a )
49 fveq2 5270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( r  =  a  ->  ( G `  r )  =  ( G `  a ) )
5049opeq2d 3614 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( r  =  a  ->  <. t ,  ( G `  r ) >.  =  <. t ,  ( G `  a ) >. )
5150sneqd 3444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( r  =  a  ->  { <. t ,  ( G `  r ) >. }  =  { <. t ,  ( G `  a )
>. } )
5248, 51uneq12d 3144 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( r  =  a  ->  (
r  u.  { <. t ,  ( G `  r ) >. } )  =  ( a  u. 
{ <. t ,  ( G `  a )
>. } ) )
5352eqeq2d 2096 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( r  =  a  ->  (
s  =  ( r  u.  { <. t ,  ( G `  r ) >. } )  <-> 
s  =  ( a  u.  { <. t ,  ( G `  a ) >. } ) ) )
5446, 47, 533anbi123d 1246 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  =  a  ->  (
( r  Fn  t  /\  r  e.  A  /\  s  =  (
r  u.  { <. t ,  ( G `  r ) >. } ) )  <->  ( a  Fn  t  /\  a  e.  A  /\  s  =  ( a  u.  { <. t ,  ( G `
 a ) >. } ) ) ) )
5554cbvexv 1840 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. r ( r  Fn  t  /\  r  e.  A  /\  s  =  ( r  u.  { <. t ,  ( G `
 r ) >. } ) )  <->  E. a
( a  Fn  t  /\  a  e.  A  /\  s  =  (
a  u.  { <. t ,  ( G `  a ) >. } ) ) )
5655rexbii 2381 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. t  e.  z  E. r ( r  Fn  t  /\  r  e.  A  /\  s  =  ( r  u.  { <. t ,  ( G `
 r ) >. } ) )  <->  E. t  e.  z  E. a
( a  Fn  t  /\  a  e.  A  /\  s  =  (
a  u.  { <. t ,  ( G `  a ) >. } ) ) )
57 fneq2 5070 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  b  ->  (
a  Fn  t  <->  a  Fn  b ) )
58 opeq1 3607 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( t  =  b  ->  <. t ,  ( G `  a ) >.  =  <. b ,  ( G `  a ) >. )
5958sneqd 3444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( t  =  b  ->  { <. t ,  ( G `  a ) >. }  =  { <. b ,  ( G `  a )
>. } )
6059uneq2d 3143 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  =  b  ->  (
a  u.  { <. t ,  ( G `  a ) >. } )  =  ( a  u. 
{ <. b ,  ( G `  a )
>. } ) )
6160eqeq2d 2096 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  b  ->  (
s  =  ( a  u.  { <. t ,  ( G `  a ) >. } )  <-> 
s  =  ( a  u.  { <. b ,  ( G `  a ) >. } ) ) )
6257, 613anbi13d 1248 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  b  ->  (
( a  Fn  t  /\  a  e.  A  /\  s  =  (
a  u.  { <. t ,  ( G `  a ) >. } ) )  <->  ( a  Fn  b  /\  a  e.  A  /\  s  =  ( a  u.  { <. b ,  ( G `
 a ) >. } ) ) ) )
6362exbidv 1750 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  b  ->  ( E. a ( a  Fn  t  /\  a  e.  A  /\  s  =  ( a  u.  { <. t ,  ( G `
 a ) >. } ) )  <->  E. a
( a  Fn  b  /\  a  e.  A  /\  s  =  (
a  u.  { <. b ,  ( G `  a ) >. } ) ) ) )
6463cbvrexv 2587 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. t  e.  z  E. a ( a  Fn  t  /\  a  e.  A  /\  s  =  ( a  u.  { <. t ,  ( G `
 a ) >. } ) )  <->  E. b  e.  z  E. a
( a  Fn  b  /\  a  e.  A  /\  s  =  (
a  u.  { <. b ,  ( G `  a ) >. } ) ) )
6556, 64bitri 182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. t  e.  z  E. r ( r  Fn  t  /\  r  e.  A  /\  s  =  ( r  u.  { <. t ,  ( G `
 r ) >. } ) )  <->  E. b  e.  z  E. a
( a  Fn  b  /\  a  e.  A  /\  s  =  (
a  u.  { <. b ,  ( G `  a ) >. } ) ) )
6665abbii 2200 . . . . . . . . . 10  |-  { s  |  E. t  e.  z  E. r ( r  Fn  t  /\  r  e.  A  /\  s  =  ( r  u.  { <. t ,  ( G `  r )
>. } ) ) }  =  { s  |  E. b  e.  z  E. a ( a  Fn  b  /\  a  e.  A  /\  s  =  ( a  u. 
{ <. b ,  ( G `  a )
>. } ) ) }
67 eqeq1 2091 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  =  d  ->  (
s  =  ( a  u.  { <. b ,  ( G `  a ) >. } )  <-> 
d  =  ( a  u.  { <. b ,  ( G `  a ) >. } ) ) )
68673anbi3d 1252 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  d  ->  (
( a  Fn  b  /\  a  e.  A  /\  s  =  (
a  u.  { <. b ,  ( G `  a ) >. } ) )  <->  ( a  Fn  b  /\  a  e.  A  /\  d  =  ( a  u.  { <. b ,  ( G `
 a ) >. } ) ) ) )
6968exbidv 1750 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  d  ->  ( E. a ( a  Fn  b  /\  a  e.  A  /\  s  =  ( a  u.  { <. b ,  ( G `
 a ) >. } ) )  <->  E. a
( a  Fn  b  /\  a  e.  A  /\  d  =  (
a  u.  { <. b ,  ( G `  a ) >. } ) ) ) )
7069rexbidv 2377 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  d  ->  ( E. b  e.  z  E. a ( a  Fn  b  /\  a  e.  A  /\  s  =  ( a  u.  { <. b ,  ( G `
 a ) >. } ) )  <->  E. b  e.  z  E. a
( a  Fn  b  /\  a  e.  A  /\  d  =  (
a  u.  { <. b ,  ( G `  a ) >. } ) ) ) )
7170cbvabv 2208 . . . . . . . . . 10  |-  { s  |  E. b  e.  z  E. a ( a  Fn  b  /\  a  e.  A  /\  s  =  ( a  u.  { <. b ,  ( G `  a )
>. } ) ) }  =  { d  |  E. b  e.  z  E. a ( a  Fn  b  /\  a  e.  A  /\  d  =  ( a  u. 
{ <. b ,  ( G `  a )
>. } ) ) }
7266, 71eqtri 2105 . . . . . . . . 9  |-  { s  |  E. t  e.  z  E. r ( r  Fn  t  /\  r  e.  A  /\  s  =  ( r  u.  { <. t ,  ( G `  r )
>. } ) ) }  =  { d  |  E. b  e.  z  E. a ( a  Fn  b  /\  a  e.  A  /\  d  =  ( a  u. 
{ <. b ,  ( G `  a )
>. } ) ) }
73 tfr1onlemaccex.u . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. X )  ->  suc  x  e.  X )
7473adantlr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  On )  /\  x  e.  U. X )  ->  suc  x  e.  X )
7574adantlr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g ( g  Fn  w  /\  A. u  e.  w  (
g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) ) )  /\  x  e. 
U. X )  ->  suc  x  e.  X )
7675adantlr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g
( g  Fn  w  /\  A. u  e.  w  ( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) ) ) ) )  /\  z  e.  X )  /\  x  e.  U. X )  ->  suc  x  e.  X )
77 simpr 108 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g ( g  Fn  w  /\  A. u  e.  w  (
g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) ) )  /\  z  e.  X )  ->  z  e.  X )
78 simpr 108 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g
( g  Fn  w  /\  A. u  e.  w  ( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) ) ) ) )  /\  z  e.  X )  /\  b  e.  z )  ->  b  e.  z )
79 simplr 497 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g
( g  Fn  w  /\  A. u  e.  w  ( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) ) ) ) )  /\  z  e.  X )  /\  b  e.  z )  ->  z  e.  X )
80 ordtr1 4191 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Ord 
X  ->  ( (
b  e.  z  /\  z  e.  X )  ->  b  e.  X ) )
811, 80syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( b  e.  z  /\  z  e.  X )  ->  b  e.  X ) )
8281ad4antr 478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g
( g  Fn  w  /\  A. u  e.  w  ( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) ) ) ) )  /\  z  e.  X )  /\  b  e.  z )  ->  (
( b  e.  z  /\  z  e.  X
)  ->  b  e.  X ) )
8378, 79, 82mp2and 424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g
( g  Fn  w  /\  A. u  e.  w  ( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) ) ) ) )  /\  z  e.  X )  /\  b  e.  z )  ->  b  e.  X )
84 eleq1 2147 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  b  ->  (
w  e.  X  <->  b  e.  X ) )
85 fneq2 5070 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  b  ->  (
g  Fn  w  <->  g  Fn  b ) )
86 raleq 2558 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  b  ->  ( A. u  e.  w  ( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) )  <->  A. u  e.  b  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) )
8785, 86anbi12d 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  b  ->  (
( g  Fn  w  /\  A. u  e.  w  ( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) ) )  <-> 
( g  Fn  b  /\  A. u  e.  b  ( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) ) ) ) )
8887exbidv 1750 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  b  ->  ( E. g ( g  Fn  w  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) )  <->  E. g ( g  Fn  b  /\  A. u  e.  b  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) ) )
8984, 88imbi12d 232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  b  ->  (
( w  e.  X  ->  E. g ( g  Fn  w  /\  A. u  e.  w  (
g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) )  <-> 
( b  e.  X  ->  E. g ( g  Fn  b  /\  A. u  e.  b  (
g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) ) ) )
90 simpllr 501 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g
( g  Fn  w  /\  A. u  e.  w  ( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) ) ) ) )  /\  z  e.  X )  /\  b  e.  z )  ->  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g
( g  Fn  w  /\  A. u  e.  w  ( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) ) ) ) )
9189, 90, 78rspcdva 2720 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g
( g  Fn  w  /\  A. u  e.  w  ( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) ) ) ) )  /\  z  e.  X )  /\  b  e.  z )  ->  (
b  e.  X  ->  E. g ( g  Fn  b  /\  A. u  e.  b  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) ) )
92 fneq1 5069 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  =  a  ->  (
g  Fn  b  <->  a  Fn  b ) )
93 fveq1 5269 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( g  =  a  ->  (
g `  u )  =  ( a `  u ) )
94 reseq1 4677 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( g  =  a  ->  (
g  |`  u )  =  ( a  |`  u
) )
9594fveq2d 5274 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( g  =  a  ->  ( G `  ( g  |`  u ) )  =  ( G `  (
a  |`  u ) ) )
9693, 95eqeq12d 2099 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g  =  a  ->  (
( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) )  <->  ( a `  u )  =  ( G `  ( a  |`  u ) ) ) )
9796ralbidv 2376 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  =  a  ->  ( A. u  e.  b 
( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) )  <->  A. u  e.  b  ( a `  u )  =  ( G `  ( a  |`  u ) ) ) )
9892, 97anbi12d 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  =  a  ->  (
( g  Fn  b  /\  A. u  e.  b  ( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) ) )  <-> 
( a  Fn  b  /\  A. u  e.  b  ( a `  u
)  =  ( G `
 ( a  |`  u ) ) ) ) )
9998cbvexv 1840 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. g ( g  Fn  b  /\  A. u  e.  b  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) )  <->  E. a ( a  Fn  b  /\  A. u  e.  b  ( a `  u )  =  ( G `  ( a  |`  u ) ) ) )
100 fveq2 5270 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  =  c  ->  (
a `  u )  =  ( a `  c ) )
101 reseq2 4678 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  =  c  ->  (
a  |`  u )  =  ( a  |`  c
) )
102101fveq2d 5274 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  =  c  ->  ( G `  ( a  |`  u ) )  =  ( G `  (
a  |`  c ) ) )
103100, 102eqeq12d 2099 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  =  c  ->  (
( a `  u
)  =  ( G `
 ( a  |`  u ) )  <->  ( a `  c )  =  ( G `  ( a  |`  c ) ) ) )
104103cbvralv 2586 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. u  e.  b  (
a `  u )  =  ( G `  ( a  |`  u
) )  <->  A. c  e.  b  ( a `  c )  =  ( G `  ( a  |`  c ) ) )
105104anbi2i 445 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  Fn  b  /\  A. u  e.  b  ( a `  u )  =  ( G `  ( a  |`  u
) ) )  <->  ( a  Fn  b  /\  A. c  e.  b  ( a `  c )  =  ( G `  ( a  |`  c ) ) ) )
106105exbii 1539 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. a ( a  Fn  b  /\  A. u  e.  b  ( a `  u )  =  ( G `  ( a  |`  u ) ) )  <->  E. a ( a  Fn  b  /\  A. c  e.  b  ( a `  c )  =  ( G `  ( a  |`  c ) ) ) )
10799, 106bitri 182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. g ( g  Fn  b  /\  A. u  e.  b  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) )  <->  E. a ( a  Fn  b  /\  A. c  e.  b  ( a `  c )  =  ( G `  ( a  |`  c ) ) ) )
10891, 107syl6ib 159 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g
( g  Fn  w  /\  A. u  e.  w  ( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) ) ) ) )  /\  z  e.  X )  /\  b  e.  z )  ->  (
b  e.  X  ->  E. a ( a  Fn  b  /\  A. c  e.  b  ( a `  c )  =  ( G `  ( a  |`  c ) ) ) ) )
10983, 108mpd 13 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g
( g  Fn  w  /\  A. u  e.  w  ( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) ) ) ) )  /\  z  e.  X )  /\  b  e.  z )  ->  E. a
( a  Fn  b  /\  A. c  e.  b  ( a `  c
)  =  ( G `
 ( a  |`  c ) ) ) )
110109ralrimiva 2442 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g ( g  Fn  w  /\  A. u  e.  w  (
g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) ) )  /\  z  e.  X )  ->  A. b  e.  z  E. a
( a  Fn  b  /\  A. c  e.  b  ( a `  c
)  =  ( G `
 ( a  |`  c ) ) ) )
11118, 20, 21, 35, 45, 72, 76, 77, 110tfr1onlemex 6068 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g ( g  Fn  w  /\  A. u  e.  w  (
g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) ) )  /\  z  e.  X )  ->  E. h
( h  Fn  z  /\  A. u  e.  z  ( h `  u
)  =  ( G `
 ( h  |`  u ) ) ) )
112 fneq1 5069 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  =  g  ->  (
h  Fn  z  <->  g  Fn  z ) )
113 fveq1 5269 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( h  =  g  ->  (
h `  u )  =  ( g `  u ) )
114 reseq1 4677 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( h  =  g  ->  (
h  |`  u )  =  ( g  |`  u
) )
115114fveq2d 5274 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( h  =  g  ->  ( G `  ( h  |`  u ) )  =  ( G `  (
g  |`  u ) ) )
116113, 115eqeq12d 2099 . . . . . . . . . . 11  |-  ( h  =  g  ->  (
( h `  u
)  =  ( G `
 ( h  |`  u ) )  <->  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) )
117116ralbidv 2376 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  =  g  ->  ( A. u  e.  z 
( h `  u
)  =  ( G `
 ( h  |`  u ) )  <->  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) )
118112, 117anbi12d 457 . . . . . . . . 9  |-  ( h  =  g  ->  (
( h  Fn  z  /\  A. u  e.  z  ( h `  u
)  =  ( G `
 ( h  |`  u ) ) )  <-> 
( g  Fn  z  /\  A. u  e.  z  ( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) ) ) ) )
119118cbvexv 1840 . . . . . . . 8  |-  ( E. h ( h  Fn  z  /\  A. u  e.  z  ( h `  u )  =  ( G `  ( h  |`  u ) ) )  <->  E. g ( g  Fn  z  /\  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) )
120111, 119sylib 120 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g ( g  Fn  w  /\  A. u  e.  w  (
g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) ) )  /\  z  e.  X )  ->  E. g
( g  Fn  z  /\  A. u  e.  z  ( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) ) ) )
121120exp31 356 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  On )  ->  ( A. w  e.  z  (
w  e.  X  ->  E. g ( g  Fn  w  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) )  ->  ( z  e.  X  ->  E. g
( g  Fn  z  /\  A. u  e.  z  ( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) ) ) ) ) )
122121expcom 114 . . . . 5  |-  ( z  e.  On  ->  ( ph  ->  ( A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g
( g  Fn  w  /\  A. u  e.  w  ( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) ) ) )  ->  ( z  e.  X  ->  E. g
( g  Fn  z  /\  A. u  e.  z  ( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) ) ) ) ) ) )
123122a2d 26 . . . 4  |-  ( z  e.  On  ->  (
( ph  ->  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g
( g  Fn  w  /\  A. u  e.  w  ( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) ) ) ) )  ->  ( ph  ->  ( z  e.  X  ->  E. g
( g  Fn  z  /\  A. u  e.  z  ( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) ) ) ) ) ) )
124 impexp 259 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  X )  ->  E. g
( g  Fn  w  /\  A. u  e.  w  ( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( w  e.  X  ->  E. g ( g  Fn  w  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) ) ) )
125124ralbii 2380 . . . . 5  |-  ( A. w  e.  z  (
( ph  /\  w  e.  X )  ->  E. g
( g  Fn  w  /\  A. u  e.  w  ( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) ) ) )  <->  A. w  e.  z  ( ph  ->  (
w  e.  X  ->  E. g ( g  Fn  w  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) ) ) )
126 r19.21v 2446 . . . . 5  |-  ( A. w  e.  z  ( ph  ->  ( w  e.  X  ->  E. g
( g  Fn  w  /\  A. u  e.  w  ( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) ) ) ) )  <->  ( ph  ->  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g ( g  Fn  w  /\  A. u  e.  w  (
g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) ) ) )
127125, 126bitri 182 . . . 4  |-  ( A. w  e.  z  (
( ph  /\  w  e.  X )  ->  E. g
( g  Fn  w  /\  A. u  e.  w  ( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) ) ) )  <->  ( ph  ->  A. w  e.  z  ( w  e.  X  ->  E. g ( g  Fn  w  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) ) ) )
128 impexp 259 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  ->  E. g
( g  Fn  z  /\  A. u  e.  z  ( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( z  e.  X  ->  E. g ( g  Fn  z  /\  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) ) ) )
129123, 127, 1283imtr4g 203 . . 3  |-  ( z  e.  On  ->  ( A. w  e.  z 
( ( ph  /\  w  e.  X )  ->  E. g ( g  Fn  w  /\  A. u  e.  w  (
g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) )  ->  ( ( ph  /\  z  e.  X )  ->  E. g ( g  Fn  z  /\  A. u  e.  z  (
g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) ) ) )
13010, 17, 129tfis3 4376 . 2  |-  ( C  e.  On  ->  (
( ph  /\  C  e.  X )  ->  E. g
( g  Fn  C  /\  A. u  e.  C  ( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) ) ) ) )
1313, 130mpcom 36 1  |-  ( (
ph  /\  C  e.  X )  ->  E. g
( g  Fn  C  /\  A. u  e.  C  ( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    /\ w3a 922   A.wal 1285    = wceq 1287   E.wex 1424    e. wcel 1436   {cab 2071   A.wral 2355   E.wrex 2356   _Vcvv 2615    u. cun 2986   {csn 3431   <.cop 3434   U.cuni 3638   Ord word 4165   Oncon0 4166   suc csuc 4168    |` cres 4415   Fun wfun 4977    Fn wfn 4978   ` cfv 4983  recscrecs 6025
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3931  ax-sep 3934  ax-pow 3986  ax-pr 4012  ax-un 4236  ax-setind 4328
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-csb 2923  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3639  df-iun 3717  df-br 3823  df-opab 3877  df-mpt 3878  df-tr 3914  df-id 4096  df-iord 4169  df-on 4171  df-suc 4174  df-xp 4419  df-rel 4420  df-cnv 4421  df-co 4422  df-dm 4423  df-rn 4424  df-res 4425  df-ima 4426  df-iota 4948  df-fun 4985  df-fn 4986  df-f 4987  df-f1 4988  df-fo 4989  df-f1o 4990  df-fv 4991  df-recs 6026
This theorem is referenced by:  tfr1onlemres  6070
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