Theorem upgrspan 16400

Description: A spanning subgraph S of a pseudograph G is a pseudograph. (Contributed by AV, 11-Oct-2020.) (Proof shortened by AV, 18-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
uhgrspan.v	|- V = (Vtx ` G )
uhgrspan.e	|- E = (iEdg ` G )
uhgrspan.s	|- ( ph -> S e. W )
uhgrspan.q	|- ( ph -> (Vtx ` S ) = V )
uhgrspan.r	|- ( ph -> (iEdg ` S ) = ( E |` A ) )
upgrspan.g	|- ( ph -> G e. UPGraph )

Assertion

Ref	Expression
upgrspan	|- ( ph -> S e. UPGraph )

Proof of Theorem upgrspan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		upgrspan.g	. 2 |- ( ph -> G e. UPGraph )
2		uhgrspan.v	. . 3 |- V = (Vtx ` G )
3		uhgrspan.e	. . 3 |- E = (iEdg ` G )
4		uhgrspan.s	. . 3 |- ( ph -> S e. W )
5		uhgrspan.q	. . 3 |- ( ph -> (Vtx ` S ) = V )
6		uhgrspan.r	. . 3 |- ( ph -> (iEdg ` S ) = ( E |` A ) )
7		upgruhgr 16232	. . . 4 |- ( G e. UPGraph -> G e. UHGraph )
8	1, 7	syl 14	. . 3 |- ( ph -> G e. UHGraph )
9	2, 3, 4, 5, 6, 8	uhgrspansubgr 16398	. 2 |- ( ph -> S SubGraph G )
10		subupgr 16394	. 2 |- ( ( G e. UPGraph /\ S SubGraph G ) -> S e. UPGraph )
11	1, 9, 10	syl2anc 411	1 |- ( ph -> S e. UPGraph )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2205   class class class wbr 4114   |` cres 4756   ` cfv 5357  Vtxcvtx 16133  iEdgciedg 16134  UHGraphcuhgr 16188  UPGraphcupgr 16212   SubGraph csubgr 16374

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-suc 4497  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-1o 6660  df-2o 6661  df-en 6989  df-sub 8462  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-5 9316  df-6 9317  df-7 9318  df-8 9319  df-9 9320  df-n0 9514  df-dec 9728  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-edgf 16126  df-vtx 16135  df-iedg 16136  df-edg 16179  df-uhgrm 16190  df-upgren 16214  df-subgr 16375

This theorem is referenced by:  upgrspanop  16404  trlsegvdegfi  16588  eupth2lem3lem1fi  16589  eupth2lem3lem2fi  16590  eupth2lem3lem6fi  16592