Theorem eupth2lem3lem2fi 16481

Description: Lemma for eupth2lem3fi 16488. (Contributed by AV, 21-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
trlsegvdeg.v	|- V = (Vtx ` G )
trlsegvdeg.i	|- I = (iEdg ` G )
trlsegvdeg.f	|- ( ph -> Fun I )
trlsegvdeg.n	|- ( ph -> N e. ( 0..^ (♯ ` F ) ) )
trlsegvdeg.u	|- ( ph -> U e. V )
trlsegvdeg.w	|- ( ph -> F (Trails ` G ) P )
trlsegvdeg.vx	|- ( ph -> (Vtx ` X ) = V )
trlsegvdeg.vy	|- ( ph -> (Vtx ` Y ) = V )
trlsegvdeg.vz	|- ( ph -> (Vtx ` Z ) = V )
trlsegvdeg.ix	|- ( ph -> (iEdg ` X ) = ( I |` ( F " ( 0..^ N ) ) ) )
trlsegvdeg.iy	|- ( ph -> (iEdg ` Y ) = { <. ( F ` N ) , ( I ` ( F ` N ) ) >. } )
trlsegvdeg.iz	|- ( ph -> (iEdg ` Z ) = ( I |` ( F " ( 0 ... N ) ) ) )
trlsegvdegfi.g	|- ( ph -> G e. UPGraph )
trlsegvdegfi.v	|- ( ph -> V e. Fin )

Assertion

Ref	Expression
eupth2lem3lem2fi	|- ( ph -> ( (VtxDeg ` Y ) ` U ) e. NN0 )

Proof of Theorem eupth2lem3lem2fi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2234	. . 3 |- (Vtx ` Y ) = (Vtx ` Y )
2		eqid 2234	. . 3 |- (iEdg ` Y ) = (iEdg ` Y )
3		eqid 2234	. . 3 |- dom (iEdg ` Y ) = dom (iEdg ` Y )
4		trlsegvdeg.v	. . . 4 |- V = (Vtx ` G )
5		trlsegvdeg.i	. . . 4 |- I = (iEdg ` G )
6		trlsegvdeg.f	. . . 4 |- ( ph -> Fun I )
7		trlsegvdeg.n	. . . 4 |- ( ph -> N e. ( 0..^ (♯ ` F ) ) )
8		trlsegvdeg.u	. . . 4 |- ( ph -> U e. V )
9		trlsegvdeg.w	. . . 4 |- ( ph -> F (Trails ` G ) P )
10		trlsegvdeg.vx	. . . 4 |- ( ph -> (Vtx ` X ) = V )
11		trlsegvdeg.vy	. . . 4 |- ( ph -> (Vtx ` Y ) = V )
12		trlsegvdeg.vz	. . . 4 |- ( ph -> (Vtx ` Z ) = V )
13		trlsegvdeg.ix	. . . 4 |- ( ph -> (iEdg ` X ) = ( I |` ( F " ( 0..^ N ) ) ) )
14		trlsegvdeg.iy	. . . 4 |- ( ph -> (iEdg ` Y ) = { <. ( F ` N ) , ( I ` ( F ` N ) ) >. } )
15		trlsegvdeg.iz	. . . 4 |- ( ph -> (iEdg ` Z ) = ( I |` ( F " ( 0 ... N ) ) ) )
16	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15	trlsegvdeglem7 16478	. . 3 |- ( ph -> dom (iEdg ` Y ) e. Fin )
17		trlsegvdegfi.v	. . . 4 |- ( ph -> V e. Fin )
18	11, 17	eqeltrd 2311	. . 3 |- ( ph -> (Vtx ` Y ) e. Fin )
19	8, 11	eleqtrrd 2314	. . . . 5 |- ( ph -> U e. (Vtx ` Y ) )
20		df-vtx 16026	. . . . . 6 |- Vtx = ( g e. _V |-> if ( g e. ( _V X. _V ) , ( 1st ` g ) , ( Base ` g ) ) )
21	20	mptrcl 5762	. . . . 5 |- ( U e. (Vtx ` Y ) -> Y e. _V )
22	19, 21	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> Y e. _V )
23	6	funfnd 5385	. . . . . 6 |- ( ph -> I Fn dom I )
24	5	trlf1 16400	. . . . . . . 8 |- ( F (Trails ` G ) P -> F : ( 0..^ (♯ ` F ) ) -1-1-> dom I )
25		f1f 5575	. . . . . . . 8 |- ( F : ( 0..^ (♯ ` F ) ) -1-1-> dom I -> F : ( 0..^ (♯ ` F ) ) --> dom I )
26	9, 24, 25	3syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> F : ( 0..^ (♯ ` F ) ) --> dom I )
27	26, 7	ffvelcdmd 5815	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F ` N ) e. dom I )
28		fnressn 5872	. . . . . 6 |- ( ( I Fn dom I /\ ( F ` N ) e. dom I ) -> ( I |` { ( F ` N ) } ) = { <. ( F ` N ) , ( I ` ( F ` N ) ) >. } )
29	23, 27, 28	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> ( I |` { ( F ` N ) } ) = { <. ( F ` N ) , ( I ` ( F ` N ) ) >. } )
30	14, 29	eqtr4d 2270	. . . 4 |- ( ph -> (iEdg ` Y ) = ( I |` { ( F ` N ) } ) )
31		trlsegvdegfi.g	. . . 4 |- ( ph -> G e. UPGraph )
32	4, 5, 22, 11, 30, 31	upgrspan 16291	. . 3 |- ( ph -> Y e. UPGraph )
33	1, 2, 3, 16, 18, 32	vtxdgfif 16305	. 2 |- ( ph -> (VtxDeg ` Y ) : (Vtx ` Y ) --> NN0 )
34	33, 19	ffvelcdmd 5815	1 |- ( ph -> ( (VtxDeg ` Y ) ` U ) e. NN0 )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2205   _Vcvv 2815   ifcif 3622   {csn 3691   <.cop 3694   class class class wbr 4111   X. cxp 4749   dom cdm 4751   |` cres 4753   "cima 4754   Fun wfun 5348   Fn wfn 5349   -->wf 5350   -1-1->wf1 5351   ` cfv 5354  (class class class)co 6052   1stc1st 6334   Fincfn 6977   0cc0 8129   NN0cn0 9498   ...cfz 10345  ..^cfzo 10480  ♯chash 11142   Basecbs 13229  Vtxcvtx 16024  iEdgciedg 16025  UPGraphcupgr 16103  VtxDegcvtxdg 16298  Trailsctrls 16392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-addcom 8229  ax-mulcom 8230  ax-addass 8231  ax-mulass 8232  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-1rid 8236  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-apti 8244  ax-pre-ltadd 8245

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-ifp 987  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-iord 4489  df-on 4491  df-ilim 4492  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-frec 6624  df-1o 6649  df-2o 6650  df-er 6769  df-map 6886  df-en 6978  df-dom 6979  df-fin 6980  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-inn 9240  df-2 9298  df-3 9299  df-4 9300  df-5 9301  df-6 9302  df-7 9303  df-8 9304  df-9 9305  df-n0 9499  df-z 9580  df-dec 9713  df-uz 9857  df-xadd 10109  df-fz 10346  df-fzo 10481  df-ihash 11143  df-word 11229  df-ndx 13232  df-slot 13233  df-base 13235  df-edgf 16017  df-vtx 16026  df-iedg 16027  df-edg 16070  df-uhgrm 16081  df-upgren 16105  df-subgr 16266  df-vtxdg 16299  df-wlks 16330  df-trls 16393

This theorem is referenced by:  eupth2lem3lem3fi  16482