Theorem eupth2lem3lem1fi 16322

Description: Lemma for eupth2lem3fi 16330. (Contributed by AV, 21-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
trlsegvdeg.v	|- V = (Vtx ` G )
trlsegvdeg.i	|- I = (iEdg ` G )
trlsegvdeg.f	|- ( ph -> Fun I )
trlsegvdeg.n	|- ( ph -> N e. ( 0..^ (♯ ` F ) ) )
trlsegvdeg.u	|- ( ph -> U e. V )
trlsegvdeg.w	|- ( ph -> F (Trails ` G ) P )
trlsegvdeg.vx	|- ( ph -> (Vtx ` X ) = V )
trlsegvdeg.vy	|- ( ph -> (Vtx ` Y ) = V )
trlsegvdeg.vz	|- ( ph -> (Vtx ` Z ) = V )
trlsegvdeg.ix	|- ( ph -> (iEdg ` X ) = ( I |` ( F " ( 0..^ N ) ) ) )
trlsegvdeg.iy	|- ( ph -> (iEdg ` Y ) = { <. ( F ` N ) , ( I ` ( F ` N ) ) >. } )
trlsegvdeg.iz	|- ( ph -> (iEdg ` Z ) = ( I |` ( F " ( 0 ... N ) ) ) )
trlsegvdegfi.g	|- ( ph -> G e. UPGraph )
trlsegvdegfi.v	|- ( ph -> V e. Fin )

Assertion

Ref	Expression
eupth2lem3lem1fi	|- ( ph -> ( (VtxDeg ` X ) ` U ) e. NN0 )

Proof of Theorem eupth2lem3lem1fi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2231	. . 3 |- (Vtx ` X ) = (Vtx ` X )
2		eqid 2231	. . 3 |- (iEdg ` X ) = (iEdg ` X )
3		eqid 2231	. . 3 |- dom (iEdg ` X ) = dom (iEdg ` X )
4		trlsegvdeg.v	. . . 4 |- V = (Vtx ` G )
5		trlsegvdeg.i	. . . 4 |- I = (iEdg ` G )
6		trlsegvdeg.f	. . . 4 |- ( ph -> Fun I )
7		trlsegvdeg.n	. . . 4 |- ( ph -> N e. ( 0..^ (♯ ` F ) ) )
8		trlsegvdeg.u	. . . 4 |- ( ph -> U e. V )
9		trlsegvdeg.w	. . . 4 |- ( ph -> F (Trails ` G ) P )
10		trlsegvdeg.vx	. . . 4 |- ( ph -> (Vtx ` X ) = V )
11		trlsegvdeg.vy	. . . 4 |- ( ph -> (Vtx ` Y ) = V )
12		trlsegvdeg.vz	. . . 4 |- ( ph -> (Vtx ` Z ) = V )
13		trlsegvdeg.ix	. . . 4 |- ( ph -> (iEdg ` X ) = ( I |` ( F " ( 0..^ N ) ) ) )
14		trlsegvdeg.iy	. . . 4 |- ( ph -> (iEdg ` Y ) = { <. ( F ` N ) , ( I ` ( F ` N ) ) >. } )
15		trlsegvdeg.iz	. . . 4 |- ( ph -> (iEdg ` Z ) = ( I |` ( F " ( 0 ... N ) ) ) )
16	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15	trlsegvdeglem6 16319	. . 3 |- ( ph -> dom (iEdg ` X ) e. Fin )
17		trlsegvdegfi.v	. . . 4 |- ( ph -> V e. Fin )
18	10, 17	eqeltrd 2308	. . 3 |- ( ph -> (Vtx ` X ) e. Fin )
19	8, 10	eleqtrrd 2311	. . . . 5 |- ( ph -> U e. (Vtx ` X ) )
20		df-vtx 15868	. . . . . 6 |- Vtx = ( g e. _V |-> if ( g e. ( _V X. _V ) , ( 1st ` g ) , ( Base ` g ) ) )
21	20	mptrcl 5729	. . . . 5 |- ( U e. (Vtx ` X ) -> X e. _V )
22	19, 21	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> X e. _V )
23		trlsegvdegfi.g	. . . 4 |- ( ph -> G e. UPGraph )
24	4, 5, 22, 10, 13, 23	upgrspan 16133	. . 3 |- ( ph -> X e. UPGraph )
25	1, 2, 3, 16, 18, 24	vtxdgfif 16147	. 2 |- ( ph -> (VtxDeg ` X ) : (Vtx ` X ) --> NN0 )
26	25, 19	ffvelcdmd 5783	1 |- ( ph -> ( (VtxDeg ` X ) ` U ) e. NN0 )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1397   e. wcel 2202   _Vcvv 2802   ifcif 3605   {csn 3669   <.cop 3672   class class class wbr 4088   X. cxp 4723   dom cdm 4725   |` cres 4727   "cima 4728   Fun wfun 5320   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   1stc1st 6301   Fincfn 6909   0cc0 8032   NN0cn0 9402   ...cfz 10243  ..^cfzo 10377  ♯chash 11038   Basecbs 13084  Vtxcvtx 15866  iEdgciedg 15867  UPGraphcupgr 15945  VtxDegcvtxdg 16140  Trailsctrls 16234

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-ifp 986  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-1o 6582  df-2o 6583  df-er 6702  df-map 6819  df-en 6910  df-dom 6911  df-fin 6912  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-7 9207  df-8 9208  df-9 9209  df-n0 9403  df-z 9480  df-dec 9612  df-uz 9756  df-xadd 10008  df-fz 10244  df-fzo 10378  df-ihash 11039  df-word 11115  df-ndx 13087  df-slot 13088  df-base 13090  df-edgf 15859  df-vtx 15868  df-iedg 15869  df-edg 15912  df-uhgrm 15923  df-upgren 15947  df-subgr 16108  df-vtxdg 16141  df-wlks 16172  df-trls 16235

This theorem is referenced by:  eupth2lem3lem3fi  16324  eupth2lem3lem6fi  16325  eupth2lem3lem4fi  16327