Theorem zpnn0elfzo 9825

Description: Membership of an integer increased by a nonnegative integer in a half- open integer range. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
zpnn0elfzo	|- ( ( Z e. ZZ /\ N e. NN0 ) -> ( Z + N ) e. ( Z..^ ( ( Z + N ) + 1 ) ) )

Proof of Theorem zpnn0elfzo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzid 9190	. . 3 |- ( Z e. ZZ -> Z e. ( ZZ>= ` Z ) )
2	1	anim1i 336	. 2 |- ( ( Z e. ZZ /\ N e. NN0 ) -> ( Z e. ( ZZ>= ` Z ) /\ N e. NN0 ) )
3		nn0z 8926	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
4		zaddcl 8946	. . . 4 |- ( ( Z e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( Z + N ) e. ZZ )
5	3, 4	sylan2 282	. . 3 |- ( ( Z e. ZZ /\ N e. NN0 ) -> ( Z + N ) e. ZZ )
6		elfzomin 9824	. . 3 |- ( ( Z + N ) e. ZZ -> ( Z + N ) e. ( ( Z + N )..^ ( ( Z + N ) + 1 ) ) )
7	5, 6	syl 14	. 2 |- ( ( Z e. ZZ /\ N e. NN0 ) -> ( Z + N ) e. ( ( Z + N )..^ ( ( Z + N ) + 1 ) ) )
8		uzaddcl 9231	. . . 4 |- ( ( Z e. ( ZZ>= ` Z ) /\ N e. NN0 ) -> ( Z + N ) e. ( ZZ>= ` Z ) )
9		fzoss1 9789	. . . 4 |- ( ( Z + N ) e. ( ZZ>= ` Z ) -> ( ( Z + N )..^ ( ( Z + N ) + 1 ) ) C_ ( Z..^ ( ( Z + N ) + 1 ) ) )
10	8, 9	syl 14	. . 3 |- ( ( Z e. ( ZZ>= ` Z ) /\ N e. NN0 ) -> ( ( Z + N )..^ ( ( Z + N ) + 1 ) ) C_ ( Z..^ ( ( Z + N ) + 1 ) ) )
11	10	sselda 3047	. 2 |- ( ( ( Z e. ( ZZ>= ` Z ) /\ N e. NN0 ) /\ ( Z + N ) e. ( ( Z + N )..^ ( ( Z + N ) + 1 ) ) ) -> ( Z + N ) e. ( Z..^ ( ( Z + N ) + 1 ) ) )
12	2, 7, 11	syl2anc 406	1 |- ( ( Z e. ZZ /\ N e. NN0 ) -> ( Z + N ) e. ( Z..^ ( ( Z + N ) + 1 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 1448   C_ wss 3021   ` cfv 5059  (class class class)co 5706   1c1 7501   + caddc 7503   NN0cn0 8829   ZZcz 8906   ZZ>=cuz 9176  ..^cfzo 9760

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-addcom 7595  ax-addass 7597  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0lt1 7601  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-cnre 7606  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-ltwlin 7608  ax-pre-lttrn 7609  ax-pre-apti 7610  ax-pre-ltadd 7611

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-id 4153  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-fv 5067  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-sub 7806  df-neg 7807  df-inn 8579  df-n0 8830  df-z 8907  df-uz 9177  df-fz 9632  df-fzo 9761

This theorem is referenced by:  zpnn0elfzo1  9826