Theorem zpnn0elfzo 10515

Description: Membership of an integer increased by a nonnegative integer in a half- open integer range. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
zpnn0elfzo	|- ( ( Z e. ZZ /\ N e. NN0 ) -> ( Z + N ) e. ( Z..^ ( ( Z + N ) + 1 ) ) )

Proof of Theorem zpnn0elfzo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzid 9831	. . 3 |- ( Z e. ZZ -> Z e. ( ZZ>= ` Z ) )
2	1	anim1i 340	. 2 |- ( ( Z e. ZZ /\ N e. NN0 ) -> ( Z e. ( ZZ>= ` Z ) /\ N e. NN0 ) )
3		nn0z 9560	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
4		zaddcl 9580	. . . 4 |- ( ( Z e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( Z + N ) e. ZZ )
5	3, 4	sylan2 286	. . 3 |- ( ( Z e. ZZ /\ N e. NN0 ) -> ( Z + N ) e. ZZ )
6		elfzomin 10514	. . 3 |- ( ( Z + N ) e. ZZ -> ( Z + N ) e. ( ( Z + N )..^ ( ( Z + N ) + 1 ) ) )
7	5, 6	syl 14	. 2 |- ( ( Z e. ZZ /\ N e. NN0 ) -> ( Z + N ) e. ( ( Z + N )..^ ( ( Z + N ) + 1 ) ) )
8		uzaddcl 9881	. . . 4 |- ( ( Z e. ( ZZ>= ` Z ) /\ N e. NN0 ) -> ( Z + N ) e. ( ZZ>= ` Z ) )
9		fzoss1 10470	. . . 4 |- ( ( Z + N ) e. ( ZZ>= ` Z ) -> ( ( Z + N )..^ ( ( Z + N ) + 1 ) ) C_ ( Z..^ ( ( Z + N ) + 1 ) ) )
10	8, 9	syl 14	. . 3 |- ( ( Z e. ( ZZ>= ` Z ) /\ N e. NN0 ) -> ( ( Z + N )..^ ( ( Z + N ) + 1 ) ) C_ ( Z..^ ( ( Z + N ) + 1 ) ) )
11	10	sselda 3228	. 2 |- ( ( ( Z e. ( ZZ>= ` Z ) /\ N e. NN0 ) /\ ( Z + N ) e. ( ( Z + N )..^ ( ( Z + N ) + 1 ) ) ) -> ( Z + N ) e. ( Z..^ ( ( Z + N ) + 1 ) ) )
12	2, 7, 11	syl2anc 411	1 |- ( ( Z e. ZZ /\ N e. NN0 ) -> ( Z + N ) e. ( Z..^ ( ( Z + N ) + 1 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2202   C_ wss 3201   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   1c1 8093   + caddc 8095   NN0cn0 9461   ZZcz 9540   ZZ>=cuz 9816  ..^cfzo 10439

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-addass 8194  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-inn 9203  df-n0 9462  df-z 9541  df-uz 9817  df-fz 10306  df-fzo 10440

This theorem is referenced by:  zpnn0elfzo1  10516