Theorem zpnn0elfzo 10177

Description: Membership of an integer increased by a nonnegative integer in a half- open integer range. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
zpnn0elfzo	|- ( ( Z e. ZZ /\ N e. NN0 ) -> ( Z + N ) e. ( Z..^ ( ( Z + N ) + 1 ) ) )

Proof of Theorem zpnn0elfzo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzid 9515	. . 3 |- ( Z e. ZZ -> Z e. ( ZZ>= ` Z ) )
2	1	anim1i 340	. 2 |- ( ( Z e. ZZ /\ N e. NN0 ) -> ( Z e. ( ZZ>= ` Z ) /\ N e. NN0 ) )
3		nn0z 9246	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
4		zaddcl 9266	. . . 4 |- ( ( Z e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( Z + N ) e. ZZ )
5	3, 4	sylan2 286	. . 3 |- ( ( Z e. ZZ /\ N e. NN0 ) -> ( Z + N ) e. ZZ )
6		elfzomin 10176	. . 3 |- ( ( Z + N ) e. ZZ -> ( Z + N ) e. ( ( Z + N )..^ ( ( Z + N ) + 1 ) ) )
7	5, 6	syl 14	. 2 |- ( ( Z e. ZZ /\ N e. NN0 ) -> ( Z + N ) e. ( ( Z + N )..^ ( ( Z + N ) + 1 ) ) )
8		uzaddcl 9559	. . . 4 |- ( ( Z e. ( ZZ>= ` Z ) /\ N e. NN0 ) -> ( Z + N ) e. ( ZZ>= ` Z ) )
9		fzoss1 10141	. . . 4 |- ( ( Z + N ) e. ( ZZ>= ` Z ) -> ( ( Z + N )..^ ( ( Z + N ) + 1 ) ) C_ ( Z..^ ( ( Z + N ) + 1 ) ) )
10	8, 9	syl 14	. . 3 |- ( ( Z e. ( ZZ>= ` Z ) /\ N e. NN0 ) -> ( ( Z + N )..^ ( ( Z + N ) + 1 ) ) C_ ( Z..^ ( ( Z + N ) + 1 ) ) )
11	10	sselda 3153	. 2 |- ( ( ( Z e. ( ZZ>= ` Z ) /\ N e. NN0 ) /\ ( Z + N ) e. ( ( Z + N )..^ ( ( Z + N ) + 1 ) ) ) -> ( Z + N ) e. ( Z..^ ( ( Z + N ) + 1 ) ) )
12	2, 7, 11	syl2anc 411	1 |- ( ( Z e. ZZ /\ N e. NN0 ) -> ( Z + N ) e. ( Z..^ ( ( Z + N ) + 1 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2146   C_ wss 3127   ` cfv 5208  (class class class)co 5865   1c1 7787   + caddc 7789   NN0cn0 9149   ZZcz 9226   ZZ>=cuz 9501  ..^cfzo 10112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-addcom 7886  ax-addass 7888  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-inn 8893  df-n0 9150  df-z 9227  df-uz 9502  df-fz 9980  df-fzo 10113

This theorem is referenced by:  zpnn0elfzo1  10178