ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzoss1 Unicode version

Theorem fzoss1 10189
Description: Subset relationship for half-open sequences of integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzoss1  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K..^ N )  C_  ( M..^ N ) )

Proof of Theorem fzoss1
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzoel2 10164 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( K..^ N
)  ->  N  e.  ZZ )
21adantl 277 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  x  e.  ( K..^ N ) )  ->  N  e.  ZZ )
3 fzss1 10081 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K ... ( N  -  1 ) )  C_  ( M ... ( N  - 
1 ) ) )
43adantr 276 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K ... ( N  - 
1 ) )  C_  ( M ... ( N  -  1 ) ) )
5 fzoval 10166 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( K..^ N )  =  ( K ... ( N  -  1 ) ) )
65adantl 277 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K..^ N )  =  ( K ... ( N  -  1 ) ) )
7 fzoval 10166 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( M..^ N )  =  ( M ... ( N  -  1 ) ) )
87adantl 277 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M..^ N )  =  ( M ... ( N  -  1 ) ) )
94, 6, 83sstr4d 3215 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K..^ N )  C_  ( M..^ N ) )
109sseld 3169 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
x  e.  ( K..^ N )  ->  x  e.  ( M..^ N ) ) )
1110impancom 260 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  x  e.  ( K..^ N ) )  ->  ( N  e.  ZZ  ->  x  e.  ( M..^ N ) ) )
122, 11mpd 13 . . 3  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  x  e.  ( K..^ N ) )  ->  x  e.  ( M..^ N ) )
1312ex 115 . 2  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( x  e.  ( K..^ N )  ->  x  e.  ( M..^ N ) ) )
1413ssrdv 3176 1  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K..^ N )  C_  ( M..^ N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1364    e. wcel 2160    C_ wss 3144   ` cfv 5231  (class class class)co 5891   1c1 7830    - cmin 8146   ZZcz 9271   ZZ>=cuz 9546   ...cfz 10026  ..^cfzo 10160
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921  ax-1cn 7922  ax-1re 7923  ax-icn 7924  ax-addcl 7925  ax-addrcl 7926  ax-mulcl 7927  ax-addcom 7929  ax-addass 7931  ax-distr 7933  ax-i2m1 7934  ax-0lt1 7935  ax-0id 7937  ax-rnegex 7938  ax-cnre 7940  ax-pre-ltirr 7941  ax-pre-ltwlin 7942  ax-pre-lttrn 7943  ax-pre-ltadd 7945
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-pnf 8012  df-mnf 8013  df-xr 8014  df-ltxr 8015  df-le 8016  df-sub 8148  df-neg 8149  df-inn 8938  df-n0 9195  df-z 9272  df-uz 9547  df-fz 10027  df-fzo 10161
This theorem is referenced by:  fzo0ss1  10192  fzosplit  10195  zpnn0elfzo  10225  fzofzp1  10245  fzostep1  10255  fsumparts  11496
  Copyright terms: Public domain W3C validator