Theorem fzoss1 9645

Description: Subset relationship for half-open sequences of integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzoss1	|- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( K..^ N ) C_ ( M..^ N ) )

Proof of Theorem fzoss1

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoel2 9620	. . . . 5 |- ( x e. ( K..^ N ) -> N e. ZZ )
2	1	adantl 272	. . . 4 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ x e. ( K..^ N ) ) -> N e. ZZ )
3		fzss1 9540	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( K ... ( N - 1 ) ) C_ ( M ... ( N - 1 ) ) )
4	3	adantr 271	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> ( K ... ( N - 1 ) ) C_ ( M ... ( N - 1 ) ) )
5		fzoval 9622	. . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> ( K..^ N ) = ( K ... ( N - 1 ) ) )
6	5	adantl 272	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> ( K..^ N ) = ( K ... ( N - 1 ) ) )
7		fzoval 9622	. . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> ( M..^ N ) = ( M ... ( N - 1 ) ) )
8	7	adantl 272	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> ( M..^ N ) = ( M ... ( N - 1 ) ) )
9	4, 6, 8	3sstr4d 3072	. . . . . 6 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> ( K..^ N ) C_ ( M..^ N ) )
10	9	sseld 3027	. . . . 5 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> ( x e. ( K..^ N ) -> x e. ( M..^ N ) ) )
11	10	impancom 257	. . . 4 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ x e. ( K..^ N ) ) -> ( N e. ZZ -> x e. ( M..^ N ) ) )
12	2, 11	mpd 13	. . 3 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ x e. ( K..^ N ) ) -> x e. ( M..^ N ) )
13	12	ex 114	. 2 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( x e. ( K..^ N ) -> x e. ( M..^ N ) ) )
14	13	ssrdv 3034	1 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( K..^ N ) C_ ( M..^ N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1290   e. wcel 1439   C_ wss 3002   ` cfv 5030  (class class class)co 5668   1c1 7414   - cmin 7716   ZZcz 8813   ZZ>=cuz 9082   ...cfz 9487  ..^cfzo 9616

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3965  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-un 4271  ax-setind 4368  ax-cnex 7499  ax-resscn 7500  ax-1cn 7501  ax-1re 7502  ax-icn 7503  ax-addcl 7504  ax-addrcl 7505  ax-mulcl 7506  ax-addcom 7508  ax-addass 7510  ax-distr 7512  ax-i2m1 7513  ax-0lt1 7514  ax-0id 7516  ax-rnegex 7517  ax-cnre 7519  ax-pre-ltirr 7520  ax-pre-ltwlin 7521  ax-pre-lttrn 7522  ax-pre-ltadd 7524

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2624  df-sbc 2844  df-csb 2937  df-dif 3004  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-int 3697  df-iun 3740  df-br 3854  df-opab 3908  df-mpt 3909  df-id 4131  df-xp 4460  df-rel 4461  df-cnv 4462  df-co 4463  df-dm 4464  df-rn 4465  df-res 4466  df-ima 4467  df-iota 4995  df-fun 5032  df-fn 5033  df-f 5034  df-fv 5038  df-riota 5624  df-ov 5671  df-oprab 5672  df-mpt2 5673  df-1st 5927  df-2nd 5928  df-pnf 7587  df-mnf 7588  df-xr 7589  df-ltxr 7590  df-le 7591  df-sub 7718  df-neg 7719  df-inn 8486  df-n0 8737  df-z 8814  df-uz 9083  df-fz 9488  df-fzo 9617

This theorem is referenced by:  fzo0ss1  9648  fzosplit  9651  zpnn0elfzo  9681  fzofzp1  9701  fzostep1  9711  fsumparts  10927