ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzoss1 Unicode version

Theorem fzoss1 9645
Description: Subset relationship for half-open sequences of integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzoss1  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K..^ N )  C_  ( M..^ N ) )

Proof of Theorem fzoss1
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzoel2 9620 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( K..^ N
)  ->  N  e.  ZZ )
21adantl 272 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  x  e.  ( K..^ N ) )  ->  N  e.  ZZ )
3 fzss1 9540 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K ... ( N  -  1 ) )  C_  ( M ... ( N  - 
1 ) ) )
43adantr 271 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K ... ( N  - 
1 ) )  C_  ( M ... ( N  -  1 ) ) )
5 fzoval 9622 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( K..^ N )  =  ( K ... ( N  -  1 ) ) )
65adantl 272 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K..^ N )  =  ( K ... ( N  -  1 ) ) )
7 fzoval 9622 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( M..^ N )  =  ( M ... ( N  -  1 ) ) )
87adantl 272 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M..^ N )  =  ( M ... ( N  -  1 ) ) )
94, 6, 83sstr4d 3072 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K..^ N )  C_  ( M..^ N ) )
109sseld 3027 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
x  e.  ( K..^ N )  ->  x  e.  ( M..^ N ) ) )
1110impancom 257 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  x  e.  ( K..^ N ) )  ->  ( N  e.  ZZ  ->  x  e.  ( M..^ N ) ) )
122, 11mpd 13 . . 3  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  x  e.  ( K..^ N ) )  ->  x  e.  ( M..^ N ) )
1312ex 114 . 2  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( x  e.  ( K..^ N )  ->  x  e.  ( M..^ N ) ) )
1413ssrdv 3034 1  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K..^ N )  C_  ( M..^ N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1290    e. wcel 1439    C_ wss 3002   ` cfv 5030  (class class class)co 5668   1c1 7414    - cmin 7716   ZZcz 8813   ZZ>=cuz 9082   ...cfz 9487  ..^cfzo 9616
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3965  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-un 4271  ax-setind 4368  ax-cnex 7499  ax-resscn 7500  ax-1cn 7501  ax-1re 7502  ax-icn 7503  ax-addcl 7504  ax-addrcl 7505  ax-mulcl 7506  ax-addcom 7508  ax-addass 7510  ax-distr 7512  ax-i2m1 7513  ax-0lt1 7514  ax-0id 7516  ax-rnegex 7517  ax-cnre 7519  ax-pre-ltirr 7520  ax-pre-ltwlin 7521  ax-pre-lttrn 7522  ax-pre-ltadd 7524
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2624  df-sbc 2844  df-csb 2937  df-dif 3004  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-int 3697  df-iun 3740  df-br 3854  df-opab 3908  df-mpt 3909  df-id 4131  df-xp 4460  df-rel 4461  df-cnv 4462  df-co 4463  df-dm 4464  df-rn 4465  df-res 4466  df-ima 4467  df-iota 4995  df-fun 5032  df-fn 5033  df-f 5034  df-fv 5038  df-riota 5624  df-ov 5671  df-oprab 5672  df-mpt2 5673  df-1st 5927  df-2nd 5928  df-pnf 7587  df-mnf 7588  df-xr 7589  df-ltxr 7590  df-le 7591  df-sub 7718  df-neg 7719  df-inn 8486  df-n0 8737  df-z 8814  df-uz 9083  df-fz 9488  df-fzo 9617
This theorem is referenced by:  fzo0ss1  9648  fzosplit  9651  zpnn0elfzo  9681  fzofzp1  9701  fzostep1  9711  fsumparts  10927
  Copyright terms: Public domain W3C validator