Theorem fzoss1 10189

Description: Subset relationship for half-open sequences of integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzoss1	|- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( K..^ N ) C_ ( M..^ N ) )

Proof of Theorem fzoss1

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoel2 10164	. . . . 5 |- ( x e. ( K..^ N ) -> N e. ZZ )
2	1	adantl 277	. . . 4 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ x e. ( K..^ N ) ) -> N e. ZZ )
3		fzss1 10081	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( K ... ( N - 1 ) ) C_ ( M ... ( N - 1 ) ) )
4	3	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> ( K ... ( N - 1 ) ) C_ ( M ... ( N - 1 ) ) )
5		fzoval 10166	. . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> ( K..^ N ) = ( K ... ( N - 1 ) ) )
6	5	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> ( K..^ N ) = ( K ... ( N - 1 ) ) )
7		fzoval 10166	. . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> ( M..^ N ) = ( M ... ( N - 1 ) ) )
8	7	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> ( M..^ N ) = ( M ... ( N - 1 ) ) )
9	4, 6, 8	3sstr4d 3215	. . . . . 6 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> ( K..^ N ) C_ ( M..^ N ) )
10	9	sseld 3169	. . . . 5 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> ( x e. ( K..^ N ) -> x e. ( M..^ N ) ) )
11	10	impancom 260	. . . 4 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ x e. ( K..^ N ) ) -> ( N e. ZZ -> x e. ( M..^ N ) ) )
12	2, 11	mpd 13	. . 3 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ x e. ( K..^ N ) ) -> x e. ( M..^ N ) )
13	12	ex 115	. 2 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( x e. ( K..^ N ) -> x e. ( M..^ N ) ) )
14	13	ssrdv 3176	1 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( K..^ N ) C_ ( M..^ N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2160   C_ wss 3144   ` cfv 5231  (class class class)co 5891   1c1 7830   - cmin 8146   ZZcz 9271   ZZ>=cuz 9546   ...cfz 10026  ..^cfzo 10160

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921  ax-1cn 7922  ax-1re 7923  ax-icn 7924  ax-addcl 7925  ax-addrcl 7926  ax-mulcl 7927  ax-addcom 7929  ax-addass 7931  ax-distr 7933  ax-i2m1 7934  ax-0lt1 7935  ax-0id 7937  ax-rnegex 7938  ax-cnre 7940  ax-pre-ltirr 7941  ax-pre-ltwlin 7942  ax-pre-lttrn 7943  ax-pre-ltadd 7945

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-pnf 8012  df-mnf 8013  df-xr 8014  df-ltxr 8015  df-le 8016  df-sub 8148  df-neg 8149  df-inn 8938  df-n0 9195  df-z 9272  df-uz 9547  df-fz 10027  df-fzo 10161

This theorem is referenced by:  fzo0ss1  10192  fzosplit  10195  zpnn0elfzo  10225  fzofzp1  10245  fzostep1  10255  fsumparts  11496