Theorem zpnn0elfzo 10221

Description: Membership of an integer increased by a nonnegative integer in a half- open integer range. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
zpnn0elfzo	⊢ ((𝑍 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑍 + 𝑁) ∈ (𝑍..^((𝑍 + 𝑁) + 1)))

Proof of Theorem zpnn0elfzo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzid 9556	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ ℤ → 𝑍 ∈ (ℤ≥‘𝑍))
2	1	anim1i 340	. 2 ⊢ ((𝑍 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑍 ∈ (ℤ≥‘𝑍) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
3		nn0z 9287	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
4		zaddcl 9307	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑍 + 𝑁) ∈ ℤ)
5	3, 4	sylan2 286	. . 3 ⊢ ((𝑍 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑍 + 𝑁) ∈ ℤ)
6		elfzomin 10220	. . 3 ⊢ ((𝑍 + 𝑁) ∈ ℤ → (𝑍 + 𝑁) ∈ ((𝑍 + 𝑁)..^((𝑍 + 𝑁) + 1)))
7	5, 6	syl 14	. 2 ⊢ ((𝑍 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑍 + 𝑁) ∈ ((𝑍 + 𝑁)..^((𝑍 + 𝑁) + 1)))
8		uzaddcl 9600	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ∈ (ℤ≥‘𝑍) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑍 + 𝑁) ∈ (ℤ≥‘𝑍))
9		fzoss1 10185	. . . 4 ⊢ ((𝑍 + 𝑁) ∈ (ℤ≥‘𝑍) → ((𝑍 + 𝑁)..^((𝑍 + 𝑁) + 1)) ⊆ (𝑍..^((𝑍 + 𝑁) + 1)))
10	8, 9	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝑍 ∈ (ℤ≥‘𝑍) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑍 + 𝑁)..^((𝑍 + 𝑁) + 1)) ⊆ (𝑍..^((𝑍 + 𝑁) + 1)))
11	10	sselda 3167	. 2 ⊢ (((𝑍 ∈ (ℤ≥‘𝑍) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑍 + 𝑁) ∈ ((𝑍 + 𝑁)..^((𝑍 + 𝑁) + 1))) → (𝑍 + 𝑁) ∈ (𝑍..^((𝑍 + 𝑁) + 1)))
12	2, 7, 11	syl2anc 411	1 ⊢ ((𝑍 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑍 + 𝑁) ∈ (𝑍..^((𝑍 + 𝑁) + 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2158   ⊆ wss 3141  ‘cfv 5228  (class class class)co 5888  1c1 7826   + caddc 7828  ℕ₀cn0 9190  ℤcz 9267  ℤ_≥cuz 9542  ..^cfzo 10156

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-addcom 7925  ax-addass 7927  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-apti 7940  ax-pre-ltadd 7941

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-inn 8934  df-n0 9191  df-z 9268  df-uz 9543  df-fz 10023  df-fzo 10157

This theorem is referenced by:  zpnn0elfzo1  10222