Theorem zpnn0elfzo 10608

Description: Membership of an integer increased by a nonnegative integer in a half- open integer range. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
zpnn0elfzo	⊢ ((𝑍 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑍 + 𝑁) ∈ (𝑍..^((𝑍 + 𝑁) + 1)))

Proof of Theorem zpnn0elfzo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzid 9919	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ ℤ → 𝑍 ∈ (ℤ≥‘𝑍))
2	1	anim1i 340	. 2 ⊢ ((𝑍 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑍 ∈ (ℤ≥‘𝑍) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
3		nn0z 9647	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
4		zaddcl 9667	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑍 + 𝑁) ∈ ℤ)
5	3, 4	sylan2 286	. . 3 ⊢ ((𝑍 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑍 + 𝑁) ∈ ℤ)
6		elfzomin 10607	. . 3 ⊢ ((𝑍 + 𝑁) ∈ ℤ → (𝑍 + 𝑁) ∈ ((𝑍 + 𝑁)..^((𝑍 + 𝑁) + 1)))
7	5, 6	syl 14	. 2 ⊢ ((𝑍 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑍 + 𝑁) ∈ ((𝑍 + 𝑁)..^((𝑍 + 𝑁) + 1)))
8		uzaddcl 9969	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ∈ (ℤ≥‘𝑍) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑍 + 𝑁) ∈ (ℤ≥‘𝑍))
9		fzoss1 10563	. . . 4 ⊢ ((𝑍 + 𝑁) ∈ (ℤ≥‘𝑍) → ((𝑍 + 𝑁)..^((𝑍 + 𝑁) + 1)) ⊆ (𝑍..^((𝑍 + 𝑁) + 1)))
10	8, 9	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝑍 ∈ (ℤ≥‘𝑍) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑍 + 𝑁)..^((𝑍 + 𝑁) + 1)) ⊆ (𝑍..^((𝑍 + 𝑁) + 1)))
11	10	sselda 3248	. 2 ⊢ (((𝑍 ∈ (ℤ≥‘𝑍) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑍 + 𝑁) ∈ ((𝑍 + 𝑁)..^((𝑍 + 𝑁) + 1))) → (𝑍 + 𝑁) ∈ (𝑍..^((𝑍 + 𝑁) + 1)))
12	2, 7, 11	syl2anc 415	1 ⊢ ((𝑍 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑍 + 𝑁) ∈ (𝑍..^((𝑍 + 𝑁) + 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2209   ⊆ wss 3220  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079  1c1 8174   + caddc 8176  ℕ₀cn0 9546  ℤcz 9627  ℤ_≥cuz 9904  ..^cfzo 10532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-addass 8275  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-inn 9288  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-fz 10395  df-fzo 10533

This theorem is referenced by:  zpnn0elfzo1  10609